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第十一章 量纲分析法(续)(2011-9-11)

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数量分析方法 量纲的运用

数量分析方法 量纲的运用
值转化为50。
二、在实验当中的应用
常用农药抗性倍数非常用农药抗性倍数
甲维盐高校氯毒死蜱氟虫腈均值标准差
氰菊酯
CHZ0.7 2.4 0.6 3.2 1 1.1
JZ 1.6 10 0.8 1.9 1 3.7
NZ 1.1 5.7 1.1 2.1 1 1.9
YC 0.8 7.4 1.9 2.8 1 2.5
为了较好的比较CHZ、JZ、NZ、YC四地棉铃虫抗药性的强弱，对以上四地的棉铃虫
式的特点之后，我们就可以灵活选用或构造新的公式。需要提及的是，如果我们所选取的评价
指标都是正指标(或都是逆指标),则在一次综合评价中对所有指标应采取同一种无量纲化公式。
如果在评价中既有正指标,又有逆指标,且不作逆指标转化处理的话,则应对正/逆指标分别采用
两种相互对应的无量纲化公式。所谓相互对应的公式是指两种公式得到的评价范围应是一致的,
然适用。最后两个公式实质是一样的,只不过评价值的范围有所变化。我们可以用同样的方法
将前几个公式的评价值范围变到我们希望的范围内。公式2和公式3适合于处理指标体系中
的逆指标,比如经济效益评价中的成本类指标,社会效益评价中的资源耗费类指标等。
当然我们也可以事先将其转化为正指标，然后再与其他指标一起无量纲化。在弄清这些公
值为零,指标
最大值的评
价值为1。
随指标值大
而大。指标最
小值的评价
值为q,指标
最大值的评
价值为k+q。
yi
4
ximinxi
maxximinxi
同上
[0,1]
xi
yi
5
ximinxi
kqminxi
maxximinxik,q

流体力学-量纲化分析详解

流体力学-量纲化分析详解
第四步：对1， 解得：c1=1，b1=2，a1=0 对2：
解得：c2=0，b2=0，a2=1 对3： 解得：c3=1，b3=1，a3=1
第五步：归纳上述得：
，
，
故有关系式：G(1，2，3)=0
因为要求的是压强降p，故此可解出：
而函数 G1 的具体确定可通过试验进行。
流体力学里有几类主要问题：如封闭管道内的流动，带有自由表面的流动（如 河流），没有任何接触面的流动（如喷雾），以及通过物体的绕流（如飞行中的 飞机）等。而表征这些流动的无量纲参数将是非常有意义的。
1.1 量纲分析的提出
现代工程的流体力学问题，往往是十分复杂的。例如飞机与船舶的流体动力特性、 河流的水动力学特性等等。如何解决这些问题？途径有：
（a）进行原型的观察与测量，这需要耗费大量的资金及时间，以及人力与 设备。不仅如此，有时这种测量是无法做到的，例如在十二级台风中怎么到海上 去测量船舶的流体动力特性？同时，原型的实测有时是不符需求的，例如建造一 艘巨型的航空母舰，我们不能等建成之后才知道它的性能，很多产品必须在建成 之前能预见它的性能。
如果已知力 F 和物体质量 M 的量纲，那么加速度 a 的量纲必须满足上述公 式。即 F、M、a 中的二个可以自由选择，而第三个则必须根据已选定的二个物 理量量纲按照其间存在的定律推导出来。由此可见，在物理量中有些量的量纲是 基本的可以独立取定，而另外一些物理量的量纲则是根据物理定律推导出来的。 前者称为基本单位，后者称为导出单位。
在国际单位制(SI)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温 度、物质的量、 发光强度的量纲符号分别是 L、M、T、I、Q、N 和 J。
力学中基本单位的量纲有两个系统：
（1）表征长度的量纲[L]；时间的量纲[T]；质量的量纲[M]。（2）表征力 的量纲[F]；时间的量纲[T]；长度的量纲[L]。为了应用方便，根据第一个基本 单位的量纲系统将力学中经常遇见的一些物理量的量纲列表如下：

量纲分析模型

量纲分析模型

量纲分析法来构造模型一、基本概念：在表达一个物理量时，总是用数和量这两个概念在一起来度量该物理量的某种属性，因此，许多物理量都是有量纲的，例如：质量的量纲是：克（g ）；千克（kg ） 速度的量纲是：厘米/秒；公里/时 热量的量纲是：卡def ：量纲：在对物理对象进行分析时用来表示物理特性的量称之为量纲，例如：长度、密度、速度等。

用数学公式描述一个规律时，等号两端都必须保持量纲的一致。

def ：量纲分析：在量纲一致的原则下，分析物理量之间关系的一种方法称为量纲分析。

例如：用数学公式描述一个物理规律时等式两边必须保持量纲的一致，同时也保持单位的一致。

def ：量纲分析法：用量纲分析法来建立数学模型的一种方法。

def ：基本量纲：在物理学或力学中有一些物理量的量纲是基本的，其他物理量的量纲可以由这些基本量纲推导出来，这些基本的量纲叫基本量纲，例如：力学中基本量纲为：m （质量），l （长度），t （时间），分别记成：[]M ，[]L ，[]T ，其他量纲可由此推出来。

