3框架内力与位移计算5(水平位移)

（3-22）
N是水平荷载引起的边柱内力。令水平荷载引起的总力矩为M(z)，则 N=±M(z)/B （c） A为边柱截面面积。假定边柱截面沿z轴呈直线变化，令 n＝A顶/A底 A(z)＝[1－(1－n)z／H] A底 （d） A顶及A底分别为顶层柱及底层柱截面面积。
2 把式(b)、(c)、(d)代人式(a)得 EB2 A底
（d）
2 EB2 A底
N j
N j

Hj
( H j z)M ( z) 1 (1 n) z / H
0
dz
（e）
M(z)与外荷载有关，积分后得到的计算公式如下：
V0 H 3 Fn EB2 A底
式中，V0——基底剪力； Fn——系数。 在不同荷载形式下，V0及Fn不同。V0可根据荷载计算。
作 业 练 习
梁、柱杆件的轴向变形、弯曲变形对框架在水平荷载下的侧移变形有何影响？ 框 架为什么具有剪切型侧向变形曲线？
作业题:某三层两跨框架，跨度及层高、尺寸如图，柱截面积尺寸300×350，左跨梁截面为250×500，
0.8kN 3.60m
右跨梁截面为250×400，现浇梁柱及楼面，采用C30钢筋混凝土（Ec=3.0×104MPa），试求其相对侧移δ、 绝对侧移Δ；并比较和分析ΔM 和ΔN 在Δ中所占比例 。
j层侧移 i 1 n M M 顶点侧移 n i i 1
M i
【例3—4 】 求图所示三跨 12 层框架内杆件弯曲产生的顶点侧移 Δn 及最 大层间侧移 δj，层高 h＝400cm，总高 H＝400×12＝4800cm， 弹性模量 E＝2.0×104MPa。各层梁截面尺寸相同，柱截面 尺寸有四种，7层以上柱断面尺寸减小，内柱、外柱尺寸不 同，详见图中所注。
由剪切引起的变形形状愈到底层， 相邻两点间的相对变形放大，当q向 右时，曲线凹向左。
由弯矩引起的变形愈到顶层，相对 变形愈大,当q向右时，曲线凹向右。
弯曲变形与剪切变形
只考虑梁柱弯曲产 生的侧移，梁柱弯 曲变形由VA、VB 引起，剪切型变形 曲线， 只考虑梁柱轴向变 形的侧移，柱轴向 变形由NA、NB合 成的M引起，弯曲 型变形曲线， 框架总变形由弯曲 变形和剪切变形两 部分组成，层数不 多的框架，可以忽 略轴向变形引起的 弯曲变形，高度较 大时候，两者均要 考虑。
2
N j
Hj
0
NN ( )dz EA
（a）
N是水平荷载引起的边柱内力。令水平荷载引起的总力矩为M(z)，则 N=±M(z)/B （c） A为边柱截面面积。假定边柱截面沿z轴呈直线变化，令 n＝A顶/A底 （底
A顶及A底分别为顶层柱及底层柱截面面积。 把式(b)、(c)、(d)代人式(a)得
2 顶点集中力： Fn (1 n) 3 2 Hj H j H j 3 R2 H j H j 2 H j j n 2 n 2 R n n 1 ln R 1 j j 2 2 H H H H H H Hj Hj Hj 1 3 2 F {[( n 1 ) ( n 1 ) ( 1 2 ) ( n 1 )( 2 ) 1] ln R j 均布荷载： n (1 n) 4 H H H Hj Hj 1 3 Hj Hj 1 2 (n 1)3 (1 2 ) ( R j 1) [n(1 2 ) ](R j 1) H H 3 H 2H 2 Hj 2H j [ 2n( 2 ) 1] ( R j 1)} H H 3H j Hj 3H j 2 1 2H j 1 倒三角形荷载：Fn { [ ln R j ( 2) ] [( 2) ln R j ] 2 3 n 1 H H H (n 1) H 3 [(R 2 j 1) 4( R j 1) 2 ln R j ] 3 j 2(n 1) Hj 1 3 j 1 3 [ ( R j 1) ( R 2 j 1) 3( R j 1) ln R j ] 4 (n 1) H 3 2 1 1 4 4 3 [ ( R 1 ) ( R j 1) 3( R 2 j j 1) 4( R j 1) ln R j ]} 5 (n 1) 4 3
0.212 0.187 0.163 0.139 0.116 0.094 0.073 0.053 0.034 0.019 0.010 0.004
0.025 0.024 0.024 0.023 0.023 0.022 0.020 0.019 0.015 0.009 0.006 0.004
柱轴向变形产生的侧移是弯曲型的，顶层层间变形最大，向下逐渐减小。而梁、柱 弯曲变形产生的侧移则是剪切型的，底层最大，向上逐渐减小。由于后者变形是主 要成分，二者综合后仍以底层的层间变形最大，故仍表现为剪切型变形特征。 轴向变形位移：弯曲型、顶层层间位移最大，向下逐渐减小， 梁柱弯曲产生位移：剪切型，底层层间位移最大，向上逐渐减小，在总变形总占主 要成分。 二者综合后，仍然以底层层间位移最大，表现为剪切型变形。
R
H
H
n (1
Hj H
)
Fn由式(3—21)得到。由式(3—22)计算得到 Nj后，用下式计算第j层的层间变形：
jN Nj Nj1
Fn可直接由图3－26查出，图中变量为Fn及Hj/H。
考虑柱轴向变形后，框架的总侧移为
j
M j
N j
j
M j

