四川省成都市高一下学期期末数学考试试题(解析版)

成都市2022-2023学年下学期第二次测评高一年级数学学科试题考试时间120分钟满分150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分12i12i -=+（）A.－1B.i- C.43i 55- D.43i 55+2.化简PA PB AB -+所得的结果是（）A.2ABB.2BAC.0D.PA3.已知4sin 5α=，则3πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.35B.35-C.45D.45-4.下列化简不正确的是（）A.1cos82sin 52sin 82cos1282︒︒+︒︒=-B.1sin15sin 30sin 758︒︒︒=C.223cos 15sin 152︒-︒=D.tan 48tan 7231tan 48tan 72︒+︒=-︒︒5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a =2，b =3，π3B =，则角A 为（）A.3π4B.π3C.π4D.π4或3π46.“石龙对石虎，金银万万五，谁能识得破，买进成都府”．这个民谣在彭山地区流传了三百多年，2020年彭山江口沉银遗址水下考古取得重大突破，出水文物超过10000件，实证确认了“张献忠江口沉银”以及“木鞘藏金”的传说“木鞘藏金”指的是可视为圆柱的木料内放置了一个可视为球体的金疙瘩，这个金疙瘩与木料的底面和侧面都相切，则这个金疙瘩的体积与该木鞘（这个圆柱体）的体积之比为（）A.13B.23C.15D.257.如图，在正方体ABCD A B C D -''''中，E 、F 分别为棱CC '、AB 的中点，则异面直线A D ''与EF 所成角的余弦值是（）A.63B.33C.22D.128.已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x =--，则()f x 的最小正周期为（）A.2πB.πC.2π D.4π二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分9.已知复数ππsini cos 66z =+，则（）A.z 的虚部为3i 2B.z 在复平面内对应的点在第四象限C.z z z+= D.z 是关于x 的方程210x x -+=的一个根10.已知空间中,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A.,a b a b αα⊥⊥⇒∥B.,a a b b αα⊥⊥⇒∥C.,,a b a αβαβ⊂⊂⇒∥与b 异面D.,,b a b a βααββ⊥⋂=⊥⇒⊥11.下列四个命题为真命题的是（）A.若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c，则//a cr r B.若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D.若向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则7m n +=12.已知圆锥顶点为S ，高为1，底面圆O 的直径AB 长为22．若C 为底面圆周上不同于,A B 的任意一点，则下列说法中正确的是（）A.圆锥SO 的侧面积为62πB.SAC 面积的最大值为32C.圆锥SO 的外接球的表面积为9πD.若AC BC =，E 为线段AC 上的动点，则SE BE +的最小值为742+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知tan 5α=，则224sin 3sin cos 4cos sin cos αααααα+=-____________.14.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，1AD =，2AB =，3BC =，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则BM BN ⋅=______.15.如图所示，要在两山顶M N 、间建一索道，需测量两山顶M N 、间的距离.已知两山的海拔高度分别是1003MC =米和502NB =米，现选择海平面上一点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAC ∠=︒，点N 的仰角30NAB ∠=︒以及45MAN ∠=︒，则MN 等于_________米.16.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，13,2,1,60AA AB AD BAD ∠====，底面ABCD 为平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，以1D 为球心，半径为2的球面与侧面11BCC B 的交线的长度为___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π3．（1）求a b -；（2）当k 为何值时，()()2a b ka b +⊥- ．18.如图四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BCE ，BE EC ⊥，点F 为线段BE 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABE ；（2）求证：//DE 平面ACF .19.已知函数()() sin (00π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，，的部分图像如图所示.（1）求()f x 的解析式及对称中心；（2）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π3π124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的单调减区间.20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，111A B C △与11AB C △均是边长为2的正三角形，且16AA =．（1）证明：平面11AB C ⊥平面111A B C ；（2）求四棱锥11A BB C C -的体积．21.第31届世界大学生夏季运动会将于2022年6月在成都举行，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为五边形ABCDE （如图），根据自行车比赛的需要，需预留出AC ，AD 两条服务车道（不考虑宽度），DC ，CB ，BA ，AE ，ED 为赛道，已知23ABC AED π∠=∠=，3cos 5CAD ∠=，23km =BC ，42km =CD ，______．（注：km 为千米）请从①4BAC π∠=；②()33km =-AB 这两个条件中任选一个，补充在题干中，然后解答补充完整的问题．（1）求服务通道AD 的长；（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED 的最大值（即AE ED +最大）．注：如果选择两个条件解答，按第一个解答计分．22.已知a b c ，，分别为ABC 三个内角A B C ，，的对边，222cos cos 1cos A C B +=+且1b =，（1）求B ；（2）若12AB AC ⋅< ，求11a c+的取值范围；（3）若O 为ABC 的外接圆，若PM PN 、分别切O 于点M N 、，求PM PN ⋅的最小值.成都市2022-2023学年下学期第二次测评高一年级数学学科试题考试时间120分钟满分150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1.2i12i -=+（）A.－1B.i- C.43i 55- D.43i 55+B【分析】由复数的除法法则求解即可【详解】()()()()2i 12i 2i 5ii 12i 12i 12i 5----===-++-，故选：B2.化简PA PB AB -+所得的结果是（）A.2ABB.2BAC.0D.PAC【分析】根据向量加，减法运算，即可化简.【详解】0PA PB AB PA AB PB P P B B -++=-=-=.故选：C 3.已知4sin 5α=，则3πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A 35B.35-C.45D.45-C【分析】直接利用诱导公式求解.【详解】由题得3π4cos sin 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：C4.下列化简不正确的是（）A.1cos82sin 52sin 82cos1282︒︒+︒︒=-B.1sin15sin 30sin 758︒︒︒=C.223cos 15sin 152︒-︒= D.tan 48tan 7231tan 48tan 72︒+︒=-︒︒D【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.【详解】A 选项，cos82sin 52sin82cos128︒︒︒+︒()cos82sin 52sin 82co 18052s =︒︒︒︒-+︒cos82sin 52si 5s 2n82co -=︒︒︒︒()sin 528i 0221s n 3=︒︒=-︒=--，所以A 选项正确.B 选项，sin15sin 30sin 75︒︒︒()1111sin15sin 9015sin15cos15sin 302248=︒︒-︒=︒︒=︒=，B 选项正确.C 选项，223cos 15sin 15cos302︒-︒=︒=，C 选项正确.D 选项，()tan 48tan 72tan 4872tan12031tan 48tan 72︒+︒=︒+︒=︒=--︒︒，D 选项错误.故选：D5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a =2，b =3，π3B =，则角A 为（）A.3π4B.π3C.π4D.π4或3π4C【分析】由正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理sin sin a bA B=，得π2sinsin 23sin 23a B A b===，又a b <，所以A B <，所以A 为锐角，所以π4A =．故选：C ．6.“石龙对石虎，金银万万五，谁能识得破，买进成都府”．这个民谣在彭山地区流传了三百多年，2020年彭山江口沉银遗址水下考古取得重大突破，出水文物超过10000件，实证确认了“张献忠江口沉银”以及“木鞘藏金”的传说“木鞘藏金”指的是可视为圆柱的木料内放置了一个可视为球体的金疙瘩，这个金疙瘩与木料的底面和侧面都相切，则这个金疙瘩的体积与该木鞘（这个圆柱体）的体积之比为（）A.13B.23C.15D.25B【分析】设球的半径为r ，结合组合体的特征，利用圆柱和球的体积公式，求得圆柱和球的体积，即可求解.【详解】由题意，圆柱的木料内放置了一个可视为球体与木料的底面和侧面都相切，设内切球的半径为r ，可得343V r π=球，2322V r r r ππ=⋅=圆柱，所以23V V =球圆柱.故选：B.7.如图，在正方体ABCD A B C D -''''中，E 、F 分别为棱CC '、AB 的中点，则异面直线A D ''与EF 所成角的余弦值是（）A.63B.33C.22D.12A【分析】取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，设正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，分析可知直线A D ''与EF 所成角为EFG ∠或其补角，计算出FG 、EF 的长，即可求得EFG ∠的余弦值.【详解】取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，设正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，因为四边形ABCD 为正方形，则//AB CD 且2AB CD ==，F 、G 分别为AB 、CD 的中点，则//AF DG 且AFDG =，所以，四边形ADGF 为平行四边形，故//FG AD 且2FG AD ==，因为//A D AD ''，//A D FG ''∴，故直线A D ''与EF 所成角为EFG ∠或其补角，AD ⊥ 平面CDD C ''，EG ⊂平面CDD C ''，则AD EG ⊥，故FG EG ⊥，因为222EG CE CG =+=，226EF FG EG ∴=+=，所以，26cos 36FG EFG EF ∠===.因此，直线A D ''与EF 所成角的余弦值是63.故选：A.8.已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x =--，则()f x 的最小正周期为（）A.2π B.πC.2π D.4πB【分析】利用平方关系、降幂及辅助角公式可得()2cos(2)4f x x π=+，根据三角函数性质求最小正周期.【详解】由题设，44()(cos sin )2sin cos cos 2sin 22cos(2)4f x x x x x x x x π=--=-=+，所以最小正周期为22T ππ==.故选：B二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分9.已知复数ππsini cos 66z =+，则（）A.z 的虚部为3i 2B.z 在复平面内对应的点在第四象限C.z z z +=D.z 是关于x 的方程210x x -+=的一个根BCD【分析】把复数化成13i 22z =+，利用复数的意义判断A ；求出z 、||z 判断BC ；利用复数的四则运算计算判断D 作答.【详解】依题意，复数13i 22z =+，复数z 的虚部为32，A 错误；13i 22z =-在复平面内对应的点13(,)22-在第四象限，B 正确；2213||()()122z =+=，1313(i)(i)12222z z +=++-=，则z z z +=，C 正确；22131313131(i)(i)1(i)i+1022222222z z -+=+-++=-+--=，即z 是关于x 的方程210x x -+=的一个根，D 正确.故选：BCD10.已知空间中,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A.,a b a b αα⊥⊥⇒∥B.,a a b b αα⊥⊥⇒∥C.,,a b a αβαβ⊂⊂⇒∥与b 异面D.,,b a b a βααββ⊥⋂=⊥⇒⊥BCD【分析】根据空间中的线与平面，以及平面与平面的位置关系即可逐一判断.【详解】A ：由垂直于同一平面的两直线平行，可知A 正确；B ：由a α⊥，a b ⊥r r可得b α∥或者b α⊂，故B 错误；C ：由a α⊂，b β⊂，αβ∥可得a 与b 异面或//a b ，故C 错误；D ：由βα⊥，b αβ= ，a b ⊥r r，当a α⊄时，不能得到a β⊥，只有当a α⊂时，才可以得到a β⊥，故D 错误.故选：BCD11.下列四个命题为真命题的是（）A.若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c，则//a cr r B.若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫⎪⎝⎭D.若向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则7m n += BC【分析】取0b =，可判断A 选项；利用基底的概念可判断B 选项；利用投影向量的概念可判断C 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若0b = 且//a b r r ，//b c ，则a 、c不一定共线，A 错；对于B 选项，若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则()1623⨯≠⨯-，则a 、b不共线，所以，a 、b可作为平面向量的一组基底，B 对；对于C 选项，因为向量()5,0a = ，()4,3b =，所以，a 在b上的投影向量为()2220cos ,4,325b a b a b a a b a b b b a b b⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅1612,55⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，因为向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则()2222492319m n m nm n m n +=+=++⋅=++⨯=，D 错.故选：BC.12.已知圆锥顶点为S ，高为1，底面圆O 的直径AB 长为22．若C 为底面圆周上不同于,A B 的任意一点，则下列说法中正确的是（）A.圆锥SO 的侧面积为62πB.SAC 面积的最大值为32C.圆锥SO 的外接球的表面积为9πD.若AC BC =，E 为线段AC 上的动点，则SE BE +的最小值为742+BCD【分析】对A ：根据圆锥的侧面积公式分析运算；对B ：根据题意结合三角形的面积公式分析运算；对C ：根据题意可得圆锥SO 的外接球即为SAB △的外接圆，利用正弦定理求三角形的外接圆半径，即可得结果；对D ：将平面ABC 与平面SAC 展开为一个平面，当,,S E B 三点共线时，SE BE +取到最小值，结合余弦定理分析运算.【详解】对A ：由题意可知：222,1,3OA OB SO SA SB SC SO OB ======+=，故圆锥SO 的侧面积为π236π⨯⨯=，A 错误；对B ：SAC 面积113sin 33sin sin 222SAC S SA SC ASC ASC ASC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠=∠ ，在SAB △中，2223381cos 023233SA SB AB ASB SA SB +-+-∠===-<⋅⨯⨯，故ASB ∠为钝角，由题意可得：0ASC ASB <∠<∠，故当π2ASC ∠=时，SAC 面积的最大值为33sin 22ASC ∠=，B 正确；对C ：由选项B 可得：1cos 3ASB ∠=-，SAB ∠为钝角，可得222sin 1cos 3SAB SAB ∠=-∠=，由题意可得：圆锥SO 的外接球即为SAB △的外接圆，设其半径为R ，则2223sin 223AB R ASB ===∠，即32R =；故圆锥SO 的外接球的表面积为234π9π2⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，C 正确；对D ：将平面ABC 与平面SAC 展开为一个平面，如图所示，当,,S E B 三点共线时，SE BE +取到最小值，此时π2,2AC BC ACB ==∠=，在SAC ，2224333cos 023223AC SC AS ACS AC SC +-+-∠===>⋅⨯⨯，则ACS ∠为锐角，则26sin 1cos 3ACS ACS ∠=-∠=，在SBC △，则()π6cos cos cos sin 23SCB SCA ACB SCA ACS ⎛⎫∠=∠+∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭，由余弦定理可得22262cos 342327423SB SC BC SC BC SCB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则742SB =+，故SE BE +的最小值为742+，D 正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知tan 5α=，则224sin 3sin cos 4cos sin cos αααααα+=-____________.115-【分析】将分式的分子和分母同时除以2cos α，化简求值即可．【详解】tan 5α =，2224sin 3sin cos 4tan 3tan 425351154cos sin cos 4tan 45ααααααααα++⨯+⨯∴===----故115-14.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，1AD =，2AB =，3BC =，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则BM BN ⋅=______.3【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示可得.【详解】如图，分别以BC ，BA 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，由题意，(0,0),(0,2),(1,2),(3,0)B A D C ，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，所以1(2,1),(,2)2M N ，所以1(2,1),(,2)2BM BN == ，所以121232BM BN ⋅=⨯+⨯= ，故315.如图所示，要在两山顶M N 、间建一索道，需测量两山顶M N 、间的距离.已知两山的海拔高度分别是1003MC =米和502NB =米，现选择海平面上一点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAC ∠=︒，点N 的仰角30NAB ∠=︒以及45MAN ∠=︒，则MN 等于_________米.1002【分析】先求得,AM AN ，再利用余弦定理求得MN .【详解】10031003sin 60,200sin 60AM AM ︒===︒，502502sin 30,1002sin 30AN AN ︒===︒，在三角形AMN 中，由余弦定理得()()22200100222001002cos 45MN =+-⨯⨯⨯︒1002=米.故100216.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，13,2,1,60AA AB AD BAD ∠====，底面ABCD 为平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，以1D 为球心，半径为2的球面与侧面11BCC B 的交线的长度为___________.π2【分析】根据已知，结合图形，利用弧长公式、勾股定理、线面垂直计算求解.【详解】如图，连接11D B ，直四棱柱1111ABCD A B C D -，2,1,60AB AD BAD ∠=== ，所以11111112,1,60C D B C B C D ∠===，在111B C D △中，由余弦定理有：22211111111112cos 60D B C D C B C D C B =+-⋅ ，代入数据，解得113D B =，所以222111111D B C B C D +=，即1111D B C B ⊥，又111BB D B ⊥，1111BB C B B = ，所以11D B ⊥平面11BCC B ，在平面11BCC B 上，以点1B 为圆心，作半径为1的圆，交棱11,BB CC 于点1,M C ，得到弧 1MC ，在 1MC 上任取一点与11,B D 都构成直角三角形，根据勾股定理可知弧 1MC 上任取一点到点1D 的长度为2，所以以1D 为球心，半径为2的球面与侧面11BCC B 的交线的长度为弧 1MC 的长，因为11π2BB C ∠=，所以根据弧长公式有：弧 1MC 的长度为ππ122⨯=.故答案为π2四、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π3．（1）求a b -；（2）当k 为何值时，()()2a b ka b +⊥- ．（1）47a b -=（2）7k =-【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得a b -的值；（2）由已知可得出()()20a b ka b +⋅-=，利用平面向量数量积的运算性质可求得实数k 的值.【小问1详解】解：因为4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π3，则2π1cos 481632a b a b ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以，()()2222224216847a b a ba ab b -=-=-⋅+=-⨯-+=.【小问2详解】解：因为()()2a b ka b +⊥-，则()()()222212a b ka b ka k a b b+⋅-=+-⋅- ()161621264161120k k k =---⨯=--=，解得7k =-.18.如图四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BCE ，BE EC⊥，点F 为线段BE 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABE ；（2）求证：//DE 平面ACF .（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案；（2）连接BD 交AC 于O 点，连接FO ，由中位线定理可得//FO DE ，再由线面平行的判定定理可得答案.