7.八年级数学三角形的稳定性(练习)(解析版)

人教版八年级上册数学11.1.3三角形的稳定性课时练习题（含答案）一、单选题1．下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．2．下列图形中，具有稳定性的是（）A．B．C．D．3．下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（）A．太阳能热水器B．活动衣架C．三脚架D．篮球架4．下列图形具有稳定性的是（）A．正方形B．长方形C．平行四边形D．钝角三角形5．如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形这样做的数学根据是（）A．三角形具有稳定性B．两点之间，线段最短C．对顶角相等D．垂线段最短6．如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的数学原理是（）A．三角形具有稳定性B．两点确定一条直线C．两点之间线段最短D．三角形的两边之和大于第三边7．由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是()A．三角形具有稳定性B．两点之间，线段最短C．三角形的内角和为180°D．垂线段最短8．下列图形中具有稳定性的是（）A．正方形B．钝角三角形C．长方形D．四边形9．如图是一个起重机的示意图，在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是()A．三角形两边之和大于第三边B．三角形具有稳定性C．三角形两边之差小于第三边D．直角三角形的两锐角互余10．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短11．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应钉在（）A．E，H两点之间B．E，G两点之间C．F，H两点之间D．A，B两点之间二、填空题13．工人师傅砌门时，常用一根木条来固定矩形木框，使其不变形，这是利用．14．工人师傅做门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是．15．如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC将其固定.这里所运用的几何原理是．16．如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是.17．图①是将木条用钉子钉成的四边形和三角形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是．18．如图，木工师傅做完门框后，为了防止变形，常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木条，这样做的数学道理是．19．赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD），这其中的数学原理是．20．木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB、CD两根木条），这样做的依据是．21．木工师傅做了一个高凳，用于攀高工作，小明看到了建议再加几根木条（如图所示），说这样更安全．你知道小明这样建议的原理是．22．如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有.23．如图，停放自行车时要放下支架，自行车之所以能停放稳定，是因为构成了三个三角形：一是由前轮与地面的接触点、后轮与地面的接触点、支架与地面的接触点构成的三角形支撑面；二是自行车车架呈三角形；三是由后轮、轴、支架所构成的三角形．其中，蕴含的数学道理是．24．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的性.答案1．A 2．A 3．B 4．D 5．A 6．A 7．A 8．B 9．B 10．A 11．A 12．D 13．三角形的稳定性14．三角形的稳定性15．三角形具有稳定性16．三角形具有稳定性17．三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性18．三角形的稳定性19．三角形的稳定性20．三角形具有稳定性21．三角形具有稳定性22．稳定性23．三角形具有稳定性24．稳定。

