实验八多元函数积分数学实验课件习题答案
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多元函数积分1. 利用积分区域的对称性化简多元函数的积分1.1 利用积分区域的对称性化简多元函数的重积分题型一 计算积分区域具有对称性,被积函数具有奇偶性的重积分类型(一) 计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分常用下述命题简化计算二重积分.命题1 若f(x,y)在积分区域D 上连续,且D 关于y 轴(或x 轴)对称,则(1)f(x,y)是D 上关于x (或y )的奇函数时,有⎰⎰=Ddxdy y x f 0),(;(2)f(x,y)是D 上关于x (或y )的偶函数时,有⎰⎰⎰⎰=D D dxdy y x f dxdy y x f 1),(2),(;其中D 1是D 落在y 轴(或x 轴)一侧的那一部分区域.命题2 若D 关于x 轴、y 轴对称,D 1为D 中对应于x ≥0,y ≥0(或x ≤0,y ≤0)的部分,则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-=D D y x f y x f y x f y x f y x f y x f dxdy y x f dxdy y x f ).,(),(),(,0),,(),(),(,),(4),(1或 命题3 设积分区域D 对称于原点,对称于原点的两部分记为D 1和D 2.(1);),(2),(),,(),(1⎰⎰⎰⎰==--D D d y x f d y x f y x f y x f σσ则若(2).0),(),,(),(⎰⎰=-=--Dd y x f y x f y x f σ则若命题4 积分区域D 关于y x ,具有轮换对称性,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==DD D d x y f y x f d x y f d y x f σσσ)],(),([21),(),( 记D 位于直线y=x 上半部分区域为D 1,则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-===D D y x f x y f y x f x y f dxdy y x f dxdy y x f ),,(),(,0),,(),( ,),(2),(1 类型(二) 计算积分区域具有对称性,被积函数具有奇偶性的三重积分.常用下述命题简化具有上述性质的三重积分的计算.命题1若Ω关于xOy 平面对称,而Ω1是Ω对应于z ≥0的部分,则⎪⎩⎪⎨⎧Ω∈∀=-Ω∈∀--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ;),,(),,,(),,(,),,(2,),,(),,,(),,(,0),,(1z y x z y x f z y x f d z y x f z y x z y x f z y x f d z y x f υυ 若Ω关于yOz 平面(或zOx 平面)对称,f 关于x (或y )为奇函数或偶函数有类似结论.命题2 若Ω关于xOy 平面和xOz 平面均对称(即关于x 轴对称),而Ω1为Ω对应于z ≥0,y ≥0的部分,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ为奇函数;或关于,当为偶函数,关于当z y f z y f d z y x f d z y x f 0,,),,(4),,(1υυ 若Ω关于xOz 平面和yOz 平面均对称(即关于z 轴对称),或者关于xOy 平面和yOz 平面均对称,那么也有类似结论.命题3 如果积分区域Ω关于三个坐标平面对称,而Ω1是Ω位于第一象限的部分,则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ为奇函数;或或关于,当均为偶函数,关于当z y x f z y x f d z y x f d z y x f 0,,,),,(8),,(1υυ 命题4 若积分区域Ω关于原点对称,且被积函数关于x,y,z 为奇函数,即.0),,(),,,(),,(=----=⎰⎰⎰Ωυd z y x f z y x f z y x f 则题型三 计算积分区域具有轮换对称性的三重积分命题5 如果积分区域关于变量x,y,z 具有轮换对称性(即x 换成y,y 换成z,z 换成x ,其表达式不变),则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ++===υυυυd y x z f x z y f z y x f d y x z f d x z y f d z y x f )],,(),,(),,([31),,(),,(),,(.1.2 利用积分区域的对称性化简第一类曲线积分、曲面积分题型一 计算积分曲线(面)具有对称性的第一类曲线(面)积分类型(一) 计算积分曲线具有对称性的第一类曲线积分命题1.2.1 设曲线L 关于y 轴对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,0,),(2),(1L L ds y x f s d y x f 是奇函数,关于是偶函数,关于x y x f x y x f ),(),( 其中L 1是L 在x ≥0的那段曲线,即L 1是L 在y 轴右侧的部分;若曲线L 关于x 轴对称,则有上述类似结论.