【小问1详解】因为AB ⊥平面BCE ，EC ⊂平面BCE ，所以AB EC ⊥，因为BE EC ⊥，AB BE B = ，、⊂AB BE 平面ABE ，所以CE ⊥平面ABE ；连接BD 交AC 于O 点，连接FO ，所以O 点为BD 中点，因为点F 为线段BE 的中点，所以//FO DE ，因为FO ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF ，所以//DE 平面ACF .19.已知函数()()sin (00π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，，的部分图像如图所示.（1）求()f x 的解析式及对称中心；（2）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π3π124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的单调减区间.（1）()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，对称中心为ππ023k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，Z k ∈（2）π3π24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】(1)由函数的图像的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再利用三角函数的图像得出对称中心.(2)由题意利用函数()()sin f x A x =+ωϕ的图像变换规律，求得()g x 的解析式，再利用余弦函数的单调性得出结论.根据函数()()sin (00π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，，的部分图像，可得2A =，32π5π4123πω⋅=+，2ω∴=．再根据五点法作图，5ππ2122ϕ⨯+=，π3ϕ∴=-，故有()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．根据图像可得，0π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，是()f x 的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为ππ023k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，Z k ∈.【小问2详解】先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向右平移12π个单位，得到sin 2sin 2cos 212π32ππy x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，即()cos 2g x x =-，令2ππ22πk x k -≤≤，Z k ∈，解得πππ2k x k -≤≤，Z k ∈，可得()g x 的减区间为πππ2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈，结合π3π124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，可得()g x 在4π312π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的单调递减区间为π3π24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，111A B C △与11AB C △均是边长为2的正三角形，且16AA =．（1）证明：平面11AB C ⊥平面111A B C ；（2）求四棱锥11A BB C C -的体积．（1）证明见解析（2）2【分析】（1）取11B C 的中点O ，连接AO ，1A O ，利用勾股定理证明1AO AO ⊥，易得1AO ⊥平面111A B C ，再根据面面垂直判定定理即可证明；（2）由（1）可证明AO 为三棱柱的高，利用同底等高的椎体与柱体的关系，通过割补法即可求解.【小问1详解】取11B C 的中点O ，连接AO ，1A O ．∵111A B C △与11AB C △均是边长为2的正三角形，∴11AO B C ⊥，111AO B C ⊥，13AO AO ==．∴1AOA ∠为二面角111A B C A --的平面角．∵16AA =，∴22211A O AO A A +=，∴1AO AO ⊥．因为1AO AO ⊥，111AO B C ⊥，11O AO B C ⋂=，11,AO B C ⊂平面11AB C 所以1AO ⊥平面111A B C ，又1A O ⊂平面111A B C ，∴平面11AB C ⊥平面111A B C ．【小问2详解】111111111112A BB C C ABC A B C A A B C A A B C V V V V ----=-=由（1）知，1AO AO ⊥，11AO B C ⊥．∵111AO B C O ⋂=，11B C ⊂平面111A B C ，1A O ⊂平面111A B C ，∴AO ⊥平面111A B C ．∴AO 为三棱锥111A A B C -的高．∴111111113431334A ABC A B C V S AO -=⨯⨯=⨯⨯⨯= ．∴四棱锥11A BB C C -的体积为2．21.第31届世界大学生夏季运动会将于2022年6月在成都举行，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为五边形ABCDE （如图），根据自行车比赛的需要，需预留出AC ，AD 两条服务车道（不考虑宽度），DC ，CB ，BA ，AE ，ED 为赛道，已知23ABC AED π∠=∠=，3cos 5CAD ∠=，23km =BC ，42km =CD ，______．（注：km 为千米）请从①4BAC π∠=；②()33km =-AB 这两个条件中任选一个，补充在题干中，然后解答补充完整的问题．（1）求服务通道AD 的长；（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED 的最大值（即AE ED +最大）．注：如果选择两个条件解答，按第一个解答计分．（1）52km（2）106km 3【分析】（1）选择条件①由正弦定理得32AC =，选择条件②由余弦定理得32AC =，再结合余弦定理可得AD 的长；（2）根据余弦定理结合均值不等式即可求角线段和最大值．【小问1详解】解：若选择条件①，在△ABC 中，由正弦定理得：sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，即232sin sin 34=AC ππ，解得32AC =；若选择条件②，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC=+-⋅⋅∠即()()()()2222332323323cos 183=-+-⨯-⨯⋅=AC π解得32AC =；在△ACD 中，由余弦定理得2222cos CD AD AC AC AD CAD =+-⋅⋅∠，即()()222342322325=+-⨯⨯AD AD 解得52AD =或725=-AD （舍去）∴服务通道AD 的长为52km ．【小问2详解】在△ADE 中，由余弦定理得：2222cos =+-⋅⋅∠AD AE ED AE DE AED ，∴()22252AE ED AE DE =++⋅，即()250AE ED AE ED =+-⋅，∵22AE ED AE ED +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，∴()23504+≤AE ED ，∴1063+≤AE ED （当且仅当563AE ED ==时取等号）∴折线赛道AED 的最大值为106km 3．22.已知a b c ，，分别为ABC 三个内角A B C ，，的对边，222cos cos 1cos A C B +=+且1b =，（1）求B ；（2）若12AB AC ⋅< ，求11a c+的取值范围；（3）若O 为ABC 的外接圆，若PM PN 、分别切O 于点M N 、，求PM PN ⋅的最小值.（1）2B π=；（2）()22,+∞；（3）2324-.【分析】（1）由题目条件可证得222sin sin sin A C B +=,可得ABC 为直角三角形，可求出2B π=.（2）由数量积的定义可求得2102c <<，设sin ,cos ,0,4c a πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则11sin cos sin cos a c θθθθ++=，令()sin cos 2sin ,1,24t t πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，则()21122,1,211t t a c t t t +==∈--，判断出21y t t =-的单调性，即可得出答案.（3）用PO 分别表示出PM PN ⋅ ，结合均值不等式即可求出答案.【小问1详解】因为222cos cos 1cos A C B +=+，则2221sin 1sin 11sin A C B -+-=+-，所以222sin sin sin A C B +=，则222a c b +=，所以ABC 为直角三角形，所以2B π=.【小问2详解】221cos 2AB AC AB AC A AB c ⋅=⋅⋅==< ，所以2102c <<，而221a c +=，所以设sin ,cos ,0,4c a πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，所以1111sin cos sin cos sin cos a c θθθθθθ++=+=，令()sin cos 2sin ,1,24t t πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，又因为()22sin cos 12sin cos ,t θθθθ=+=+所以21sin cos 2t θθ-=，所以()2112,1,21t t a c t +=∈-，令()222,1,211t y t t t t ==∈--，因为1t t -在()1,2t ∈上单调递增，所以21y t t =-在()1,2t ∈上单调递减，所以222122y >=-.所以11a c +的取值范围为()22,+∞【小问3详解】ABC 的外接圆的半径为r ，12r OA OC ===，设(),P m n ，则2222214PN PM PO ON PO ==-=-，其中214PO >，所以()2cos ,2cos 1PM PN PM PN PM PN PM PN NPO ⋅=⋅⋅=⋅⋅∠- ，而2222214cos PO PN NPO PO PO -∠==，222114214PO PM PN PO PO ⎛⎫- ⎪⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭2213238424PO PO +-≥-=，当且仅当342PO -=取等.所以PM PN ⋅ 的最小值为2324-.关键点点睛：本题考查向量相关的取值范围问题，考查面较广，涉及了基本不等式、函数值域、正弦定理、三角函数等，需要对知识掌握熟练且灵活运用.考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于难题.。

2021-2022学年四川省成都市树德中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．向量,a b 满足()()1,5,5,3a b a b +=--=-，则b =（ ） A ．(－3，4) B ．(3，4) C ．(3，－4) D ．(－3，－4)【答案】A【分析】根据向量加法的坐标运算直接把向量a b +与a b -相减即可求得b 是坐标.【详解】因为()()1,5,5,3a b a b +=--=-，所以()()()21,5536,8b =---=-，， 所以()3,4b =-. 故选：A.2．设a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．,a b a α⊥⊥，则b α∥ B ．,a a αβ⊥∥，则αβ⊥C ．,,a b αβαβ⊂⊂∥，则a b ∥D ．,,,a b a b αββα⊂⊂∥∥，则αβ∥【答案】B【分析】A. 利用直线与平面的位置关系判断； B.利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理判断；C.利用直线与直线的位置关系判断；D.利用平面与平面的位置关系判断.【详解】A. ,a b a α⊥⊥，则b α∥或b α⊂，故错误； B. 过直线a 作平面γ，有b γα⋂=，因为a α∥，所以//a b ， 又因为a β⊥，所以b β⊥，所以αβ⊥，故正确 C. ,,a b αβαβ⊂⊂∥，则a b ∥或a ，b 异面，故错误； D. ,,,a b a b αββα⊂⊂∥∥，则αβ∥或,αβ相交，故错误； 故选：B3．在ABC ∆中，cos 2C =，则AB=A．B C D ．【答案】A【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-所以22232cos 125215()32425c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．12【答案】B【详解】分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得32433(32)224222d d d ⨯⨯⨯+⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d 和的关系，从而求得结果.5．已知ABC 中，120A ∠=︒，且3AB =，4AC =，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为（ ） A ．2215B ．103C ．6D ．127【答案】A【分析】根据题意，由向量数量积的运算法则，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，所以有()()22AP BC AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC λλλ⋅=+⋅-=⋅-+-⋅ ()2210AB AC AB AC λλ=-⋅-+=，整理得：()134cos1209160λλ-⨯⨯⨯︒-+=， 解得2215λ=. 故选：A.【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】【详解】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：22,22,3,5PA PC PB BC ====，则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.7．已知数列{}n a 满足：11(1)2n n n a a +++-=，则其前100项和为 A ．250 B ．200 C ．150 D ．100【答案】D【详解】因为2212n n a a -+= ,所以100123499100()()()250100,S a a a a a a =++++++=⨯=选D.8．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为（ ） A 2310 B ．298aC 232 D 210 【答案】B【分析】取11A D 中点F ，连接BE 、EF 、1C F 、1BC 、1AD ，证明出1//EF BC ，故四点B 、1C 、E 、F 共面，所以过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EFC B ，根据已知，即可求解.【详解】取11A D 中点F ，连接BE 、EF 、1C F 、1BC 、1AD ，因为11//AB C D 且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//AD BC ，E 、F 分别为1AA 、11A D 的中点，所以，1//EF AD 且1122EF AD ==， 所以，1//EF BC ，故B 、1C 、E 、F 四点共面，所以过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EFC B ， 其中2EF =，12BC a =，2215BE C F AB AE ==+=， 过点E 、F 在平面1BC FE 内分别作1BC 的垂线，垂足点分别为G 、H ，因为1BE C F =，1EBG FC H ∠=∠，12EGB FHC π∠=∠=，所以，1Rt EBG Rt FHC ≅△△，故1BG C H =，在平面1BC FE 内，因为1EG BC ⊥，1FH BC ⊥，1//EF BC ， 所以，四边形EFHG 为矩形，则2GH EF ==， 所以，1122BC EF BG C H -===， 所以，梯形1BC FE 的高22225232244a a h BE BG ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 梯形1B CFE 的面积223219228a S a ⎫=⨯=⎪⎪⎭.故选：B.9．设1sin 10π=n n a n ，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，在1S ，2S ，…，20S 中，正数的个数是A ．15B ．16C ．18D ．20【答案】D【分析】根据数列的通项公式可判断出数列的正负，然后分析[]()101,10,*m m a a m m N ++∈∈的正负，再由10m S +的正负即可确定出1S ，2S ，…，20S 中正数的个数.【详解】当[]()1,10*m m N ∈∈时，0m a ≥，当[]()11,20*m m N ∈∈时，0m a ≤，因为()[]()101011sin sin 1,10,*101010m m m m a a m m N m m ππ+++=+∈∈+， 所以[]()1011sin1,10,*1010m m m a a m m N m m π+⎛⎫+=-∈∈⎪+⎝⎭，因为11010m m ⎛⎫->⎪+⎝⎭，sin 010m π≥，所以100m m a a ++≥取等号时10m =，所以1210,,...,S S S 均为正，又因为[]()1001,10,*m m a a m m N ++≥∈∈，所以11121320,,,...,S S S S 均为正， 所以正数的个数是：20. 故选：D.【点睛】本题考查数列与函数综合应用，着重考查了推理判断能力，难度较难. 对于数列各项和的正负，可通过数列本身的单调性周期性进行判断，从而为判断各项和的正负做铺垫.10．已知动直线:20(0,0)l ax by c a c ++-=>>恒过点(1,)P m 且(4,0)Q 到动直线l 的最大距离为3，则122a c+的最小值为( ) A ．92B ．94C ．1D ．9【答案】B【分析】由题意可得：可得20a bm c ++-=．又(4,0)Q 到动直线l 的最大距离为3，可22(41)3m -+，解得0m =，从而得到2a c +=．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【详解】动直线:20(0,0)l ax by c a c ++-=>>恒过点(1,)P m ，20a bm c ∴++-=． 又(4,0)Q 到动直线l 的最大距离为3， 22(41)3m -+=，解得0m =．2a c ∴+=．则121121521529()()()(2)2222222224c a c a a c a c a c a c a c +=++=+++=，当且仅当423c a ==时取等号． 故选：B ．【点睛】本题考查直线方程、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知在三棱锥S ABC -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，22SA SC ==B AC S --的大小为23π，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．1249πB ．1054πC ．1059πD ．1049π【答案】D【分析】如图，取AC 的中点D ，连接BD ，SD ，则可得SDB ∠为二面角B AC S --的平面角，得23BDS π∠=，过点D 作与平面ABC 垂直的直线，则球心O 在该直线上，设球的半径为R ，连接OB ，OS ，然后在△OSD 中利用余弦定理可求出R ，从而可求得球的表面积.【详解】如图，取AC 的中点D ，连接BD ，SD ，因为2AB BC ==，22SA SC == 所以,BD AC SD AC ⊥⊥，所以SDB ∠为二面角B AC S --的平面角， 所以23BDS π∠=， 因为AB ⊥BC ，2AB BC ==，所以22AC =2BD CD ==因为22SA SC == 所以826SD =-=过点D 作与平面ABC 垂直的直线，则球心O 在该直线上， 设球的半径为R ，连接OB ，OS ，可得2222OD R=-，在△OSD 中，∠ODS ＝6π， 利用余弦定理可得222232626R RR=-+--， 解得R 2＝269，所以其外接球的表面积为210449R ππ=. 故选：D12．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4322,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．592,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)22,⎡+∞⎣【答案】C【分析】根据余弦定理和ABC 的面积公式，结合题意求出sin A 、cos A 的值，再用C 表示B ，求出sin sin b B c C =的取值范围，即可求出222b c bc+的取值范围．【详解】解：在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 且ABC 的面积1sin 2S bc A =，由222()S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，化简得sin 2cos 2A A +=，又(0,)2A π∈，22sin cos 1A A +=，联立得25sin 4sin 0A A -=，解得4sin 5A =或sin 0A =（舍去）， 所以sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A C cC C C C ++====+， 因为ABC 为锐角三角形，所以02C <<π，2B AC ππ=--<，所以22A C ππ-<<，所以13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-==⎪⎝⎭，所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设b t c =，其中35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221212222b c b c t t bc c b t t ⎛⎫ ⎪+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 由对勾函数单调性知12y t t =+在325⎛ ⎝⎭上单调递减，在253⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增， 当2t =时，2y =35t =时，4315y =；当53t =时，5915y =；所以592,15y ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∈，即222b c bc+的取值范围是5922,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：C.【点睛】关键点点睛：由2222b c b cbc c b+=+，所以本题的解题关键点是根据已知及sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A C c C C C C ++====+求出b c的取值范围. 二、填空题13．若直线1l ：30++=x y m (0m >)与直线2l ：2630x y +-=10则m =______.【答案】172【分析】观察式子可知，两直线平行，再采用平行直线距离公式求解即可. 【详解】直线1l ：30++=x y m (0m >)与直线2l ：2630x y +-=平行，直线2l ：2630x y +-=可化为3302x y +-=，利用两直线平行的距离公式：1222321010m c c d A B+-==+232m =-或172m =，因为0m > 故答案为172【点睛】本题考查两平行直线的距离求法，解题时需注意在一般式中，,x y 的系数需化成一致，以免造成误解.14．设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知368,7S S ==，则789a a a ++等于________.【答案】18【解析】因为78996a a a S S ++=-，根据等比数列的性质可知，36396,,S S S S S --也成等比数列，再根据等比数列定义即可求出．