专题01三角形的三边、高线、中线及角平分线考点一三角形的稳定性考点二三角形的三边关系考点三三角形的高线考点四三角形的中线考点五三角形的角平分线考点一三角形的稳定性例题：（2021·广西·南宁十四中七年级期末）下列图形中没有运用三角形稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用三角形的稳定性解答即可．【详解】解：对于A、C、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；而B选项中，用到了四边形的不稳定性.故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，需理解稳定性在实际生活中的应用；明确能体现出三角形的稳定性，则说明物体中必然存在三角形是解题关键．【变式训练】1．（2022·吉林吉林·二模）如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（）A．三角形具有稳定性B．两点之间线段最短C．经过两点有且只有一条直线D．垂线段最短【答案】A【解析】【分析】人字梯中间设计一“拉杆”后变成一个三角形，稳定性提高．【详解】三角形的稳定性如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性.故选A【点睛】本题考查三角形的稳定性，理解这一点是本题的关键．2．（2022·广东·佛山市惠景中学七年级期中）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有___．【答案】稳定性【解析】【分析】根据是三角形的稳定性，即可求解．【详解】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有稳定性，故答案为：稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．考点二三角形的三边关系例题：（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）．A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，11D．6，3，3【答案】B【解析】【分析】比较三边中两较小边之和与较大边的大小即可得到解答．【详解】解：A、1+2=3，不符合题意；B、3+4>5，符合题意；C、4+5<11，不符合题意；D、3+3=6，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．【变式训练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）下列各组长度的三条线段能够组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．10，7，3【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边关系可直接进行排除选项．【详解】解：A、3+4＜8，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；B、5+6=11，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；C、5+6＞10，符合三角形三边关系，故能构成三角形；D、3+7=10，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；故选C．【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．2．（2022·海南·海口市第十四中学七年级阶段练习）在△ABC中，三条边长分别为3和6，第三边长为奇数，那么第三边的长是()A．5或7B．7或9C．3或5D．9【答案】A【解析】【分析】先求出第三边长的取值范围，再根据条件具体确定符合条件的值即可．【详解】解：因为三条边长分别为3和6，所以6-3＜第三边＜6+3，所以3＜第三边＜9，因为第三边长为奇数，∴第三边的长为5或7，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．3．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）已知三角形三边长分别为3，x，14，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】【分析】直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围，进而可得出结论．【详解】解：三角形三边长分别为3，x，14，x<<．x143143∴-<<+，即1117x为正整数，12x=，13，14，15，16，即这样的三角形有5个．故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关键．考点三三角形的高线例题：（2022·重庆市育才中学七年级阶段练习）下列各组图形中，BD是ABC的高的图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．【详解】解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是∴ABC的高，故选：B．【点睛】考查了三角形的高的概念，掌握高的作法是解题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD ∴AB 于点D ，已知∴ABC 是钝角，则（ ）A ．线段CD 是ABC 的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC 的AB 边上的高线 C ．线段AD 是ABC 的BC 边上的高线D ．线段AD 是ABC 的AC 边上的高线【答案】B【解析】【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∴ 线段CD 是ABC 的AB 边上的高线，∴A 错误，不符合题意；∴ 线段CD 是ABC 的AB 边上的高线，∴B 正确，符合题意；∴ 线段AD 是ACD 的CD 边上的高线，∴C 错误，不符合题意；∴线段AD 是ACD 的CD 边上的高线，∴D 错误，不符合题意；故选B ．【点睛】 本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．2．（2022·湖南怀化·七年级期末）如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，则点C 到AB 的距离为______．【答案】125【解析】【分析】根据面积相等即可求出点C 到AB 的距离．【详解】解：∴在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒， ∴1122AC BC AB CD ⨯=⨯， ∴AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴1134522CD ⨯⨯=⨯⨯， ∴CD =125， 故答案为：125． 【点睛】本题考查求直角三角形斜边上的高，用面积法列出关系式是解题关键．3．（2022·重庆·七年级期中）如图，点A 、点B 是直线l 上两点，10AB =，点M 在直线l 外，6MB =，8MA =，90AMB ∠=︒，若点P 为直线l 上一动点，连接MP ，则线段MP 的最小值是______．【答案】4.8【解析】【分析】根据垂线段最短可知：当MP AB ⊥时，MP 有最小值，再利用三角形的面积可列式计算求解MP 的最小值．【详解】解：当MP AB ⊥时，MP 有最小值，10AB =，6MB =，8MA =，90AMB ∠=︒，AB MP AM BM ∴⋅=⋅，即1068MP =⨯，解得 4.8MP =．故答案为：4.8．【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP 最小时的P 点位置是解题的关键．考点四 三角形的中线例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期中）如图，已知BD 是∴ABC 的中线，AB ＝5，BC ＝3，且∴ABD 的周长为12，则∴BCD 的周长是_____．【答案】10【解析】【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD CD =，再根据三角形的周长公式即可求出结果．【详解】 解：BD 是ABC 的中线，即点D 是线段AC 的中点，AD CD ∴=，5AB =，ABD △的周长为12，12AB BD AD ∴++=，即512BD AD ++=，解得：7BD AD +=，7BD CD ∴+=，则BCD △的周长是3710BC BD CD ++=+=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点，掌握线段中点的定义是解题关键．【变式训练】1．（2022·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）在ABC 中，BC 边上的中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm ，AB 与AC 的和为11cm ，则AC 的长为________．【答案】3cm 或8cm【解析】【分析】根据三角形的中线的定义可得BD CD =，然后求出ABD △与ADC 的周长差是AB 与AC 的差或AC 与AB 的差，然后代入数据计算即可得解．【详解】如图1，图2，∴AD 是BC 边上的中线，∴BD CD =，∴中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm ，∴()()5AB BD AD AC CD AD ++-++=或()()5AC CD AD AB BD AD ++-++=，∴5AB AC -=或者5AC AB -=，∴AB 与AC 的和为11cm ，∴11AB AC +=，∴83AB AC =⎧⎨=⎩或38AB AC =⎧⎨=⎩， 故答案为：3cm 或8cm ．【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键． 2．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级阶段练习）如图，D ，E 分别是∴ABC 边AB ，BC 上的点，AD =2BD ，BE =CE ，设∴ADF 的面积为S 1，∴FCE 的面积为S 2，若S △ABC =16，则S 1－S 2的值为_________．【答案】8 3【解析】【分析】S△ADF−S△CEF＝S△ABE−S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝16，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积.【详解】解：∴BE＝CE，∴BE＝12BC，∴S△ABC＝16，∴S△ABE＝12S△ABC＝8．∴AD＝2BD，S△ABC＝16，∴S△BCD＝13S△ABC＝163，∴S△ABE−S△BCD＝（S1＋S四边形BEFD）−（S2＋S四边形BEFD）＝S1−S2＝83，故答案为83．【点睛】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出差．3．（2022·江苏·苏州市相城实验中学七年级期中）如图，AD 是∴ABC 的中线，BE 是∴ABD 的中线，EF ⊥BC于点F．若24ABCS=，BD =4，则EF 长为___________．【答案】3【解析】【分析】因为S △ABD =12S △ABC ，S △BDE =12S △ABD ；所以S △BDE =14S △ABC ，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∴AD 是∴ABC 的中线，S △ABC =24，∴S △ABD =12S △ABC =12，同理，BE 是∴ABD 的中线，612BDE ABD SS ==，∴S △BDE =12BD •EF ，∴12BD •EF =6，即1462EF ⨯⨯= ∴EF =3．故答案为：3．【点睛】此题考查了三角形的面积，三角形的中线特点，理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解，是解题的关键．考点五 三角形的角平分线 例题：（2022·全国·八年级）如图，在ABC 中，90CAB ∠=︒，AD 是高，CF 是中线，BE 是角平分线，BE 交AD 于G ，交CF 于H ，下列说法正确的是（ ）①AEG AGE ∠=∠；②BH CH =；③2EAG EBC ∠=∠；④ACF BCF S S =A．①③B．①②③C．①③④D．②③④【答案】C【解析】【分析】①根据∴CAB=90°，AD是高，可得∴AEG=90°−∴ABE，∴DGB=90°−∴DBG，又因为BE是角平分线，可得∴ABE=∴DBE，故能得到∴AEG=∴DGB，再根据对顶角相等，即可求证该说法正确；②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∴HCB=∴HBC，故该说法错误；③∴EAG+∴DAB=90°，∴DBA+∴DAB=90°，可得∴EAG=∴DBA，因为∴DBA=2∴EBC，故能得到该说法正确；④根据中线平分面积，可得该说法正确．【详解】解：①∴∴CAB=90°，AD是高，∴∴AEG=90°−∴ABE，∴DGB=90°−∴DBG，∴BE是角平分线，∴∴ABE=∴DBE，∴∴AEG=∴DGB，∴∴DGB=∴AGE，∴∴AEG=∴AGE，故该说法正确；②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∴HCB=∴HBC，故该说法错误；③∴∴EAG+∴DAB=90°，∴DBA+∴DAB=90°，∴∴EAG=∴DBA，∴∴DBA=2∴EBC，∴∴EAG=2∴EBC，故该说法正确；④根据中线平分面积，可得S△ACF=S△BCF，故该说法正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高，中线，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握各线的特点和性质．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，在∴ABC中，∴C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∴EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是∴ABD的中线B．BD是∴BCE的角平分线C．∴1＝∴2＝∴3D．S△AEB＝S△EDB【答案】C【解析】【分析】根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A、∴AE＝DE，∴BE是∴ABD的中线，故本选项不符合题意；B、∴BD平分∴EBC，∴BD是∴BCE的角平分线，故本选项不符合题意；C、∴BD平分∴EBC，∴∴2＝∴3，但不能推出∴2、∴3和∴1相等，故本选项符合题意；D、∴S△AEB＝12×AE×BC，S△EDB＝12×DE×BC，AE＝DE，∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义，熟练掌握三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线是解题的关键．2．（2022·全国·八年级）如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）A ．AE ＝CEB ．∴ADC ＝90° C ．∴CAD ＝∴CBE D ．∴ACB ＝2∴ACF【答案】C【解析】【分析】 根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．求解即可．【详解】解：A 、BE 是△ABC 的中线，所以AE ＝CE ，故本表达式正确；B 、AD 是△ABC 的高，所以∴ADC ＝90，故本表达式正确；C 、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∴CAD ＝∴CBE ，故本表达式错误；D 、CF 是△ABC 的角平分线，所以∴ACB ＝2∴ACF ，故本表达式正确．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键．3．（2021·全国·八年级课时练习）填空：（1）如图（1）,,AD BE CF 是ABC 的三条中线，则2AB =______，BD =______，12AE =______． （2）如图（2）,,AD BE CF 是ABC 的三条角平分线，则1∠=______，132∠=______，2ACB ∠=______．【答案】 AF 或BF CD AC 2∠ ABC ∠ 4∠【解析】【分析】（1）根据三角形的中线定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 上的中点，进而得到答案．（2）根据角平分线定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线即可解答．【详解】解：（1）∴CF 是AB 边上的中线，∴AB ＝2AF ＝2BF ；∴AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，∴BE 是AC 边上的中线，∴AE ＝12AC ，（2）∴AD 是BAC ∠的角平分线，∴12∠=∠ ，∴BE 是ABC ∠的角平分线， ∴132∠=ABC ∠， ∴CF 是ACB ∠的角平分线，∴2ACB ∠=4∠．故答案为：AF 或BF ；CD ；AC ；2∠；ABC ∠；4∠【点睛】此题主要考查了三角形的中线、角平分线，解题的关键是掌握三角形的中线及角平分线的定义．一、选择题1．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）画ABC的BC边上的高，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用三角形的高线的定义判断即可．【详解】解：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线．