例如：速度 1[][]V LT -=；加速度 2[][]a LT -=，力22[][][][][][]f M a M LT MLT --=== .有些物理常数也有量纲，例如：万有引力定律 122m m f K r= 中的引力常数K 的量纲也可推出来：222132132[][][][][][][][]MLT K m L K M L T M L T ------=⇒==def ：无量纲常数α，记为0[]1, ( [])L M T αα== 二、量纲分析法建模的例子：先从实例讨论出发，再给出一般方法。

例1：单摆运动模型：已知：质量为m 的小球，系在长为l 的线的一端，重力F mg =作用下作简谐运动，求：单摆运动关于周期t 的模型。

解： 1：将可能与t 有关的物理量, , m l g 用关系式(, , )t l m g ϕ= （1）表示出来。

量纲分析法

量纲分析法

,
v1
,
1
,
g1
~原型船的参数
(f1未知，其他已知)
1 1,
2



2
f1 f

l13 1 l3
(

1
)
f1


l1 l
3
f
结论：按一定尺寸比例造模型船，量测 f， 可算出 f1 ~ 物理模拟
量纲分析法的评注
• 物理量的选取
(…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的
[g ] M 0L1T 2
T M L y1 y2 y3 LT 2 y4 M 0L0T 0
M L T y2 y3 y4 y12 y4 M 0L0T 0
y2 0

y3

y4

0
y1 2 y4 0
基本解 y
( y1, y2 , y3, y4 )T
量纲齐次原则
描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲
S
(t)

S0

vt

1 2
at
2
动力学物理量的量纲
质量 m的量纲记 M=[m] 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t]
动力学中 基本量纲 M, L, T
速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2
= ML-3 , [] = ML-1T-1, [g] = LT-2
1 0 0 1 1 0 M
A


1
1
1 3 1
1

L

2 0 1 0 1 2 T

量纲分析

量纲分析

第一节量纲分析方法1.1量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。

概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。

它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。

在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J 速度v = ds/dt 量纲： = 加速度a = dv/dt 量纲： 力F = ma 量纲： 压强P = F/S 量纲：实际中，也有些量是无量纲的，比如等，此时记为。

有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。

模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。

机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响，因此机理模型需要无量纲化。

使用无量纲量来描述客观规律。

在量纲表达式中,其基本量量纲的全部指数均为零的量，即无量纲量，也称纯数。

1.无量纲量具有数值的特性，它可以通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量纲不同的物理量通过乘除组合得到。

2.无量纲量具有这样一些特点：①无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。

即无论选择什么单位制计算，其结果总是相同的。

当然，同一问题必须用同一单位制进行计算。

②对数、指数、三角函数等超越函数的运算往往都是对无量纲量来讲的。

③一个力学方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单位制的限制。

要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，当用数学公式描述已物理量时，等号两端就必须保持量纲的一致性和单位的一致性，即其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。

量纲分析就是基于量纲一致的原则来分析物理量之间关系的一种方法。

量纲分析法

量纲分析法

量纲分析法量纲分析法是一种工程数学方法，用于处理含有多个变量的物理问题。

这种方法非常有用，因为在实际应用中，我们通常需要考虑许多不同的变量和参数，这些参数可能具有不同的单位和量纲，使得问题变得复杂和难以处理。

利用量纲分析法，可以将各个参数转换为无量纲形式，从而简化问题并提高计算精度。

1. 什么是量纲首先，我们需要明确什么是量纲。

量纲是一个物理量所具有的度量属性，通常包括基本量纲，比如长度、时间、质量、电流等等。

每个量纲都有一个标准单位，比如米、秒、千克、安培等等。

通过组合不同的基本量纲和单位，我们可以得到其他物理量的单位和量纲。

比如速度可以表示为长度/时间，加速度可以表示为长度/时间^2。

在处理物理问题时，量纲是非常重要的，因为它们决定了各个物理量之间的关系和单位的选择。

2. 如何运用量纲分析法量纲分析法是一种基于量纲的数学方法，用于研究变量之间的关系和有效参数的数量。

在使用这种方法时，我们需要将所有涉及的物理量和参数转换为无量纲形式，然后通过比较各个无量纲参量的数量级和变化趋势来分析问题。

这种方法可用于许多不同的物理问题，例如流体力学、热传递、电路分析等等。

下面我们以流体力学为例来讲解量纲分析法的应用过程。

首先，我们考虑一个典型的流体力学问题：水从一根直管中流出的速度是多少？公司设计师可以运用以下方程式解决此题: v = (P1 - P2) / ρL其中v是水的速度，P1和P2是入口和出口处的压力，ρ是水的密度，L是管道长度。

我们观察到这个公式涉及四个参数，每个参数都有自己的单位和量纲。

在使用量纲分析法时，我们需要将它们都转换为无量纲形式。

我们可以定义以下五个无量纲参量：F1 = v L / νF2 = (P1 - P2) / (0.5ρv^2)F3 = D / LF4 = ε/ D其中，ν是水的动力粘度，D是管道的直径，ε是管道壁面粗糙度。

这里表示F1 代表惯性力，F2 代表压力力，F3 代表管道长度比，F4 代表管道细度等无量纲参量。

量纲分析法建模[1]

