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函数不定式极限的洛必达法则需要熟记的几个重要极限：需要知道的极限四则运算法则：设则（1）（2）（3）（4）注：上式不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。
另外，它对数列极限也实用。
需要知道的定理:1.若函数在点连续，2.若函数在点连续，在点连续，则复合函数在点连续。
用极限来表述就是如下：注：若复合函数的内函数当时极限为，而或在点处无定义（即为的可去间断点），又有外函数在点连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有上式不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。
比方说：3.若函数函数当时的极限存在，假设为，即，那么把换成正整数所得到的数列的极限也为，即.注：这个定理为我们求数列的极限提供了一条很好的途径，它告诉我们在求数列的极限时，可以先求出该数列所对应的函数当时的极限。
比方说：，那么目的：能用洛必达法则求“”、“”型不定式极限。
当（或）时，函数和都趋于零或都趋于无穷大，此时极限存在（或无穷大）称为不定式极限对于不定式的极限，不能直接用极限运算法则求得时，可用求导的方法解决。
下面介绍的洛必达法则，是求此类极限的有效方法。
一、洛必达法则1．“”型不定式当，时极限称为“” 型不定式定理1.若(1，；(2与在点的附近（点可除外）可导，且；(3存在(或无穷大则=注：上述定理不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。
例1. 求解：由洛必达法则知原式=例2. 求解：原式=例3. 求解：原式=例4. 求解：原式 ===．例5. 求解：原式=例6. 求解:原式==12．“”型不定式当，时极限称为“” 型不定式(1，；(2与在点的附近可导，且；(3存在（若无穷大），则＝注：上述定理不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。
例7．求解：原式＝＝＝＝１例8．求解：原式＝＝０例9．求（为正整数）解：原式＝＝＝…＝＝＝03．其它型不定式除了型和型以外，还有其它类型的不定式，它们可先化为、型然后再用洛必达法则求之。
洛必达法则的三个陷阱
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。
它的三个陷阱分别是：
1、求极限之前，先要检查是否满足0/0或∞／∞型构型，不然滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就无法用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，得从另外途径求极限，例如利用泰勒公式去求解。
2、洛必达法则是求未定式极限的有效工具，如果只用洛必达法则，往往计算比较繁琐，可以与其他方法相结合。
3、洛必达法则常用于求不定式极限，可以通过相应的变换转换成两种基本的不定式形式来求解。
洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。
这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。
洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。
通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。
洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。
洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。
洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。
若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。
示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。
假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。
首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。
总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。
洛必达法则求极限使用条件洛必达法则是求极限的一种方法，它能够帮助我们确定当自变量趋于某个值时，函数的极限值。
洛必达法则的使用条件包括以下几点：1.函数必须是可导函数：洛必达法则基于导数的概念，因此要使用该法则，函数必须是可导函数。
这意味着函数在极限点的附近必须存在导数。
2.极限点存在：洛必达法则适用于当自变量趋于某个特定值时的情况。
因此，在使用该法则之前，需要验证极限点是否存在。
3.极限不存在或者是不确定形式：洛必达法则的目的是求函数的极限值，因此只有在极限不存在或者无法计算的时候才需要使用该法则。
如果极限已经可以通过其它方法确定，那么就不需要使用洛必达法则。