【详解】因为78996a a a S S ++=-,且36396,,S S S S S --也成等比数列,而63781S S -=-=-.即8,－1,96S S -成等比数列,所以968()1S S -=,即9618S S -=，所以78918a a a ++=．故答案为：18．【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和的性质的应用，属于基础题．15．已知()sin cos f x x x ωω=-2()3ω>，若函数()f x 图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(,2)ππ，则ω的取值范围是__________．（结果用区间表示） 【答案】37[,]48【详解】()sin cos 2sin 4f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令42x k ππωπ-=+解得34k x ππωω=+，当0k =时34ππω≤，即34ω≤，当1k =时32π4ππωω+≥，即78ω≤ 综上3748ω≤≤ 点睛：本题考查了正弦函数图像的综合，先运用辅助角公式进行化简，根据题目条件求出正弦函数的对称轴方程，列出不等式即可求出结果，本题关键是求出对称轴方程，较为基础．16．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为11,BD BB 上的动点，则1C PQ 周长的最小值为_____．【答案】422+【分析】构造出三棱锥111BB D C -，展开后求11'C C 长即可【详解】连接1BC ，11B D ，将三棱锥111BB D C -展开得到如图所示平面展开图，则1C PQ 周长的最小值为11'C C ，由几何关系知，1111'1B C C D ==，112=B D 111BB B D ⊥，又111'B D BC =，故四边形111'BB D C 为矩形，所以1111'C D B D ⊥，又111BB B C ⊥，故111'C D C △为直角三角形，()2222111111''121422C C C D C D =++++422+【点睛】本题考查几何体的展开图，周长最值问题，考查了直观想象能力，属于中档题. 三、解答题17．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值． 【答案】（1）725-；（2）211-【详解】分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan2α，再利用两角差的正切公式得结果. 详解：解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈． 又因为()5cos αβ+=()()225sin 1cos αβαβ+=-+=因此()tan 2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--，因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+． 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.18．已知数列{an }的前n 项和为Sn ，a 1=5，nSn +1-（n +1）Sn =n 2+n . （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）令bn =2nan ，求数列{bn }的前n 项和Tn . 【答案】（1）证明见解析；（2）Tn =（2n +1）2n +1-2. 【分析】（1）利用等差数列的定义证明即可. （2）利用错位相减法即可求解.【详解】（1）证明：由nSn +1-（n +1）Sn =n 2+n 得111n n S S n n +-=+，又11S=5， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为5，公差为1的等差数列.（2）由（1）可知n Sn=5+（n -1）=n +4，所以Sn =n 2+4n .当n ≥2时，an =Sn -Sn -1=n 2+4n -（n -1）2-4（n -1）=2n +3. 又a 1=5也符合上式，所以an =2n +3（n ∈N ）， 所以bn =（2n +3）2n ，所以Tn =5×2+7×22+9×23+…+（2n +3）2n ，① 2Tn =5×22+7×23+9×24+…+（2n +1）2n +（2n +3）·2n +1，② 所以②-①得Tn =（2n +3）2n +1-10-（23+24+…+2n +1） =（2n +3）2n +1-10-()3121212n ---=（2n +3）2n +1-10-（2n +2-8） =（2n +1）2n +1-2.19．如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 平面1ABB 所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（239【解析】（1）由已知条件可得2221111A B AB AA +=，2221111AB B C AC +=，则111AB A B ⊥，111AB B C ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ，可证得1C D ⊥平面1ABB ，从而1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角，然后在1Rt C AD 求解即可 【详解】（1）证明： 由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得11122AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=，由111AB A B ⊥．由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得115B C = 由2AB BC ==，120ABC ∠=︒得23AC =由1CC AC ⊥，得113AC 2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥，又11111A B B C B =，因此1AB ⊥平面111A B C ．（2）解 如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ． 由1AB ⊥平面111A B C ，1AB ⊂平面1ABB ，得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥，得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角． 由115B C =，1122AB =，1121AC = 得1116cos 7C A B ∠=，1111sin 7C A B ∠=， 所以13C D =，故11139sin 13C D C AC AD ∠==． 因此，直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是3913．【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定和线面角的求法，解题的关键是通过过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ，然后结合条件可证得1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角，从而在三角形中求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题20．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知ABC 的外接圆半径2R =且2tan tan cos AB C C+=．(1)求B 和b 的值； (2)求ABC 面积的最大值． 【答案】(1)4B π=，b =2；(2)12【分析】（1）利用同角三角函数间的关系切化弦得sin sin 2sin cos cos B C AB C +=的和角公式化简可求得B ，再利用正弦定理可求得b ；（2）由余弦定理得2242a c ac =+，利用基本不等式得2(22)ac ≤，由三角形的面积公式可求得答案.【详解】(1)解：因为2sin tan tan cos A B C C+=，所以sin sin 2sin cos cos cos B C AB C C +=， cos cos sin 2sin s cos in C B C A B B +=，即sin()2sin cos B C A B +=，因为A B C π++=，所以2sin c sin os A B A =， 又sin 0A ≠，所以2cos 2B =，所以4B π=，又ABC 的外接圆半径2R =，所以由正弦定理2sin b R B =得22222b =⨯⨯=； (2)解：由余弦定理2222cos b ac ac B =+-得2242a c ac =+-，由基本不等式得222224a c ac ac ac +-≥-=（当且仅当a c =时取等号），所以42(22)22ac ≤=+-（当且仅当a c =时取等号）， 所以122sin 2(22)12244ABC S ac B ac ∆==≤⨯+=+（当且仅当a c =时取等号）， 故ABC 面积的最大值为12+．21．已知正三角形A BC '的边长为a ，CD 是A B '边上的高，E ，F 分别是A C '，BC 的中点，现将三角形A DC '沿CD 翻折至ADC 的位置，使平面ADC ⊥平面BCD ，如图所示.(1)试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由. (2)若三棱锥E DFC -3a 的值. (3)在线段AC 上是否存在一点P ，使得BP DF ⊥？若存在，求出APAC的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)//AB 平面DEF ，理由见解析 (2)2 (3)存在，13AP AC = 【分析】（1）//AB 平面DEF ，由线面平行判定定理证明即可；（2）证明EM ⊥平面BCD ，且可得4aEM =，利用棱锥体积公式求解即可；（3）过B 作BK DF ⊥交DC 于点K ，连接KF ，过K 作//KP DA 交AC 于点P ，连接BP ，由线面垂直可得线线垂直，再利用平行线分线段成比例求解. 【详解】(1)//AB 平面DEF . 理由如下：在ABC 中，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，//EF AB ∴， 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，//AB ∴平面DEF . (2)由题意，得AD CD ⊥，平面ADC ⊥平面BCD ，AD ∴⊥平面BCD . 取CD 的中点M ，连接EM ，则//EM AD ，如图，EM ∴⊥平面BCD ，且4a EM =.易得21313222DFCa a a S⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭三棱锥E DFC -3213334a a ∴⨯2a =. (3)在线段AC 上存在一点P ，使得BP DF ⊥.理由如下：易知三角形BDF 为正三角形，过B 作BK DF ⊥交DC 于点K ，连接KF ，过K 作//KP DA 交AC 于点P ，连接BP ，则点P 即所求，如上图，AD ⊥平面BCD ，//KP ADPK ∴⊥平面BCD ，PK DF ∴⊥.又BK DF ⊥，PK BK K ⋂=，DF ⊥∴平面PKB ，DF PB ∴⊥. 又30DBK KBC BCK ︒∠=∠=∠=，12DK KF KC ∴==.故12AP DK PC KC ==，从而13AP AC =.22．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，141n n n S a a +=⋅+，11a =． （Ⅰ）求n a 和n S ；（Ⅱ）若2n an b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ．记23411223341n n n n b b b bA TT T T T T T T ++=+++⋅⋅⋅+，1231111n n B S S S S =+++⋅⋅⋅+，求证：52n n A B +<，*n ∈N ． 【答案】（Ⅰ）21n a n =-，*n ∈Z ，2n S n =；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可得{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式及前n 项和公式计算可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得212n n b -=，即可求出{}n b 的前n 项和为n T ，则11131124141n n n n n b T T +++⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再利用裂项相消法求和得出12n A <，再利用放缩法21111n n n <--得到122n B n<-<，即可得证； 【详解】解：（Ⅰ）∵141n n n S a a +=⋅+，11a =， ∴11241S a a =⋅+，∴23a =， 当2n ≥时，有1141n n n S a a --=+，∴11144n n n n n n S S a a a a ++--=-，∴()114n n n n a a a a +-=-， ∵0n a ≠，∴114n n a a +--=∴数列{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列， 2114(1)2(21)1n a n n -=+-=--，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列， 234(1)221n a n n =+-=⋅-，∴21n a n =-，*n ∈Z ， ∴()21212n n n S n +-==．（Ⅱ）因为2n a n b =，所以212n n b -=，()1352122222413n nn T -=+++⋅⋅⋅+=-，()()()()2111111294311222241414141414133n n n n n n n n n n n b T T ++++++⎛⎫===- ⎪----⎝⎭--，1n =时，125A =，11B =，1152A B +<．2n ≥时，2231311311311241412414124141n n n A +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭113111311234122412n n ++⎛⎫=+=-⋅< ⎪--⎝⎭． 22111111111112222231n B n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴52n n A B +< ∴52n n A B +<，n *∈N ． 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．。

成都市2024届数学高一下期末达标测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为，落在正方形内的豆子数为，则圆周率的估算值是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin a b A =，则B 等于（ ）A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．303．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（ ）A ．（0，6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3π，π） 4．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin （α+β2，则cosβ＝（） A ．3210B ．210C ．7210 D ．210或7210 5．已知函数f ：R +→R +满足：对任意三个正数x ，y ，z ，均有f （3xyzxy yz zx ++）3f x f y f z ++=（）（）（）.设a ，b ，c 是互不相等的三个正数，则下列结论正确的是（ ）A ．若a ，b ，c 是等差数列，则f （a ），f （b ），f （c ）一定是等差数列B ．若a ，b ，c 是等差数列，则f （1a ），f （1b ），f （1c ）一定是等差数列 C ．若a ，b ，c 是等比数列，则f （a ），f （b ），f （c ）一定是等比数列 D ．若a ，b ，c 是等比数列，则f （1a ），f （1b ），f （1c）一定是等比数列 6．已知数列满足，，则的值为（ ） A ．2B ．-3C ．D ．7．中国古代的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”.某校国学社团准备于周六上午9点分别在6个教室开展这六门课程讲座，每位同学只能选择一门课程，则甲乙两人至少有人选择“礼”的概率是（ ） A ．56B ．2536C ．13D ．11368．以n S ,T n 分别表示等差数列{}{}n b n a ，的前n 项和，若S 73n n nT n =+，则55a b 的值为A ．7B ．214C ．378 D ．239．某大学数学系共有本科生1 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．80B ．40C ．60D ．2010．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ） A ．38B ．34C ．35D ．45二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

学年四川省成都高一下学期末考试试卷数学含答案Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】成都九中2015—2016学年度下期期末考试高一数学试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）2.本堂考试120分钟，满分150分.3.答题前, 考生务必将自己的姓名、学号、填写在答题卡上,并使用2 B 铅笔填涂.4.考试结束后,将答题卡交回.第Ⅰ卷 选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．()()()240x f x x x+=>函数的最小值为2．{}()1181,3,n n n a a a a a +=-=-在数列中,则等于3．()5sin ABABC C∆=若外接圆的半经为，则5．{}()()412155,cos n a a a π+=若等差数列的前项和为则6．()1cos()sin244παα-==已知,则7．O ABC k R ∆∈已知是所在平面内一点，若对任意，恒有 8．在三视图如图的多面体中,最大的一10．P ABCD PAD ABCD -如图,在四棱锥中,侧面为正三角形,底面是边11．,,,,,,,,,,,p q a b c p q p a q p b c q ≠给定正数其中若是等比数列，是等差 12．11111111,ABCD A B C D M N Q D C A D BC -正方体中，，，分别是棱，的 第Ⅱ卷 非选择题二、填空题:（本大题5个小题，每小题5分，共20分） 13．000cos1402sin130sin10+=____________14．如图,动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼, 15．2,P ABCD -如图,正四棱锥的体积为底面积 16．,,a b c 已知为正实数,给出以下结论:三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）,,,,,ABC A B C a b c ∆在中,角的对边分别为已知向量 18.（12分）ABCD PQMN 如图,在四面体中,截面是平行四边形, 19.（12分）{}()11.1,342n n n n a S a a S n -==+≥已知数列的前项和为若.y y yy yxxx yx20.（12分）,4,3,P ABCD PA ABCD AB BC -⊥==如图,在四棱锥中,平面 21.（12分）()2.f x ax bx c =++已知二次函数22.（12分）()()()(),,,f x R f f f αβαβαββα∈⋅=⋅+⋅函数满足:对任意都有 成都外国语学校2015—2016学年度下期期末考试高一数学试卷 命题人：注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）2.本堂考试120分钟，满分150分.3.答题前, 考生务必将自己的姓名、学号、填写在答题卡上,并使用2 B 铅笔填涂.4.考试结束后,将答题卡交回.第Ⅰ卷 选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．()()()240x f x x x+=>函数的最小值为D2．{}()1181,3,n n n a a a a a +=-=-在数列中,则等于C3．()5sin ABABC C∆=若外接圆的半经为，则B5．{}()()412155,cos n a a a π+=若等差数列的前项和为则A6．()1cos()sin244παα-==已知,则C7．O ABC k R ∆∈已知是所在平面内一点，若对任意，恒有 8．在三视图如图的多面体中,最大的一10．P ABCD PAD ABCD -如图,在四棱锥中,侧面为正三角形,底面是边11．,,,,,,,,,,,p q a b c p q p a q p b c q ≠给定正数其中若是等比数列，是等差 12．11111111,ABCD A B C D M N Q D C A D BC -正方体中，，，分别是棱，的 第Ⅱ卷 非选择题二、填空题:（本大题5个小题，每小题5分，共20分） 13．000cos1402sin130sin10+=____________12-14．如图,动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼, 15．2,P ABCD -如图,正四棱锥的体积为底面积y y yy yxxx yx16．,,a b c 已知为正实数,给出以下结论:三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）,,,,,ABC A B C a b c ∆在中,角的对边分别为已知向量 解：()()()()22210,a c a c b b a a b c ab ⇒+-+-=⇒+-=已知 18.（12分）ABCD PQMN 如图,在四面体中,截面是平行四边形, 解：()1//,PQMN PN QM ∴证明:截面是平行四边形,19.（12分）{}()11.1,342n n n n a S a a S n -==+≥已知数列的前项和为若. 解：()21111347,34(2),3 4.n n n n a S a S n a S -+=+==+≥∴=+20.（12分）,4,3,P ABCD PA ABCD AB BC -⊥==如图,在四棱锥中,平面 解：()014,3,90 5.AC AB BC ABC AC ==∠==连接，由,得 21.（12分）()2.f x ax bx c =++已知二次函数 解：(){}210|34ax bx c x x ++>-<<的解集为22.（12分）()()()(),,,f x R f f f αβαβαββα∈⋅=⋅+⋅函数满足:对任意都有 解：()()()1112,22,n n a f a f =∴==。