量纲分析法建模[1]
数学建模
量纲分析法
量纲分析法
量纲分析（Dimensional Analysis)是20世 纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方 法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量 纲齐次原则,确定各物理量之间的关系。
一、量纲齐次原则
长度 l 的量纲记 L=[l] 质量 m的量纲记 M=[m] 时间 t 的量纲记 T=[t]
速度 v 的量纲 [v]=LT-1
加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
力 f 的量纲 [f]=LMT-2
引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
mm f k 1 2
r2
对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)
量纲齐次原则
等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
例：单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
t m l g 1 2 3 (1)
l
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(1)的量纲表达式 [t] [m]1 [l]2 [g]3
m
T M L T 1 2 3 23
mg

1 2

1 1
g 2l 2v l 2s
3 g l 1 3 1 f
F=0
3 (1, 2 )
f l3g (1,2 ),
1
v gl
,
2

s l2
未定
量纲分析法的评注
• 物理量的选取
(…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量

量纲分析法

量纲分析法

第三节 量纲分析法量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。

3.1 量纲齐次原则与Pi 定理许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。

例如在动力学中，把长度l , 质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为[][][]T t M m L l ===,,; 而速度f v ，力的量纲可表示为[][]21,--==MLT f LT v .在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ；称为基本量纲。

任一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，[]ηξεδγβαJ N I T M L q Θ=量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。

量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。

例3—1： 单摆运动，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。

解：在这个问题中有关的物理量有g l m t ,,,设它们之间有关系式3211αααλg l m t =---------------（3.1）其中32,,ααα为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（3．1）式的量纲表达式有[][][][]321αααg l m t = 整理得：33212αααα-+=T LM T --------------（3.2）由量纲齐次原则应有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=12003321αααα ---------------（3.3）解得：,21,21,0321-===ααα 代入（3．1）得 glt λ= -------（3.4）（3.4）式与单摆的周期公式是一致的下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，定理：设n 个物理量n x x x ,,,21 之间存在一个函数关系()0,,,21=n x x x f --------------（3.5）[][]m x x 1为基本量纲，n m ≤。

量纲分析法

量纲分析法

量纲分析法3、量纲分析法量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。

3.1 量纲齐次原则与Pi定理许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。

例如在动力学中，把长度l, 质量和时间的tm量纲作为基本量纲，记为,1,2,,,,; 而速度的量纲可表示为. v,LT,f,MLT,,,,,,l,L,m,M,t,Tv，力f在国际单位制中，有7个基本量:长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的,量，它们的量纲分别为L、M、T、I、、J、和N;称为基本量纲。

任一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，,,,,,,, ,,q,LMTI,NJ量纲齐次性原则:用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。

量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系;先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。

l例3—1: 单摆运动，质量为的小球系在长度为的线的一端，线的另一端固定，小m球偏离平衡位置后，在重力作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期的表达式。

mgtt,m,l,g解:在这个问题中有关的物理量有设它们之间有关系式,,,312t,,mlg ---------------(3.1) 1其中为待定常数，入为无量纲的比例系数，取(3(1)式的量纲表达式有 ,,,,,23,,,,，,,2,,1232331T,MLT 整理得: --------------(3.2) ,,,,,,,,t,mlg 由量纲齐次原则应有,,0,1,,,，,0 ---------------(3.3) ,23,,2,,13,11l,,0,,,,,,,,解得: 代入(3(1)得 -------(3.4) t,,123g22(3.4)式与单摆的周期公式是一致的下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi定理，定理:设n个物理量之间存在一个函数关系 x,x,？？,x12n--------------(3.5) ，，fx,x,？？,x,012n为基本量纲，m,n。

量纲分析与相似理论

量纲分析与相似理论

4

p
D V a4 b4 c4
其中，ai、bi、ci 为待定指数。
34
解题步骤
4. 根据量纲和谐性原理，各π项中的指数分别确定 如下（以π1为例）
L La1 (LT ) 1 b1 (L3M )c1
L :1 a1 b1 3c1 T : 0 b1 M : 0 c1
2. 将q写成H，ρ，g的指数乘积形式，即
q kH a b g c
12
解题步骤
3. 写出量纲表达式
dim q dim(H a b gc )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[L2T 1] [L]a[ML3 ]b[LT 2 ]c
5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数
根据题意可知，压强差△p与通过的流量Q，流 体的密度ρ，液体的粘度η 以及大小直径D1,D2有关，
用函数关系式表示为：
f (D1,Q, ,, D2 ,p) 0
可以看出函数中的变量个数 n＝6
25
解题步骤
2. 选取基本物理量
选取三个基本物理量，它们分别是几何学量D1， 运动学量Q以及动力学量ρ 。
由量纲公式：
量纲指数行列式
dim D1 L1T 0M 0 dim Q L3T 1M 0
dim L3T 0M 1
10 0 3 1 0 1 0 3 0 1
故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。
26
解题步骤
3. 列出无量纲π值
列出 n 3 6 3 3 个无量纲的π值。
32
解题步骤
其量纲指数行列式为
1 00 1 1 0 1 0 3 0 1 故说明基本物理量的量纲是相互独立的。 可写出n－3＝7－3＝4个无量纲π项。