以上是洛必达法则的使用条件。
下面将详细介绍洛必达法则的具体步骤和一些例子。
首先，洛必达法则主要通过比较函数的导数来确定极限。
具体来说，洛必达法则可以表述为如下形式：设函数f(x)和g(x)在点a的某个去心邻域内可导，并且在x=a处极限存在。
如果分别满足以下条件：1. lim[x→a]f(x) = 0且lim[x→a]g(x) = 02. lim[x→a]f'(x)和lim[x→a]g'(x)存在（即函数f(x)和g(x)的导数在极限点a上存在）3. lim[x→a]g'(x) ≠ 0 （即函数g(x)的导数在极限点a上不等于零）那么，可以得出以下结论：lim[x→a]f(x)/g(x) =lim[x→a]f'(x)/g'(x)也就是说，如果满足上述条件，我们可以通过求两个函数导数的极限比值来确定函数f(x)和g(x)在极限点a上函数值的极限。
接下来，我们通过一些具体的例子来进一步说明洛必达法则的使用。
例子1：设f(x) = sin(x)，g(x) = x，求当x趋于0时，f(x)/g(x)的极限。
根据洛必达法则的使用条件，我们先来计算f'(x)和g'(x)。
f'(x) = cos(x)g'(x) = 1当x趋于0时，f'(x) = cos(0) = 1，g'(x) = 1因此，根据洛必达法则，lim[x→0]sin(x)/x =lim[x→0]cos(x)/1 = cos(0) = 1所以，当x趋于0时，sin(x)/x的极限为1。
数论洛必达法则-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:数论洛必达法则是数学中一个重要的定理，它在解决极限计算问题中扮演着重要的角色。
洛必达法则主要用于解决形式为\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}的不定式极限问题。
这个法则的提出和应用，极大地简化了求解极限的复杂程度，成为数学分析中的重要工具。
在本文中，我们将对洛必达法则进行详细的介绍，包括其概念、应用和意义。
我们将深入探讨这一定理在数论领域中的重要性，以及它在数学研究和实际问题中的应用。
同时，我们也会对洛必达法则的局限性进行探讨，以及未来在这一领域中的发展展望。
通过本文的阐述，读者将更加深入地理解数论洛必达法则，并对数学研究中的极限问题有更深入的认识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将分为引言、正文和结论三部分进行阐述。
引言部分将从概述、文章结构和目的三方面介绍数论洛必达法则的重要性和意义。
正文部分将详细介绍洛必达法则的概念、应用和意义，包括其在数论领域的具体运用和影响。
结论部分将对洛必达法则进行总结，并讨论其局限性和未来的发展方向，以展望洛必达法则在数论研究中的潜力。
每个部分将以清晰的逻辑顺序和详细的论证来展现洛必达法则在数论领域的重要性和价值。
1.3 目的本文旨在深入探讨数论中的洛必达法则，并分析其概念、应用和意义。
通过对洛必达法则进行系统性的介绍和解读，旨在帮助读者更好地理解这一重要的数学原理，并且探讨洛必达法则在数论领域中的具体运用。
同时，本文也将对洛必达法则的局限性进行深入分析，并展望未来在数论研究中的潜在应用。
通过本文的阐述，读者将能够更全面地了解洛必达法则在数论领域中的重要性和意义，以及未来可能的发展方向。
2.正文2.1 洛必达法则的概念洛必达法则是数学中的一个重要概念，通常用于解决极限计算中的不定式形式。
它最初由意大利数学家洛必达（L'Hôpital）在17世纪提出，并在微积分学中得到广泛应用。
高中数学洛必达法则
高中数学中，洛必达法则是一种用于解决极限问题的方法。
它适用于形如 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 的不定式极限，通过对分子、分母同时求导，然后取极限的方式，可以得到相应的极限值。
具体来说，洛必达法则包含以下三个步骤：
1. 确定不定式极限形式，即 $frac{0}{0}$ 或
$frac{infty}{infty}$。
2. 对分子、分母同时求导，得到导数。
3. 取导数极限，即可得到原极限的值。
需要注意的是，洛必达法则只适用于一些特定的极限情况，对于其他类型的极限问题，可能需要使用其他方法来解决。
此外，在实际应用中，也需要注意洛必达法则的合理性和适用性，以避免出现误解和错误。
- 1 -。
洛必达法则(L'Hôpital's rule）是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
0/0型不定式极限若函数和满足下列条件：⑴，；⑵在点的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为±∞ ），则洛必达法则∞/∞型不定式极限若函数和满足下列条件：⑴，；⑵在点的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为或），则洛必达法则其他类型不定式极限不定式极限还有，，，，等类型。
经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限。
(1)型可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为型或型。