∴只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了三角形高线的画法，从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段，叫做三角形的高线，锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部．直角三角形的高线有两条是三角形的直角边．2．（2022·山东潍坊·七年级期末）在数学实践课上，小亮经研究发现：在如图所示的ABC中，连接点A和BC上的一点D，线段AD等分ABC的面积，则AD是ABC的（）．A．高线B．中线C．角平分线D．对角线【答案】B【解析】【分析】直接利用三角形中线的性质即可得出结果．【详解】解：∴线段AD等分∴ABC的面积，∴∴ABD的面积等于∴ACD的面积，∴两个三角形的高为同一条高，∴BD=CD，∴AD为∴ABC的中线，故选：B．【点睛】题目主要考查三角形中线的性质，理解三角形中线将三角形分成两个面积相同的三角形是解题关键．3．（2022·河北保定外国语学校一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识，即可一一判定【详解】解：A、利用的是“两点确定一条直线”，故该选项不符合题意；B、利用的是“两点之间线段最短”，故该选项不符合题意；C、窗户的支架是三角形，利用的是“三角形的稳定性”，故该选项符合题意；D、利用的是“垂线段最短”，故该选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用，结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．4．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，BD是ABC的边AC上的中线，AE是ABD△的边BD上的中线，BF 是ABE△的边AE上的中线，若ABC的面积是32，则阴影部分的面积是（）A．9B．12C．18D．20【答案】B【解析】【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】∴BD是ABC的边AC上的中线，∴11321622ABD BCD ABCS S S===⨯=△△，∴AE是ABD△的边BD上的中线，∴1116822ABE ADE ABDS S S===⨯=，又∴BF 是ABE △的边AE 上的中线，则CF 是ACE 的边AE 上的中线， ∴118422BEF ABF ABE S S S ===⨯=，182CEF ACF ADE CED ACE S S S S S =====，则4812BEF CEF S SS =+=+=阴影，故选：B ．【点睛】 本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．5．（2021·江苏·无锡市侨谊实验中学三模）如图为一张锐角三角形纸片ABC ，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC 边上的中线AD ，②BC 边上的角平分线AE ，③BC 边上的高AF ．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，所有能够通过折纸折出的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】【分析】 根据三角形中线，角平分线和高的定义即可判断．【详解】沿着A 点和BC 中点的连线折叠，其折痕即为BC 边上的中线，故①符合题意；折叠后使B 点在AC 边上，且折痕通过A 点，则其折痕即为BC 边上的角平分线，故②符合题意； 折叠后使B 点在BC 边上，且折痕通过A 点，则其折痕即为BC 边上的高，故③符合题意；故选D ．【点睛】本题考查三角形中线，角平分线和高的定义．掌握各定义是解题关键．二、填空题6．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若ABC 的三条边长分别为3cm ，xcm ，4cm ，则x 的取值范围______．【答案】17x <<##71x >>【解析】【分析】根据三角形的三边关系进行求解即可.【详解】解：根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可得到4343x －＜＜＋，∴17x ＜＜.故答案为：17x ＜＜.【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟记“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解答此类题目的关键.7．（2022·云南红河·八年级期末）已知a b c 、、是ABC ∆的三边长，a b 、满足()2610a b -+-=，c 为偶数，则c =_______．【答案】6【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c 的取值范围，再根据c 是偶数求出c 的值．【详解】解：∴a ，b 满足()2610a b -+-=，∴a -6=0，b -1=0，解得a =6，b =1，∴6-1=5，6+1=7，∴5＜c ＜7，又∴c 为偶数，∴c =6，故答案为：6【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．8．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的______.【答案】三角形的稳定性【解析】【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．【详解】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．9．（2022·北京市师达中学七年级阶段练习）如图，AB∴BD 于点B，AC∴CD 于点C，且AC 与BD 交于点E，已知AE=10，DE=5，CD=4，则AB 的长为_________．【答案】8【解析】【分析】根据三角形高的定义可判断出边上的高，然后利用三角形面积求解即可．【详解】解：∴AB∴BD，AC∴CD，∴AB是∴ADE的边DE上的高，CD是边AE上的高，∴S △AED =1122DE AB AE CD ⋅=⋅， ∴10485AE CD AB DE ⋅⨯===， 故答案为：8．【点睛】本题考查三角形高的定义，三角形的面积等知识，掌握基本概念是解题关键，学会用面积法求线段的长． 10．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在ABC 中，2AB AC ==，P 是BC 边上的任意一点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F .若ABC S =PE PF +=______．【解析】【分析】 根据1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF =+=⋅+⋅，结合已知条件，即可求得PE PF +的值． 【详解】解：如图，连接APPE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF ∴=+=⋅+⋅2AB AC ==，ABC S ∴1122AB PE AC PF ⋅+⋅PE PF =+【点睛】本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．三、解答题11．（2022·全国·八年级）在∴ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是∴ABC的中线，若∴ABD的周长为17，求∴BCD的周长．【答案】(1)8(2)24【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得7＜AC＜9，根据AC是整数得AC＝8；（2）根据BD是∴ABC的中线得AD＝CD，根据∴ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝16，即可得．(1)解：由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∴AC是整数，∴AC＝8．(2)解：如图所示，∴BD是∴ABC的中线，∴AD＝CD，∴∴ABD的周长为17，∴AB+AD+BD＝17，∴AB ＝1，∴AD +BD ＝16，∴∴BCD 的周长＝BC +BD +CD ＝BC +AD +CD ＝8+16＝24．【点睛】本题考查了三角形，解题的关键是掌握三角形三边的关系和三角形的中线．12．（2022·全国·八年级专题练习）已知：a 、b 、c 满足2(|0a c +-=求：(1)a 、b 、c 的值；(2)试问以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．【答案】(1)a =5b =，c =(2)能构成三角形，周长为(51【解析】【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可；（2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后计算三角形的周长即可．(1)解：∴(20a ≥0，0c -≥，a 、b 、c 满足(20a c -=，∴0a =，50b -=，0c -，解得a =5b =，c =；(2)解：∴81825<<，∴5，即a c b <<，∴5=>，∴能构成三角形，三角形的周长)5551a b c =++===． 【点睛】 本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，解题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形．13．（2022·四川·威远中学校七年级期中）（1）已知一个三角形的两边长分别是4cm 、7cm ，则这个三角形的周长的取值范围是什么？（2）在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，周长为14cm ，BD 是AC 边上的中线，△ABD 比△BCD 周长长4cm ，求△ABC 各边长．【答案】（1）14<c <22；（2）AB =6，AC =6，BC =2．【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系，先求出三角形第三边长的范围，即可求出周长范围．（2）根据三角形中线的定义可得,AD CD =，从而可得4,AB BC -=再根据ABC 的周长是14，，以及,AB AC ＝，可得214AB BC +=进行计算即可解答．【详解】解：（1）设第三边长为x ，根据三角形的三边关系得7474,x ∴-<<+3,x ∴<<11∴三角形的周长C 的取值范围为：1422.c <<（2）如图所示：∴BD 是AC 边上的中线，,AD CD ∴=∴△ABD比△BCD周长长4cm，()()4,AB AD BD BC CD BD∴++-++=4,AB BC∴-=4,BC AB∴=-ABC的周长是14，14,AB AC BC∴++=,AB AC＝214,AB BC∴+=2414,AB AB∴+-=6,AB∴=6,AB AC∴==2.BC∴=【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．（2022·河北邯郸·七年级阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，∴BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE 是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：（1）AD的长；（2）∴BCE的面积．【答案】（1）485；（2）48．【解析】【分析】（1）利用面积法得到12AD•BC＝12AB•AC，然后把AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm代入可求出AD的长；（2）由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以S△BCE＝12S△ABC．【详解】解：（1）∴∴BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高， ∴12AD •BC ＝12AB •AC ，∴AD ＝121620⨯＝485（cm ）；（2）∴CE 是AB 边上的中线，∴S △BCE ＝12S △ABC ＝12×12×12×16＝48（cm 2）．【点睛】本题考查三角形中线的性质，涉及等积法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．15．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，在6×10的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知∴ABC 的每个顶点都在格点上．(1)画出∴ABC 中BC 边上的高线AE ；(2)在∴ABC 中AB 边上取点D ，连接CD ，使3BCD ACD S S =△△；(3)直接写出∴BCD 的面积是__________．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)7.5【解析】【分析】（1）利用网格线过A 作BC 的垂线即可；（2）利用网格线的特点，取格点D ，满足3BD AD =，则D 即为所求作的点；（3）利用三角形的面积公式直接计算即可．(1)解：如图，AE 即为BC 上的高．(2)如图，利用网格特点，可得3BD AD =，∴D 即为所求作的点，满足3BCD ACD S S =△△．(3)1537.52BCD S =⨯⨯=． 【点睛】本题考查的是画三角形的高，三角形的面积的计算，熟悉等高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键．16．（2022·江苏·沭阳县怀文中学七年级阶段练习）如图，在ABC 中，CD 、CE 分别是ABC 的高和角平分线，,()BAC B ∠α∠βαβ==>．(1)若70,40αβ=︒=︒，求DCE ∠的度数；(2)试用α、β的代数式表示DCE ∠的度数_________．【答案】(1)15DCE ∠=︒(2)2αβ-【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∴ACB 的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∴DCE ． （2）由（1）的解题思路即可得正确结果．(1) 解：70BAC ∠=︒，40B ∠=︒∴()180()180704070ACB BAC B ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒，CE 是ACB ∠的平分线，∴1352ACE ACB ∠=∠=︒． CD 是高线，∴90ADC ∠=︒，∴9020ACD BAC ∠=︒-∠=︒，∴352015DCE ACE ACD ∠=∠-∠=︒-=︒︒．(2) 解：BAC α∠=，B β∠=∴()180()180ACB BAC B αβ∠=︒-∠+∠=︒-+，CE 是ACB ∠的平分线，∴()1118090222ACE ACB αβαβ+∠=∠=⨯︒-+=︒-⎡⎤⎣⎦． CD 是高线，∴90ADC ∠=︒，∴9090ACD BAC α∠=︒-∠=︒-， ∴909022DCE ACE ACD αβαβα+-∠=∠-∠=︒--︒+=．【点睛】本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．17．（2022·上海·八年级专题练习）如图，∴ABC 中，∴BAC ＝60º，AD 平分∴BAC ，点E 在AB 上，EG ∴AD ， EF ∴AD ，垂足为F ．(1)求∴1和∴2的度数．(2)联结DE ，若S △ADE ＝S 梯形EFDG ，猜想线段EG 的长和AF 的长有什么关系？说明理由．【答案】(1)30º；60º(2)相等，理由见解析【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义求得BAD ∠，然后在直角三角形中利用两锐角互余即可求得∴2，再利用平行线的性质即可求得∴1的度数．(2)根据S △ADE ＝S 梯形EFDG 可得AD =DF +EG ，结合图形即可求解．(1)∴∴BAC ＝60º，AD 平分∴BAC ， ∴1302BAD BAC ∠=∠=︒， 又∴EF ∴AD ，∴29060BAD ∠=︒-∠=︒， ∴EG ∴AD ，∴130BAD ∠=∠=︒．(2)相等． 理由如下： ∴EF ∴AD ，∴S △ADE =12AD EF ⋅，S 梯形EFDG =1()2DE EG EF +⋅ ∴S △ADE = S 梯形EFDG ∴12AD EF ⋅=1()2DE EG EF +⋅∴AD =DF +EG ，∴AD =AF +DF ，∴DF +EG =AF +DF ，即AF =EG ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形和梯形的面积公式，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．18．（2021·安徽省六安皋城中学八年级期中）如图，AD 是∴ABC 的边BC 上的中线，已知AB =5，AC =3． （1）边BC 的取值范围是 ；（2）∴ABD 与∴ACD 的周长之差为 ；（3）在∴ABC 中，若AB 边上的高为2，求AC 边上的高．【答案】（1）28BC <<；（2）2；（3）103h =． 【解析】【分析】 （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可；（2）根据三角形中线将∴ABD 与∴ACD 的周长之差转换为AB 和AC 的差即可得出答案；（3）设AC 边上的高为h ，根据三角形面积公式列出方程求解即可．【详解】解：（1）∴∴ABC 中AB =5，AC =3，∴5353BC -<<+，即28BC <<，故答案为：28BC <<；（2）∴∴ABD 的周长为AB AD BD ++，∴ACD 的周长为AC AD CD ++，∴AD 是∴ABC 的边BC 上的中线，∴BD CD =，∴AB AD BD ++-(AC AD CD ++)=532AB AC -=-=，故答案为：2；（3）设AC 边上的高为h ， 根据题意得：11222AB AC h ⨯=⨯, 即1152322h ⨯⨯=⨯⨯， 解得103h =． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键．。