量纲分析方法

量纲分析方法

v = C gh
其中常数 C 可以通过实验测定出来。 例 2. 单摆的周期
(3)
质量 m 的小球系在长度为 l 的线的一端， 偏离平衡位置后小球在重力 mg 的作用下做往复摆动， 求小球的摆动周期 t。 分析 这个问题中出现的物理量有 t, m, l, g，不计空气阻力时可以假设它们之间有关系式
t ∼ mα l β g γ
量纲分析方法
倪致祥主讲
为了能够应用数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。物理对象的定量化需要有单位和数 值，单位是作为度量标准的某个物理量。被测物理量的数值大小不仅取决于其本身，而且取决于所 选用的单位。例如为了描述一块地的范围，需要确定其面积的单位和数值的大小。我们可以说这是 块大小为 1 平方公里的地，也可以说这是块大小为 1000000 平方米的地。离开了单位，仅根据数值 我们无法判断一块地的大小。单位的选取往往带有任意性，比如说度量长短可以选用米为单位，也 可以选用厘米、分米、公里甚至光年为单位。然而这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的， 它们之间可以相互换算，具有某种统一性。我们把这种统一性称为量纲。 一般来说，测量同一个物理量可以有不同的单位，但是它的量纲是唯一的。例如，测量长度可 以用厘米、分米、公里甚至光年为单位，但是决不能用公斤或吨为单位。不同量纲的物理量之间有 但是并没有原则性错误； 本质的区别， 相互不能换算。 说一根木头长度为 2×10−16 光年虽然很不合适， 如果说一根木头长度为 100 公斤，就要让人笑掉大牙。 通常用［量］来表示物理量的量纲，不同的物理量往往有不同的量纲：长度的量纲记为 L，时 间的量纲记为 T，质量的量纲记为 M，无单位的物理量的量纲记为 1。一个具体的物理对象往往要有 许多不同的物理量来描述其不同的特性，我们可以把其中的一些看成是基本量，其他的是导出量。 基本量的量纲称为基本量纲，其他量的量纲可以由基本量纲导出。例如，我们取基本的量纲为 L、T 和 M，那么面积的量纲为 L2，速度的量纲为 LT−1，加速度的量纲为 LT−2。 由于物理量是有量纲的，因此用数学公式来描述任何一个客观规律时，等式两边的量纲必须一 致，这个要求称为量纲一致原则。根据量纲一致原则和牛顿第二运动定律，我们可以导出力的量纲 为 MLT−2。在量纲一致的原则下，问题中物理量之间关系的分析称为量纲分析。量纲分析是应用物 理理论解决实际问题的一个有力工具，可以用来合理地组合变量从而简化问题的处理，导出新知识 和获得新信息。下面我们来看几个典型的例子： 例 1. 真空中自由落体的速度 设物体的释放高度为 h，自由降落的落地速度为 v，不失一般性，我们假定 v 与物体的质量 m、 重力加速度 g 和 h 有关，即 v＝v ( m, g, h ) 不做实验，你能求出上述关系式的具体形式吗？ (1)

量纲分析课件

量纲分析课件

模型试验的无量纲准则
如果物理方程转换成只包含无量纲量的函数 这个函数关系将不随单位的改变而改变。 式，这个函数关系将不随单位的改变而改变。 单位改变后物理量的数值要改变一个倍数而 物理模型也是改变了实物的大小， 物理模型也是改变了实物的大小，从而把各 物理量改变一个倍数，二者有共同之处。 物理量改变一个倍数，二者有共同之处。
模型试验的无量纲准则
量纲分析正是确定无量纲数的重要手段之一， 量纲分析正是确定无量纲数的重要手段之一， 所求得的须保持为同量的无量纲数， 所求得的须保持为同量的无量纲数，称为模 型试验的无量纲准则。 型试验的无量纲准则。
量纲分析的方法
具体进行无量纲分析有不同的方法。 具体进行无量纲分析有不同的方法。常用 的方法有下列两种： 的方法有下列两种：①白金汉法和 ②瑞利 法。 ①白金汉法：先选取几个独立变量（基本单 白金汉法：先选取几个独立变量（ ），再按 定理算出应有无量纲数的个数， 位），再按̟定理算出应有无量纲数的个数， 并设定无量纲乘积的形式， 并设定无量纲乘积的形式，然后按量纲一 致性原则解出无量纲乘积中各变量的指数， 致性原则解出无量纲乘积中各变量的指数， 就得出各̟。
量纲分析能阐明物理运动中诸物理量之间 的关系，初步反映出某些运动规律。 的关系，初步反映出某些运动规律。 无量纲数求得后又可减少函数中变量的个 也能订出模型试验的相似准则， 数，也能订出模型试验的相似准则，这是 一种简单而有效的方法。 一种简单而有效的方法。 但量纲分析有局限性，应用时必须慎重。 但量纲分析有局限性，应用时必须慎重。 正确的量纲分析基于对物理实质的正确认 分析的结果也须以实验来验证。 识，分析的结果也须以实验来验证。
无量纲数计算式写成： 无量纲数计算式写成：
π=