一、选择题1．(0分)[ID ：12727]设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5B ．7C ．9D ．112．(0分)[ID ：12722]ABC 中，已知sin cos cos a b cA B C==，则ABC 为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形3．(0分)[ID ：12718]为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元 B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元4．(0分)[ID ：12694]设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m5．(0分)[ID ：12635]已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()22ab>B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b> 6．(0分)[ID ：12629]设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2019=6057，则1a 2+4a 2018的最小值为A ．1B ．23C ．136D ．327．(0分)[ID ：12660]函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．(0分)[ID ：12656]某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生9．(0分)[ID ：12653]（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为 A ．6B ．19C ．21D ．4510．(0分)[ID ：12640]在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．9011．(0分)[ID ：12638]在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B = B ．6b =，52c =，45B = C ．10a =，15b =，120A = D ．6b =，63c =60C =12．(0分)[ID ：12719]如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1013．(0分)[ID ：12700]如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．14．(0分)[ID ：12697]已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（ ） A．B．C．(2,D ．（2，4）15．(0分)[ID ：12677]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ） A ．68B ．67C ．61D ．60二、填空题16．(0分)[ID ：12822]已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14m x y+≥恒成立的实数m 的范围是__________17．(0分)[ID ：12818]在ABC ∆中，若3B π=，AC =2AB BC +的最大值为__________．18．(0分)[ID ：12802]已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b3a 2b a++的最小值等于______．19．(0分)[ID ：12793]已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.20．(0分)[ID ：12776]若x ，y 满足约束条件10,{30,30,x y x y x -+≥+-≥-≤则z=x−2y 的最小值为__________.21．(0分)[ID ：12746]在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的点共有________个．22．(0分)[ID ：12740]从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______23．(0分)[ID ：12735]已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f（2|a-1|）＞f （，则a 的取值范围是______. 24．(0分)[ID ：12769]设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．25．(0分)[ID ：12765]设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为______. 三、解答题26．(0分)[ID ：12920]某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100，[)100,110，[)110,120.()1求图中m 的值；()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如表所示,求英语成绩在[)90,120的人数.分数段[)90,100[)100,110[)110,120:x y6:51:21:127．(0分)[ID ：12909]在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等． （Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．28．(0分)[ID ：12905]某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为33ACB ππ⎛⎫∠= ⎪⎝⎭，墙AB 的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记ABC θ∠=. （1）若4πθ=，求ABC ∆的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，ABC ∆的面积尽可能大，当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.29．(0分)[ID ：12896]某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元，（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？30．(0分)[ID ：12844]在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．B 3．B 4．B 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．A11．D12．C13．B14．A15．B二、填空题16．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m的范围【详解】由题意知两个正数xy满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查17．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式18．11【解析】分析：构造基本不等式模型化简整理应用基本不等式即可得出答案详解：当且仅当时取等号的最小值等于11故答案为11点睛：本题考查基本不等式的性质与应用同时考查了整体思想与转化思想的运用19．【解析】设正方体边长为则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时可恢复为长方体利用长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径；（2）直棱20．【解析】【分析】【详解】试题分析：由得记为点；由得记为点；由得记为点分别将ABC的坐标代入得所以的最小值为【考点】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值一般用图解法求解其步骤是：（1）在平面直21．3【解析】【分析】圆方程化为标准方程找出圆心坐标与半径求出圆心到已知直线的距离判断即可得到距离【详解】圆方程变形得：（x+1）2+（y+2）2＝8即圆心（﹣1-2）半径r＝2∴圆心到直线x+y+1＝22．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答23．【解析】【分析】【详解】由题意在上单调递减又是偶函数则不等式可化为则解得24．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则25．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为sin cos cos a b c A B C==，所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== , 即ABC 为等腰直角三角形.故选：B .解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．4．B解析：B 【解析】 【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D .【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项.依题意01a b <<<，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11ln ln a b>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11a b>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.6．D解析：D 【解析】 【分析】先利用等差数列的求和公式得出S 2019=2019(a 1+a 2019)2=6057，再利用等差数列的基本性质得出a 2+a 2018=a 1+a 2019=6，再将代数式a 2+a 2018和1a 2+4a 2018相乘，展开后利用基本不等式可求出1a 2+4a2018的最小值.【详解】由等差数列的前n 项和公式可得S 2019=2019(a 1+a 2019)2=6057，所以，a 1+a 2019=6，由等差数列的基本性质可得a 2+a 2018=a 1+a 2019=6， ∴6(1a 2+4a2018)=(a 2+a 2018)(1a 2+4a2018)=5+4a 2a2018+a 2018a 2≥5+2√4a 2a2018⋅a 2018a 2=9，所以，1a 2+4a2018≥96=32，当且仅当4a 2a 2018=a 2018a 2，即当a 2018=2a 2时，等号成立，因此，1a 2+4a2018的最小值为32，故选：D.【点睛】本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。

2022-2023学年四川省成都市高一下学期期末数学试题一、单选题1．若点(),0a 是函数πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，则a 的值可以是（）A ．π3B ．π2C ．π6-D ．π3-【答案】C【分析】根据正弦函数的对称中心可求出结果.【详解】依题意可得ππ6a k +=，Z k ∈，所以ππ6a k =-，Z k ∈，当0k =时，π6a =-.故选：C 2．复数31()1z i i-=+(i 为虚数单位)，则其共轭复数z 的虚部为（）A ．1-B ．i -C ．1D ．i【答案】A【分析】根据复数的乘法及除法运算求出z ，得到z ，即可求解.【详解】∵()()()2i 11i 2111i i i i i 2---===-++-,()3i iz ∴=-=∴i z =-∴z 的虚部为1-故选：A3．已知,a b →→为单位向量，且(2)a b b →→→-⊥，则2a b →→-=（）A ．1B ．3C ．2D ．5【答案】B【解析】先根据(2)a b b →→→-⊥得221a b b →→→⋅==，再根据向量模的公式计算即可得答案.【详解】因为,a b →→为单位向量，且(2)a b b →→→-⊥，所以20a b b →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，所以221a b b →→→⋅==，所以22222443a b a b a a b b →→→→→→→→-=-=-⋅+=.故选：B .【点睛】本题考查向量垂直关系的向量表示，向量的模的计算，考查运算能力，是基础题.4．若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（）A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】D【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可得到答案.【详解】ππ3cos cos 445αα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22ππ37cos 22cos 12144525αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且ππcos 2cos 2sin 242ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D.5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B ．若m n ∥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥C ．若m n ⊥，m α∥，n β∥，则αβ∥D ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβ∥【答案】C【分析】根据平行线的性质，结合垂直的性质、平面平行的性质逐一判断即可.【详解】因为m α⊥，n β⊥，若m ，n分别在直线,m n 上为平面α，β的法向量，且m n ⊥ ，故αβ⊥，所以选项A 说法正确；因为//m n ，m α⊥，所以n α⊥，而//n β，因此αβ⊥，所以选项B 说法正确；当αβ⋂时，如下图所示：也可以满足m n ⊥，//m α，//n β，所以选项C 说法不正确；因为//m n ，m α⊥，所以n α⊥，而n β⊥，所以//αβ，因此选项D 说法正确，故选：C6．记函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若ππ42T <<，且()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ω=（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】分析可知函数()f x 的图象关于直线π3x =对称，可得出()31k k ω=+∈Z ，再利用函数()f x 的最小正周期求出ω的取值范围，即可得出ω的值.【详解】对任意的x ∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 的最大值或最小值，故函数()f x 的图象关于直线π3x =对称，故()ππππ362k k ω+=+∈Z ，解得()31k k ω=+∈Z ，又因为0ω>且函数()f x 的最小正周期T 满足ππ42T <<，即π2ππ42ω<<，解得48ω<<，故7ω=.故选：D.7．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为（）A ．2530πB ．3016πC ．3824πD ．4350π【答案】A【分析】根据球、圆柱、圆台的体积公式可求出结果.【详解】根据题意，该组合体的直观图如图所示：半球的半径为9米，圆柱的底面半径为9米，母线长为14米，圆台的两底面半径分别为9米和1米，高为30米.则()3314π9486πm 23V =⨯⨯⨯=半球，()239141134m V ππ=⨯⨯=圆柱，()()22319911π30910πm 3V =⨯+⨯+⨯=圆台，所以()3486π1134π910π2530πm V V V V =++=++=半球圆柱圆台.故选:A.8．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB =，4AC =，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最小值为（）A ．0B ．165-C ．245-D ．565-【答案】C【分析】由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解【详解】设AD 为斜边BC 上的高，则圆A 的半径222445,24255416r AD BC ⨯====+=+，设E 为斜边BC 的中点，,PA AE θ=，则[]0,πθ∈，因为455PA = ，5AE = ，则()()()21625PB PC PA AB PA AC PA PA AB AC PA AE ⋅=+⋅+=+⋅+=+⋅ 16451625cos 8cos 555θθ=+⨯⨯=+，故当πθ=时，PB PC⋅ 的最小值为1624855-=-.故选：C.二、多选题9．下列说法中错误的是（）A ．已知()1,3a =- ，()2,6b =- ，则a 与b可以作为平面内所有向量的一组基底B ．已知()()1,3,0,1a b =-=，则a 在b 上的投影向量的坐标是()0,3-C ．若两非零向量a ，b满足a b a b +=- ，则a b⊥ D ．平面直角坐标系中，()1,1A ，()3,2B ，()4,0C ，则ABC 为锐角三角形【答案】AD【分析】利用基底定义判断选项A ；利用向量数量积定义判断选项B ；利用向量垂直充要条件判断选项C ；利用向量夹角定义判断选项D.【详解】选项A ：已知()1,3a =- ，()2,6b =- ，则2a b = ，则//a b ，则a 与b不可以作为平面内所有向量的一组基底，故A 错误；选项B ：a 在b 上的投影向量为()()2210310,1031a b b b ⋅⨯-⨯==- ，，故B 正确；选项C ：若两非零向量a ，b满足a b a b +=- ，则22a b a b+=- 即()()22a ba b +=-，整理得0a b ⋅=，则a b ⊥ ，故C 正确；选项D ：平面直角坐标系中，()1,1A ，()3,2B ，()4,0C ，则(2,1)BA =--，(1,2)BC =- ，则220BA BC ⋅=-+=，则BA BC ⊥ ，则ABC 为直角三角形，故D 错误；故选：AD.10．复数z 在复平面内对应的点为Z ，原点为O ，i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A ．若12z z >，则2212z z >B ．若20z ≠，则1122z z z z =C ．若32i z =-+是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则19p q +=D ．若12i 2z ≤-≤，则点Z 的集合所构成的图形的面积为π【答案】BCD【分析】根据复数的概念、几何意义及其性质，对各个选项进行逐个检验即可得出结论.【详解】对于A ，令122i,1z z ==,满足12z z >,但2212z z <,，故A 错误；对于B,设1i,(,z a b a b =+∈R 且不同时为0)，()2i ,z c d c d =+∈R 12i i z a b z c d +=+()()()()i i i i a b c d c d c d +-=+-()22i ac bd bc ad c d ++-=+22221()()ac bd bc ad c d=++-+()()2222221a bc dc d =+++2222a b c d+=+12z z =，故B 正确；对于C ，32i z =-+，且z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根,32i z ∴=--也是关于x 的方程20x px q ++=的另一个根,()()()32i 32i ,32i 32i p q ⎧-++--=-⎪∴⎨-+--=⎪⎩解得6,13p q ==，故19p q +=,故C 正确,对于D,设i,,z a b a b =+∈R ,则()()222i 2i 2z a b a b -=+-=+-,故221(2)2a b ≤+-≤,圆22(2)2x y +-=的面积为2π,圆22(2)1x y +-=的面积为π,故点Z 的集合所构成的图形的面积为2πππ-=,故D 正确.故选:BCD.11．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且23a =，233AB AC S ⋅= ，下列选项正确的是（）A ．π3A =B ．若ABC 有两解，则b 取值范围是()23,4C ．若ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是[]2,4D ．若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为3【答案】ABD【分析】根据向量运算结合面积公式得到π3A =，A 正确；根据sin b A a b <<，代入数据则可判断B 正确；确定ππ62B <<，计算()4sin 2,4b B =∈，C 错误；利用均值不等式结合余弦定理得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：233AB AC S ⋅= ，故231cos sin 32cb A bc A =⨯，故tan 3A =，()0,πA ∈，所以π3A =，故A 正确；对选项B ：若△ABC 有两解，则sin b A a b <<，即3232b b <<，则()23,4b ∈，故B 正确；对选项C ：ABC 为锐角三角形，则π02B <<，ππ32A B B +=+>，故ππ62B <<，则1sin 12B <<，sin sin b a B A=，故()sin 4sin 2,4sin a B b B A ==∈，故C 错误；对选项D ：若D 为BC 边上的中点，则()12AD AB AC =+ ，故()()()2222221112cos 444AD AB AC c bc A b b c bc =+=++=++ ，又222222cos 12a b c bc A b c bc =+-=+-=，2212b c bc +=+，由基本不等式得22122b c bc bc +=+≥，当且仅当23b c ==时等号成立，故12bc ≤，所以()21112336942AD bc bc bc ⎡⎤=++=+≤+=⎣⎦ ，故3AD ≤ ，正确；故选：ABD.12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11B C ，1BB 的中点，G 为面对角线1A D 上的一个动点，则（）A ．三棱锥1B EFG -的体积为定值B ．线段1A D 上存在点G ，使1AC ⊥平面EFG C ．线段1AD 上存在点G ，使平面//EFG 平面1ACD D ．设直线FG 与平面11ADD A 所成角为θ，则sin θ的最大值为223【答案】ABD【分析】对于A 选项，利用等体积法判断；对于B 、C 、D 三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】易得平面11//ADD A 平面11BCC B ，所以G 到平面11BCC B 的距离为定值，又1B EF S △为定值，所以三棱锥1G B EF -即三棱锥1B EFG -的体积为定值，故A 正确．对于B,如图所示,以D 为坐标原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系,则()2,0,0A ，()()2,2,0,0,0,0B D ,()0,2,0C ，()12,0,2A ，()10,0,2D ()()()10,2,2,1,2,2,2,2,1C E F ，所以()12,2,2A C =- ，()2,2,0AC =- ，()12,0,2AD =-，()1,0,1EF =- 设1DG DA λ=（01λ≤≤），则()2,0,2G λλ所以()21,2,22EG λλ=--- ，()22,2,21FG λλ=---1A C ⊥平面EFG 11A C EG A C FG ⎧⊥⎪⇔⎨⊥⎪⎩即()()()()()()()()221222220222222210λλλλ⎧--+⨯-+-⨯-=⎪⎨--+⨯-+-⨯-=⎪⎩解之得14λ=当G 为线段1A D 上靠近D 的四等分点时，1A C ⊥平面EFG .故B 正确对于C ，设平面1ACD 的法向量()1111,,n x y z =则1111111220220n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11x =得()11,1,1n =设平面EFG 的法向量()2222,,n x y z =,则()()22222220212220n EF x z n EG x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+-=⎪⎩取21x =,得21,,1243n λ⎛⎫= ⎪⎝-⎭ ,平面1ACD //平面EFG ⇔12//n n设12n kn = ,即()431,1,11,,12k λ-⎛⎫= ⎪⎝⎭,解得451,k λ==，01λ≤≤ ，不合题意∴线段1B C 上不存在点G ,使平面EFG //平面1BDC ，故C 错误．对于D ，平面11ADD A 的法向量为()0,1,0n =则22sin 8129FG n FG n θλλ⋅==-+ 因为22398129842λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭92≥所以22222sin 3981292θλλ=≤=-+所以sin θ的最大值为223．故D 正确．故选：ABD三、填空题13．若角α的终边上有一点()1,4P -，则tan 2α=．【答案】815【分析】先根据定义求出角α的正切，再利用二倍角公式求解.【详解】由题意得4tan 41α-==-，故()()22242tan 88tan 21tan 1161514ααα⨯--====----.故答案为：81514．记ABC 面积为3，60B =︒，223a c ac +=，则b =.【答案】22【分析】由三角形面积公式可得4ac =，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，13sin 324ABC S ac B ac === ，所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得22b =（负值舍去）.