命题1.2.2 设f(x,y)在分段光滑曲线L 上连续,若L 关于原点对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,LL ds y x f s d y x f ),(2,0),( 为偶函数,关于若为奇函数,关于若),(),(),(),(y x y x f y x y x f 其中L 1为L 的右半平面或上半平面部分.类型(二) 计算积分曲面具有对称性的第一类曲面积分第一类曲面积分的奇偶对称性与三重积分类似,可利用下述命题简化计算.命题1.2.3 设积分曲面Σ关于yOz 对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰∑∑1),,(2,0),,(dS z y x f dS z y x f 为偶函数,关于当为奇函数,关于当x z y x f x z y x f ),,(),,( 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.若Σ关于另外两坐标面有对称性,则有类似结论.注意 不能把Σ向xOy 面上投影,因第一类曲面积分的Σ投影域面积不能为0.题型二 计算平面积分曲线关于y=x 对称的第一类曲线积分命题1.2.4 若L 关于直线y=x 对称,则⎰⎰=L Lds x y f ds y x f ),(),(. 题型三 计算空间积分曲线具有轮换对称性的第一类曲线积分命题1.2.5 若曲线Γ方程中的三变量x,y,z 具有轮换对称性,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓΓΓ====ds z ds y ds x zds yds xds 222,. 1.3 利用积分区域的对称性化简第二类曲线积分、曲面积分题型一 计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反,有下述结论.命题1.3.1 设L 为平面上分段光滑的定向曲线,P(x,y),Q(x,y)连续,(1)L 关于y 轴对称,L 1是L 在y 轴右侧部分,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为偶函数;关于若为奇函数,关于若x y x P x y x P ),(),( ⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(Q 1L L dy y x Q dy y x .),(),(为奇函数关于若为偶函数,关于若x y x Q x y x Q (2)L 关于x 轴对称,L 1为L 在x 轴上侧部分,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为奇函数;关于若为偶函数,关于若y y x P y y x P ),(),(⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(1L L dy y x Q dy y x Q .),(),(为偶函数关于若为奇函数,关于若y y x Q y y x Q (3)L 关于原点对称,L 1是L 在y 轴右侧或x 轴上侧部分,则⎪⎩⎪⎨⎧+=+⎰⎰⎰,2,0),(),(1L L L Qdy Pdx dy y x Q dx y x P .),(),(),,(),(),(),,(为奇函数关于若为偶函数,关于若y x y x Q y x P y x y x Q y x P (4)L 关于y=x 对称,则.),(),(),(),(),(),(⎰⎰⎰+-=+=+-LL L dx x y Q dy x y P dx x y Q dy x y P dy y x Q dx y x P 即若L 关于y=x 对称,将x 与y 对调,则L 关于直线y=x 翻转,即L 化为L —.因而第二类曲线积分没有轮换对称性.题型二 计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分命题1.3.2 设Σ关于yOz 面对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰∑∑,0,),,(2),,(1dydz z y x P dydz z y x P .),,(),,(为偶函数关于当为奇函数,关于当x z y x P x z y x P 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.这里对坐标y 和z 的第二类曲面积分只能考虑Σ关于yOz 面的对称性,而不能考虑其他面,这一点也与第一类曲面积分不同.2. 