量纲分析法

量纲分析法

量纲分析法在我们探索自然科学和工程技术的广阔领域时，量纲分析法宛如一把神奇的钥匙，帮助我们解开复杂现象背后的神秘面纱。

它不是某种高深莫测的魔法，而是一种基于物理量基本性质的强大工具，让我们能够在看似混沌的世界中找到秩序和规律。

那么，究竟什么是量纲分析法呢？简单来说，量纲就是物理量的单位类别。

比如长度的量纲是米（m），时间的量纲是秒（s），质量的量纲是千克（kg）。

而量纲分析法，就是通过研究物理量的量纲之间的关系，来揭示物理现象的内在规律。

为了更好地理解量纲分析法的重要性，让我们先来思考一个简单的例子。

假设我们要研究一个物体自由下落的运动。

我们知道，影响物体下落速度的因素可能有物体的质量、下落的高度以及重力加速度。

那么，这些因素之间到底存在着怎样的定量关系呢？如果我们盲目地进行实验或者复杂的数学推导，可能会陷入无尽的迷茫。

但量纲分析法却能为我们指明方向。

我们先写出速度 v、质量 m、高度 h 和重力加速度 g 的量纲：速度v 的量纲是长度除以时间，即 L/T；质量 m 的量纲是 M；高度 h 的量纲是 L；重力加速度 g 的量纲是长度除以时间的平方，即 L/T²。

接下来，我们假设速度 v 与质量 m、高度 h 和重力加速度 g 之间存在一个函数关系 v ＝ f(m, h, g)。

根据量纲分析的原理，这个函数关系必须在量纲上是和谐的，也就是说，等式两边的量纲必须相同。

我们可以通过量纲的运算来推测这个函数的形式。

假设 v 与 m 的 a次方、h 的 b 次方、g 的 c 次方成正比，那么可以写出 L/T ＝ M^a ×L^b × L/T²^c 。

经过量纲的运算和分析，我们可以得出 a ＝ 0，b ＝ 1/2 ，c ＝ 1/2 。

于是，我们得到 v 与 h 和 g 的关系为 v ∝ √（gh) 。

这只是量纲分析法的一个简单应用，但已经足以展现它的强大威力。

在更复杂的物理问题中，比如流体力学中的湍流现象、热传递过程等，量纲分析法同样能够发挥重要作用。

量纲分析法课件

量纲分析法课件

量的待定幂指数，从而可得到 j 的表达式。 如在该问题中，令：
4
5
M M
0 L0 t 0 0 L0 t 0
L ML3 A1
Lt2 ML3
Mt2 A2 L A3
Mt L B1
2 B2
B3
4
5
M M
0 0
L0t0 L0t0
毛细现象。管中水柱上升的高度 h和水的密度 、表面张
力系数 、重力加速度 g 和玻璃管的内径 d 有关。
试用 定理确定 h的表达式。
解： 步骤 1：设其一般的函数关系为
h f , ,g,d
步骤 2：列写变量的量纲幂指数矩阵
设有变量 qi i 1, ,n影响某个流动过程，则 n个
变量的量纲幂指数矩阵为 4
Re)
CD
A
2
2
此即为著名的雷利（Rayleigh)绕流阻力计算公式。
式中：CD f (Re) 称绕流阻力系数，在不可压缩流体中与Re 有 关，可由实验测取二者的关系曲线。
23
水射流的加工过程中非常复杂，涉及到许多参数，可以写成如下 式:
Vm f m , m , dm , s , H , E
式中：Vm —单个颗粒的切削率；m —颗粒的速度； m —磨料 的密度； dm —颗粒的平均直径； s —被加工材料的屈服强度；H 、E —材料的刚度和弹性模量。对其模型的描述也较为困难。
燕山大学的王军、于超、耿鹏飞等基于量纲分析法，建立了水射 流打孔过程的新数学模型，
通过试验验证该模型的误差仅为3 % ～ 1 0 % 。
24
而这些物理量包括有 m 个基本变量时，则可以用因次 分析的方法获得(n-m)个无因次数群。这个现象的特征 可以用这(n-m)个无因次数群的关系形式来表示。这即 π 定理，是因次分析的基本定理，它是由 Bucking-ham 于 1914 年根据物理方程式因次和谐的原理导出的。 3

量纲分析法

量纲分析法

量纲分析法量纲分析法是求解物理问题的一种常用方法，它是建立在物理量之间存在着量纲关系的基础上的。

我们都知道，物理量是有量纲的，例如长度有米（m）、质量有千克（kg）等等。

物理量之间可能存在着各种复杂的关系，但是它们之间的量纲关系却是简单明了的。

在这个基础上，我们可以通过对物理量之间的量纲关系进行分析，得到大致的物理规律和关系式。

量纲分析法的应用范围广泛，可以用于求解机械、电学、热学等方面的问题。

特别是对于那些难以通过精确计算求得解析解的问题，量纲分析法常常能够给出很好的近似解。

量纲和单位的概念在进一步介绍量纲分析法之前，我们需要先了解一下量纲和单位的概念。

量纲是指物理量所具有的性质或特征。

例如，长度、质量、时间等都是物理量的量纲。

一般来说，我们用中括号表示一个物理量的量纲，例如$[L]$表示长度的量纲，$[M]$表示质量的量纲。

单位是指用来度量某一物理量的标准。

对于同一物理量，不同的国家或文化可能使用不同的单位。

例如，长度可以使用米、英尺、码等作为单位，质量可以使用克、千克、磅等作为单位。

物理量之间的量纲关系物理量之间的量纲关系非常重要，因为它们是建立任何物理公式或关系式的基础。

对于任意一个物理量，我们都可以通过对其进行基本量的组合或者一些次幂等数学运算，得到它的量纲式。

例如，对于单位长度的物理量，我们可以用基本物理量长度$L$表示它，那么它的量纲式为：$$[L]^1$$同理，对于单位速度$v$，由速度的定义可以得到：$$[L]^1\text{T}^{-1}其中，T表示时间的量纲。