故答案为：22.15．如图，在三棱锥A BCD -中，1AB AC ==，AB AC ⊥，2AD =，AD ⊥平面ABC ，E 为CD 的中点，则直线BE 与AD 所成角的余弦值为.【答案】23【分析】利用线面垂直的性质定理，给合题设条件推得,,AD AB AC 两两垂直，从而将三棱锥A BCD -置于一个长方体中，再利用异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理即可求解.【详解】因为AD ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，，AC ⊂平面ABC ，所以AD AB ⊥，AD AC ⊥，又AB AC ⊥，所以,,AD AB AC 两两垂直，将三棱锥A BCD -置于一个长方体中，如图所示，易知//BF AD ，所以直线BE 与AD 所成角即为BF 与BE 所成角为FBE ∠（或其补角），由题意可知，2221321122BF BE FE ⎛⎫===++= ⎪⎝⎭，，在FBE 中，由余弦定理，得222222332222cos 323222BF BE FE FBE BF BE ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⋅⨯⨯，所以直线BE 与AD 所成角的余弦值为23.故答案为：23.16．在平面四边形ABCD 中，AB AC ⊥，3AC AB =，1AD CD ==，则BD 的最大值为.【答案】3【分析】设CAD α∠=，利用三角函数函数得2cos AC α=，再利用余弦定理结合三角恒等变换即可得到最值.【详解】设CAD α∠=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12cos ACADα=，代入数据得2cos AC α=，3AC AB = ，2cos 23cos 33AB αα∴==，在ABD △中运用余弦定理得222π2cos 2BD AB AD AB AD α⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭，即2224cos 2312cos 1sin 33BD ααα=++⨯⨯⨯224cos 2312cos 1sin 33ααα=++⨯⨯⨯41cos 223sin 21323αα+=⨯++223545cos 2sin 2sin 2333363πααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ7π2,666α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，所以当ππ262α+=，即π6α=时，2BD 的最大值为3，则BD 的最大值为3.故答案为：3.【点睛】关键点睛：本题的关键在于引角，设CAD α∠=，再利用三角函数和余弦定理得到222π2cos 2BD AB AD AB AD α⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭，最后结合诱导公式和三角恒等变换即可求出最值.四、解答题17．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 的图像向右平移π6个单位长度，再保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的12倍，得到()g x 的图像，求()g x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】(1)()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据给定的函数图像，利用“五点法”作图求解即可；（2）利用函数图像变换求出函数()g x 的解析式，再利用正弦函数的性质即可得解.【详解】（1）依题意，由图像得1A =，12πππ2362T =-=，解得πT =，又0ω>，则2π2πω==，所以()()sin 2f x x ϕ=+，因为点π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭在()f x 的图像上，则πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π32k ϕ+=+，Z k ∈，即π2π6k ϕ=+，Z k ∈，而π2ϕ<，则π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）依题意，()ππππ2sin 22sin 46666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π4666x -≤-≤，而函数sin y x =在ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此有π1sin 4,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．18．已知()1f x m n =⋅- ，其中()3,2cos m x = ，()()sin2,cos R n x x x =∈ .(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()2f A =，2a bc =，求11tan tan B C+的值.【答案】(1)πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)233【分析】（1）先用二倍角公式和辅助角公式化简，再由正弦函数的单调性可解；（2）根据已知先求角A ，再将目标式化弦整理，然后利用正弦定理和已知可得.【详解】（1）()1(3,2cos )(sin 2,cos )1f x a b x x x =⋅-=⋅- 2π3sin 22cos 13sin 2cos 22sin 26x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，得ππππ36k x k -≤≤+，Z k ∈所以()f x 的单调增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）∵()π2sin 26f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴πsin 16A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,πA ∈，ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴ππ62A +=，∴π3A =，∵2a bc =，则由正弦定理得2sin sin sin A B C =⋅．∴11cos cos sin cos cos sin tan tan sin sin sin sin B C C B C BB C B C B C ++=+=()2sin sin sin 1123πsin sin sin sin sin sin 3sin 3B C A A B CB C A A +======.19．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，2AD =，22DC =，四边形DCFE 为梯形，//DE CF ，CD DE ⊥，3DE =，6CF =，45ADE ︒∠=，平面ADE ⊥平面DCFE.(1)求证：//AE 平面BCF ；(2)求直线AC 与平面CDEF 所成角的正弦值；(3)求点F 到平面ABCD 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)66(3)32【分析】（1）由线面平行的判定定理可得//AD 平面BCF ，//DE 平面BCF ，再由面面平行的判定定理和性质定理可得答案；（2）作AO DE ⊥于O ，由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面ADE ，AO ⊥平面CDEF ，连结CO ，直线AC 与平面CDEF 所成角为ACO ∠，求出正弦值即可；（3）由（2）得AO ⊥平面CDEF ，又F ACD A CDF V V --=，可得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//BC AD ，BC ⊂平面BCF ，AD ⊄平面BCF ，所以//AD 平面BCF ，∵//DE CF ，CF ⊂平面BCF ，DE ⊄平面BCF ，所以//DE 平面BCF ，AD DE D ⋂=，,AD DE ⊂平面ADE ，∴平面//BCF 平面ADE ，∵AE ⊂平面BCF ，∴//AE 平面BCF.（2）∵平面ADE ⊥平面DCFE ，平面ADE 平面DCFE DE =，CD DE ⊥ ，CD ⊂平面DCFE ，CD \^平面ADE ，AD ⊂ 平面ADE ，CD AD ∴⊥，()222222223AC AD CD ∴=+=+=，作AO DE ⊥于O ，分别连接,,AC AO CO ，因为平面ADE ⊥平面DCFE ，平面ADE 平面DCFE DE =，AO ⊂平面ADE ，所以AO ⊥平面CDEF ，连结CO ，所以直线AC 与平面CDEF 所成角为ACO ∠，45ADE ∠= ，∴22ADAO ==，所以26sin 623AO ACO AC ∠===．直线AC 与平面CDEF 所成角的正弦值为66；（3）连接DF 由（2）得AO ⊥平面CDEF ，又F ACD A CDF V V --=，所以距离CDF ACDS AOd S ⋅=，又由已知可得116226222CDF S CF CD =⋅=⨯⨯=，1222222ACD S =⨯⨯=，2AO =，所以6223222d ⨯==．20．为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地（ABC 区域）进行分区改造.BNC 区域为蔬菜种植区，CMA 区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，MNC 区域规划为学生自主栽培区.MNC 的周围将筑起护栏.已知20m AC =，40m AB =，60BAC ∠=︒，30MCN ∠=︒.(1)若10m AM =，求护栏的长度（MNC 的周长）；(2)学生自主栽培区MNC 的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由.【答案】(1)()30103m +(2)有，()230023m-【分析】（1）利用余弦定理证得AM CM ⊥，从而判断得ANC 是正三角形，由此得解；（2）在ANC 与ACM △中，利用正弦定理求得CN 与CM 关于θ的表达式，从而利用三角形的面积公式得到CMN S 关于θ的表达式，再结合三角函数的最值即可得解.【详解】（1）依题意，在AMC 中，20m AC =，10m AM =，60BAC ∠=︒，所以2222cos 300CM AM AC AM AC A =+-⋅=，则03m 1CM =，222AC CM AM =+，即AM CM ⊥，所以30ACM ∠=︒，又30MCN ∠=︒，故60ACN ∠=︒，所以ANC 是正三角形，则20m CN AN AC ===，10m MN AN AM =-=，所以护栏的长度（MNC 的周长）为()30103m CM CN MN ++=+.（2）学生自主栽培区MNC 的面积有最小值()230023m -，理由如下：设ACM θ∠=(060θ︒<<︒)，在ANC 中，30MCN ∠=︒，则()180603090ANC θθ∠=︒-︒-+︒=︒-，由正弦定理得()20sin 60sin 90cos CN AC θθ==︒︒-，得103cos CN θ=，在ACM △中，18060120CMA θθ∠=︒-︒-=︒-，由正弦定理得()sin60sin 120CM AC θ=︒︒-，得()103sin 120CM θ=︒-，所以()1300sin 3024sin 120cos CMN S CM CN θθ=⋅⋅︒=︒- ()23003004sin120cos cos120sin cos 2sin cos 23cos θθθθθθ==︒-︒+()300300sin 23cos 232sin 2603θθθ==+++︒+，所以当且仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，CMN 的面积取得最小值为()23300020233m =-+﹒21．如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，4AB =，2BC =，D 是AC 中点，作DE AB ⊥于E ，将ADE V 沿直线DE 折起到PDE △所处的位置，连接PB ，PC ，如图2.(1)若342PB =，求证：PE BC ⊥；(2)若二面角P DE A --为锐角，且二面角P BC E --的正切值为269，求PB 的长.【答案】(1)证明见解析(2)11【分析】（1）利用勾股定理推得BE PE ⊥，从而利用线面垂直的判定定理证得PE ⊥平面BCDE ，由此得证；（2）利用线面与面面垂直的判定定理求得二面角P DE A --与二面角P BC E --的平面角，从而利用勾股定理得到关于CG x =的方程，解之即可得解.【详解】（1）在图1中，90C ∠=︒，4AB =，2BC =，D 是AC 中点，所以30A =︒，23AC =，则3AD =，3322AE AD ==，52BE =，则32PE AE ==，又342PB =，所以222PE BE PB +=，则BE PE ⊥，因为DE AB ⊥，则PE DE ⊥，又,,DE BE E DE BE ⋂=⊂平面BCDE ，所以PE ⊥平面BCDE ，因为BC ⊂平面BCDE ，所以PE BC ⊥.（2）由题意知,DE BE DE PE ⊥⊥，,PE EB E PE ⋂=⊂平面,PEB EB ⊂平面PEB ，因而ED ⊥平面PEB ，则PEA ∠为二面角P DE A --的平面角（或补角），即PEA ∠为锐角，又ED ⊂平面BCDE ，因而平面PBE ⊥平面BCDE .作PH BE ⊥所在的直线于点H ，如图，又平面PBE ⋂平面BCDE BE =，PH ⊂平面PBE ，所以PH ⊥平面BCDE ，因为BC ⊂平面BCDE ，所以PH BC ⊥，作HG BC ⊥于点G ，连接PG ，又,,PH HG H PH HG =⊂ 面PHG ，故BC ⊥面PHG ，因为PG ⊂面PHG ，则BC PG ⊥，所以PGH ∠为二面角P BC E --的平面角（或补角），设PGH θ∠=，则26tan 9θ=，在ABC 中，30A =︒，设304CG x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则32,2,422AH x HE x HB x ==-=-，因而22933264,3(2)422PH x x x HG HB x ⎛⎫=--=-==- ⎪⎝⎭，在直角三角形PHG 中，26tan 9PH HG θ==，即2642693(2)x x x -=-，解得12x =或1611x =（舍去），此时2,3PHH B ==，从而2211PBPHH B =+=.22．在ABC 中，a ，b ，c ，分别是角A ，B ，C 的对边，请在①sin sin sin A C b c B a c--=+；②sin sin 2B Cc a C +=两个条件中任选一个，解决以下问题：(1)求角A 的大小；(2)如图，若ABC 为锐角三角形，且其面积为32，且12AM AC = ，2AN NB = ，线段BM 与线段CN相交于点P ，点G 为ABC 重心，求线段GP 的取值范围.【答案】(1)π3A =(2)113,612⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）若选①，先由正弦定理的边角互化，然后结合余弦定理即可得到结果；若选②，先由正弦定理的边角互化，再结合二倍角公式，即可得到结果.（2）用AB、AC 作为平面内的一组基底表示出AG ，再根据平面向量共线定理及推论表示出AP ，即可表示GP，利用面积公式求出2bc =，再由三角形为锐角三角形求出b 的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得．【详解】（1）若选①，因为sin sin sin A C b cB a c --=+，由正弦定理可得，a c b c b a c--=+，化简可得222a b c bc =+-，又因为2222cos a b c bc A =+-，则1cos 2A =，()0,πA ∈，故π3A =.若选②，因为sinsin 2B C c a C +=，由正弦定理可得，sin sin sin sin 2A C A C π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，且sin 0C ≠，则cos2sin cos 222A A A =，且cos 02A≠，所以1sin 22A =，其中π0,22A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π26A =，则π3A =.（2）由题意可得23AN AB = ，12AM AC =，所以()222111333233AG AB BG AB BM AB AM AB AB AC AB AB AC⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭ ，因为C 、N 、P 三点共线，故设()()2113AP AN AC AB AC λλλλ=+-=+-，同理M 、B 、P 三点共线，故设()()1112AP AB AM AB AC μμμμ=+-=+- ，则()231112λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3412λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1124A AB A PC =+ ，则()11111112243361212GP AP AG AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=-=-⎪⎝⎭，因为13sin 22ABC S bc A == ，所以2bc =，又因为ABC 为锐角三角形，当C 为锐角，则0AC BC ⋅> ，即()22102A AC AC A C AC AB B b bc -⋅⋅==>--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即22b c b>=，所以1b >；当B 为锐角，则0AB CB ⋅> ，即()22102A AB AB A B AC AB C c bc -⋅=⋅=>--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，则2c b >，即22b b⋅>，所以02b <<；综上可得12b <<，又因为1212GP AB AC =⋅-，则()222222222216144|2444|4||424GP AB ACAB AB AC AC AB AB AC AC c bc b b b=-=-⋅+=-⋅+=-+=-+ ，因为12b <<，则214b <<，且()164f x x x=-+在(1,4)上单调递减，()()113,44f f ==，所以()()4,13f x ∈，即()22216144||44,13GP b b=-+∈uuu r ，所以113,612GP ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．。

2020-2021成都市高一数学下期末试卷含答案一、选择题1．已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为6π，则a b +=（ ） A ．2B ．7C ．2D ．12．ABC 中，已知sin cos cos a b cA B C==，则ABC 为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形3．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()22ab>B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b> 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．47．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 8．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）9．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为 A ．6B ．19C ．21D ．4511．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10D ．1或1112．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90二、填空题13．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22nn n S a =-，则n S =__________．14．设a ＞0，b ＞03a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__． 15．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 时，()21x f x =-，则()2log 11f =______.16．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________． 17．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．18．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．19．已知点()M a b ，在直线3415x y +＝_______． 20．设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.三、解答题21．解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R -++>∈.22．已知圆O ：x 2+y 2=2，直线．l ：y=kx-2． （1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围； （3）若1k 2=，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，探究：直线CD 是否过定点．23．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)13,14，第二组[)14,15，⋅⋅⋅，第五组[]17,18.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知[)[],13,1417,18.m n ∈⋃求事件“1m n ->”发生的概率.24．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且22AB =时，求直线的方程.25．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且23n s n n =+；（1）求它的通项n a .（2）若12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .26．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()1,2b =， 所以||1a =，||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+137=++=， 所以7a b +=，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为sin cos cos a b c A B C==，所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== , 即ABC 为等腰直角三角形.故选：B .3．D解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．4．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22,22⎛ ⎝⎭，2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项. 【详解】依题意01a b <<<，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11ln ln a b>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11a b>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.6．B解析：B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．7．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.8．