八年级数学上册第十一章三角形知识总结例题单选题1、当n边形边数增加2条时，其内角和增加（）A．180°B．360°C．540°D．720°答案：B分析：根据n边形的内角和定理即可求解．解：原来的多边形的边数是n，则新的多边形的边数是n＋2．（n＋2−2）•180−（n−2）•180＝360°．故选：B．小提示：本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形的边数每增加一条，内角和就增加180度．2、在△ABC中，∠A=12∠B=13∠C，则△ABC为（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．等腰答案：B分析：根据∠A=12∠B=13∠C分别设出三个角的度数，再根据三角形的内角和为180°列出一个方程，解此方程即可得出答案．∵∠A=12∠B=13∠C∴可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x根据三角形的内角和可得：x+2x+3x=180°解得：x=30°∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°因此△ABC是直角三角形故答案选择B．小提示：本题主要考查的是三角形的基本概念．3、如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（）A．BC=2CD B．∠BAE=1∠BAC2C．∠AFB=90°D．AE=CE答案：D分析：根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；解：A．∵AD是△ABC的中线∴BC=2CD，故选项正确，不符合题意；B．∵AE是△ABC的角平分线∴∠BAE=1∠BAC2故选项正确，不符合题意；C．∵AF分别是△ABC的高，∴∠AFB=90°故选项正确，不符合题意；D．AE=CE不一定成立，故选项错误，符合题意．故选：D．小提示：此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定义进行判断即可．4、将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是（）A．95°B．100°C．105°D．110°答案：C分析：根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．由题意得，∠2=45°，∠4=90°−30°=60°，∴∠3=∠2=45°，由三角形的外角性质可知，∠1=∠3+∠4=105°，故选C．小提示：本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．5、下列图形具有稳定性的是（）A．①②B．③④C．②③D．①②③答案：C分析：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，图②③便具有稳定性，故选C．小提示：此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．6、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法正确的是( )A．DE是△ACE的高B．BD是△ADE的高C．AB是△BCD的高D．DE是△BCD的高答案：D分析：根据三角形高的定义求解即可．三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．解：A、DE不是△ACE的高，选项错误，不符合题意；B、BD不是△ADE的高，选项错误，不符合题意；C、AB不是△BCD的高，选项错误，不符合题意；D、DE是△BCD的高，选项正确，符合题意．故选：D．小提示：此题考查了三角形的高，解题的关键是熟练掌握三角形高的定义．三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．7、如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点B，D，E在同一直线上，若∠1=25°，∠2=35°，则∠3的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．70°答案：C分析：由∠BAC=∠DAE可证得∠BAD=∠CAE，继而证明△BAD≅△CAE(SAS)，由全等三角形对应角相等得到∠2=∠CAE,∠ABD=∠1，最后由三角形的外角性质解答即可．解：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC∴∠BAD=∠CAE∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≅△CAE(SAS)∴∠2=∠CAE,∠ABD=∠1∵∠1=25°，∠2=35°∴∠3=∠2+∠ABD=∠2+∠1=60°故选：C．小提示：本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．8、若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1B．2C．4D．8答案：C分析：根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解．根据三角形的三边关系得5−3<a<5+3，即2<a<8，则选项中4符合题意，故选：C．小提示：本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键．9、若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．6答案：D分析：根据多边形的外角和等于360°计算即可．解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6．故选：D．小提示：本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．10、下列说法中正确的是（）A．三角形的三条中线必交于一点B．直角三角形只有一条高C．三角形的中线可能在三角形的外部D．三角形的高线都在三角形的内部答案：A分析：根据三角形中线及高线的定义逐一判断即可得答案．A.三角形的三条中线必交于一点，故该选项正确，B.直角三角形有三条高，故该选项错误，C.三角形的中线不可能在三角形的外部，故该选项错误，D.三角形的高线不一定都在三角形的内部，故该选项错误，故选：A．小提示：本题考查三角形的中线及高线，熟练掌握定义是解题关键．填空题11、如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC ＝70°，则∠D＝______．答案：34°##34度分析：根据题意先求∠DAC，再依据△ADF三角形内角和180°可得答案．解：∵∠B=46°，∠C=30°，∴∠DAC=∠B+∠C=76°，∵∠EFC=70°，∴∠AFD=70°，∴∠D=180°-∠DAC-∠AFD=34°，所以答案是：34°．小提示：本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是掌握三角形内角和定理．12、如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC 上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝______．答案：230°分析：依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C＝130°，再根据∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝230°．解：∵∠A＝50°，∴△ABC中，∠B+∠C＝130°，又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣130°＝230°，所以答案是：230°．小提示：本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和及角之间的等量关系是解题的关键．13、如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2021次后得到的△A2021B2021C2021的面积为_________．答案：72021分析：根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A1B1C1的面积是△ABC的面积的7倍，依此规律可得结论．解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，所以，S△A1B1C1=7S△ABC,同理S△A2B2C2=7S△A1B1C1=72S△ABC，依此类推，△A2021B2021C2021的面积为=72021S△ABC，∵△ABC的面积为1，∴△A2021B2021C2021的面积=72021．所以答案是：72021．小提示：本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．14、在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC是___________度．答案：40或80##80或40分析：根据题意，由于△ABC类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．解：根据题意，分三种情况讨论：①高在三角形内部，如图所示：∵在ΔABD中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−30°=60°，∵∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°；②高在三角形边上，如图所示：可知∠CAD=0°，∵∠CAD=20°，故此种情况不存在，舍弃；③高在三角形外部，如图所示：∵在ΔABD中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−30°=60°，∵∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=60°−20°=40°；综上所述：∠BAC=80°或40°，所以答案是：40或80．小提示：本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．15、如图，∠1，∠2，∠3是多边形的三个外角，边CD，AE的延长线交于点F，如果∠1+∠2+∠3=225°，那么∠DFE的度数是______.答案：45°分析：利用多边形的外角和为360°以及三角形内角和为180°，然后通过计算即可求解.解：∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠DEF+∠EDF=360°，又∵∠1+∠2+∠3=225°，∴∠DEF+∠EDF=135°，∵∠DEF+∠EDF+∠DFE=180°，∴∠DFE=180°-135°=45°．故答案是为45°.小提示：本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理．解答题16、如图，在平面直角坐标系中，A(−1,5)，B(−1,0)，C(−4,3)，(1)过点B作DB∥CA，且点D在格点上，则点D的坐标为______ ．(2)将△ABC向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1；(3)直接写出直线AC与y轴的交点坐标______ ．答案：(1)(-4，-2)，(2，2)，(5，4)(2)见解析(3)(0，17)3分析：（1）可以把AC平移使A点或C点为对应点，从而确定D点位置；（2）利用平移规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（3）延长CA交y轴于点T，设点T的坐标为（0，m），利用△AOC的面积列出关于m的方程，解方程即可．（1）解：如图所示：则点D的坐标是：(-4，-2)，(2，2)，(5，4)．所以答案是： (-4，-2)，(2，2)，(5，4) ．（2）解：将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度后，则△A1B1C1即为所求作的三角形，如图所示：（3）解：延长CA交y轴于点T，如图所示：SΔAOC=4×5−12×3×4−12×2×3−12×1×5=172，设点T的坐标为（0，m），则SΔAOC=SΔOCT−SΔOAT=12×4m−12×m=32m，∴172=32m，解得：m=173，∴直线AC与y轴的交点坐标为(0，173)．所以答案是：(0，173)．小提示：本题考查平移变换，三角形的面积等知识，解题的的关键是掌握平移变换的性质，学会利用面积法构建方程求解，属于中考常考题型．17、用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长是4cm的等腰三角形吗？为什么？答案：（1）365cm，365cm，185cm；（2）能，理由见解析分析：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．解：（1）设底边长为xcm，∵腰长是底边的2倍，∴腰长为2xcm，∴2x+2x+x=18，解得，x=185cm，∴2x=2×185=365cm，∴各边长为：365cm，365cm，185cm．（2）①当4cm为底时，腰长=18−42=7cm；②当4cm为腰时，底边=18−4−4=10cm，∵4+4<10，∴不能构成三角形，故舍去；∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm．小提示：本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．18、如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．（1）将如表的表格补充完整：)°；（2）存在，n=9答案：（1）60°，45°，36°，30°，(180n分析：（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α=(180)°；n)°，可得答案．（2）根据正n边形中的∠α=(180n解：（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：)°；所以答案是：60°，45°，36°，30°，(n（2）存在，理由如下：∵设存在正n边形使得∠α=20°，)°．得∠α=20°=(180n解得：n=9，∴存在正n边形使得∠α=20°．，三角形的内角和定理，等小提示：本题考查了多边形内角与外角，每题都利用了正多边形的内角：(n−2)⋅180°n腰三角形的两底角相等．。