例：求解：原式=(2)型把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为型。
例：求解：原式=(3)型可利用对数性质将函数化简成以e为底数的指数函数，对指数进行求极限。
针对不同的问题，还可以利用等价无穷小作替换，化简算式。
例：求解：原式======上式求解过程中，利用了等价无穷小的替换，即把替换成了。
(4)型同上面的化简方法例：求解：原式=(5)型同上面的化简方法例：求解：原式=洛必达法则注意不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量是无法求导数的。
但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。
函数不定式极限的洛必达法则需要熟记的几个重要极限：11()11limlim0,lim lim 0,(1)limlim,(0)11lim (1)lim (1)lim (1)lim (1())=,(lim ()0)sin sin ()limlim1,()n x nxn x n x nxx n x x x x x nxq q q an b ax b a c cn dcx dcx e x nxx x xx ϕαααϕϕϕϕ→∞→+∞→∞→+∞→∞→+∞→∞→∞→∞→∆→∆→→∆====<++==≠+++=+=+=+===只需满足(lim ()0)x x ϕ→∆=只需满足需要知道的极限四则运算法则： 设0lim (),lim ().x x x x f x A g x B →→==则（1）0lim ()lim ()x x x x pf x p f x pA →→==（2）0lim [()()]lim ()lim ().x x x x x x pf x qg x p f x q g x pA qB →→→±=±=±（3）0lim [()()]lim ()lim ().x x x x x x pf x qg x p f x q g x pqAB →→→⋅=⋅=（4）0lim ()()lim,(0)()lim ()x x x x x x p f x A pf x pA qB qg x q g x BqB→→→==≠当时注：上式不仅对0x x →这种类型的极限成立，它对于x →∞，x →+∞，x →-∞，0x x +→，0x x -→这些类型的极限也都成立。
另外，它对数列极限也实用。
需要知道的定理:1.若函数f 在点0x 连续，00lim ()()x x f x f x →=2.若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，则复合函数g f 在点0x 连续。
用极限来表述就是如下：0lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→==注：若复合函数g f 的内函数f 当0x x →时极限为a ，而0()a f x ≠或f 在点0x 处无定义（即0x 为f 的可去间断点），又有外函数g 在点a 连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有lim (())(lim ())x x x x g f x g f x →→=上式不仅对0x x →这种类型的极限成立，它对于x →∞，x →+∞，x →-∞，0x x +→，0x x -→这些类型的极限也都成立。
比方说：0lim1x →===lim x →+∞==3.若函数函数f 当x →+∞时的极限存在，假设为a ，即l im ()x f x a →+∞=，那么把x 换成正整数n 所得到的数列{()}f n 的极限也为a ，即lim ()n f n a →∞=.注：这个定理为我们求数列的极限提供了一条很好的途径，它告诉我们在求数列的极限时，可以先求出该数列所对应的函数当x →+∞时的极限。
比方说：limx →+∞=limn →∞=目的：能用洛必达法则求“00”、“∞∞”型不定式极限。
当0x x →（或x →∞）时，函数)(x f 和()g x 都趋于零或都趋于无穷大，此时极限 0()lim()x x x f x g x →→∞存在（或无穷大）称为不定式极限对于不定式的极限，不能直接用极限运算法则求得时，可用求导的方法解决。
下面介绍的洛必达法则，是求此类极限的有效方法。
一、 洛必达法则 1．“00” 型不定式当0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x g x x 时极限0()lim()x x f x g x →称为“00” 型不定式定理1.若(1)0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x g x x ；(2))(x f 与)(x g 在点0x 的附近（点0x 可除外）可导，且0)('≠x g ；(3)0()lim()x x f x g x →'' 存在(或无穷大)则0()lim()x x f x g x →=0()lim()x x f x g x →''注：上述定理不仅对0x x →这种类型的极限成立，它对于x →∞，x →+∞，x →-∞，0x x +→，0x x -→这些类型的极限也都成立。