通常情况下，我们将同一物理量的所有单位转化为相同的标准单位后，再进行量纲关系的分析。

例如，对于长度这一物理量，我们选用标准单位米（m）作为计量单位，则长度的量纲为$[L]$，而英尺的长度则可以表示为$0.3048\text{m}$。

量纲分析的基本原理和步骤量纲分析的基本原理是“对等量纲式进行运算时，只能加减，不能乘除”。

第十一章 对流传质

第十一章 对流传质

dcA dy
y0
xAs cAs cA0
(NA
NB
)
DAB dcA cAs cA0 dy
y0
cAs
1
cA0
cAS umys
kc 不但与壁面浓度梯度有关，还与组分B （或NA 与NB的关系）有关。因此，不同的 NA与 NB关系时 有不同的 kc 定义式。
三、对流传质系数
① 等分子反方向扩散的传质系数
B.C. (1) y 0 ，t ts
(2) y t ，t t0
(3)
y
t
，t y
0
(4)
y
0
， 2t y 2
0
cA a by cy2 dy3
y 0, cA cAs
y D , cA cA0
y D,
cA 0 y
y 0,
2cA y 2
0
二、平板壁面上层流传质的近似解
3
t ts t0 ts
μ ρ
2ux y 2
ux uy 0 x y
一、平板壁面上层流传质的精确解
边界层传质方程
ux
cA x
uy
cA y
DAB
2cA y 2
热边界层能量方程
ux
t x
uy
t y
α
2t y 2
B.C. (1) y 0 , cA cAs , uy uys ; (2) y , cA cA0 , (3) x 0 , cA cA0 ,
(2)
式（1）与（2）联立，得
kc
DAB cAs cA0
dcA dy
y0
xAs cAs cA0
(NA
NB
)
DAB dcA cAs cA0 dy

量纲分析法

量纲分析法

其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为 基本量 纲
ds 例4.1.1 [速度]=[ v ]=[ ] = =LT－1 ; dt [加速度]=[ a ] =LT－2 ;
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律 m1m 2 f K 2 r 中的引力常数K的量纲为
t l g
代入式(1) 得
续例4.2.1 单摆运动的抽象 设变量关系为 f (t，m，l，g) =0， (3) 假设各变量间的关系如下：
t m l g
y1
y2 y3
y4

(4)
其中y1～y4 是待定常数,π是无量纲量. 各变量的量纲用基本量纲表示如下： [ t ]=L0M0T1, [ m ]=L0M1T0, [ l ]=L1M0T0, [ g ]=L1M0T－2,
20. 量纲齐次法则
一个规律的数学表达式中每一个加项的 量纲必须是一致的，或者都是无量纲量。
例如, 牛顿第二定律 F=ma, [F]=MLT-2, [ma]=MLT-2
二. 量纲分析
量纲分析是在物理领域中建立数学 模型的方法，利用物理量的量纲提供的 信息，根据量纲齐次法则确定物理量之 间的关系。
特点？
将
dX v V dT v0 d (v0V ) dv dV m m mw 0v0 dt dT d (T w )
0
代入原方程，有
dV K C F x v dT mw 0v0 mw 0v0 mw 0v0
x C v F ( ) ( ) 2 x mw 0 v0 mw 0v0 mw 0 0