期中考点专题01 三角形的基础重点突破三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形特性三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。

三角形按边分类：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。

三角形三边的关系（重点（1）三角形的随意两边之和大于第三边。

三角形的随意两边之差小于第三边。

（这两个条件满意其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b三角形的分类：三角形按边的关系分类如下：三角形按角的关系分类如下：三角形的稳定性➢三角形具有稳定性➢四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

考查题型考查题型一三角形的个数问题典例1．（2024·西林县期中）如图所示，其中三角形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【提示】依据三角形的定义解答即可，由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.【详解】图中的三角形有：△ABC，△BCD，△BCE，△ABE，△CDE共5个.故选D.【名师点拨】本题考查了三角形的概念，由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两条边组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角.变式1-1．（2024·秦皇岛市期中）图中三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【解析】图中的三角形有: △ABD, △ADE, △AEC, △ABE, △ADC, △ABC,共6个.故选D.变式1-2．（2024·洛阳市期末）图中三角形的个数是（）A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【提示】依据三角形的定义即可得．【详解】图中的三角形是，共8个故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形的定义，驾驭理解三角形的概念是解题关键．变式1-3．（2024·恩施市期中）如图，图中三角形的个数有（）A．6个B．8个C．10个D．12个【答案】B【解析】试题解析：以O为一个顶点的有△CBO、△CDO、△ABO、△ADO，不以O为顶点的三角形有△CAD、△CBA、△BCD、△BAD，共有8个．故选B.考查题型二三角形的分类典例2（2024·石家庄市期末）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形态是（）A．等边三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】D【解析】试题提示：依据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形态．解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．变式2-1．（2024·黄冈市期中）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形肯定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】试题提示：依据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因式这个三角形是直角三角形.故选B.变式2-2．（2024·深圳市期中）在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形态不确定【答案】C【提示】依据∠A：∠B：∠C=1：3：5，可设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，再依据三角形内角和为180°可得方程x+3x+5x=180，解方程算出x的值，即可推断出△ABC的形态．【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：5，∴设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，∴x+3x+5x=180，解得：x=20，∴∠C=5×20°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选：C．【名师点拨】本题考查三角形内角和定理，关键是利用方程思想列出三个角的关系式．变式2-3．（2024·石家庄市期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】依据三角形按角分类的方法一一推断即可．【详解】视察图象可知：选项B，D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形，选项A中的三角形无法判定三角形的类型．故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的分类，解题的关键是娴熟驾驭基本学问，属于中考常考题型．考查题型三构成三角形的条件典例3．（2024·宜兴市期末）下列各组线段不能组成三角形的是 ( )A．4cm、4cm、5cm B．4cm、6cm、11cmC．4cm、5cm、6cm D．5cm、12cm、13cm【答案】B【提示】依据三角形的随意两边之和大于第三边对各选项提示推断后利用解除法求解.【详解】A 、4485+=>，∴445cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；B 、461011+=<，∴4611cm cm cm 、、不能组成三角形，故本选项正确；C 、5496+=>，∴456cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；D 、5121713+=>，∴51213cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误.故选：B .【名师点拨】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键.变式3-1．（2024·太仓市）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．15C ．12或15D ．18【答案】B【解析】试题提示：依据题意，要分状况探讨：①、3是腰；②、3是底．必需符合三角形三边的关系，随意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B ．变式3-2．（2024·兰州市期末）等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的周长为( )A ．22B ．17C ．13D ．17或22【答案】A【提示】分4是腰长和底边两种状况探讨求解即可．【详解】解：4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，∵4+4=8＜9，∴不能组成三角形，4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，能组成三角形，周长=4+9+9=22，综上所述，该等腰三角形的周长为22．故选A ．【名师点拨】本题主要考查了三角形三边关系，难点在于分状况探讨并利用三角形的三边关系推断是否能组成三角形．cm cm长的两根木棒首尾相接成一个三角形的变式3-3．（2024·哈尔滨市期中）下列长度的四根木棒中，能与49，是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm【答案】C【提示】依据三角形三边关系：三角形随意两边之和大于第三边，逐一推断选项，即可.【详解】∵4+4<9，cm cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，∴4cm，49，∴A错误；∵5+4=9，cm cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，∴5cm，49，∴B错误；∵9+4>9，cm cm长的木棒能组成三角形，∴9cm，49，∴C正确；∵4+9=13，cm cm长的木棒，不能组成三角形，∴13cm，49，∴D错误；故选C.【名师点拨】本题主要考查三角形的三边关系，驾驭“三角形随意两边之和大于第三边”，是解题的关键.m-=，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，变式3-4．（2024·濮阳市期末）若实数m，n满意20则△ABC的周长是( )A．12 B．8 C．10 D．10或8【答案】C【提示】依据非负数的性质求出,m n的值，依据等腰三角形的性质求解即可.m-=【详解】20m n∴==2,4,当三角形的腰长为2时，224+=，构不成三角形；++=.当三角形的腰长为4时，三角形的周长为：44210故答案选：C.【名师点拨】考查非负数的性质以及等腰三角形的性质，驾驭三角形的三边关系是解题的关键.考查题型四三角形第三边的取值范围典例4．（2024·三明市期末）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【答案】C【提示】依据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据此依据选项即可推断. 【详解】设第三边长为x，则有7-3<x<7+3，即4<x<10，视察只有C选项符合，故选 C.【名师点拨】本题考查了三角形三边的关系，娴熟驾驭三角形三边之间的关系是解题的关键.a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）变式4-1．（2024·龙岩市期中）若长度分别为,3,5A．1 B．2 C．3 D．8【答案】C【提示】依据三角形三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解．【详解】由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，由此可得，符合条件的只有选项C，故选C．【名师点拨】本题考查了三角形三边关系，能依据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，留意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．变式4-2．（2024·齐齐哈尔市期末）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为A．2 B．3 C．5 D．13【答案】B【提示】依据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”，可得x的取值范围，一一推断可得答案. 【详解】解：依据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”可得:13-2<x<13+2,即11<x<15,因为取正整数,故x的取值为12、13、14,即这样的三角形共有3个.故本题正确答案为B.【名师点拨】本题主要考查构成三角形的三边的关系.变式4-3．（2024·广州市期中）一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A ．5或7B ．7或9C ．7D ．9【答案】B 【详解】依据三角形三边关系可得：5＜第三边＜11，依据第三边长为奇数，则第三边长为7或9．故选B.考查题型五 三角形三边关系的应用典例5．（2024·德州市期末）已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【提示】依据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再依据第三边是整数，从而求得周长．【详解】设第三边为x ，依据三角形的三边关系，得：4-1＜x ＜4+1，即3＜x ＜5，∵x 为整数，∴x 的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C.【名师点拨】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．变式5-1．（2024·汕头市期中）已知a b c 、、是ABC ∆的三边长，化简a b c b a c +----的值是（ ）A ．2c -B ．22b c -C ．22a c -D ．22a b - 【答案】B【提示】依据三角形的三边关系“随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边”，得到a+b-c ＞0，b -a -c ＜0，再依据肯定值的性质进行化简计算.【详解】依据三角形的三边关系，得a+b-c>0，b -a -c <0.∴原式= a+b-c −(a +c −b)= 22b c -.故选择B 项.【名师点拨】本题考查三角形三边关系和肯定值，解题的关键是娴熟驾驭三角形三边关系.变式5-2．（2024·保定市期末）如图，为估计池塘岸边A ，B 的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA=15米，OB=10米，A ，B 间的距离可能是（ ）A．30米B．25米C．20米D．5米【答案】C【解析】设A，B间的距离为x．依据三角形的三边关系定理，得：15-10＜x＜15+10，解得：5＜x＜25，所以，A，B之间的距离可能是20m．故选C．变式5-3．（2024·滨州市期末）若（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18【答案】B【提示】依据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，依据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，依据三角形的周长公式，可得答案．【详解】由（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，得a﹣3＝0，b﹣6＝0．则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3，周长为6+6+3＝15，故选B．【名师点拨】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．变式5-4．（2024·南开区期末）假如一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，则这个等腰三角形的腰长为（）A．13 B．5 C．5或13 D．1【答案】A【详解】设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，依据题意，2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13；当底边长为x+12时，依据题意，2x+x+12=27，解得x=5，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13，故选A．考查题型六三角形的稳定性典例6．（2024·路北区期中）下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】依据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行推断即可得．【详解】A、具有稳定性，符合题意；B、不具有稳定性，故不符合题意；C、不具有稳定性，故不符合题意；D、不具有稳定性，故不符合题意，故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确驾驭三角形的性质是解题关键．变式6-1．（2024·乌鲁木齐市期末）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形具有稳定性D．两直线平行，内错角相等【答案】C【解析】试题提示：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形态就不会变更．解：这样做的道理是三角形具有稳定性．故选：C．变式6-2．（2024·安阳市期末）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．A．0根B．1根C．2根D．3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B变式6-3．（2024·济南市期末）如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．垂线段最短C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短【答案】A【提示】依据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答．【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形态，所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．故答案选A.【名师点拨】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．变式6-4．（2024·深圳市期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的依据是( )A．两点之间的线段最短B．长方形的四个角都是直角C．三角形有稳定性D．长方形是轴对称图形【答案】C【详解】用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的依据是三角形具有稳定性．故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，是基础题．变式6-5．（2024·抚顺市期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．两直线平行，内错角相等D．三角形具有稳定性【答案】D【提示】依据三角形的稳定性解答即可．【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选：D．【名师点拨】此题考查三角形的性质，关键是依据三角形的稳定性解答．。

⼈教版初中数学八年级上册第⼗⼀单元《三⾓形》综合测试卷（解析版）⼀⼆三四总分⼀、选择题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）（2023八上·双鸭⼭期中）下列各图中，正确画出△ABC中AC边上的⾼的是（ ）A．B．C．D．2．（3分）（2023七上·沭阳⽉考）⼀块矩形草坪的⻓比宽多10米，它的周⻓是132米，求宽x所列的⽅程是（ ）A．x+10=132B．2x+10=132C．22x+10=132D．2x−10=132 3．（3分）（2020七上·庆云⽉考）代数式|x−2|+3的最⼩值是（ ）A．0B．2C．3D．54．（3分）（2020八上·余⼲⽉考）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC为（ ）A．等腰三⾓形B．锐⾓三⾓形C．直⾓三⾓形D．钝⾓三⾓形5．（3分）（2023七下·承德期末）下列四个选项中，∠1与∠2互为邻补⾓的是（ ）A．B．C．D．6．（3分）（2024八上·合江期末）根据图中的数据，可得∠B的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°7．（3分）（2022七上·晋州期中）已知射线OC 在∠AOB 的内部，下列4个表述中：①∠AOC =12∠AOB ；②∠AOC =∠BOC ；③∠AOB =2∠BOC ；④∠AOC +∠BOC =∠AOB ，能表⽰射线OC 是∠AOB 的⾓平分线的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（3分）（2022八上·港南期中）下列图形具有稳定性的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（3分）（2021九下·曹县期中）如图，在平⾯直⾓坐标系中，点 A 1 ， A 2 ， A 3 ，…， A n 在 x 轴上，点 B 1 ， B 2 ，…， B n 在直线 y 上，若点 A 1 的坐标为 (1，0) ，且 △A 1B 1A 2 ， △A 2B 2A 3 ，…， △A n B n A n +1 都是等边三⾓形，从左到右的⼩三⾓形（阴影部分）的⾯积分别记为 S 1 ， S 2 ，．．， S n ，则 S n 可表⽰为（ ）A ．22B ．22n −C ．22n −D ．22n −10．（3分）（2021八上·诸暨⽉考）如图，BF 是∠ABD 的平分线，CE 是∠ACD 的平分线，BF 与CE 交于G ，若∠BDC ＝130°，∠BGC ＝100°，则∠A 的度数为（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°⼆、填空题（每题3分，共15分）(共5题；共15分)11．（3分）过⼗边形的⼀个顶点可作对⾓线的条数为m，则m的值为 ．12．（3分）（2024七下·⽞武期中）如图1，点D在△ABC边BC上，我们知道若BDCD=ab，则S△ABDS△ACD=ab；反之亦然．如图2，BE是△ABC的中线，点F在边AB上，BE、CF相交于点O，若AFBF =m，则OEOB=　　．13．（3分）（2024七下·⻄安期中）已知三⾓形两边的⻓分别为1cm，5cm，第三边⻓为整数，则第三边的⻓为 .14．（3分）（2024七下·淮阴期中）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是AC边上⼀点，AD和BE交于点O，CE=14AC，△ABC的⾯积是2024，若把△ABO的⾯积记为S1，把四边形CDOE的⾯积记为S 2，则S1−S2的值为 ．15．（3分）（2018八上·武汉⽉考）图中x的值为 .三、解答题（共7题，共65分）(共7题；共65分)16．（10分）（2018八上·潘集期中）某零件如图所⽰，按规定∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，当检验员量得∠BDC＝146°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？17．（5分）（2023八上·鹿寨期中）已知⼀个多边形中，每个内⾓都相等，并且每个外⾓等于与它相，求这个多边形的边数及内⾓和．邻的内⾓的1818．（5分）（2023八上·城厢开学考）已知：△ABC中，图①中∠B、∠C的平分线相交于M，图②中∠B、∠C的外⾓平分线相交于N，（1）（1分）若∠A＝80°，∠BMC＝ °，∠BNC＝ ° ．（2）（1分）若∠A＝β，试⽤β表⽰∠BMC和∠BNC19．（11分）（2016八上·肇庆期末）⼀个零件的形状如图所⽰，按规定∠A=90º，∠C=25º，∠B=25º，检验员已量得∠BDC=150º，请问：这个零件合格吗？说明理由。

