【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修1双基限时练8

双基限时练(八)1．下列函数以π为周期的是( ) A ．y ＝cos 12xB ．y ＝sin xC ．y ＝1＋cos2xD ．y ＝cos3x答案 C2．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos2x .∴最小正周期为T ＝2π2＝π，且为偶函数．答案 B3．下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )解析 显然D 中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复出现．而A 、C 中每经过一个单位长度，图象重复出现．B 中图象每经过2个单位，图象重复出现．所以A 、B 、C 中函数是周期函数，D 中函数不是周期函数．答案 D4．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析 ∵f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，∴f (0)＝±1.∴sin φ3＝±1.∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )． ∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π2.故选C.答案 C5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析 ∵T ＝2πk4＝8πk≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13. 答案 D6．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0<x ≤π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于( )A ．1B.22 C ．0 D ．－22解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π× －3 ＋34π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝sin 34π＝22.答案 B7．函数y ＝12sin2x 的最小正周期T ＝________.解析 T ＝2π2＝π.答案 π8．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π6的最小正周期为π，则a ＝______. 解析 由最小正周期的定义知2π|a |＝π，∴|a |＝2，a ＝±2.答案 ±2 9．已知f (n )＝sinn π4(n ∈Z )，那么f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝________. 解析 ∵f (n )＝sin n π4(n ∈Z )，∴f (1)＝22，f (2)＝1，f (3)＝22，f (4)＝0，f (5)＝－22，f (6)＝－1，f (7)＝－22，f (8)＝0，…，不难发现，f (n )＝sin n π4(n ∈Z )的周期T ＝8，且每一个周期内的函数值之和为0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (100) ＝f (97)＋f (98)＋f (99)＋f (100) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4) ＝22＋1＋22＋0＝2＋1. 答案2＋110．函数y ＝cos x 1－sin x 1－sin x 的奇偶性为________．解析 由题意，当sin x ≠1时，y ＝cos x 1－sin x1－sin x＝cos x ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．答案 非奇非偶函数11．函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f x. 求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期． 解 因为f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2) ＝－1f x ＋2＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且4是它的一个周期．12．判断函数f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．解 ∵1＋sin 2x >|sin x |≥－sin x ， ∴sin x ＋1＋sin 2x >0. ∴定义域为R .又f (－x )＝ln []sin －x ＋1＋sin 2 －x ＝ln(1＋sin 2x －sin x ) ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋sin 2x ＋sin x ＝ln(1＋sin 2x ＋sin x )－1＝－ln(sin x ＋1＋sin 2x ) ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．13．设有函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3和函数g (x )＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2kx －π6(a ＞0，b ＞0，k ＞0)，若它们的最小正周期之和为3π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－3g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－1，求这两个函数的解析式．解 ∵f (x )和g (x )的最小正周期之和为3π2，∴2πk ＋2π2k ＝3π2，解得k ＝2. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，∴a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2－π3＝b cos ⎝⎛⎭⎪⎫4×π2－π6， 即a ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝b ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6.∴32a ＝32b ，即a ＝b .① 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－3g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－1， 则有a ·sin π6＝－3b ·cos 5π6－1，即12a ＝32b －1.② 由①②解得a ＝b ＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(八)1．函数f (x )＝|x ＋1|的图象为( )解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x ≤－1，x ＋1，x >－1，观察图象可得．答案 A2．