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.9．D解析：D 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】函数()lg f x x x =的定义域为{}0x x ≠，定义域关于原点对称，()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D. 【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.10．C解析：C 【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：51x y x y +=⎧⎨-+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,3A ，据此可知目标函数的最大值为：max 35325321z x y =+=⨯+⨯=.本题选择C 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.11．A解析：A 【解析】试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0， 因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5， 解得λ=﹣3或7 故选A考点：直线与圆的位置关系．12．A解析：A 【解析】 【分析】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解． 【详解】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,因为正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 所以1,BO AC BO AA ⊥⊥，因为1AC AA A ⋂=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角， 因为222113131(),(2)()2222BO C O =-==+=， 所以11332tan 332BO BC O OC ∠===， 所以0130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．二、填空题13．【解析】分析：令得当时由此推导出数列是首项为1公差为的等差数列从而得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是首项为1公差为的等差数列可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中解析：*2()n n S n n N =∈【解析】分析：令1n =，得12a =，当2n ≥ 时，11122n n n S a ---=-，由此推导出数列{}2n na 是首项为1公差为12的等差数列，从而得到()112n n a n -+＝，从而得到n S . 详解：令1n =，得11122a a =-，解得12a = ，当2n ≥ 时，由22n n n S a =-），得11122n n n S a ---=-，两式相减得()()1112222,nn n n n n n a S S a a---=-=--- 整理得111222n n n n a a ---=，且111,2a = ∴数列{}2n n a是首项为1公差为12的等差数列， ()111,22n n a n ∴=+- 可得()112,n n a n -=+ 所以()12221222.nn n nn n S a n n -⎡⎤=-=+-=⋅⎣⎦点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．14．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键 解析：【解析】由已知0,0a b >>33a 与b 的等比中项，则233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．15．【解析】【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题 解析：511-【解析】 【分析】易得函数周期为4，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数为奇函数可得222111616log log log 161111f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由01x 时，()21xf x =-即可求解 【详解】()()(2)()4(2)4f x f x f x f x f x T +=-⇒+=-+=⇒=，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 又222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，[]216log 0,111∈，则216log 112165log 211111f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：511- 【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题16．9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=pab=q 再由ab ﹣2这三个数可适当排序后成等差数列也可适当排序后成等比数列列关于ab 的方程组求得ab 后得答案【详解】由题意可得：a+b=p解析：9 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案． 【详解】由题意可得：a+b=p ，ab=q ， ∵p＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列， 可得①或②． 解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题． 【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．17．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.18．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可解析：3. 【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得cos A =，进一步求得bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =， 所以A为锐角，且cos 2A =，从而求得3bc =， 所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===.【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于解析：3 【解析】 【分析】()0,0到点(),a b 的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果. 【详解】()0,0到点(),a b 的距离，又∵点(),M a b 在直线:3425l x y +=()0,0到直线34150x y +-=的距离，且3d ==.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型.20．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立解析：92. 【解析】 【分析】把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+，再利用基本不等式求最值． 【详解】由24x y +=，得24x y +=≥，得2xy ≤(1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立．故所求的最小值为92． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．三、解答题21．a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【解析】 【分析】讨论a 与0的大小，将不等式进行因式分解，然后讨论两根的大小，即可求出不等式的解集． 【详解】当0a =时，原不等式可化为10x -+>，所以原不等式的解集为{|1}x x <. 当0a ≠时，判别式()()22141a a a ∆=+-=-.（1）当1a =时，判别式0∆=，原不等式可化为2210x x -+>， 即()210x ->，所以原不等式的解集为{|1}x x ≠. （2）当0a <时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，此时11a<，所以原不等式的解集为1{|1}x x a <<.（3）当01a <<时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a >，所以原不等式的解集为1{|1}x x x a或. （4）当1a >时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a<， 所以原不等式的解集为1{|1}x xx a或. 综上，a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【点睛】本题主要考查了含有字母系数的不等式求解问题，解题的关键是确定讨论的标准，属于中档题．22．（1）k=±1；（2）（1-）∪（13）直线CD 过定点（112-，）． 【解析】 【分析】（1）由直线l 与圆O 相切，得圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径，由此能求出k ．（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k 的取值范围．（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设P （t ，122t -），其方程为221202x tx y t y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，求出直线CD ：（x+y 2）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD 过定点（1,12-）． 【详解】解：（1）∵圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y=kx-2．直线l 与圆O 相切， ∴圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径， 即=，解得k=±1．（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，整理，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0， ∴1224k x x 1k +=+，1222x x 1k =+， △=（-4k ）2-8（1+k 2）＞0，即k 2＞1， 当∠AOB 为锐角时，OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1-2）（kx 2-2）=()()212121kx x2k x x 4+-++=2262k 1k-+＞0，解得k 2＜3，又k 2＞1，∴k 1-＜或1＜k． 故k 的取值范围为（1-）∪（1（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设P （t ，1t 22-），其方程为x （x-t ）+y （y 1t 22-+）=0， ∴221x tx y t 2y 02⎛⎫-+--=⎪⎝⎭， 又C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上， 两圆作差得l CD ：tx+1t 2y 202⎛⎫--=⎪⎝⎭，即（x+y 2）t-2y-2=0，由y 0{?2220x y +=+=，得1{?21x y ==-，∴直线CD 过定点（112-，）． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 23．（1）29人；（2）35． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，良好即第二三两组，计算出第二三两组的频率即可算出人数；（2）结合频率分布直方图，计算出[)[]13,1417,18，两组的人数，1m n ->即两位同学来自不同的两组，利用古典概型求解概率即可. 【详解】（1）由直方图知，成绩在[14,16)内的人数为：500.20500.3829⨯+⨯=（人）， 所以该班成绩良好的人数为29人；（2）由直方图知，成绩在[13,14)的人数为500.063⨯=人； 成绩在[17,18]的人数为500.042⨯=人；.事件“1m n ->”发生即这两位同学来自不同的两组， 此题相当于从这五人中任取2人，求这两人来自不同组的概率其概率为11232563105C C P C ===. 3(1)5P m n ->=【点睛】此题考查用样本的频率分布估计总体分布；利用频率直方图求相关数据；古典概型及其概率的计算． 24．（1）34a =-；（2）20x y -+=或7140x y -+=. 【解析】 【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程. 【详解】（1）圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心C 的坐标为()0,4，半径长为2，当直线l 与圆C2=，解得34a =-；（2）由题意知，圆心C 到直线l的距离为d ==由点到直线的距离公式可得d ==2870a a ++=，解得1a =-或7-.因此，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题.25．（1）22n a n =+（2）12n n T n +=•【解析】 【分析】（1）由2S 3n n n =+，利用n a 与n S 的关系式，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得2(1)nn b n =+，利用乘公比错位相减法，即可求得数列{}n b 的前n 项和.【详解】（1）由2S 3n n n =+，当1n =时，11S 4a ==；当1n >时，2213(1)3(1)n n n a S S n n n n -=-=+----22n =+，当1n =也成立， 所以则通项22n a n =+；（2）由（1）可得2(1)nn b n =+，-123223242(1)2n n T n =•+•+•+++•，231222322(1)2n n n T n n +=•+•++•++•，两式相减得2314(222)(1)2n n n T n +-=++++-+21112(12)4(1)2212n n n n n -++-=+-+=--所以数列{}n b 的前n 项和为12n n T n +=•.【点睛】本题主要考查了数列n a 和n S 的关系、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，着重考查了的逻辑思维能力及基本计算能力等. 26．（1）0.3；（2）3.6万；（3）2.9. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x 的值.试题解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04， 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1， 解得a=0.30．（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12． 由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 300 000×0.12="36" 000．（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85， 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85， 所以2.5≤x<3．由0.3×(x –2.5)=0.85–0.73， 解得x=2.9．所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 【考点】 频率分布直方图 【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．。

四川省成都市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量(2,1)a =-，则||(a = )AB ．1C ．2D ．5〖解 析〗(2,1)a =-，||41a ∴=+〖答 案〗A 2．22cos sin (88ππ-= )A ．12B ．2C D ．2-〖解 析〗22cos sin cos884πππ-==． 〖答 案〗B3．等差数列{}n a 中，若11a =-，45a =，则公差(d = ) A ．2B ．3C ．4D ．5〖解 析〗由等差数列的通项公式可得41241a a d -==-． 〖答 案〗A4．若||1a =，||3b =，32a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π〖解 析〗设向量a 与b 的夹角为θ，[0θ∈，]π，||1a =，||3b =，32a b ⋅=，∴312cos 132||||a b a b θ⋅===⨯，∴3πθ=． 〖答 案〗C5．已知l ，b ，c 为空间中三条不同的直线，α为空间中一个平面，若b ，c α⊂，l b ⊥，l c ⊥，则l 与α的关系是( )A ．l α⊥B ．//l αC ．l 在α内D ．不确定〖解 析〗若b ，c α⊂，l b ⊥，l c ⊥，当b 与c 相交时，l α⊥，故A 正确；若b ，c α⊂，l b ⊥，l c ⊥，当//b c 时，//l α或l 在α内，故BC 正确． 〖答 案〗D6．tan 45tan1545tan15(︒-︒-︒︒= )AB 2C ． D〖解 析〗tan 45tan1545tan15︒-︒︒︒tan(4515)(1tan 45tan15)45tan15=︒-︒+︒︒-︒=． 〖答 案〗D7．下列说法正确的是( )A ．若0a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角一定为直角B ．等比数列前n 项和公式为11n n a a qS q-=-C ．sin15cos15︒>︒D ．圆台（棱台）体积公式为1()3V S S h '=（其中S '，S 分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高）〖解 析〗A ．若0a b ⋅=时，当a 、b 均不为零向量时，a 与b 的夹角一定为直角，但是若a 、b 至少有一个为零向量，根据零向量的方向任意的，则不能得到它们夹角为直角，故A 错． B ．等比数列的前n 项和公式分1q =或1q ≠两种情况，当1q =时，1n S na =，故B 错． C ．跟据正余弦函数在[0︒，90]︒内的单调性并结合sin45cos45︒=︒可知，sin y x =在[0︒，45]︒，cos y x =在[0︒，45]︒由1，故sin15cos15︒<︒，故C 错．D ．圆台（棱台）体积公式为1()3V S S h '=（其中S '，S 分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高）正确． 〖答 案〗D8．已知α，β都是锐角，若4cos 5β=，12cos()13βα+=，则cos (α= ) A ．865 B ．6365 C ．3365 D ．3365-〖解 析〗α，β都是锐角，4cos 5β=，12cos()13βα+=，3sin 5β∴，5sin()13βα+==，1245363cos cos()cos()cos sin()sin 13513565αβαββαββαβ∴=+-=+++=⨯+⨯=． 〖答 案〗B9．如图，两个正方形ABCD ，ADEF 不在同一个平面内，点P ，Q 分别为线段EF ，CD 的中点，则直线FQ 与PB 的关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．不确定〖解 析〗因为//AD BC ，//AD EF ，//CB EF ∴，所以B ，C ，F ，E 四点共面，即BC ，EF 确定平面BCEF ， 又P EF ∈，B BC ∈，故直线BP ⊂平面BCEF ，又直线FQ ，F ∈平面BCEF ，Q ∉平面BCEF ，故直线FQ ⊂/平面BCEF ， 又F BP ∉，故直线FQ 与PB 的关系是异面． 〖答 案〗C10．已知在递减等比数列{}n a 中，2518a a +=，2532a a ⋅=，若1n a =，则(n = ) A ．6B ．7C ．8D ．9〖解 析〗由2518a a +=，2532a a ⋅=，得25216a a =⎧⎨=⎩或25162a a =⎧⎨=⎩．{}n a 是递减数列，∴25162a a =⎧⎨=⎩．35218a q a ∴==，即12q =．∴2262116()212n n n n a a q ---==⨯==，解得6n =．〖答 案〗A11．三棱锥B ACD -的顶点都在同一球面上，其中BA ，BC ，BD 两两垂直，且3BA =，4BC =，5BD =，则该球的表面积为( )A ．100πB ．64πC ．50πD ．36π〖解 析〗因为BA ，BC ，BD 两两垂直，则以BA ，BC ，BD 为长方体的三条棱，可得长方体的对角线为外接球的直径，设直径为2R ，3BA =，4BC =，5BD =，则2R == 所以224(2)50S R R πππ===球． 〖答 案〗C12．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，56ADC π∠=，3BCD π∠=，3BE EC =，CD =，BE =，若点F 为边AD 上的动点，则EF BF ⋅的最小值为( )A ．1B ．1516C ．3132D ．2〖解 析〗以B 为原点，BC 、BA 分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，连接DE ，则B (0,0)，E 0)，3BE EC =，BE =，CE ∴=23CD =，3BCD π∠=，DE CE ∴⊥，即2DEC π∠=，得1DE =，6EDC π∠=，过点D 作DG AB ⊥于点G ，则DG BE ==D 1)，56ADC π∠=，6ADG π∴∠=，1AG ∴=，点(0,2)A ，∴直线AD 的方程为2y -=，即2y =+，由于点F 是边AD 上的动点，不妨设点(,2)F t +，[0t ∈，则(EF t =，2)+，(,2)BF t =+，∴22415((2)(316EF BF t t t ⋅=++=-+，[0t ∈，当t =EF BF ⋅取得最小值，为1516． 〖答 案〗B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知向量(1,2)a =，(,6)b x =，且//a b ，则x = ．〖解 析〗向量(1,2)a =，(,6)b x =，且//a b ，162x ∴⨯=，解得3x =． 〖答 案〗314，底面半径为2，则其体积为 ．〖解 析〗圆锥的底面积224S ππ=⨯=，则圆锥的体积11433V Sh π==⨯=．〖答 15．如图，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的13为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的13擦掉，得到第2个图形，重复上面的步骤，得到第3个图形，这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线，又名“雪花曲线”．根据图可知，第3个图形的边长为19，第4个图形的周长为 ．〖解 析〗第1个图形的边长为1，第2个图形的边长是第1个图形的边长的13，第3个图形的边长是第2个图形的边长的13，∴第3个图形的边长为：1111339⨯⨯=； 以一条边为例，原本的一条也被分成了3份，擦去1份，在擦掉的那条边上又衍出2条， 即原本的1条边变成现在的(31)24-+=条，翻了4倍，∴周长之间的关系为1114433n n n b b b --=⋅⋅=， {}n b ∴是公比为43q =的等比数列，首项13b =，∴第4个图形的周长为344643()39b =⨯=．〖答 案〗19；64916．在三棱锥A ﹣BCD 中，有AB ⊥AC ，AC ⊥AD ，AB ⊥AD ，且AB ＜AC ＜AD ，分别经过三条棱AB ，AC ，AD 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系是 （按从大到小顺序排列，并用“＞”号连接）． 〖解 析〗如图还原成长方体，连接AE ，CD 与AE 交于点O ，则平面ABO 将三棱锥体积平分，点C 到平面ABO 的距离，有，则，同理，而，∵AB ＜AC ＜AD ， ∴，因此S 3＞S 2＞S 1．