量纲分析和量纲制

量纲分析和量纲制

量纲分析和量纲制本文选自《物理》2021年第12期摘要物理定律不依赖于测量单位的选择。

量纲分析探讨这种不变性及其后果和应用。

无纲量为单位变换下的不变量，物理规律最终必然只能用无纲量表达。

从一个问题中的物理变量可构造出的无纲量数要少于原始变量数，带来简化，构造的无纲量可更深刻反映物理量间的内在关系。

量纲概念足够深刻，但方法足够简单，应该是物理训练的重要内容。

文章阐述量纲分析的基本概念、原理及其应用，大部分内容来自文献，着重讨论量纲制及其与单位制的关系，企图厘正文献中的一些混乱。

特别指出，仅就量纲分析操作而言，可以只用MLT量纲制。

关键词量纲，量纲分析，无纲量，量纲制物理定律的对称性意味着物理定律在各种变换下的不变性。

一个简单原理是物理定律不依赖于测量单位的选择。

量纲是物理量不受单位变换而改变的品性，量纲分析探讨这种不变性及其后果和应用。

一类特殊的物理量是无纲量，为单位变换下的不变量，物理规律最终必然只能用无纲量表达。

从一个问题中的物理变量可构造出的无纲量数要少于原始变量数，带来简化，而且，无纲量可更深刻反映物理量间的内在关系。

量纲分析方法是探讨科学规律、解决科学和工程问题的一个普适工具，非常值得学习和掌握。

量纲分析既可以用于实验设计和数据整理，也可以在求解问题前就对问题有个定量和定性的把握，且有助于加深对物理规律的认识。

面对复杂问题时，建立数学模型可能非常困难，或者方程非常复杂难以求解，或者难以理解所得解的意义。

有时需要做试验，而实际尺寸很难在试验条件中实现，必须缩小尺寸做模型试验，必须满足一定的相似条件，这种条件必须建立在量纲分析和相似论的基础上。

量纲分析很难说是从何时开始的。

Dimension一词，1833年泊松首先使用，在此之前用齐次性homogeneity。

1822年傅里叶明确表述，物理定律应与单位无关，写在其名著《热的解析理论》(Analytical Theory of Heat)中[1]。

量纲分析的线性代数方法

量纲分析的线性代数方法
dimensional analysis is proposed ,some examples are given. Key words :dimensional analysis ;vector space ;linear algebra
( 上接 24 页)
规律 [ 2 ] ,可重新表述如下 : 当下列三个条件被满足时 : 1) 二维静电荷分布与二维稳恒电流分布 为相应分布 ,即
B dim = b1 eN1 + b2 eN2 + b3 eN3 + …+ b7 eN7
( 3)
对于力学系统 , 量纲无关量的最大个数为
r = 3 , 对应于三维矢量空间 , 该空间中规范正
交基为 ( eL , e T , e M ) . 该系统中任一物理量 B 的 量纲矢量 B dim可表示为
B dim = a1 eL + a2 e T + a3 eM
ρR ω B π 1 =
P P∝ρ R ω B
5 5
A =
T
0 0
1 , AT = 1
( - 5 , - 1 ,1 , - 1)
0
0
对于Δ p , 因 (Δ p) dim = 故
Δp π 1 = 2 ρ v
eL - 2 e T + eM
( b1 , b2 , b3 ) = ( - 1 , - 2 , 1) A T = ( 0 ,2 ,1)
26
大 学 物 理 第 20 卷
的坐 标 b1 、 b2 、 b3 , 进 而 求 得 无 量 纲 数 π =
B
b1 b2 b3 N1 N2 N3
新基为 ( e R , eω , e P , eB ) , 与前例类似 , 可求得二 基之间的转换矩阵为 :
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f (π 1 , π 2 , ⋅⋅⋅, π n − m ) = 0
18
问题7
在用布金汉π定理时，要选取 个相互基本物理 在用布金汉 定理时，要选取3个相互基本物理 定理时 如何合理的选择这3个基本物理量呢 个基本物理量呢？ 量，如何合理的选择这 个基本物理量呢？
答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选 ：（ ）基本物理量与基本量纲相对应。 （M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基 ， ， ）为三个，那么基本物理量也选择三个； 本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。 本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。 （2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说， ）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说， 不要选择次要的物理量作为基本物理量， 不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量 在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 （3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列 ）为保证三个基本物理量相互独立， 式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、 式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、 动力学量中各选一个，即可满足要求。 动力学量中各选一个，即可满足要求。
a2 = 1 b2 = 0 c2 = 0
D2 π2 = D1
a3 = −4 b3 = 2 c3 = 1
∆p π 3 = −4 2 D1 Q ρ
25
5. 写出无量纲量方程
∆p D2 , , 4 2 )=0 f (π 1 , π 2 , π 3 ) = f ( −1 D1 Qρ D1 D1 Q ρ
η
上式中的数可根据需要取其倒数，而不会改变 上式中的数可根据需要取其倒数， 它的无量纲性质。 它的无量纲性质。即：
D14Q 2 ρ D1−1Qρ D2 = f( , ) ∆p η D1
Q= D
2 1
∆p
D2 f1(Re, ) ρ D 1
26
问题9
流体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿 流体在水平圆管中作恒定流动， 程不变，管径为D，由于阻力的作用， 程不变，管径为 ，由于阻力的作用，压强将沿 流程下降，通过观察， 流程下降，通过观察，已知两个相距为 l 的断面 间的压强差∆p与断面平均流速 与断面平均流速V，流体密度ρ， 间的压强差 与断面平均流速 ，流体密度 ，动 力粘性系数µ以及管壁表面的平均粗糙度 以及管壁表面的平均粗糙度δ等因素 力粘性系数 以及管壁表面的平均粗糙度 等因素 有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。 有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。 试用布金汉π定理求 的一般表达式。 试用布金汉 定理求∆p 的一般表达式。 定理求
dim ρ = L−3T 0 M 1
故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。 故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。
22
3. 列出无量纲 值 列出无量纲π值 个无量纲的π值 列出 n − 3 = 6 − 3 = 3 个无量纲的 值。
π1 = η
D1a1 Q b1 ρ c1
D2 π 2 = a2 b2 c2 D1 Q ρ
a1 = −1 b1 = 1 c1 = 1
所以： 所以
π1 =
η
D Qρ
−1 1
24
其量纲式为： 对于π2，其量纲式为：