映射f ：A →B ，在f 作用下A 中元素(x ，y )与B 中元素(x －1,3－y )对应，则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( )A ．(－1,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(－1,3)解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，3－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是(1,2)．答案 C3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)，f (x ＋2) (x <6)(x ∈N )，那么f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2. 答案 A4．已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤4}，下列对应关系不能构成从集合A 到集合B 的映射的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝32x C ．y ＝x 2D ．y ＝4x －1解析 由映射的定义知，在D 中，当x ＝2时，y ＝2×4－1＝7，而7∉B ，也就是说集合A 中的元素有的在B 中无对应元素．因此，D 不能构成从A 到B 的映射．答案 D5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2 (0≤x ≤1)，2(1<x <2)，3(x ≥2)的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0,3]D ．{y |0≤y ≤2，或y ＝3}解析 作出分段函数的图象易知． 答案 D6．下列各图表示的对应，构成映射的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析 从A 到B 的映射有：①，②，③. 答案 A7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2 (x ≤2)，2x (x >2)，若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≤2，x 20＋2＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>2，2x 0＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≤2，x 0＝±6，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>2，x 0＝4. ∴x 0＝－6，或x 0＝4. 答案 －6或48．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是________． 解析 由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴f (x )＝x ＋1；f (x )＝－x . 当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1.答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x <0，－x ， 0≤x ≤19．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <1，2－x ，x ≥1.画函数f (x )的图象，得值域是(－∞，1]．答案 (－∞，1]10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2，(1)在直角坐标系中画出f (x )的图象； (2)若f (t )＝3，求t 的值； (3)求f (x )在(－2,1)上的值域． 解 (1)函数f (x )的图象如下图．(2)当x ≤－1时，f (x )＝x ＋2，∴f (t )＝t ＋2＝3. ∴t ＝1，不符合题意舍去；当－1<x <2时，f (x )＝x 2，∴f (t )＝t 2＝3.∴t ＝3或t ＝－3，t ＝－3不符合题意舍去． 故t ＝3；当x ≥2时，f (x )＝2x ，∴f (t )＝2t ＝3. ∴t ＝32，不符合题意舍去． ∴t 的值为 3.(3)由(1)中图象知x ∈(－2,1)时，值域为[0,1]．11．如图所示，在边长为4的正方形ABCD 边上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A 点(终点)移动．设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f (x )．(1)求△ABP 的面积与P 移动的路程的函数关系式； (2)作出函数的图象，并根据图象求f (x )的最大值．解 (1)函数的定义域为(0,12)．当0<x ≤4时，S ＝f (x )＝12×4×x ＝2x ；当4<x ≤8时，S ＝f (x )＝12×4×4＝8；当8<x <12时，S ＝f (x )＝12×4×(12－x )＝24－2x .∴函数解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈(0，4]，8，x ∈(4，8]，24－2x ，x ∈(8，12).(2)图象如图所示．从图象可以看出f (x )max ＝8.12．某市乘出租车计费规定：2公里以内5元，超过2公里不超过8公里的部分按每公里1.6元计费，超过8公里以后按每公里2.4元计费．(1)写出乘车路程x (公里)与收费y (元)之间的函数关系式； (2)若甲、乙两地相距10公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付车费多少元？解 (1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (0<x ≤2)，5＋1.6×(x －2) (2<x ≤8)，14.6＋2.4×(x －8) (x >8)，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (0<x ≤2)，1.8＋1.6x (2<x ≤8)，2.4x －4.6 (x >8).(2)∵甲、乙两地相距10公里，即x ＝10>8， ∴应付车费y ＝2.4×10－4.6＝19.4(元)．即乘出租车从甲地到乙地共需要支付车费19.4元．。