〖答 案〗S 3＞S 2＞S 1三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知1e ，2e 是夹角为60︒的单位向量，设12a e te =+． （1）求12e e ⋅； （2）求||a 的最小值．解：（1）因为1e ，2e 是夹角为60︒的单位向量， 所以121211||||cos601122e e e e ⋅=︒=⨯⨯=；（2）因为12a e te =+，所以22222211221321()24a e te e t e t t t =+⋅+=++=++，当12t =-时，2a 取得最小值34，所以||a= 18．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且3a =，b =． （1）若4B π=，求角A ；（2）若 _____，求ABC ∆的面积．请从①sin2cos C C =，②c =2）中的条件补充完整，并作答（注意：只需选一个，若两个都选，则按所选的第一个计分）．解：（1）因为a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且3a =，b =，4B π=，由正弦定理，sin sin a b A B=，可得3sin A =3sin A ==，因为(0,)A π∈，所以3A π=或23π； （2）选①：sin2cos C C =，2sin cos cos C C C ∴=，∴1sin 2C =或cos 0C =，∴1sin 2ABC S ab C ∆=选②：222cos 2a b c C ab +-===，sin C ∴，∴11sin 322ABC S ab C ∆==⨯=． 19．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，13(*)n n a a n N +-=∈，且318S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（1）13n n a a +-=，∴数列{}n a 是以公差为3的等差数列．又318S =，13918a ∴+=，13a =，3n a n ∴=． （2）由（1）知1111()(3)3(1)91n b n n n n ==⨯-⨯++，123n n T b b b b ∴=++++11111111[(1)()()()]9223341n n =-+-+-++-+ 11(1)91n =-+99nn =+．20．（12分）设函数()2cos 2f x x x =+． （1）求()f x 的周期和最值；（2）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，f （B ）1=，4a =，b =2BD DA =，求线段CD 的长．解：（1）()2cos22sin(2)6f x x x x π+=+，可得()f x 的周期22T ππ==，可得()2max f x =，()2min f x =-； （2）因为f （B ）2sin(2)16B π=+=，所以1sin(2)62B π+=，因为(0,)B π∈，2(66B ππ+∈，13)6π，所以5266B ππ+=，可得3B π=，又4a =，b =所以由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得22214242c c =+-⨯⨯⨯，整理可得24120c c --=，解得6c =，或2-（舍去）， 又2BD DA =，6BD DA +=，所以2BD =，在BCD ∆中，由余弦定理可得CD ．21．（12分）在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面PAB ，点E ，F 分别在线段CB ，AP 上，且CE EB =，AF FP =．（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）若2AD AP PB ===，AP PB ⊥，求点D 到平面EFP 的距离． （1）证明：如图，取PD 的中点G ，连接GF ，GC ，在PAD ∆中，点G ，F 分别为PD ，AP 的中点，1//2GF AD ∴且12GF AD =，在矩形ABCD 中，E 为BC 的中点，1//2CE AD ∴且12CE AD =，//GF EC ∴且GF EC =，∴四边形GFEC 是平行四边形，//GC EF ∴，又GC ⊂平面PCD ，EF ⊂/平面PCD ，//EF ∴平面PCD ； （2）解：四边形ABCD 是矩形，AD AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面PAB ，AD BP ∴⊥， AP BP ⊥，ADAP A =，AD ，AP ⊂平面PAD ，BP ∴⊥平面PAD ，即BP 就是点B 到平面PAD 的距离，//BC AD ，即//BC 平面PAD ，∴点E 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离，又1112122PDF S PF AD ∆=⨯⨯=⨯⨯=，∴11212333E PDF PDF D EFP V S BP V -∆-=⋅=⨯⨯==， 同理可证CB ⊥平面PAB ，即CB AP ⊥， 且BP AP ⊥，CBBP B =，CB ，BP ⊂平面PCB ，AP ∴⊥平面PCB ，AP EP ∴⊥，即FP EP ⊥，∴11122EFP S FP EP ∆=⨯⨯=⨯，∴点D 到平面EFP 的距离为2133÷=． 22．（12分）数列在实际生活中有很多应用．例如某县城一位居民为了改善家庭的住房条件，决定重新购房．2022年7月1日，他来到了当地一个房屋交易市场，面对着房地产商林林总总的宣传广告，是应该购买一手商品房还是二手房呢，他一时拿不定主意．经过一番调查，这位居民收集到一些住房信息，然后在下表中列出了他的家庭经济状况和可供选择的方案：购房还需要贷款，这位居民选择了当地一家商业银行申请购房贷款．该银行的贷款评估员根据表格中的信息，向他提供了下列信息和建议：申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%，购房的首付款一般为实际购房总额的30%（最低20%)，贷款额一般为实际购房总额的70%，还款方式可选择等额本金还款，一般采用按季还款的方式，每季还款额可以分成本金部分和利息部分，其计算公式分别为：本金部分=贷款本金÷贷款期季数；利息部分=（贷款本金-已归还贷款本金累计额）⨯季利率．请用学过的数列知识帮这位居民算一算需要偿还的贷款总和，根据计算结果，你认为预选方案①、②到底哪个是他的最佳选择？阐述你的建议，并说明理由． 参考资料ⅰ．对于家庭经济收入的分配，国内外经济学家提供了下述参考标准：家庭收入的30%用于偿还购房贷款，30%用于投资储蓄，20%用于子女教育，20%用于日常开销．因此，偿还购房贷款的金额占家庭总收入的20%~30%为宜．ⅱ．月利率=年利率12÷，季利率=年利率4÷解：方案①：如果首付3.6万元（住房总价值的30%)，贷款8.4万元，季利率为5.04%4 1.26%÷=，以贷款期为15年为例，每季等额归还本金为84000(154)1400÷⨯=（元)，⨯=（元)，因为第1个季度利息为84000 1.26%1058.4+=（元)．所以第1个季度还款额为14001058.42458.4因为第60个季度的利息为(84000140059) 1.26%17.64-⨯⨯=（元)，+=（元)．所以第60个季度还款额为140017.641417.64根据等差数列求和公式得：前60个季度求和，共还款额为(2458.41417.64)602116281.2+⨯÷=（元)．÷=，方案②：如果首付4万元，贷款10.2万元，季利率为5.04%4 1.26%以贷款期为15年为例，每季等额归还本金为102000(154)1700÷⨯=（元)．⨯=（元)，因为第1个季度利息为102000 1.26%1285.2+=（元)．所以第1个季度还款额为17001285.22985.2因为第60个季度的利息为(102000170059) 1.26%21.42-⨯⨯=（元)，+=（元)．所以第60个季度还款额为170021.421721.42根据等差数列求和公式可得：前60个季度求和，共还款额为(2985.21721.42)602141198.6+⨯÷=（元)．所以建议选方案①，第一，因为家庭每月总收入3000元，所以季总收入为9000元，偿还购房贷款的金额占家庭总收入的20%~30%为宜，即每季度还款为1800~2700比较合适，方案②前十几个季度的还款额都超过了2700，会导致家庭生活压力较大；第二，方案②要比方案①多付利息(141198.6102000116281.284000)->-；第三，方案②中的房产是旧房，有折损，使用年限会缩短．11。

2023_2024学年四川省成都市高一下册期末考试数学模拟测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数为实数是“”成立的（ ）ii a b z +=a b ∈R 0a =A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数为实数的条件分析判断【详解】，22i i i i i i a b a b z b a ++===-当复数为实数时，，ii a b z +=a b ∈R 0a =当时，为实数，0a =(R)z b b =∈所以复数为实数是“”成立的充要条件，ii a b z +=a b ∈R 0a =故选：C2. 若将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积2cm 为（）A. B.C. D. 38cm 3cm 332πcm 3343πcm 【正确答案】D【分析】由题意可知制成的最大的球体恰好正方体的内切球，求出球的半径，从而可求出球的体积【详解】由题意可知制成的最大的球体恰好正方体的内切球，因为正方体的棱长为，所以其内切球的半径为，2cm 1cm所以制作的最大零件的体积为，2344π1πcm 33⨯=故选：D3. 设，是两个不共线的向量，且向量与是平行向量，则实数的a b2a b λ+ (31)a b λ-+ λ值为（）A. B. 1C. 1或D. 或23-23-1-23-【正确答案】C【分析】由共线向量定理结合题意求解即可.【详解】因为向量与是平行向量，2a b λ+(31)a b λ-+ 所以存在唯一实数，使，k ()(31)22a b k a b ka k bλλλ-+=+=+因为，是两个不共线的向量，a b所以，则，，3121k k λλ-=⎧⎨=⎩()312λλ-=2320λλ--=解得或，1λ=23λ=-故选：C4. 函数取得最小值时，的值为（ ）ππcostan (11)22y θθθ=-<<θA. B. 0C. D. 12-1223【正确答案】B【分析】根据正切函数的性质将函数转化为分段函数，分别确定各段的单调性，即可得函数取最小值时，的值.θ【详解】函数ππcostan (11)22y θθθ=-<<则当时，，10θ-<≤πππcostan sin 222y θθθ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭又，所以函数在上单调递减；ππ,022θ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦πsin2y θ=-(]1,0θ∈-当时，，所以函数在上单调递增；01θ<<πππcostan sin 222y θθθ==πsin 2y θ=()0,1θ∈所以当时，函数取得最小值.0θ=ππcostan (11)22y θθθ=-<<故选：B .5. 《九章算术商功》中提及的“鳖臑”现意为四个面均为直角三角形的三棱锥，则“鳖臑”中相互垂直的平面有（ ）对A. 4B. 3C. 2D. 1【正确答案】B【分析】利用线面垂直和面面垂直的判定定理判断.【详解】如果三棱锥有一个顶点处有3个直角，设，,,PA PB PA PC PB PC ⊥⊥⊥设，故,,PA a PB b PC c ===222222222,,,AB a b AC a c CB c b =+=+=+故，，，222AB AC CB +>222AB CB AC +>222CB AC AB +>从而为锐角三角形，与题设矛盾；ABC 若每个顶点处有均有一个直角，不妨设，,,,PA AB AB BC BCCP CP AP ⊥⊥⊥⊥将三棱锥沿展开，则展开后的四边形内角为凸四边形且其内角和大于，PB π42π2⨯=矛盾，综上，“鳖臑”对应的三棱锥必有一个顶点处有两个直角，如图所示：设，,,,PA AB PA AC AB BC PB BC ⊥⊥⊥⊥由，且，,PA AB PA AC ⊥⊥AB AC A ⋂=得平面ABC ，又平面PAB ，平面PAC ，PA ⊥PA ⊂PA ⊂所以平面平面ABC ，平面平面ABC ，PAB ⊥PAC ⊥由，且，,BC AB BC PB ⊥⊥AB PB B ⋂=得平面PAB ，又平面PBC ，BC⊥PA ⊂所以平面平面PAB ，PBC ⊥所以“鳖臑”中相互垂直的平面有3对，故选：B6. 已知点，，在所在平面内，且，N O P ABC 3PA PB PC PN ++=，，则点，，依次是的（222OA OB OC == PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅N O P ABC ）A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心、内心C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心【正确答案】A【分析】根据向量的运算逐个分析判断即可【详解】由，得，3PA PB PC PN ++= ()()()PA PN PB PN PC PN -+-+-= 所以，设的中点为，连接，则，0NA NB NC ++= AB D ND 2+= NA NB ND 所以，所以点在边上的中线上，同理可得也在的中线上，2NC DN =N AB N ,AC BC 所以点是的重心，N ABC由，得，所以到的三个顶点的距离相等，所以222OA OB OC == OA OB OC ==O ABC 为的外心，O ABC 由，得，所以，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ()0PB PA PC ⋅-= 0PB CA ⋅= 所以，所以，同理得，所以为的垂心，PB CA ⊥PB AC ⊥PC AB ⊥P ABC 故选：A7. 已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边ABC A BC a b c 2b =3c =的取值范围为（ ）a A. B.C.D.(1,5)()()⋃【正确答案】C【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答.【详解】因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：ABC 2b =3c =a ，222cos 02b c a A bc +-=<于是得，，解得，即222222313a b c >+=+=0a >a >5a b c <+=，5a <<所以最大边的取值范围是.a )故选：C8. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向(,)AB x y = (,)AB x y =θ量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+B A θ点．已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点P (1,2)A B A π3，则点的坐标为（）12,2P -B A.B.52,2-512⎛-+⎝C.D. 2,2-(12+-【正确答案】D 【分析】根据题意，设，由条件可得的坐标，然后列出方程，即可得到结果.(),B x y AP【详解】设，则，将点绕点沿顺时针方向旋转，(),B x y ()1,2AB x y =--B A π3即将点绕点沿逆时针方向旋转，B A 5π3可得，()()()()5π5π5π5π1cos 2sin ,1sin 2cos 3333AP x y x y ⎡⎤=----+-⎢⎥⎣⎦化简可得，，111,1222AP x y x y ⎡⎤⎛⎛⎫=+-+⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎣⎦ 又因为，33,2AP=--所以，解得，所以.1132213122x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩12x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩(12B -故选：D二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知的角，，所对的边分别为，，，，则ABC A B C a b c 2b ca =cos bB =下列说法正确的是（）A. B. 60B =︒0AB CB AC AB CB⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭C. 为等腰非等边三角形D. 为等边三角形ABC ABC 【正确答案】ABD【分析】A，利用正弦定理化简得到求解判断；BCD ，由cos b B =tan B =，，利用余弦定理求解判断.2b ca =60B =︒【详解】A.，则，cos b B =cos sin B B =tan B =60B =︒故正确；B. 因为，，所以，即，则，2b ca =60B =︒2221cos 22a c b B ac +-==2220+-=a c ac a c =所以是正三角形，所以，故正确；ABC 0AB CB AC AB CB⎛⎫ ⎪+⋅=⎪⎝⎭ C. 由B 知：为等边三角形，故错误；ABC D. 由B 知：为等边三角形，故正确.ABC 故选：ABD10. 已知三条不同的直线，，和三个不同的平面，，，下列说法正确的是（ l m n αβγ）A. 若，，则l α⊥m l ⊥//m αB. 若，为异面直线，且，，，，则m n n ⊂αm β⊂//m α//n β//αβC. 若，，则m l ⊥m βγ= l β⊥D .若，，，，，两两垂直，则，，也两两垂直l αβ= m βγ= n γα=I αβγl m n 【正确答案】BD【分析】对于A ，或；由线面平行的性质定理和面面平行的判定定理可判断//m αm α⊂B ；对于C ，不一定成立；用反证法可判断D.l β⊥【详解】若，，则或，故A 错误；l α⊥m l ⊥//m αm α⊂设，，因为，所以，m γ⊂m αγ'= //m α//m m '又，，所以，m β⊂m β'⊄//m β'又因为，为异面直线，，，，则直线与必相交，m n n ⊂α//n βm α'⊂n m '所以，故B 正确；//αβ若，，则不一定成立，故C 错误；m l ⊥m βγ= l β⊥若，，，，，两两垂直，l αβ= m βγ= n γα=I αβγ则，，必相交于同一点，l m n P 假设与不垂直，则存在直线，使得，，l m l 'l m '⊥l m P '= 所以直线与可确定平面，且，l 'm γ'γβ'⊥这说明过内的直线可作两个平面与垂直，而这是不可能的，βm β所以假设不成立，即，l m ⊥同理可证，，即，，两两垂直，故D 正确.l n ⊥m n ⊥l m n 故选：BD11. 正弦最初的定义（称为古典正弦定义）为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，BOC ∠(0,π)BC D BC 当圆心角时，的“古典正弦”除以的可能取值为（ ）π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭θtanθA. 1B. C. D. 02312【正确答案】BC【分析】根据古典正弦定义，的“古典正弦”除以为，利用倍角正弦、余弦θtan θ2sin2tan θθ公式，根据余弦函数的性质及函数单调性求最值即可．【详解】由题可得的“古典正弦”除以为：θtan θ22sin2sincos 2sin cos 2cos 1122222costan sin 22sincoscoscos2222θθθθθθθθθθθθθ-====-由于，所以，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π0,24θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 2θ⎫∈⎪⎪⎭令，则，所以设，cos 2t θ=t ⎫∈⎪⎪⎭2sin122tan y t t θθ==-t ⎫∈⎪⎪⎭由基本初等函数的单调性可知函数在上是增函数，函数在2y t =t ⎫∈⎪⎪⎭1y t =-上是增函数，t ⎫∈⎪⎪⎭则函数在上单调递增，12y t t =-t ⎫∈⎪⎪⎭所以，则的“古典正弦”除以为的取值范围为.()120,1y t t =-∈θtan θ2sin2tan θθ()0,1故选：BC.12. 在棱长为4的正方体中，，，，，分别是，，1111ABCD A B C D -E F G R S 11A B BD ，，的中点，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近11B D 1AC 11B C H 1C G G I CF 的三等分点，为底面上的动点，且面，则（ ）F P 1111D C B A //DP ACE A. //RI CHB. 三棱锥的外接球的球心到面的距离为H ABC -ABC 43C. 多面体为三棱台1EB S ABC -D. 在底面上的轨迹的长度是P 1111D C B A 【正确答案】ACD 【分析】在平面中，由中位线定理、平行直线判断定理，以及平行的传递性可得11AA C C ，可判断选项A 正确；确定三棱锥的外接球的球心在直线上位置，//RI CH H ABC -O FG 即可求出球心到面的距离，可判断选项B 错误；根据棱台的定义判断多面体ABC 为三棱台，可判断选项C 正确；找到过点与面平行的平面，即可找到1EB S ABC -D ACE 点的轨迹，可判断选项D 正确.D 【详解】根据题意，可知平面，RI CH ⊂、11AA C C 如图画出平面，取的中点，连接，11AA C C IC Q GQ FG 、在中，由中位线定理可知，1ACC △112RF CC =所以为中点，则在中，由中位线定理得，，R FG GFQ //RI GQ 由，得，1Rt GFQ Rt CC H @ 1GQF CHC Ð=Ð由平行线性质，1HCQ CHC Ð=Ð所以，可得HCQ GQF Ð=Ð//GQ CH 所以，选项A 正确；//RI CH依题意，由于为直角三角形，则其外心为点，ABC F 又因为平面，FG ⊥ABC 可知三棱锥的外接球的球心在直线上（如图），H ABC -O FG 设，由中，FO x =Rt OGH Rt OFC 、OH OC R ==得，即，()22224x FC x GH +=-+(()22224x x +=-+解得，，则球心到面的距离为，选项B 错误；109x =ABC 109由题意，可知平面平面，1//EB S ABC 延长，与交于点，与交于点，1BB CS AE 、、1BB CS K 1BB AE K '由于，且，1B S BC ∥112B S BC =所以为的中点，同理为的中点，1B BK 1B BK ¢所以与重合，即多面体三条侧棱交于一点，K K '1EB S ABC -故多面体为三棱台，选项C 则正确；1EB S ABC -取的中点，连接，1111A D C D 、N M 、MN DM DN 、、由题意易知，平面，平面，MN ES ∥ES ⊂ACE MN ⊄ACE 所以平面，同理平面，MN ACE DM ∥ACE 平面，平面，，MN ⊂DMN DM ⊂DMN MN DM M ⋂=所以平面平面，//DMN ACE 当点时，平面，所以平面，P MN ∈DP ⊂DMN DP ∥ACE则在底面上的轨迹为，且D 正确.P 1111D C B A MN MN =故选：ACD方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长．（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13. 在正三棱柱中，为棱的中点，，则异面直线与ABC A B C '''-D AC 2AB BB '==BD所成角的为__________．B C ''【正确答案】π6【分析】根据异面直线的定义结合正三棱柱的几何性质即可得为异面直线与DBC ∠BD 所成角，从而可得答案.B C ''【详解】正三棱柱中，ABC A B C '''-//BC B C''所以为异面直线与所成角DBC ∠BD B C ''又为正三角形，为棱的中点，所以ABC D AC π6DBC ∠=则异面直线与所成角的为.BD B C ''π6故答案为.π614. 已知两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为A B ，，则在上的投影向量为__________．(1,0)AS = (B S = A S B S【正确答案】14⎛ ⎝【分析】先求得与夹角的余弦值，再根据投影向量的定义求出在上的投影向量A SB S A S B S 即可．【详解】设与的夹角为，A SB S θ则，101cos 122A B A B S S S S θ⋅+===⨯⋅ 所以在上的投影向量为.A SB S11cos 1(24B A B S S S θ⋅=⨯= 故答案为.14⎛ ⎝15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形；为的中点．