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二、重难点提示重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。
难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。
考点一：直线的方向向量与平面的法向量1. 直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。
2. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，此时向量a叫作平面α的法向量。
【核心归纳】①一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。
②在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的。
【随堂练习】已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个法向量的单位向量是（）A. （1，1，1）B. (,333C.111(,,)333D. (333-思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。
答案：设平面ABC的一个法向量为n＝（x，y，z），AB＝（0，－1，1），BC＝（－1，1，0），AC＝（－1，0，1），则·0·0·0AB y zBC x yAC x z⎧=-+=⎪⎪=-+=⎨⎪=-+=⎪⎩nnn，∴x＝y＝z，又∵单位向量的模为1，故只有B正确。
技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：（1）设出平面的法向量为n＝（x，y，z）。
（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量a＝（a1，b1，c1），b＝（a2，b2，c2）。
（3）根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组·0·0.=⎧⎨=⎩n an b（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
【核心突破】①用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想。
②用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：例题1 （浙江改编）如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC 。
用空间向量法证明平行垂直嘿，大家好，今天咱们来聊聊空间向量的那些事儿。
听起来挺学术的对吧？别担心，我们不打算用什么复杂的公式，把它变得像背唐诗那样枯燥。
相反，咱们就像在咖啡馆里聊八卦一样轻松，来一场有趣的向量之旅。
咱们得明白什么叫空间向量。
想象一下，你在一个立体的空间里，就像在三维游戏中走来走去。
空间向量就是从一个点指向另一个点的箭头，简单吧？有了这个概念，咱们可以开始讲平行和垂直这两个小伙伴的故事了。
平行就像是两条平行线，永远不相交，怎么走也不会碰上。
垂直呢，就是像个十字架，两条线碰面，形成个直角，嘿，这可是数学界的“老友记”。
现在，咱们说说平行。
要证明两个向量平行，简单得很。
只要它们的方向相同，或者说一个是另一个的倍数，这就够了。
比如说，你有一个向量 ( vec{a = (2, 4, 6) )，再给你一个向量 ( vec{b = (1, 2, 3) )。
哇，这不就是 ( vec{a = 2vec{b )吗？所以，它们平行，没跑！就像你跟你家狗子，走到哪儿都不离不弃，谁也不影响谁。
再来聊聊垂直。
要证明两个向量垂直，我们用到个小妙招：点积。
点积的计算就像是把两个向量的分量一一相乘，然后加起来。
嘿，只要点积等于零，这俩家伙就立马变成了“好兄弟”，结下不解之缘。
比如，咱们有向量 ( vec{c = (1, 2, 3) ) 和向量 ( vec{d = (3, 1, 0) )。
你算算它们的点积：( 1 times 3 + 2 times (1) + 3 times 0 = 3 2 + 0 = 1 )。
哎呀，这可不等于零啊，所以它们并不是垂直的，可能是“朋友”关系，没那么亲密。
咱们就得提一下空间向量的应用。
想象一下，你在操场上打篮球，向量就是你投篮的路径。
你想让投篮更精准，那就得找到平行和垂直的关系。
比如，平行的向量可以代表你的助攻，而垂直的向量则可以是防守的对手。
你得在这两者之间找到平衡，才能把球稳稳地投进篮筐。
空间向量的平行与垂直关系解析在三维空间中，向量是常用来表示大小和方向的物理量。
当我们研究向量时，经常会遇到它们之间的平行与垂直关系。
本文将对空间向量的平行与垂直关系进行解析，并介绍相关的概念和性质。
一、向量的定义与表示在三维空间中，一个向量可以由它的起点和终点表示。
一个向量通常用字母加箭头来表示，如向量AB记作→AB。
向量的起点和终点可以是任意两个点，向量的长度可以用有向线段的长度来表示。
在直角坐标系中，一个三维向量可以表示为一个有序三元组(a, b, c)，其中a、b、c是向量在x轴、y轴和z轴上的投影。
二、向量的平行关系1. 定义当两个非零向量的方向相同或相反时，这两个向量被称为平行向量。
简而言之，如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行的。
使用数学符号表示，则有向量→AB ∥向量→CD，或者写作向量→AB || 向量→CD。
2. 判断方法有几种方法可以判断两个向量是否平行，以下是两种常用方法：- 方法一：比较向量的方向比率。
如果两个向量的两个分量的比例相同，则这两个向量是平行的。
例如，向量A(1, 2, 3)与向量B(2, 4, 6)的三个分量的比例都是1：2：3，因此向量A与向量B是平行的。
- 方法二：比较向量的法向量。
如果两个向量的法向量是平行的，那么这两个向量是平行的。
法向量是指将向量的分量进行交换，并改变其中一个分量的符号得到的新向量。
例如，向量A(1, 2, 3)的法向量是向量(-3, 1, -2)。
如果向量A和向量B的法向量平行，那么向量A和向量B是平行的。