2020年人教版八年级数学上册《第11章三角形》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．图中锐角三角形的个数有（）个．A．2B．3C．4D．52．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22cm，AB比AC长3cm，则△ACD 的周长为（）A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm3．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（）A．B．C．D．4．已知三角形的两边长分别为2和9，第三边长为正整数，则这样的三角形个数为（）A．.3B．4C．.5D．.65．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（）A．165°B．135°C．105°D．75°6．三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（）根木条．A．1B．2C．3D．47．下列图形中具有稳定性的是（）A．正方形B．长方形C．平行四边形D．锐角三角形8．下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相平分的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形9．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°10．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（）A．180°B．270°C．360°D．720°二．填空题（共8小题）11．在图中共有个三角形．12．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是度．13．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，根据的数学道理．14．三角形一边长为4，另一边长为7，且第三边长为奇数，则第三边的长为．15．三角形具有稳定性，要使一个四边形框架稳定不变形，至少需要钉根木条．16．在下列四个图形中，具有稳定性的是（填序号）①正方形②长方形③直角三角形④平行四边形17．在五边形ABCDE中，若∠A+∠B+∠C+∠D＝440°，则∠E＝．18．把一块含60°的三角板与一把直尺按如图方式放置，则∠α＝度．三．解答题（共8小题）19．用6根火柴能否组成四个一样大的三角形，若能，请说明你的图形．20．（1）如图（1），已知，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B ＝30°，∠C＝50°．求∠DAE的度数；（2）如图（2），已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过F作FD⊥BC，若∠B＝x°，∠C＝（x+36）°，①∠CAE＝（含x的代数式表示）②求∠F的度数．21．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？22．已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，求AC的取值范围．23．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个n边形（n≥4）木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？24．四边形ABCD中，∠A＝145°，∠D＝75°．（1）如图1，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）①如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4），将原来条件“∠A＝145°，∠D＝75°”改为“∠F＝40°”，其他条件不变，∠BEC的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出∠BEC的度数．25．如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4．AC与DE平行吗？请说明理由．26．（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝°；（直接写出结果）（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为；（直接写出结果）②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？为什么？2020年人教版八年级数学上册《第11章三角形》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．图中锐角三角形的个数有（）个．A．2B．3C．4D．5【分析】先找出以A为顶点的锐角三角形的个数，再找出以E为顶点的锐角三角形的个数，然后将两种锐角三角形相加即可．【解答】解：①以A为顶点的锐角三角形△ABC、△ADC共2个；②以E为顶点的锐角三角形：△EDC，共1个；所以图中锐角三角形的个数有2+1＝3（个）；故选：B．【点评】本题考查了三角形．数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有n个点，那么就有条线段，也可以与线段外的一点组成个三角形．2．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22cm，AB比AC长3cm，则△ACD 的周长为（）A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm【分析】根据题意得到AB＝AC+3，根据中线的定义得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：由题意得，AB＝AC+3，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵△ABD的周长为22，∴AB+BD+AD＝AC+3+DC+AD＝22，则AC+DC+AD＝19，∴△ACD的周长＝AC+DC+AD＝19（cm），故选：A．【点评】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．3．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（）A．B．C．D．【分析】利用三角形的稳定性进行解答．【解答】解：伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性．故选：C．【点评】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．4．已知三角形的两边长分别为2和9，第三边长为正整数，则这样的三角形个数为（）A．.3B．4C．.5D．.6【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；解答即可．【解答】解：设第三边长为x，由题意可得9﹣2＜x＜9+2，解得7＜x＜11，故x为8、9、10，这样的三角形个数为3．故选：A．【点评】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；牢记三角形的三边关系是解答的关键．5．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（）A．165°B．135°C．105°D．75°【分析】根据三角形内角和定理求出∠1，根据三角形外角的性质求出∠2，根据邻补角的概念计算即可．【解答】解：∠1＝90°﹣30°﹣60°，∴∠2＝∠1﹣45°＝15°，∴∠α＝180°﹣15°＝165°，故选：A．【点评】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．6．三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（）根木条．A．1B．2C．3D．4【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．【解答】解：过五边形的一个顶点作对角线，有5﹣3＝2条对角线，所以至少要钉上2根木条．故选：B．【点评】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，作出图形更形象直观．7．下列图形中具有稳定性的是（）A．正方形B．长方形C．平行四边形D．锐角三角形【分析】根据三角形具有稳定性解答．【解答】解：正方形，长方形，平行四边形，锐角三角形中只有锐角三角形具有稳定性．故选：D．【点评】本题考查了三角形的稳定性，是基础题，需熟记．8．下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相平分的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形【分析】利用多边形对角线的性质，分析四个选项即可得出结论．【解答】解：利用排除法分析四个选项：A、菱形的对角线互相垂直且平分，故A错误；B、对角线互相平分的四边形式应该是平行四边形，故B错误；C、对角线互相垂直的四边形并不能断定为平行四边形，故C错误；D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了多变形对角线的性质，解题的关键是牢记各特殊图形对角线的性质即可解决该题．9．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果．【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．10．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（）A．180°B．270°C．360°D．720°【分析】根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【解答】解：如图，∵∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠F，∠1+∠2+∠D+∠E＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故选：C．【点评】此题考查三角形的内角和，角的和与差，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键．二．填空题（共8小题）11．在图中共有8个三角形．【分析】按照从左到右的顺序，分单个的三角形和复合的三角形找出所有的三角形，然后再计算个数．【解答】解：三角形有：△ACE、△CDE、△DEF、△BCD，△CDF、△ACD、△BCE、△ACB，共8个．故答案为：8．【点评】考查了三角形，本题难点在于找出复合三角形的个数，按照一定的顺序找即可做到不重不漏．12．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是45度．【分析】根据△ACB为Rt△，利用三角形内角和定理求出∠CAB+∠ABC＝90°，再利用角平分线的性质即可求出两锐角的角平分线所夹的锐角的度数．【解答】解：如图所示△ACB为Rt△，AD，BE，分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，AD，BE相交于一点F．∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°∵AD，BE，分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，∴∠FAB+∠FBA＝∠CAB+∠ABC＝45°．故答案为：45．【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理和角平分线的性质等知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握．13．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，根据的数学道理三角形具有稳定性．【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性作答．【解答】解：桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，根据的数学道理三角形具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．【点评】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，是基础题型．14．三角形一边长为4，另一边长为7，且第三边长为奇数，则第三边的长为5，7，9．【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解．【解答】解：第三边的取值范围是大于3而小于11，又第三边长为奇数，故第三边的长为5，7，9．故答案为：5，7，9．【点评】考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．还要注意第三边长为奇数这一条件．15．三角形具有稳定性，要使一个四边形框架稳定不变形，至少需要钉1根木条．【分析】根据三角形的稳定性可得答案．【解答】解：如图所示：要使这个木架不变形，他至少还要再钉上1个木条，故答案为：1【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．16．在下列四个图形中，具有稳定性的是③（填序号）①正方形②长方形③直角三角形④平行四边形【分析】根据三角形具有稳定性对各图形分析后解答．【解答】解：在下列四个图形中，具有稳定性的是三角形．故答案为：③【点评】本题主要考查了三角形具有稳定性的性质，是基础题，但容易出错．17．在五边形ABCDE中，若∠A+∠B+∠C+∠D＝440°，则∠E＝100°．【分析】首先利用多边形的外角和定理求得正五边形的内角和，然后减去已知四个角的和即可．【解答】解：正五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝440°，∴∠E＝540°﹣440°＝100°，故答案为：100°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．18．把一块含60°的三角板与一把直尺按如图方式放置，则∠α＝120度．【分析】三角板中∠B＝90°，三角板与直尺垂直，再用四边形的内角和减去∠A、∠B、∠ACD即得∠α的度数．【解答】解：如图：∵在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，∠ACD＝90°，∴∠α＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠ACD＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°，故答案为：120．【点评】本题主要考查了多边形的内角和．关键是得出用四边形的内角和减去∠A、∠B、∠ACD即得∠α的度数．三．解答题（共8小题）19．用6根火柴能否组成四个一样大的三角形，若能，请说明你的图形．【分析】用6根火柴能组成四个一样大的三角形，把六根火柴棒组合成一个正三棱锥即可．【解答】解：首先用3根火柴棒拼成一个等边三角形，然后用3根火柴棒与原来的3根火柴棒组合成三棱锥，因为三棱锥有4个面，每个面都是一样大小的三角形，所以用6根火柴能组成四个一样大的三角形．【点评】此题主要考查了空间想象能力的应用，以及正三棱锥的特征和应用，要熟练掌握．20．（1）如图（1），已知，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B ＝30°，∠C＝50°．求∠DAE的度数；（2）如图（2），已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过F作FD⊥BC，若∠B＝x°，∠C＝（x+36）°，①∠CAE＝72°﹣x°（含x的代数式表示）②求∠F的度数．【分析】（1）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE＝∠CAB＝50°，∠ADC＝90°，则∠CAD＝90°﹣∠C ＝40°，然后利用∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD计算即可；（2）根据题意可知∠B＝x°，∠C＝（x+36）°，根据三角形的内角和定理可知∠ADC+∠DAC+∠C＝180°，∠ADC＝∠B+∠BAF，根据角平分线的性质，可知∠EAC＝∠BAF，可得出∠ADC的度数，再根据FD⊥BC，可得出∠F的度数．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，∵AD是△ABC角平分线，∴∠CAE＝∠CAB＝50°，∵AE分别是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝40°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝50°﹣40°＝10°；（2）①∵∠B＝x°，∠C＝（x+36）°，AF平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAF，∴∠CAE＝[180°﹣x°﹣（x+36）°]＝72°﹣x°，②∠AEC＝∠BAE+∠B＝72°，∵FD⊥BC，∴∠F＝18°．【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高以及三角形内角和定理，掌握三角形的角平分线、中线和高的概念，正确运用数形结合思想是解题的关键．21．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？【分析】根据三角形的稳定性解答．【解答】解：如图，根据三角形的稳定性可知，要使四边形木架不变形，至少要再钉上1根木条，要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条，要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条．【点评】本题考查的是三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．22．已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，求AC的取值范围．【分析】根据三角形的第三边应大于两边之差，而小于两边之和进行分析求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得6﹣4＜AC＜6+4，∴2＜AC＜10．AC的取值范围是：2＜AC＜10．【点评】本题考查了求三角形第三边的范围，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．23．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个n边形（n≥4）木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？【分析】从一个多边形的一个顶点出发，能做（n﹣3）条对角线，把三角形分成（n﹣2）个三角形．【解答】解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；要使一个n边形木架不变形，至少再钉上（n﹣3）根木条．【点评】本题考查了多边形以及三角形的稳定性；掌握从一个顶点把多边形分成三角形的对角线条数是n﹣3．24．四边形ABCD中，∠A＝145°，∠D＝75°．（1）如图1，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）①如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4），将原来条件“∠A＝145°，∠D＝75°”改为“∠F＝40°”，其他条件不变，∠BEC的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出∠BEC的度数．【分析】（1）先根据四边形内角和等于360°求出∠B+∠C的度数，再除以2即可求解；（2）先根据平行线的性质得到∠ABE的度数，再根据角平分线的定义得到∠ABC的度数，再根据四边形内角和等于360°求出∠BEC的度数；（3）①先根据四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD的度数，再根据角平分线的定义得到∠EBC+∠ECB的度数，再根据三角形内角和等于180°求出∠BEC的度数；②先根据三角形内角和等于180°求出∠FBC+∠BCF的度数，再根据角平分线的定义得到∠EBC+∠ECB的度数，再根据三角形内角和等于180°求出∠BEC的度数【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝145°，∠D＝75°，∴∠B+∠C＝360°﹣（145°+75°）＝140°，∵∠B＝∠C，∴∠C＝70°；（2）∵BE∥AD，∴∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣145°＝35°，∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，∴∠ABC＝70°，∴∠C＝360°﹣（145°+75°+70°）＝70°；（3）①∵四边形ABCD中，∠A＝145°，∠D＝75°，∴∠B+∠C＝360°﹣（145°+75°）＝140°，∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°；②不变．∵∠F＝40°，∴∠FBC+∠BCF＝180°﹣40°＝140°，∵∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．【点评】本题考查了多边形内角与外角，解决的关键是综合运用四边形的内角和以及三角形的内角和、熟练运用平行线的性质和角平分线的定义．25．如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4．AC与DE平行吗？请说明理由．【分析】由五边形ABCDE的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝36°，从而求出∠CAD＝108°﹣72°＝36°，得出内错角相等，可得两直线平行．【解答】答：AC∥DE，理由：∵五边形ABCDE的内角和＝540°，且每个内角都相等．∴∠B＝∠BAE＝∠E＝108°．∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4．∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝＝36°，∴∠CAD＝108°﹣36°×2＝36°，∴∠CAD＝∠4，∴AC∥DE．【点评】本题主要考查了平行线的判定、正五边形的内角和以及正五边形的有关性质．解此题的关键是能够求出∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝36°，和正五边形的每个内角是108°．26．（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝180°；（直接写出结果）（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为70°；（直接写出结果）②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？为什么？【分析】（1）根据三角形内角和解答即可；（2）①由四边形的内角和为360°以及角平分线的定义可得∠AOB+∠COD＝180°，据此解答即可；②由①得∠AOB+∠COD＝180°，从而得出∴∠ADO+∠BOD＝180°，可得∠AOD＝∠BOC＝90°，进而得出∠DAB+∠ADC＝180°，可得AB∥CD．【解答】解：（1）∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×2＝360°，∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，∴∠AOB+∠COD＝360°﹣180°＝180°．故答案为180；（2）①∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴，，，，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝，在四边形ABCD中，∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC＝360°，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝，在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°；∵∠AOB＝110°，∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．故答案为：70°；②AB∥CD，理由如下：∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴，，，，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝，在四边形ABCD中，∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC＝360°，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝，在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°；∴∠ADO+∠BOD＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝360°﹣180°＝180°，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD＝∠BOC＝90°．在∠AOD中，∠DAO＝∠ADO＝180°﹣∠AOD＝180°﹣90°＝90°，∵，，∴，∴∠DAB+∠ADC＝180°，∴AB∥CD．【点评】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握角平分线的性质和等量代换是解决问题的关键．。