若，P ABCD -ABCD E PD 1AP =，，当三棱锥的体积取到最大值时，点到平面的距离AD =34=AB P ABCD -E PBC 为__________．【正确答案】##0.3310【分析】根据几何体性质结合体积分割求解三棱锥的体积，在根据等体积法可求解P ABE -点到平面的距离.E PBC 【详解】由题可得，当底面时，三棱锥的体积取到最大值PA ⊥ABCD P ABCD -如图，取中点，取中点，连接PA M AD N ,,EM EN AE因为底面，为的中点．为的中点，所以，PA ⊥ABCD E PD N AD //PA EN1122EN AP ==所以底面，则EN ⊥ABCD 11313342E ABCD ABCD V S EN -=⋅=⨯= 又由底面，底面，所以PA ⊥ABCD AD ⊂ABCD PA AD⊥因为矩形，则，又平面，所以平面ABCD AB AD ⊥,,PA AB A PA AB ⋂=⊂PAB AD ⊥PAB又为的中点．为的中点，所以，，则平E PD M PA //EMAD 12EM AD ==EM ⊥面PAB则111313324P ABE E PAB PAB V V S EM --==⋅=⨯⨯⨯=又1131334P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯=所以P BCE P ABCD E ABCD P ABE V V V V ----=--=-=又，因为平面，，所以平面，又54PB ==AD ⊥PAB //AD BC BC ⊥PAB 平面，所以，PB ⊂PAB BC PB ⊥设点到平面的距离为,E PBCh 所以，则.11153324P BCE E PBC PBC V V S h --==⋅=⨯⨯= 310h =故点到平面的距离为.E PBC 310故答案为.31016. 在中，若，，的内角平分线交边于点，ABC 12AB AC AB AC ⋅=- BD DC = BAC ∠BC E若，外接圆的直径为__________．6AD =AE =ABC【正确答案】【分析】根据可得，从而得，利用三角12AB AC AB AC ⋅=-2π3BAC ∠=π3BAE CAE ∠=∠=形面积公式可得，再利用，结合数量积的运算可得)bc b c =+6AD =，从而可得，利用余弦定理得，最后应用正弦定理即可得221440b c bc +--=bc a 外接圆的直径.ABC 【详解】又，所以，1cos 2AB AC AB AC BAC AB AC AB AC ⋅=⋅⋅∠=- 1cos 2BAC ∠=-因为，所以，则()0,πBAC ∠∈2π3BAC ∠=π3BAE CAE ∠=∠=又，所以ABE AEC ABC S S S =+ ，111sin sin sin 222AB AC BAC AB AEBAE AB AE CAE ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠则，整理得：①，111222bc b c =⨯+⨯)bc b c =+又，所以1122AD AB AC =+，1122AD AB AC =+==则，整理得②，6=221440b c bc +--=联立①②可得：，解得或（舍）()22411520bc bc --=48bc =24bc =-在中，由余弦定理可得ABC ，所以，222222cos 2144240a b c bc BAC b c bc bc =+-∠=++=+=a =设外接圆的半径为，由正弦定理可得ABCR 2sin a R BAC ===∠所以外接圆的直径为.ABC故答案为.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知，，，．(0,0)O (1,2)A (4,5)B ()OP OA t AB t R =+∈ （1）为何值时，点在轴上？t P y （2）若与的夹角是钝角，求的取值范围．OP AB t 【正确答案】（1）13t =-（2）21t <-【分析】（1）由，得到点P 的坐标，再根据点在轴上求解；OP OA t AB =+ P y （2）由，得到与不共线，再根据与的夹角是钝角，由3(31)3(32)t t +≠+OP AB OPAB 求解.0OP AB ⋅< 【小问1详解】解：由题意知：，，(1,2)OA = (4,5)(1,2)(3,3)AB =-= 所以，(1,2)(3,3)(31,32)OP OA t AB t t t =+=+=++ ．(31,32)P t t ∴++因为点在轴上，P y 所以，解得．310t +=13t =-【小问2详解】因为，3(31)3(32)t t +≠+所以与不共线．OP AB又与的夹角是钝角，OP AB 所以只需，0OP AB ⋅< 即，3(31)3(32)0t t +++<解得．21t <-18. 已知函数的最小值为．()ππsin sin cos 66f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3-（1）求函数的单调递减区间；()f x （2）英国数学家泰勒（B ．Taylor ，1685-1731）发现了如下公式：，其中，该公式被编入246cos 12!4!6!x x x x =-+-+ !(1)(2)321n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯ 计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：（结果精确到小数点后4位，参考数据：π13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，）51 2.5108!-≈⨯71 2.81010!-≈⨯【正确答案】（1）， π4π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈（2）0.0806【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简函数，进而根据正弦函数的性质即可求解；（2）结合诱导公式化简，进而结合泰勒公式求解即可.π12cos113f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【小问1详解】()ππππππsin sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin cos 666666f x x x x a x x x x x a ⎛⎫⎛⎫=-++++=-++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πcos 2sin 6x x a x a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭所以，即，()min 23f x a =-+=-1a =-所以，()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭令，，ππ3π2π2π262k x k +≤+≤+Z k ∈即，，π4π2π2π33k x k +≤≤+Z k ∈所以函数的单调递减区间，．()f x π4π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈【小问2详解】由（1）知，()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以，ππππ12sin 112sin 112cos113362f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由泰勒公式得：11111cos1110.50.041670.001390.0000250.000000280.540304722!4!6!8!10!=-+-+-+≈-+-+-+≈ ，所以．π12cos1120.5403047210.08063f ⎛⎫-=-≈⨯-≈ ⎪⎝⎭19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD ，为线段的中点，为线段上的动点，平面平2PA AB ==E PB F BC ADE 面．PBC l =（1）证明：；//l BC（2）若到平面的距离为1，求与平面所成角的最小值．l PAD AF PBC 【正确答案】（1）证明见解析 （2）π6【分析】（1）由已知得，再利用线面平行的判定定理和性质定理可证得结论；//BC AD （2）由到平面的距离为1，根据线面垂直的性质结合已知可得，再由线面l PAD BC AB ⊥垂直的判定可得平面，则，由等腰三角形的性质可得，则BC ⊥PAB BC AE ⊥AE PB ⊥平面，从而得为与平面所成角，然后在中求解即可.⊥AE PBC AFE ∠AF PBC AEF △【小问1详解】证明：因为底面为菱形，所以ABCD //BC AD因为平面，平面，BC ⊄ADE AD ⊂ADE 所以平面．//BC ADE 又平面，平面平面，所以．BC ⊂PBC ADE PBC l =//BC l 【小问2详解】因为，，所以，//BC l //BC AD //l AD l 不在面PAD 内，AD 在面PAD 内，所以平面，//l PAD 又到平面的距离为1，所以点到平面的距离为2．l PAD B PAD 因为底面，平面，所以平面底面，PA ⊥ABCD PA ⊂PAD PAD ⊥ABCD 又平面底面，PAD ⋂ABCD AD =所以点到平面的距离等于点到的距离，为2．B PAD B AD 又，所以．2AB =BC AB ⊥又因为，，平面，所以平面．BC PA ⊥AB PA A = ,AB PA ⊂PAB BC ⊥PAB 因为平面，所以．AE ⊂PAB BC AE ⊥又，为线段的中点，所以．2PA AB ==E PB AE PB ⊥又，平面，平面，所以平面．PB BC B ⋂=PB ⊂PBC BC ⊂PBC ⊥AE PBC所以为与平面所成角．AFE ∠AF PBC 又．tan AE AFE EF ∠==EF≤≤所以当．EF =tan AFE ∠所以与平面所成角的最小值为．AF PEC π620. 已知的角，，所对的边分别为，，，且，．ABC A B C a b c 8b =5c =（1）若，求；cos sin 0aC C b c+--=A （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数的值域．2π()cos 212f A A A ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭条件①：；2220AC AB BC ≤+-≤ 条件②：．0cos sin A A ≤≤注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】（1）π3A =（2）0,1⎡⎣【分析】（1）由及正弦定理得cos sin 0a C C b c +--=，利用诱导公式及三角恒等变换可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=，结合角的范围即可求解；π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）利用三角恒等变换化简为，选择①由()π12sin 23f x A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得，结合余弦定理可得2220AC AB BC ≤+-≤ 2220b c a ≤+-≤，再利用正弦函数的性质即可求解；选择②，由，可得ππ42A ≤≤0cos sin A A ≤≤，再利用正弦函数的性质即可求解.ππ42A ≤≤【小问1详解】由及正弦定理得cos sin 0a C C b c --=．sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=因为，sin sin(π)sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =--=+=+．sin cos sin sin 0A C A C C --=由于，，所以．sin 0C >cos 10A A --=π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又，，故，即．0πA <<π5π66A ∴-<<ππ66A -=π3A =【小问2详解】2π()cos 21cos 2)sin 212fA A A A A ⎛⎫=++-+=---+ ⎪⎝⎭．π12sin 212sin23A A A ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭选择条件①：因为，所以，2220AC AB BC ≤+-≤ 2220b c a ≤+-≤根据余弦定理可得，．2222cos 80cos b c a bc A A +-==所以，又，所以．0cos A ≤≤0πA <<ππ42A≤≤所以，即，5ππ4π2633A ≤+≤π1sin 232A ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭故．()0,1f A ⎡∈⎣选择条件②：因为，又，所以，0cos sin A A ≤≤0πA <<ππ42A ≤≤所以，即．5ππ4π2633A ≤+≤π1sin 232A ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭故．()0,1f A ⎡∈⎣21. 已知的角，，所对的边分别为，，，点是所在平面内的一ABC A B C a b c O ABC 点．（1）若点是的重心，且，求的最小值；O ABC 0OA OB ⋅= cos C （2）若点是的外心，，且，，O ABC BO BA BC λμ=+ λμ∈R 4a =6c =有最小值，求的取值范围．21sin ()2m B m λμ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭R m 【正确答案】（1）45（2）213,44m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，由余弦定理列出方程，然后再由基本不等式即可得到结果；（2）根据题意，分别表示出，然后代入计算，即可得到结果.,λμ【小问1详解】延长，，分别交边，，于点，，，AO BO CO BC AC AB D E F 依题意有，．1122FO AB c ==32CF c =在和中，由余弦定理有，CAF V CAB △cos cos CAF CAB ∠=∠即，化简有，222222322222c c b b c ac bc b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=⋅2225a b c +=．22222222244245cos 2252525a b a b a b c a b ab C ab ab ab ab ++-+-+===⋅≥⋅=当且仅当时，等号成立，a b =所以的最小值为．cos C 45 【小问2详解】由题意可知：，解得，183624cos 824cos 16BO BA B BO BC B λμλμ⎧⋅==+⎪⎨⋅==+⎪⎩ 2232cos 6sin 23cos 4sin B B B B λμ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩则221(32cos )23cos sin sin 2642m B B B m B λμ--⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭．26cos (49)cos 612B m B m -++=今，cos ,(1,1)t B t =∈-原式有最小值，所以．26(49)6t m t m =-++49(1,1)12m t +-∈-解得．213,44m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭22. 如图，在五边形中，四边形为矩形，点为边的中点，ABCFD ABCD E BC ，，．沿，将，折起，使得2AB AD ==//DF EC DF FC ⊥EC ED BEC AED △，重合于点，得到四棱锥，为侧棱靠近的三等分点．A B PP ECFD -G PD P（1）求与所成的角；CG ED （2）求平面与平面所成锐二面角的正切值．PED PCF【正确答案】（1）π2（2）【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得面，然后由余弦定理可得，再结合PE ⊥PCD CG 勾股定理即可得到，从而可得面，即可得到结果；PD GC ⊥GC ⊥PED （2）根据题意，先由条件找到所求二面角，然后通过计算，即可得到结果.【小问1详解】由题可知，，，，．2ED EC DC ===1PE =PC PD ==PE PC ⊥PE PD ⊥又，面，面，所以面．PC PD P ⋂=PD ⊂PCD PC ⊂PCD PE ⊥PCD 又面，所以．GC ⊂PCD PE GC⊥在中，由余弦定理可得，PCD ．2221cos 23DP CP DC DPC DP CP +-∠===⋅在中，PCG13PG PD ==，CG ===所以，即．222PG CG PC +=PD GC ⊥又，面，面，所以面．PE PD P = PD ⊂PED PE ⊂PED GC ⊥PED 又面，所以．故与所成的角为．ED ⊂PED ED GC ⊥CG ED π2【小问2详解】因为，，所以，．//DF EC DF FC ⊥π3CDF ∠=1FD =又，所以延长，必交于一点．FD EC <ED CF H 所以平面平面．PED PCF PH =又面，过点作，连接，则或其补角为所求．GC ⊥PED G GQ PH ⊥CQ GQC ∠又，所以．π6PDE ∠=5π6PDH ∠=又，所以．π3FDH ∠=2DH DC ==在中，由余弦定理可得，PDH △．PH ===设点到的距离为，在中，运用等面积法则有D PH d PDH △sin PD DH PDH d PH ⋅∠==所以，13GQ d ==在中，．Rt CGQtan GC GQC GQ ∠==所以平面与平面所成锐二面角的正切值为．PED PCF。

2023-2024学年四川省成都市成华区高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若z =(2−ai)(1+2i)为纯虚数，则实数a =( )A. −2B. 2C. −1D. 12.已知向量a =(2,−1)，b =(k,2)，且(a +b )//a ，则实数k 等于( )A. −4B. 4C. 0D. −323.已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//n B. 若α⊥β，γ⊥β，则α⊥γC. 若m ⊥α，n ⊥α，则m//nD. 若m//α，m//β，则α//β4.如图，在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别为线段AC 和线段A 1B 的中点，求直线MN 与平面A 1B 1BA 所成角为是( )A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 75∘5.已知cos 2α=23，则cos(π4−α)cos(π4+α)的值为( )A. 13B. 23C.23 D.2 296.设a ，b 为单位向量，a 在b 方向上的投影向量为−12b ，则|a−b |=( )A. 1B. 2C.2D.37.筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M 距离水面的高度H(单位：米，记水筒M 在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式H =2sin(π30t +φ)+54，φ∈(0,π2)，且t =0时，盛水筒M 位于水面上方2.25米处，当筒车转动到第80秒时，盛水筒M 距离水面的高度为( )米．A. 3.25B. 2.25C. 1.25D. 0.258.已知角α，β满足cos α=13，cos (α+β)cos β=14，则cos (α+2β)的值为( )A. 112B. 18C. 16D. 14二、多选题：本题共3小题，共15分。

四川省成都市第一中学2022年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线倾斜角的大小是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.【详解】直线化成斜截式为，因为，所以.故选B.【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.2. 已知，那么（）A. B. C. D.参考答案：B3. 若α，β为锐角，cos（α+β）=，cos（2α+β）=，则cosα的值为（）A．B．C．或D．以上都不对参考答案：A【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】根据同角三角函数基本关系分别求得sin（α+β）和sin（2α+β）的值，进而根据余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵α，β为锐角，cos（α+β）=＞0，∴0＜α+β＜，∴0＜2α+β＜π，∴sin（α+β）==，sin（2α+β）==，∴cosα=cos（2α+β﹣α﹣β）=cos（2α+β）cos（α+β）+sin（2α+β）sin（α+β）=×+×=．故选：A．4. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积等于（）A. B. C. D.参考答案：D试题分析：不妨设球的半径为，由题意得球心必在正四棱锥的高上，设为点，如图所示，棱锥的侧棱，过点作垂直于，则为的中点，所以，由，为正四棱锥的中心，因此，即，解得，所以所求球的表面积为.故正确答案为D.考点：1.简单组合体；2.球的表面积.5. 在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】I1：确定直线位置的几何要素．【分析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a 与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C．【点评】本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．6. 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是A．B．C． D.参考答案：D7. 如图曲线对应的函数是（）A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=﹣sin|x| D．y=﹣|sinx|参考答案：C【考点】35：函数的图象与图象变化．【分析】应用排除法解决本题，先从图象的右侧观察知它与正弦曲线一样，可排除一些选项，再从左侧观察又可排除一些，从而可选出答案．【解答】解：观察图象知：在y轴的右侧，它的图象与函数y=﹣sinx相同，排除A、B；又在y轴的左侧，它的图象与函数y=sinx相同，排除D；故选C．8. 下列选项中，与最接近的数是A．B．C．D．参考答案：C9. 已知A．B．C．D．参考答案：A.所以.10. 下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则与的夹角为▲．参考答案：或45°12. 若函数f （x ）=a x +log a （x+1）（a ＞0且a≠1）在区间[0，2]上的最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为 ．参考答案：【考点】函数单调性的性质． 【专题】函数的性质及应用．【分析】结合函数y=a x 与y=log a x 的单调性可知f （x ）=a x +log a x 在[0，1]单调，从而可得函数在[0，2]上的最值分别为f （0），f （2），代入可求a【解答】解：∵y=a x 与y=log a （x+1）在区间[0，2]上具有相同的单调性． ∴f（x ）=a x +log a （x+1）在[0，2]上单调， ∴f（0）+f （2）=a 2，即a 0+log a 1+a 2+log a 3=a 2， 化简得1+log a 3=0，解得a=故答案为：【点评】本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性的简单运用，利用整体思想求解函数的最值，试题比较容易．13. 在平行四边形中，,则点坐标为参考答案：14. 已知函数，则的值等于___参考答案：0 略15. 已知的三个内角成等差数列，且，，则边上的中线的长为参考答案：略16. 若幂函数在(0,+∞)上是减函数，则k =________.参考答案：－1，得，或 ，由题意.17. （5分）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm 2）为 ．参考答案：80 cm 2考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题．分析： 由三视图判断几何体的特征，结合三视图的数据关系，求出几何体的侧面积． 解答： 由三视图复原几何体可知，此几何体为正四棱锥，底面边长为8，侧面上的高为5，所以S 侧=4××8×5=80cm 2． 故答案为：80cm 2．点评： 本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查计算能力，正确判断几何体的特征是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。