例1. 求01limxx e x→-解：由洛必达法则知原式=0(1)limlim 1xxx x e e x →→'-=='例2. 求2ln(1)lim x x x→+解：原式=2[ln(1)]1limlim()2(1)x x x x x x →→'+==∞'+例3. 求2cos lim2x x x ππ→-解：原式=22(cos )limlim (sin )1()2x x x x x πππ→→'=-=-'-例4. 求332132lim1x x x x x x →-+--+解：原式 =12333lim221---→x x x x =266lim1-→x x x =23．例5. 求02limsin xxx e e xx x -→---解：原式=02limlimlim21cos sin cos xxx xx xx x x e ee ee exxx---→→→+--+====-例6. 求arctan 2lim 1x x x π→+∞-解:原式=222211limlim11x x xx xx→+∞→∞-+=+-=12．“∞∞”型不定式当0lim ()x x f x →=∞，0lim ()x x g x →=∞时极限0()lim()x x f x g x →称为 “∞∞” 型不定式定理2 ．若(1)0lim ()x x f x →=∞，0lim ()x x g x →=∞；(2))(x f 与)(x g 在点0x 的附近可导，且0)('≠x g ； (3)0()lim()x x f x g x →''存在（若无穷大），则0()lim()x x f x g x →＝0()lim()x x f x g x →''注：上述定理不仅对0x x →这种类型的极限成立，它对于x →∞，x →+∞，x →-∞，0x x +→，0x x -→这些类型的极限也都成立。
例7．求0ln sin 3limln sin 2x xx+→解：原式＝033sin 2lim 2cos 2sin 3x cos x xx x+→＝03sin 2lim 2sin 3x xx +→＝32cos 2lim 233x x cos x+→＝１ 例8．求3ln limx x x→+∞解：原式＝2lim3x xx→+∞＝０例9．求limn xx x e→+∞（n 为正整数）解：原式＝1limn xx nx e-→+∞＝2(1)limn xx n n xe-→+∞-＝…＝!limxx n e→+∞＝1!lim xx n e→+∞＝03．其它型不定式 除了00型和∞∞型以外，还有其它类型的不定式，它们可先化为00、∞∞型然后再用洛必达法则求之。
例10．求0lim ln x x x +→分析：这是一个0⋅∞型的不定式极限，利用恒等变形ln ln 1x x x x=，就可将它转化为∞∞型的不定式极限，然后根据洛比达法则求之即可。
解：原式＝0021ln limlim lim ()011x x x x x x xx+++→→→==-=-例11．求11lim ()1ln x x x x+→--解： 这是∞-∞未定型，作恒等变形，通过“通分”将1ln (1)1ln (1)ln x x x x x xx x---=--转化为0未定型．原式=1ln (1)lim (1)ln x x x x x x+→---=11ln 1lim 1ln x xx xx x x+→+-=-+=1ln lim11ln x x xx +→-+=1211lim 112x x xx+→=+例12.求21lim (cos )x x x →解：这是1∞型不定式极限，作恒等变形1ln cos 221(cos )xxx x e⋅=，其指数部分的极限21limln cos x xx→是不定式极限，可先求得，21tan 1limln cos lim22x x x x xx→→-==-从而，再根据xe 的连续性知，1ln cos 2220111limln cos 2lim (cos )lim xx x xx xx x x ee e⋅→-→→===例13.求1ln 0lim (sin ),0kxx x k ++→≠（）解：这是00型不定式极限，恒等变形l n s i n 1l n 1l nl n (s i n )1l n (s in )k xkxx kxxx e e+++==，其指数部分的极限l n s i n l i m 1l n x k x x+→+是∞∞型不定式极限，可先求得，0cos ln sin sin lim lim lim cos 11ln sin x x x xkk x x x k x k xx x+++→→→==⋅⋅=+，然后，再根据xe 的连续性知，1ln 1ln 0lim ln(sin )ln(sin)1ln 0lim (sin )lim kk xx x kx x kx x x x ee e +++→+++→→===.例13.求1ln lim (x x x →+∞+解：这是0∞型不定式极限，恒等变形11ln(ln(ln ln (x x xxx ee⋅+==，其指数部分的极限1limln(ln x x x→+∞⋅+是∞∞型不定式极限，可先求得，11limln(lim1ln x x x xx→+∞→+∞⋅+==这里(ln((1x '+=+=然后，再根据xe 的连续性知，111ln(limln(ln ln ln lim (lim x x x xxxx x x eee →+∞⋅⋅→+∞→+∞+===二、练习： 1.求 ⋅≠→)0(sin limk xkx x2.求 ⋅+--+-→123lim2331x xx x x x3.求.sin 2limxx xee xx x ----→ 4.