交换积分次序及转换二次积分题型一 交换二次积分的积分次序※直接例题,无讲解.题型二 转换二次积分转换二次积分是指将极坐标系(或直角坐标系)下的二次积分转换成直角坐标系(或极坐标系)下的二次积分.由极坐标系(或直角坐标系)下的二次积分的内外层积分限写出相应的二重积分区域D 的极坐标(或直角坐标)表示,再确定该区域D 在直角坐标系(或极坐标系)中的图形,然后配置积分限.3. 计算二重积分题型一 计算被积函数分区域给出的二重积分含绝对值符号、最值符号max 或min 及含符号函数、取整函数的被积函数,实际上都是分区域给出的函数,计算其二重积分都需分块计算.题型二 计算圆域或部分圆域上的二重积分当积分区域的边界由圆弧、过原点的射线(段)组成,而且被积函数为)(22y x f y x m n +或)/(x y f y x m n 的形状时,常作坐标变换θθsin ,cos r y r x ==,利用极坐标系计算比较简单.为此,引进新变量r,θ,得到用极坐标(r ,θ)计算二重积分的公式:⎰⎰⎰⎰=')sin ,cos (),(D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ (其中rd θdr 是极坐标系下的面积元素). 用极坐标系计算的二重积分,就积分区域来说,常是圆域(或其一部分)、圆环域、扇形域等,可按其圆心所在位置分为下述六个类型(其中a,b,c 均为常数).类型(一) 计算圆域x 2+y 2≤a 上的二重积分.类型(二) 计算圆域x 2+y 2≤2ax 上的二重积分.类型(三) 计算圆域x 2+y 2≤-2ax 上的二重积分. 类型(四) 计算圆域x 2+y 2≤2ay 上的二重积分.类型(五) 计算圆域x 2+y 2≤-2ay 上的二重积分.类型(六) 计算圆域x 2+y 2≤2ax+2by+c 上的二重积分.4. 计算三重积分题型一 计算积分区域的边界方程均为一次的三重积分当积分区域Ω主要由平面围成时,宜用直角坐标系计算,如果积分区域Ω的边界方程中含某个坐标变量的方程只有两个,则可先对该坐标变量积分。
第七章 多元函数积分学典型习题解答与提示习 题 7-11.(1)2σ=⎰⎰DV x yd ; (2)|sin |σ=⎰⎰DV xy d 。
2.提示:利用σσ=⎰⎰Dd 。
3.(1)小于零; (2)零; (3)大于零; (4)大于零。
4.(1)利用估值不等式(),σσσ≤≤⎰⎰Dm f x y d M 易于发现,当(),x y 在边界时,函数1++x y 取得最小值和最大值,已知01,02≤≤≤≤x y ,故114≤++≤x y ,即1,4==m M ,122σσ==⨯=⎰⎰Dd ,所以()218σ≤++≤⎰⎰Dx y d ;(2)提示,()()11max ,,min ,100102====M f x y m f x y ,200σ=, 故10051原积分2≤≤。
5.(1)0; (2)0; (3)124=I I 。
习 题 7-21.(1)3223a ; (2)9; (3)12; (4)0。
2.(1)83;(2)16;(3)令=DI ,1022⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰I dx ,=t ,则21,2=-=-x t dx tdt ,()()()0122418212415I t t t dt tt dt =--=-=⎰⎰; (4)22222211arctan ⎤⎤==⎥⎥++⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰y y y D yy yx dxdy dx dy dy x y x y y()2111arctan arctan ln 1424ππ⎤⎡=-=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦y dy y y y y1ln 2122=-; (5)111111+-+++----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰x xx yx yx y x x Dedxdy dx e dy dx e dy1111110[][]+++-----=+⎰⎰x y x x y x x x e dx e dx()()01211211+---=-+-⎰⎰x x e e dx e e dx0121121101122+---⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x e e x ex e1=-e e。
