角的平分线的判定教学目标1.掌握角平分线的判定．2.熟练运用角的平分线的判定及性质解决问题．预习反馈阅读教材P50，完成下面内容．1.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．如图，∵PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，且PC＝PD，∴OP平分∠AOB．2.三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．如图，在△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，并且BD，CE相交于点O，∴点O也在∠BAC的平分线上．又∵OP⊥BC于点P，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，∴OP＝OM＝ON．类型1 角的平分线的判定例1(教材练习第2题变式)如图，在△ABC中，∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P.求证：点P在∠BAC的平分线上．证明：过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，PH⊥CA，垂足分别为F，G，H.∵点P在∠ABC的外角平分线上，∴PF＝PG.∵点P在∠ACB的外角平分线上，∴PG＝PH.∴PF＝PH.∴点P在∠BAC的平分线上．【跟踪训练1】如图，已知BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BE＝CF，BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF.∴DE＝DF.∴AD是∠BAC的平分线．类型2 三角形三条角平分线的交点到三边的距离例2 (教材补充例题)如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D.若PD＝5，△ACB的周长为20，求△ABC的面积．解：作PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，由角平分线的性质可知：PD ＝PE ＝PF ＝5，所以S △ABC ＝S △ABP ＋S △APC ＋S △PBC ＝12PD ·AB ＋12PF ·AC ＋12PE ·BC ＝12PD ·(AB ＋AC ＋BC)＝12×5×20＝50.【跟踪训练2】 如图，直线l ，l ′，l ″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处巩固训练1.到三角形的三边距离相等的点是(B)A.三角形三条高的交点B.三角形三条内角平分线的交点C.三角形三条中线的交点D.以上均不对2.如图，AD ⊥DC ，AB ⊥BC.若AB ＝AD ，∠DAB ＝120°，则∠ACB 的度数为(C)A ．60°B ．45°C ．30°D ．75°3.在正方形网格中，∠AOB 的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是(A)A ．M 点B ．N 点C ．P 点D ．Q 点4.如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.(1)求证：AM平分∠BAD；(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？解：(1)证明：作ME⊥AD于点E.∵MC⊥DC，ME⊥DA，DM平分∠ADC，∴ME＝MC.∵M为BC的中点，∴MB＝MC，∴ME＝MB.又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠BAD.(2)DM⊥AM.理由如下：∵DM平分∠CDA，AM平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠B＋∠C＝180°，∴DC∥AB.∴∠CDA＋∠BAD＝180°.∴∠1＋∠3＝90°.∴∠DMA＝180°－(∠1＋∠3)＝90°，即DM⊥AM.课堂小结角的平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，作角的平分线或过角的平分线上一点作角两边的垂线段是常用辅助线之一．。
第2课时角平分线的判定一、教学目标（一）知识与技能1.了解角的平分线的判定定理；角的平分线的判定进行证明与计算.（二）过程与方法在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.（三）情感、态度与价值观在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点重点：角的平分线的判定定理的证明及应用；难点：角的平分线的判定.三、教法学法自主探索,合作交流的学习方式.四、教学过程（一）复习、回顾1. 角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．①推导已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．（二）合作探究角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）【典型例题】例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．∴∠ABC＝∠ABC′．（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．例2. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP 能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．解：AP平分∠BAC．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．同理PF＝PE，∴PD＝PF．∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．（三）巩固训练（四）小结请你说说本课的收获与困惑.（五）作业第2章图形的轴对称复习课学习目标：1、理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质.2、掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用.3、理解等腰三角形的性质并能够简单应用.4、理解等边三角形的性质并能够简单应用.5、能够按要求做出简单的平面图形的轴对称图形，初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案.重点：掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用.难点：轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用复习过程：【课前准备】1、什么叫轴对称图形？2、什么叫做两个图形关于某一条直线成轴对称？3、“轴对称图形”与“两个图形关于某一条直线成轴对称”有什么区别？4、什么叫做线段的垂直平分线？线段的垂直平分线有什么性质？如何用尺规作出线段的垂直平分线？5、角的平分线具有什么性质？如何做角平分线？6、等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？已知哪些条件，可以用尺规做出等腰三角形？7、如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形具有什么性质？如何画一个图形关于某条直线对称的图形？【课内探究】知识点整理：1、如果一个图形沿着某条直线折叠．．，那么这个图形就叫．．后，直线两旁的部分能够互相重合做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴.轴对称图形是—个具有特殊性质的图形.常见的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、正n边形、圆形.2、把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是它们的对称轴.而两个图形中的各自的相对应点叫做关于这条直线的对称点.(1)轴对称是指两个图形之间的位置关系；(2)关于某条直线对称的两个图形是互相重合的；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连的线段的垂直平分线.牛刀小试：下面几种图形，一定是轴对称图形的是（）3、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.巩固训练：(1)已知△ABC中，AB = AC，其周长为18cm，AB = 5cm，则BC = .(2)已知等腰三角形的腰长为4cm，底边长为6cm，则它的周长为 .(3)已知等腰三角形的两边长分别为6cm、3cm，则它的周长是 .(4)已知等腰三角形一边长为3，另一边为5，则它的周长是 .4、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；(三线合一)③等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.巩固训练：(1) 已知△ABC中，AB = AC，∠C = 50°，则∠B = .(2) △ABC中，AB = AC，若AD⊥BC于D，则∠1 ∠2，BD CD.(3) 已知等腰三角形的一个底角为45°，则它的顶角为 .(4) 已知等腰三角形的一个角是70°，则其余两个角的度数是 .(5) 已知等腰三角形的一个角是120°，则其余两个角的度数是 .思考：本章的作图有哪几种类型？（1）作线段的垂直平分线；（2）作角的平分线；（3）作等腰三角形；（4）作对称点.【巩固提升】1、已知A（-1，1），在y轴上找一点P,使△AOP是等腰三角形.这样的P点可能有几个？2、已知Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB(1)若∠CAD=20°，则∠B=____°(2)若AC=4,BC=5,则△ACD的周长为______.D BC (3) 若∠B=30°，则∠CAD=____°图中共有几组相等的线段？为什么？【课堂小结】通过今天的学习，你对本章又增加了哪些新的认识？ 【达标检测】1、下列图形中一定是轴对称的图形是（ ）. A 、梯形 B 、直角三角形 C 、角 D 、平行四边形2、等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（ ）. A 、65° 65° B 、50°80° C 、65°65°或50°80° D 、50° 50°3、如果等腰三角形的两边长是6和3，那么它的周长是（ ）. A 、9 B 、12 C 、12或 15 D 、154、到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）. A 、三条角平分线的交点 B 、三条中线的交点C 、三条高的交点D 、三条边的垂直平分线的交点。