L = La2 ( L3T −1 )b2 ( L−3 M )c2
其量纲式为： 对于π3 ，其量纲式为：
L−1T −2 M = La3 ( L3T −1 )b3 ( L−3M )c3
3
问题2
量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？ 量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？
答：1.提出根据 1.提出根据 （1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用完整的物理 ）自然界一切物理现象的内在规律， 方法来表示。 方法来表示。 （2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 ）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 2.作用 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程； 2.作用 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程； 检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实 检验物理方程、经验公式的正确性与完善性， 验过程、整理实验成果提供理论指导。 验过程、整理实验成果提供理论指导。
q = kH ρ g
a b
c
9
3. 写出量纲表达式
dim q = dim( H ρ g )
a b c
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 、 、 作为基本量纲， 作为基本量纲 纲为
[ L T ] = [ L] [ ML ] [ LT ]
2 a
−1
−3 b
−2 c
5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数
11
问题5
求水泵输出功率的表达式。 求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出
γ 功率N 功率N 与单位体积水的重量 = ρ g
有关。 程H有关。 有关
流量Q、 、流量Q、扬
12
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 分析影响因素， 根据题意可知，水泵的输出功率 根据题意可知，水泵的输出功率N 与单位体积水 流量Q、扬程H 有关, 的重量 γ = ρ g 、流量 、扬程 有关,用函数关系 式表示为
b c π i = x1a x2 x3 xi
i i i
(i = 1, 2, ⋅⋅⋅n − m)
4. 满足 为无量纲相，由量纲和谐性原理定出各 满足π为无量纲相 由量纲和谐性原理定出各π 为无量纲相， 项基本物理量的指数a、 、 。 项基本物理量的指数 、b、c。 5. 写出描述现象的关系式。 写出描述现象的关系式。
f ( N , γ , Q, H ) = 0
2. 将N写成 ，Q，H的指数乘积形式，即 写成γ 的指数乘积形式， 写成 ， 的指数乘积形式
N = kγ Q H
a b
c
13
3. 写出量纲表达式
dim N = dim(γ a Qb H c )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 、 、 作为基本量纲， 作为基本量纲 纲为
19
问题8
1 Q 1 2 D2 2
文丘里流量计是用来测 量有压管路的流量， 量有压管路的流量，如右 图所示，已知1-1断面和 断面和2-2 图所示，已知 断面和 断面之间的压强差△ 随流 断面之间的压强差△p随流 量Q，流体密度 ，液体粘 ，流体密度ρ， 以及大小直径D 度η 以及大小直径 1，D2变 试用π定律求出的压强 化。试用 定律求出的压强 降落△ 表示的流量公式 表示的流量公式。 降落△p表示的流量公式。
6
瑞利法
7
问题4
试用瑞利法分析溢
H
流堰过流时单宽流量q 流堰过流时单宽流量 的表达式。已知q 的表达式。已知 与堰 顶水头H、水的密度ρ和 顶水头 、水的密度 和 重力加速度g 有关。 重力加速度 有关。
q
8
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 分析影响因素， 根据题意可知， 根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q 与堰顶 水头H、水的密度ρ和重力加速度g 有关，用函数关 有关， 系式表示为 q = f (H , ρ , g ) 2. 将q写成 ，ρ，g的指数乘积形式，即 写成H， 的指数乘积形式， 写成 的指数乘积形式
4
问题3
凡是正确反映客观规律的物理方程， 凡是正确反映客观规律的物理方程，其方程各项 的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性原理。 的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性原理。
1 1/ 6 谢齐系数C的量纲 但是在曼宁公式 C = R 中，谢齐系数 的量纲 n
的量纲为L， 为无量纲量 为无量纲量， 为 L1/ 2T −1 ，R的量纲为 ，n为无量纲量，很明显量纲 的量纲为 是不和谐的， 是不和谐的，所以可能有人认为量纲和谐性原理是错 误的，你是如何认识这个问题的，并阐述你的理由。 误的，你是如何认识这个问题的，并阐述你的理由。
可以看出函数中的变量个数 n＝6 ＝
21
2. 选取基本物理量 选取三个基本物理量， 选取三个基本物理量，它们分别是几何学量D1， 运动学量Q 以及动力学量ρ 。 由量纲公式： 由量纲公式：
dim D1 = L1T 0 M 0 dim Q = L T M
3 −1 0
量纲指数行列式
1 0 3 0 = − 1 ≠ 0 − 1 − 3 1 0
D1
p h= g ρ
文丘里流量计
20
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 分析影响因素，
根据题意可知，压强差△ 与通过的流量Q， 根据题意可知，压强差△p与通过的流量 ，流体的 有关， 密度ρ，液体的粘度η 以及大小直径D1,D2有关，用函数 关系式表示为： 关系式表示为：
f ( D1 , Q, ρ ,η , D2 , ∆p) = 0
5
解：量纲和谐性原理是以被无数事实证明的客观真理。因为 量纲和谐性原理是以被无数事实证明的客观真理。 只有两个同类型的物理量才能相加减，否则没有物理意义的。 只有两个同类型的物理量才能相加减，否则没有物理意义的。 而一些经验公式是在没有理论分析的情况下， 而一些经验公式是在没有理论分析的情况下，根据部分实验 资料或实测数据统计而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。 资料或实测数据统计而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。 这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分， 这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不 完全的经验关系式来表示局部的规律性。 完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式随着人们 对流体本质的深刻认识， 对流体本质的深刻认识，将逐步被修正或被正确完整的公式 所替代。 所替代。
15
π定理
16
问题6
简述布金汉π定理的运用步骤？ 简述布金汉 定理的运用步骤？ 定理的运用步骤 1.确定关系式 根据对所研究现象的认识， 确定关系式。 答：1.确定关系式。根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量其关系式。 定影响这个现象的各个物理量及其关系式。