一、本章学习要求与内容提要(一)学习要求1.了解二重积分的概念, 知道二重积分的性质.2.掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法. 3.会用二重积分解决简单的实际应用题(体积、质量). 4.了解曲线积分的概念和性质. 5.会计算简单的曲线积分.重点 二重积分的概念,直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算,曲线积分的概念,格林公式,曲线积分的计算,用二重积分解决简单的实际应用题.难点 直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算,格林公式,曲线积分的计算,用二重积分解决简单的实际应用题.(二)内容提要 1.二重积分设二元函数),(y x f z =是定义在有界闭区域D 上的连续函数,用微元法先找出体积微元,再累加求出总体,由这两步所得的表达式,即⎰⎰Dy x f σd ),(称为函数),(y x f z =在闭区域D 上的二重积分,其中),(y x f 称为被积函数,σd ),(y x f 称为被积表达式,D 称为积分区域,σd 称为面积元素,y x 与称为积分变量.2.二重积分的几何意义 在区域D 上当0),(≥y x f 时,⎰⎰Dy x f σd ),(表示曲面),(y x f z =在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积.当),(y x f 在区域D 上有正有负时,⎰⎰Dy x f σd ),(表示曲面),(y x f z =在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积的代数和.3. 二重积分的性质 (1)可加性[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDy x g y x f y x g y x f σσσd ),(d ),(d ),(),(.(2)齐次性⎰⎰⎰⎰=DDk y x f k y x kf )( d ),(d ),(为常数σσ.(3)对积分区域的可加性 设积分区域D 可分割成为1D 、2D 两部分,则有⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12d ),(d ),(d ),(D D Dy x f y x f y x f σσσ.(4)(积分的比较性质) 若),(),(y x g y x f ≥,其中D y x ∈),(,则σσd ),(d ),(⎰⎰⎰⎰≥DDy x g y x f .(5)(积分的估值性质) 设M y x f m ≤≤),(,其中D y x ∈),(,而M m ,为常数,则⎰⎰≤≤DM y x f m σσσd ),( ,其中σ表示区域D 的面积.(6)(积分中值定理)若),(y x f 在有界闭区域D 上连续,则在D 上至少存在一点D ∈),(ηξ,使得σηξσ),(d ),(f y x f D=⎰⎰.4. 二重积分的计算⑴ 二重积分在直角坐标系下的计算 直角坐标系下的面积元素y x •d d d =σ , ①若D :)()(21x y x ϕϕ≤≤,b x a ≤≤,则⎰⎰D y x y x f d d ),(=x y y x f x x b ad d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ϕϕ, ②若D : )()(21y x y ψψ≤≤,d y c ≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=y x y x f y x d cd d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ψψ. ⑵二重积分在极坐标系下的计算极坐标系下的面积元素θσd d d r r =,极坐标与直角坐标的关系⎩⎨⎧θ=θ=.sin ,cos r y r x若D : )()(21θθr r r ≤≤,βθα≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=⎰⎰Dr r r r f θθθd d )sin ,cos (=θθθθθβαd d )sin ,cos ()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰r r r r r r f . 5. 对坐标的曲线积分设L 是有向光滑曲线,j ),(i ),(),F(y x Q y x P y x +=是定义在L 上的向量函数,且),( , ),(y x Q y x P 在L 上连续,利用微元法,先写出弧微元j i l y x d d d +=,作乘积=w d L F d ⋅=y )y ,x (Q x )x ,x (P d d +,再无限累加,由这两步所得的表达式,即⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d 称为函数)y ,x (F 在有向曲线L 上对坐标的曲线积分,其中有向曲线L 称为积分路径.如果),( , ),(y x Q y x P 中有一个为零,则这时曲线积分的形式为⎰⎰y )y ,x (Q x )y ,x (P L Ld d 或,如果曲线L 是封闭曲线,L 上积分记为⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d .6.