三、向量的垂直关系1. 定义当两个非零向量的夹角为直角（90度）时，这两个向量被称为垂直向量。
使用数学符号表示，则有向量→AB ⊥向量→CD，或者写作向量→AB⊥向量→CD。
2. 判断方法有几种方法可以判断两个向量是否垂直，以下是两种常用方法：- 方法一：通过向量的点乘运算。
如果两个向量的点乘结果为0，则这两个向量是垂直的。
第五讲 利用空间向量证明平行与垂直问题
【基础知识】
证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．
其一证明线线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可．当然也可证直线的方向向量与平面法向量平行．其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．
【规律技巧】
恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． 利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．
【典例讲解】
【例1】 如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .
证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形， ∴AB ，AP ，AD 两两垂直．
以A 为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)． 法一 ∴EF →＝(0，1，0)，EG →
＝(1，2，－1)， 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·
EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋2y －z ＝0，
令z ＝1，则n ＝(1，0，1)为平面EFG 的一个法向量， ∵PB →
＝(2，0，－2)，
∴PB →·n ＝0，∴n ⊥PB →，
∵PB ⊄面EFG ，∴PB ∥平面EFG .
【变式探究】 如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.
【例2】如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.
证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D .
证明 由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，如图．
【针对训练】
如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为
( )
A ．(1，1，1) B.⎝⎛
⎭⎫
23，23，1 C.⎝⎛
⎭
⎫
22，22，1 D.⎝⎛
⎭
⎫24，24，1
解析 设AC 与BD 相交于O 点，连接OE ，由AM ∥平面BDE ，且AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ，∴AM ∥EO ，
1．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1，1，2)，b ＝(x ，－2，3)，且α⊥β，则x ＝________． 解析 ∵a ·b ＝x －2＋6＝0，∴x ＝－4. 答案 －4
2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，H 分别是线段P A ，PD ，AB 的中点． 求证：(1)PB ∥平面EFH ； (2)PD ⊥平面AHF .
【巩固提升】
1、如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为 ( )
A ．平行
B ．异面
C ．垂直
D ．以上都不对
2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC →1，N 为B 1B 的中点，则|MN →
|为
( )
A.
216
a B.
6
6
a C.
156
a D.
153
a 答案 A
3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →
＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →
.其中正确的序号是________． 答案 ①②③
4．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是
( )
A ．a ＝(1，0，0)，n ＝(－2，0，0)
B ．a ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1)
C ．a ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1)
D ．a ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)
5．若AB →＝λCD →＋μCE →
，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是
( )
A ．相交
B ．平行
C ．在平面内
D ．平行或在平面内
解析 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →
共面．则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内． 答案 D
6．已知平面α内有一点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是
( )
A ．P (2，3，3)
B ．P (－2，0，1)
C ．P (－4，4，0)
D ．P (3，－3，4)
解析 逐一验证法，对于选项A ，MP →
＝(1，4，1)， ∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，
∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内． 答案 A。