双基限时练(八)1．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( ) A.12 B.32 C. 1D. 3解析 椭圆的右焦点(1,0)到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3－0|3＋1＝32.答案 B2．若椭圆a 2x 2－a2y 2＝1的一个焦点是(－2,0)，则a 为( ) A.1－54 B.1＋52 C.12D.22解析 由a 2x 2－a 2y 2＝1，得x 21a 2＋y2－2a＝1，∴a ＜0，∵焦点(－2,0)， ∴1a 2＋2a ＝4，即4a 2－2a －1＝0， 解得a ＝1－54，或a ＝1＋54(舍去)． 答案 A3．设P 是椭圆x 29＋y 25＝1上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋2)2＋y 2＝1和(x －2)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值和最大值分别为( )A ．4,8B ．6,8C ．8,12D ．2,6解析 设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，两圆的半径为R ，由题意可知|PM |＋|PN |的最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2R ，最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2R ，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，R ＝1，所以|PM |＋|PN |的最大值为8，最小值为4.答案 A4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．8解析 由题意，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3(1－x 24)，∵FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)， ∴OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3.此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2， ∵－2≤x 0≤2，∴当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6，选C. 答案 C5．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠3解析 把y ＝x ＋2代入x 2m ＋y 23＝1，并整理得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.Δ＝16m 2－4m (m ＋3)＝12m (m －1)， 由Δ>0，得m <0或m >1. ∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3. 答案 B6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点，作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →·OB→等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．－13或－3D ．±13解析 设椭圆的一个焦点F (1,0)，则直线l ：y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，并整理得3x 2－4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝43，∴y 1＝－1，y 2＝13.又OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝－13.答案 B7．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝12－3＝9.∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1，或y 212＋x 29＝1. 答案 x 212＋y 29＝1，或y 212＋x 29＝18．设P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，O 为坐标原点，F 为椭圆的左焦点，点M 满足OM →＝12(OP →＋OF →)，则|OM →|＋|MF →|＝________. 解析如图所示，F 0为椭圆的右焦点，连接PF 0， 由OM →＝12(OP →＋OF →)， 可知M 为PF 的中点， 则|OM →|＝12|F 0P →|，∴|OM →|＋|MF →|＝12|F 0P →|＋12|PF →|＝12(|F 0P →|＋|PF →|)＝a ＝2. 答案 29．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，以坐标原点O 为圆心，短半轴长为半径作圆O ，过椭圆的长轴的一端点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，若四边形P AOB 为正方形，则该椭圆的离心率为________．解析 如图，∵四边形OAPB 是正方形，且P A ，PB 为圆O 的切线，∴△OAP 是等腰直角三角形， 故b ＝c ，a ＝2c ，∴e ＝22. 答案 2210．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，且椭圆经过点N (2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1,2)为中点的弦所在直线的方程． 解 (1)由椭圆经过点N (2，－3)，得22a 2＋(－3)2b 2＝1，又e ＝c a ＝12，解得a 2＝16，b 2＝12. ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是以M 为中点的弦的两个端点，则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1.相减得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)16＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)12＝0. 整理得k AB ＝－12·(x 1＋x 2)16·(y 1＋y 2)＝38，则所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1)， 即3x －8y ＋19＝0.11．已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M ，N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN→＝0，求|MN |的最小值． 解 (1)设P (x ，y )，依题意，有(x －2)2＋y 2|x －22|＝22，整理，得x 24＋y 22＝1，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M ，N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0，∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0， 6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，∴y 1>0，y 2<0. ∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1·6y 1＝2 6.当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立． 故|MN |的最小值为2 6.12．如图椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程． 解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1.