对坐标的曲线积分的性质① 设L 为有向曲线弧,-L 是与L 方向相反的有向曲线弧,则y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L d d d d +-=+⎰⎰-.② 如果21L L L +=,则有.y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L Ld d d d d d 21+++=+⎰⎰⎰7.格林公式 设D 是平面上以分段光滑曲线L 为边界的有界闭区域,函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上有一阶连续偏导数,则有格林公式⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+σd d d D L y P x Q y Q x P ,其中L 是区域D 的正向边界.8.曲线积分与路径无关(1)定义 设D 是一个单连通区域,将),(y x P 简称为),(,y x Q P 简称为Q ,如果对D 内任意指定的两点A ,B 以及D 内从A 点到B 点的任意两条不相同的曲线21 , L L ,若有y Q x P y Q x P L L d d d d 21+=+⎰⎰,则称曲线积分⎰+y Q x P L d d 在D 内与路径无关.这时,可将曲线积分记为⎰+BAy Q x P d d .(2)曲线积分与路径无关的定理 ①在单连通区域D 内,曲线积分⎰+y Q x P Ld d 与路径无关的充分必要条件是:对D 内任意一条闭曲线L ,均有⎰=+0d d y Q x P L.②设函数),(y x P 和),(y x Q 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数,则曲线积分⎰+Lx Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是:yPx Q ∂∂=∂∂在区域D 内恒成立. 9. 曲线积分的计算方法 ⑴积分路径由参数方程给出设xOy 面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==,)t (y ,)t (x ψϕ且满足:① 当参数t 单调地由α变到β时,曲线上的点由起点A 运动到终点B ; ② )(t ϕ,)(t ψ在以α和β为端点的闭区间I 上具有一阶连续导数,且()()0)()(22≠'+'t t ψϕ;③),(y x P ,),(y x Q 在有向曲线弧L 上连续.则曲线积分⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d 存在,且y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d +⎰={}t )t ()]t (),t ([Q )t ()]t (),t ([P d ψψϕϕψϕβα'+'⎰.⑵ 积分路径由)(x f y =给出设xOy 面上的有向曲线弧L 的方程为 )(x f y =,这时可先将有向曲线弧L 的方程看作是以x 为参数的参数方程⎩⎨⎧==,)x (f y ,xx 然后再按(1)中的方法计算.要特别注意:在将对坐标的曲线积分转换为定积分时,积分下限一定要对应积分路径的 起点, 积分上限一定要对应积分路径的终点.二 、主要解题方法1.在直角坐标系下二重积分的计算例1 计算 ⎰⎰Dy x y x d d 2其中D 由直线2=y ,x y =和曲线1=xy 所围成.解 画出区域D 的图形如图所示,求出边界曲线的交点坐标A (21,2), B (1,1), C (2,2),选择先对x 积分,这时D 的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,y x y,y 121 于是⎰⎰Dy x y xd d 2=x y x y y y d d 1221⎰⎰=y x y yy d ]3[11321⎰ =⎰-2142d )1(31y yy =3312111()333y y -+=7249 .分析 本题也可先对y 积分后对x 积分,但是这时就必须用直线1=x 将D 分1D 和2D 两部分.其中1D ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,21,121y xx 2D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,2,21y x x由此得⎰⎰D y x y x d d 2=⎰⎰1d d 2D y x y x +⎰⎰2d d 2D y x y x=y y x x xd d 212121⎰⎰+y y x x x d d 2221⎰⎰=⎰121212d ][ln x y x x+⎰2122d ][ln x y x x =⎰+1212d ]ln 2[ln x x x +⎰-212d ]ln 2[ln x x x=7249. 