求 xx x 1arctan 2lim-+∞→π.5.求.ln cot ln limx xx +→ 6.求)0(ln lim>+∞→n xx nx .7.求⋅+∞→xnx ex λlim(n 为正整数, 0>λ) 8.求 .tan tan lim2xx x x x -→9.求 .)21ln()cos 1(3sin 3lim 0x x x x x +--→ 10.求 xxx x sin 1sinlim20→.1.求3113lim ()11x xx →--++ 2. 求2211lim21x x x x →---3.求4limx → 4.求0limx ax→三、小结；(1)使用法则前，必须检验是否属于0或∞∞ 未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；(2)如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤； (3)当(x)g (x)f ''lim 不存在(不包括∞的情况)时，并不能断定g(x)f(x)lim也不存在，此时应使用其他方法求极限．练习解答0型例1（E01）求 ⋅≠→)0(sin limk xkx x 解 原式)()(sin lim''=→x kx x 1cos limkx k x →=.k =例2（E02）求 ⋅+--+-→123lim2331x x x x x x解 原式12333lim221---=→x x x x 266lim1-=→x x x .23=例3（E03）求.sin 2limx x xee xx x ----→解 x x x ee xx x s i n 2lim----→xe e xxx c o s 12l i m---=-→xee xx x s i n l i m-→-=xee xx x c o s l i m-→+=.2=例4（E04）求 xx x 1arctan 2lim-+∞→π.解 xx x 1a r c t a n 2lim-+∞→π22111l i mxxx -+-=+∞→221limxxx +=+∞→1=注: 若求n nn n (1arctan 2lim-+∞→π为自然数）则可利用上面求出的函数极限,得11arctan 2lim=-+∞→nn n π.∞∞型例5（E05）求.ln cot ln limxxx +→解 xxx ln cot ln lim+→xxxx 1)s i n 1(c o t 1lim2-⋅=+→xx x x c o s s i n lim+→-=xxx xx x cos 1limcos sin lim++→→⋅-=.1-=例6（E06）求)0(ln lim>+∞→n xx nx .解 原式11lim-+∞→=n x nxx nx nx1lim+∞→=.0=例7（E07）求⋅+∞→xnx ex λlim(n 为正整数, 0>λ)解 反复应用洛必达法则n 次，得原式xn x enxλλ1lim-+∞→=xn x exn n λλ22)1(lim-+∞→-= =xn x en λλ!lim+∞→=.0=注：对数函数x ln 、幂函数n x 、指数函数)0(>λλx e 均为当∞→x 时的无穷大，但它们增大的速度很不一样，其增大速度比较: 对数函数<<幂函数<<指数函数.注: 对数函数x ln 、幂函数n x 、指数函数)0(>λλx e 均为当+∞→x 时的无穷大, 但它们增大的速度很不一样, 幂函数增大的速度远比对数函数快，而指数函数增大的速度又远比幂函数快.洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用, 效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.例8 求 .tan tan lim2xx x x x -→解 注意到,~tan x x 则有xx x x x tan tan lim2-→3tan limxx x x -=→2231seclimxx x -=→xxx x 6tan sec2lim2→=xx x x x tan limseclim 3102→→⋅=xx x tan lim310→=.31=注: 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用, 效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.例9（E08）求 .)21ln()cos 1(3sin 3limx x x x x +--→解 当0→x 时, ,21~cos 12x x -,2~)21ln(x x -故 )21l n ()c o s 1(3s i n 3limx x xx x +--→303s i n 3l i m x x x x -=→2033c o s 33lim xx x -=→x x x 23s i n 3lim 0→=.29= 例10（E09）求 xxx x sin 1sinlim2→.解 所求极限属于0的未定式.但分子分母分别求导数后，将化为,cos 1cos1sin2limxx xx x -→此式振荡无极限,故洛必达法则失效，不能使用.但原极限是存在的,可用下法求得:xx x x sin 1sin lim2→)1sinsin (lim 0xx xx x ⋅=→xx x x x x sin lim 1sin lim 00→→=.010==。