(a >b >0) 由e ＝12，得c a ＝12，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴x 24c 2＋y 23c 2＝1. 将A (2,3)代入，有1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2， ∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴直线AF 1的方程为y ＝34(x ＋2)， 即3x －4y ＋6＝0.直线AF 2的方程为x ＝2.由椭圆E的图形知，∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数．设P(x，y)为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，则有|3x－4y＋6|5＝|x－2|，若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0，其斜率为负，不合题意，舍去．于是3x－4y＋6＝－5x＋10，即2x－y－1＝0.∴∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x－y－1＝0.。

双基限时练(八)1．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝( )A．1 B．2C．3 D．4 解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(－1)4＝1.答案 A2．设n为自然数，则C0n2n－C1n2n－1＋…＋(－1)k C k n2n－k＋…＋(－1)n C n n＝( )A．－1 B．0C．1 D．2n解析由二项式定理知(2－1)n＝C0n2n－C1n2n－1＋C2n2n－2＋…＋C k n(－1)k2n－k＋…＋(－1)n C n n ＝1n＝1.答案 C3．若(1＋a)＋(1＋a)2＋(1＋a)3＋…＋(1＋a)n＝b0＋b1a＋b2a2＋…＋b n a n，且b0＋b1＋b2＋…b n＝30，则自然数n的值为( )A．6 B．5C．4 D．3解析令a＝1，得b 0＋b1＋b2＋…＋b n＝2＋22＋…＋2n＝n－2－1＝2n＋1－2，又b0＋b1＋b2＋…＋b n＝30，∴2n＋1－2＝30，解得n＝4.答案 C4．关于(a－b)10的说法，错误的是( )A．展开式中的二项式系数之和是1024B．展开式的第6项的二项式系数最大C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解析由二项式系数的性质知，C010＋C110＋C210＋…＋C1010＝210＝1024.∴A正确．又二项式系数最大的项为C510，是展开式的第6项．∴B正确．又由通项T r＋1＝C r10a10－r(－b)r＝(－1)r C r10a10－r b r知，第6项的系数－C510最小．∴D正确．答案 C5．若n∈N*，(2＋1)n＝2a n＋b n(a n，b n∈Z)，则b n的值( )A．一定是奇数B．一定是偶数C．与n的奇偶性相反D．与n的奇偶性相同解析取n＝1，n＝2，验证知A正确．答案 A6．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )A．5 B．6C．7 D．8解析(x＋y)2m的展开式共有2m＋1项，其中最大的二项式系数为C m2m，(x＋y)2m＋1的展开式中共2m＋2项，其中二项式系数最大的项为中间两项C m＋12m＋1＝C m2m＋1，依题意得a＝C m2m，b＝C m2m＋1，由13a＝7b，得13C m2m＝7C m2m＋1＝7(C m2m＋C m－12m)，∴6C m2m＝7C m－12m，即6C m2m＝7mm＋1·C m2m，解得m＝6.答案 B7．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．13 35 6 57 11 11 79 18 22 18 9………………解析由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，所以a n＝2n－1.答案2n－18．(x2－2x＋1)4的展开式中x7的系数是________．解析(x2－2x＋1)4＝[(x－1)2]4＝(x－1)8.由T r＋1＝C r8x8－r·(－1)r，当r＝1时，x7的系数为－C18＝－8.答案－89．若(x2＋1x3)n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________．(用数字作答)解析依题意得2n＝32，∴n＝5，∵T r＋1＝C r5(x2)5－r·(1x3)r＝C r5x10－5r.令10－5r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C25＝10. 答案 5 1010．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 6(k 是正整数)的展开式中，常数项小于120，则k ＝________.解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 6展开式的通项T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫k x r ＝k r C r 6x 12－3r ，由12－3r ＝0，得r ＝4，∴常数项为k 4C 46.依题意，得C 46k 4<120，即k 4<8.又k 为正整数，∴k ＝1. 答案 111．已知(1＋2x )n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的56，试求展开式中二项式系数最大的项．解 设第k ＋1项的系数是第k 项系数的2倍，是第k ＋2项系数的56，即⎩⎪⎨⎪⎧C k n 2k＝2·C k －1n ·2k －1，C k n 2k ＝56C k ＋1n ·2k ＋1，解得n ＝7.故二项式系数最大的项为T 4＝C 37·(2x )3＝280x32 ，或T 5＝C 47(2x )4＝560x 2. 12．已知(x 2－2x －3)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 20(x －1)20. (1)求a 2的值；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19的值及a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 20的值．解 ∵(x 2－2x －3)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 20(x －1)20， 令x －1＝t ，则展开式化为(t 2－4)10＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋…＋a 20t 20. (1)a 2＝C 910(－4)9＝－49×10. (2)令t ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝310，令t ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 20＝310，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19＝0a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 20＝310.。