显然,先对y 积分后对x 积分要麻烦得多,所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤.例2 计算σ++⎰⎰d )1(Dy x ,其中D :1≤+y x .解 画出积分区域D 的图形, 观察被积函数,无论先对x 积分后对y 积分还是先对y 积分后对x 积分都需要将积分区域分成两部分,计算都较繁,这里选择先对y 积分后对x 积分,其中110,11,x D x y x -≤≤⎧⎨--≤≤+⎩201,11,x D x y x ≤≤⎧⎨-≤≤-⎩ 因此σ++⎰⎰d )1(Dy x =σ++⎰⎰d )1(1D y x +σ++⎰⎰d )1(2D y x =σ++⎰⎰+---d )1(d 1101x xy x x +σ++⎰⎰--d )1(d 1110x x y x x=4σ+⎰d )1(21-x +4x x d )1(1⎰-=423+103=. 例3 已知 I =x y x f y yd ),(d 010⎰⎰+x y x f y y d ),(d 2021⎰⎰- 改变积分次序.解 积分区域21D D D +=,其中1D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,0,10y x y 2D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,20,21y x y画出积分区域D 的图形, 改变为先对y 积分后对x 积分, 此时 D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,2,102x y x x 因此I =x y x f y yd ),(d 010⎰⎰+x y x f y y d ),(d 2021⎰⎰-=y y x f x x xd ),(d 221⎰⎰- .小结 把二重积分化为累次定积分的关键在于正确选择积分次序及积分的上、下限,这里要求上限大于下限.在具体计算重积分时,正确地利用对称性可以使计算简化,但是要注意:只有当积分区域和被积函数均关于所给坐标轴对称时,对称性才能应用,切不可只顾积分域而忘了被积函数.2. 在极坐标系下二重积分的计算 例4 计算⎰⎰σDx y d arctan ,其中D 由422=+y x , 122=+y x ,0=y ,x y = 所围成的第一象限内的区域.解 画出积分区域D 的图形,由于积分区域的边界曲线有圆周, 所以选极坐标系积分. 此时 θ=xyarctan,于是 ⎰⎰σDx yd arctan=⎰θ4π0d ⎰θ21d r r =⎰πθθ40d 212]2[r=234π22θ=6432π. 例 5 求半球体2220y x a z --≤≤在圆柱ax y x =+22(0>a )D 内那部分的体积.解 把所求立体投影到y x o 面,即圆柱ax y x =+22(0>a )内部,容易看出所求立体的体积以D 为底,以上半球面222y x a z --=为顶的曲顶柱体的体积.由于积分区域的边界曲线为圆周,所以采用极坐标系较好.2xθ此时D ⎪⎩⎪⎨⎧θ≤≤≤θ≤-,cos 0,2π2πa r故 V =y x y x a Dd d 222⎰⎰--=⎰-θ2π2πd ⎰θ-cos 022d a r r r a=32⎰θθ-2π033d )cos 1(a =(3π94-)3a . 小结 在计算二重积分时,当积分区域为圆形区域、圆环区域或扇形区域时,选择用极坐标为好,其他情况用直角坐标为宜.3.对坐标的曲线积分的计算方法例 6 设 I =⎰--Ly y x x xy x d d )3(222 ,其中L 是沿上半圆周22y x +=1上的点A (1,0)到)0,1(-B 一段弧,如图.解一 首先验证曲线积分是否与路径无关.223xy x P -=,y x Q 2-=,因为yP∂∂=xy 2-=x Q ∂∂ ,所以曲线积分与路径无关,可选一条简单路径,即选择线段AB 路径. 得I =⎰--ABy y x x xy x d d )3(222 ,在线段AB 上0=y ,0d =y ,x 从1到1-,所以I =⎰-112d 3x x =113-x =2-.解二 用参数方程代入法,设t 为参数t x cos = ,t y sin =,t 从0到π 得I =⎰---π222d ]cos sin cos )sin )(sin cos cos 3[(t t t t t t t t=⎰--π2d ]4sin 41sin cos 3[t t t t =(t 3cos +161cos4t )π=2-.显然,法一比法二简单.例7 计算⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( ,其中L 为),0(a A ,)0,(a B 联成直线段.