一般而言，总的侧 移曲线仍以剪切型 为主。
粱柱弯曲变形产生的侧移
抗侧刚度D值的物理意义是单位层间侧移所需的层剪力（该层间侧移是梁柱弯曲变形 引起的）。
D
V

当已知框架结构第j层所有柱的D值位及层剪力后，可得近似计算层间侧移的公式

M j

D
M j
VPj
ij
各层楼板标高处侧移绝对值是该层以下各层层间侧移之和。顶点侧移即所有层（n 层）层间侧移之总和。 j
层数
Hj/H
Fn
ΔjN×10-3P/mm
δjN×10-3P/mm
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1.000 0.916 0.833 0.750 0.667 0.583 0.500 0.417 0.333 0.250 0.167 0.083
0.273 0.241 0.210 0.180 0.150 0.121 0.094 0.068 0.044 0.025 0.013 0.005
N j
柱轴向变形产生的侧移是弯曲型 的，顶层层间变形最大，向下逐渐减 小。而梁、柱弯曲变形产生的侧移则 是剪切型的，底层最大，向上逐渐减 小。由于后者变形是主要成分，二者 综合后仍以底层的层间变形最大，故 仍表现为剪切型变形特征。
例3－5：求图3-20所示框架由于柱轴向变形产生的侧移
解：
由计算结果可见，柱轴向变形产生的侧移与梁，柱弯曲变形产生的侧移相比，前者占的比例较小。 在本例中，总顶点位移为
J
1.2kN
K
L
1.5kN 4.50m
D A
7.80m
E
F
B
6.00m
C
3.60m
G
H
I
第三章 框架结构内力与位移计算
----水平位移
水平荷载作用下侧移的近似计算
框架侧移主要由水平荷载引起，规范 对层间以及顶点位移的大小限制，故 需要计算层间位移以及顶点位移。框 架侧移主要由两部分变形组成： 一根悬臂柱在均布荷载作用下，可 以分别计算弯矩作用和剪力作用引起 的变形曲线，二者形状不同，如图虚 线所示。
【解】各层ic、K、α、D、∑Dij及相对侧移δj、绝对侧移Δj计算如表1，计算结果绘于图
柱轴向变形产生的侧移
在水平荷载作用下，对于一般框架，只有 两根边柱轴力较大，一拉一压。中柱因两 边梁的剪力相近，轴力很小。可假定除边 柱外，其他柱子轴力为零。此时，只需考 虑边柱轴向变形产生的侧移。这样可大大 简化计算。 在水平荷载q(z)作用下，用单位荷载法 求出由柱轴向变形引起框架顶点的水平 这里，N为单位水平集中力作 位移。为了简化计算，把图所示框架边 用在j层时边柱的轴力， 柱轴向变形及水平位移看成连续函数。 则可得到j层侧移如下式（其中Hj为j层 N (H j z) / B （b） 楼板距底面高度）：
N j

Hj
( H j z)M ( z) 1 (1 n) z / H
0
dz
（e）
3 V H 0 M(z)与外荷载有关，积分后得到的计算公式如下： N Fn j 2 EB A底
式中，V0——基底剪力； Fn——系数。
在不同荷载形式下，V0及Fn不同。V0可根据荷载计算。
Fn是由式（e）积分得到的常数，它与荷载形式有关，在几种常见荷载形式下，Fn的表达式为：