11.1.3 三角形的稳定性一、单选题1．如图，在下列图形中，最具有稳定性的是（）A．B．C．D．2．要使如图所示的五边形木架不变形，至少要再钉上几根木条（）A．1根B．2根C．3根D．4根3．如图，工人师傅砌门时，为使长方形门框ABCD不变形，常用木条EF将其固定，这种做法的依据是（）A．两点之间线段最短B．长方形的对称性C．四边形具有不稳定性D．三角形具有稳定性4．我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥.如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（）A．三角形的不稳定性B．三角形的稳定性C．四边形的不稳定性D．四边形的稳定性5．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应钉在（）A．E，H两点之间B．E，G两点之间C．F，H两点之间D．A，B两点之间6．下列设计的原理不是利用三角形的稳定性的是（）A．由四边形组成的伸缩门B．自行车的三角形车架C．斜钉一根木条的长方形窗框D．照相机的三脚架7．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是()A．垂线段最短B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．三角形的稳定性8．下列图形中不具有稳定性的是（）A．B．C．D．9．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形经常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB和CD），这样做的依据是()A．三角形的稳定性.B．垂线段最短.C．长方形的轴对称性.D．两点之间线段最短.10．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（）A．E，G之间B．A，C之间C．G，H之间D．B，F之间11．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）A．0根B．1根C．2根D．3根12．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形具有稳定性D．两直线平行，内错角相等13．下列图形中，不具有稳定性的是（）A．B．C．D．14．下列图形中具有稳定性的是（）A．等边三角形B．正方形C．平行四边形D．梯形15．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短二、填空题16．盖房子的时候，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根本条的根据是.17．如图，要使五边形木架不变形，至少要再钉上根木条.18．2017年11月5日19时45分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是：．19．如图，为了固定门框形状，在其上钉一根木条，其根据是三角形的性.20．如图，建高层建筑需要用塔吊来吊建筑材料，塔吊的上部是三角形结构，其中的数学原理是．21．我们用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的.22．如图，是边长为25cm的活动四边形衣帽架，它应用了四边形的．23．王师傅在做完门框后，常常在门框上斜钉两根木条，这样做的数学原理是．24．工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），这样做的依据是．25．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是．26．工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的性．27．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是．三、选择题28．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间钱段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短29．如图小明做了一个方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案（）A．B．C．D．30．下列图形中具有稳定性的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形31．我们都有这样的生活经验，要想使多边形（三角形除外）木架不变形至少再钉上若干根木条，如图所示，四边形至少再钉上一根；五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉上三根；…，按照此规律，十二边形至少再钉上（）A．11根B．10根C．9根D．8根四、填空题32．工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的AB、CD 两根木条），这样做根据的数学知识是．33．如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答：．（填“稳定性”或“不稳定性”）34．空调安装在墙上时，一般都会象如图所示的方法固定在墙上，这种方法应用的数学知识是.35．人站在晃动的公共汽车上．若你分开两腿站立，则需伸出一只手去抓栏杆才能站稳，这是利用了.36．如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有性．37．在生活中，我们常常会看到如图所示的情况，在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，这样做的依据是.五、判断题38．如图1，在四边形木条框架中，任意添加1根对角线木条，就能使框架的形状稳定.判断下列说法是否正确.（1）在图2中任意添加2根对角线木条，都能使框架的形状稳定.（2）在图3中任意添加3根对角线木条，都能使框架的形状稳定.（3）图4是一个用螺钉将木条链接成的框架，颇具美感，它的形状是稳定的.六、作图题39．如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳定性、对称性、实用性等因素，请再加三根竹条与其顶点连接，设计出两种不同的连接方案（用直尺连接）．七、解答题40．如图，ABCD是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了根木条AE，小明的做法正确吗？说说你的理由．41．要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍？42．如图图形中哪些具有稳定性？43．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？44．如图，ABCD是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了根木条AE，小明的做法正确吗？说说你的理由．45．木工师傅在做完门框后为防止变形，常像下图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD两个木条，这是根据数学上什么原理？46．小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理八、解答题47．小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理．48．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】A10．【答案】A11．【答案】B12．【答案】C13．【答案】B14．【答案】A15．【答案】A16．【答案】三角形具有稳定性17．【答案】218．【答案】三角形具有稳定性19．【答案】稳定20．【答案】三角形的稳定性21．【答案】稳定性22．【答案】不稳定性23．【答案】三角形具有稳定性24．【答案】三角形的稳定性25．【答案】利用三角形的稳定性26．【答案】稳定27．【答案】三角形稳定性28．【答案】A29．【答案】B30．【答案】A31．【答案】C32．【答案】三角形的稳定性33．【答案】稳定性34．【答案】三角形具有稳定性35．【答案】三角形的稳定性36．【答案】稳定37．【答案】三角形具有稳定性38．【答案】（1）正（2）错误（3）正39．【答案】解：所画图形如下所示：40．【答案】解：根据三角形的稳定性可得出答案．小明的做法正确，理由：由三角形的稳定性可得出，四边形ABCD不再变形．41．【答案】解：图①四边形木架至少需要钉上1根木棍；图②五边形木架至少需要钉上2根木棍；图③六边形木架至少需要钉上3根木棍42．【答案】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然（1）、（4）、（6）3个．43．【答案】解：四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；五边形木架，至少要再钉上2根木条，使五边形变成3个三角形；六边形木架，至少要再钉上3根木条，使六边形变成4个三角形；n边形木架，至少要再钉上（n﹣3）根木条，使多边形变成（n﹣2）个三角形．44．【答案】解：小明的做法正确，理由：由三角形的稳定性可得出，四边形ABCD不在变形．45．【答案】解：如图加上AB，CD两个木条后，可形成两个三角形，防止门框变形．故这种做法根据的是三角形的稳定性．46．【答案】解：如图所示：根据三角形具有稳定性．47．【答案】解：如图所示：48．【答案】解：四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；五边形木架，至少要再钉上2根木条，使五边形变成3个三角形；六边形木架，至少要再钉上3根木条，使六边形变成4个三角形；n边形木架，至少要再钉上（n﹣3）根木条，使多边形变成（n﹣2）个三角形。

第三讲三角形的稳定性【学习目标】1．通过观察、感悟三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．2．三角形的稳定性在生活、生产中的实际应用．【新课讲解】知识点1：三角形的稳定性三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。

三角形具有稳定性，牢固，不易变形；四边形灵活性强，可伸可缩。

结论：三角形的三条边确定后，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性.四条边及四条边以上的图形都不具有稳定性，为保证其稳定性，常在图形中构造三角形.知识点2：三角形稳定性和四边形不稳定的应用三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用。

三角形广泛应用于人类的生产生活中，如三角尺、钢架桥、起重机、屋顶的钢架等，都是利用三角形的稳定性。

四边形用途广，像活动衣架、缩放尺、活动铁门等，是利用四边形的不稳定性。

理解“三角形的稳定性”“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.【例题1】下列图中具有稳定性的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】三角形具有稳定性。

一个四边形能能被分成两个三角形的图形就具有稳定性。

对于多边形，看有单独四边形出现，就没有稳定性，若四边形中有2个或者若干个三角形组成，这个多边形就有稳定性。

【例题2】下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说法正确的是 ( )A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值C.稳定性和不稳定性均有利用价值D.以上说法都不对【答案】C【解析】稳定性有的是有益的，有的是有害的。

要具体问题具体分析。

稳定性和不稳定性均有利用价值。

小结：三角形的稳定性过关检测满分100分，答题时间60分钟一、选择题（每小题5分，共30分）1.下列不是利用三角形的稳定性的是（）A. 自行车的三脚架B. 三角形的房架C. 照相机的支架D. 门框的长方形架【答案】D【解析】照相机的三脚架不是利用其稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性．故选D．2.下列具有稳定性的是（）A.正方形B.长方形C.三角形D.平行四边形【答案】C【解析】三角形具有稳定性。

人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的稳定性试题（含答案)下列说法正确的是（）A．三角形的三条中线交于一点B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形不一定具有稳定性D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部【答案】A【解析】【分析】根据三角形的性质、角平分线、高和中线的定义判断即可．【详解】解：A、三角形三条中线相交于一点正确，故本选项正确；B、只有锐角三角形三条高都在三角形内部，故本选项错误；C、三角形具有稳定性，故本选项错误；D、三角形的三条角平分线一定都在三角形内部，故本选项错误．故选A.【点睛】本题考查了三角形的稳定性、高线、中线、角平分线，是基础题，熟记概念是解题的关键．32．下列图形中具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可．【详解】解：A、不具有稳定性，故不符合题意；B、不具有稳定性，故不符合题意；C、具有稳定性，故符合题意；D、不具有稳定性，故不符合题意，故选C．【点睛】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，熟练掌握是解题的关键．33．下列图形不具有稳定性的是（）A．（A）B．（B）C．（C）D．（D）【答案】A【解析】【分析】根据三角形具有稳定性进行解题．【详解】A.由一个三角形和一个矩形组成，不具有稳定性；B.由两个三角形组成，具有稳定性；C.由三个三角形组成，具有稳定性；D.由六个三角形组成，具有稳定性．故选A．【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，熟练掌握三角形性质是本题解题的关键．34．下列选项中，有稳定件的图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据三角形的稳定性回答即可.【详解】A项，四边形不具有稳定性．故A项不符合题意．B项，三角形具有稳定性．故B项符合题意．C项，多边形对角线下方是四边形，不具有稳定性．故C项不符合题意．D项，多边形由2个三角形和一个四边形组成，四边形不具有稳定性，故D 项不符合题意.故选B.【点睛】本题主要考查三角形的稳定性.三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用,如钢架桥、房屋架梁等,因此要使一些图形具有稳定的结构,往往通过连接辅助线转化为三角形而获得.35．四边形不具有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是( )A．四边形的边长B．四边形的周长C．四边形的某些角的大小D．四边形的内角和【答案】C【解析】【分析】四边形具有不稳定性，形状改变时，变的是内角的度数，边长不发生变化．【详解】解：当四边形形状改变时，发生变化的是四边形的内角的度数，故选C．【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握四边形的不稳定性．36．下列事例应用了三角形稳定性的有( )①人们通常会在栅栏门上斜着钉上一根木条；②新植的树木，常用一些粗木与之成角度的支撑起来防止倒斜；③四边形模具．A．1个B．2个C．3个D．0个【答案】B【解析】【分析】只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性.【详解】①人们通常会在栅栏门上斜着钉上一根木条，利用三角形的稳定性；①新植的树木，常用一些粗木与之成角度的支撑起来防止倒斜，利用了三角形的稳定性；①四边形模具，四边形不具有稳定性；故应用了三角形稳定性的有2个.故选：B.【点睛】此题考查了三角形的特性：稳定性，应注意在实际生活中的应用.37．如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案( )A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据三角形具有稳定性，可在框架里加根木条，构成三角形的形状．【详解】因为三角形具有稳定性，只有B构成了三角形的结构．故选B．【点睛】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．38．下列是利用了三角形的稳定性的有（）个①自行车的三角形车架；②长方形门框的斜拉条；③照相机的三脚架；④塔吊上部的三角形结构．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】【分析】只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性．【详解】①自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性；②长方形门框的斜拉条，利用了三角形的稳定性；③照相机的三脚架，利用了三角形的稳定性；④塔吊上部的三角形结构，利用了三角形的稳定性，故利用了三角形稳定性的有4个，故选D．【点睛】本题考查了三角形的特性：稳定性，应注意在实际生活中的应用．39．如图，已知△ABC中，AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是（）A．AD⊥BC B．BF=CF C．BE=EC D．∠BAE=∠CAE 【答案】C【解析】【分析】根据三角形的高线，角平分线及中线的定义解答即可.【详解】①AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，①AD①BC，①BAE=①CAE，BF=CF，①A、B、D正确，C错误.故选C.【点睛】本题考查了三角形的高线，角平分线及中线的定义，熟练掌握三角形的高线，角平分线及中线的定义所隐含的数量关系式解答本题的关键.40．如果三条线段之比是：（1）2：2：3；（2）2：3：5；（3）1：4：6；（4）3：4：5，其中能构成三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】根据三角形三条边的关系逐组数验证即可.【详解】（1）①2+2>3,故能构成三角形；（2）2+3=5，故不能构成三角形；（3）1+4<6, 故不能构成三角形；（4）3+4>5，故能构成三角形.故选B.【点睛】本题考查了三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.。