解 显然积分路径不是封闭曲线,不能直接用格林公式, 加直线段BO ,OA 构成封闭曲线,所以⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( =⎰++---OABO L xxy y x y y d )1cos e (d )sin (e⎰-+--BOx x y y x y y d )1cos e (d )sin e (⎰-+--Axxy y x y y 0d )1cos e (d )sin e (,其中 y y P x -=sin e ,1cos e -=y Q x ,yp∂∂= 1cos e -y x ,x Q ∂∂= y x cos e .因为封闭曲线是反方向,所以由格林公式,得⎰++-+-OABO L x xy y x y y d )1cos e (d )sin e(=y x y Px Q D d d )(⎰⎰∂∂-∂∂-=y x Dd d ⎰⎰-=22a -. 又因为在BO 上0=y ,0=dy ,故⎰---BOxx y y x y y d )1cos e (d )sin e (=0. 在OA 上 0=x ,0d =x ,y 从0变到a ,于是⎰---Axx y y x y y 0d )1c o s e (d )s i n e ( =⎰-ay y 0d ]1[cos =a a -sin ,因此 ⎰---Lxxy y x y y d )1c o s e (d )s i ne (=--22a (a a -sin ). 小结 计算对坐标的曲线积分⎰+Ly y x Q x y x P d ),(d ),(,(1) 若在单连通域内x Q ∂∂=yP∂∂时,曲线积分与路径无关。
实验8多元函数积分学实验目的1.理解重积分的概念以及积分区域的绘制2.理解曲线积分以及曲面积分的概念及计算方法实验准备1.复习二(三)重积分、曲线积分、曲面积分的定义2.S习第一、二类型曲线积分的计算3.复习重积分、曲而积分的计算:直角坐标、柱坐标和球坐标。
实验内容1.二重积分的概念及计算2.三重积分的概念及计算3.曲线积分的概念及计算4.曲而积分的概念及计算软件命令多元函数积分学命令表曲而绘图函数实验示例【例8. 1】二重积分定义的几何演示2 2[Step 2]:画出/(x ,y )= —的图形和S (m ,n )所表示的体积;【Step 3】:改变m, n ,重复Stepl 和Step2。
【程序】:参见Int2DefDemo. m 【输出】:略。
【例8. 2】计算下列重积分:(1) 1 =axydydx ; (2)Hrx 2ydxdy :(3) 7 = ^ J r J . }(x 2 + y 2 + z 2)6/zJytZr ; (4) /+ 【程序及输出】.• (1) I=int (int (’ x*y’,’ y’,1,’ x’),’ x’,1,2)输出:9/8;(2) I 二dblquadC x. "2*/,1,2, 1,2)输出:3.5;JI (-x +^v-T~ dxdy ,D:\x\< ljy|<l 的积分和变化过程(极坐演示二重积分/二标和直角华标)。
【原理1二重积分的定义为:/(X ,),)"(7 = 1 户^玄/(€,",.。
D/=!【直角坐标系】:体积微元的底而而积为A CT , =Ar,.xA~,上式变成JJ /(A y )dcr = Jim D '=1【步骤】:(直角坐标)【Step 1】:对区域进行划分成mxw 等份即取取每个矩形的右上角点为(纟,77;),则 $ = -1 +,•*含,/ = 1,2,.",m;= -1 + y U = 1,2”",n(3)syms x y zF=int (int (int (x"2+y"2+z"2, z, sqrt (x*y),x^2*y), y, sqrt (x), x^2), x, 1, 2); VF2=vpa(F, 6)输出:224.922(4) syms x y zFl=int (int (int ((x+y+z) 2, z, 0, 1), y, 0, 1), x, 0, 1);VFl=vpa(FI, 6)输出:2.50000.【例8. 3】二重积分的计算求球体x2 + / + z2 < 4a2被圆柱面x2 + y2=2ax(a>0)所截成的(含在圆柱面内的部分)立体的体积。
第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+,求(1,)y f x。
解:222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+,试求(,,)f x y x y xy +-。
解: 2(,,)()()xyxf x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-,且当0y =时,2z x =,求()f x 。
解:将0y =代入原式得: 20(0)x x f x =++- ,故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域: ★(1)2ln(21)zy x =-+解:要使表达式有意义,必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★(2)z=解:要使表达式有意义,必须0x ≥, ∴{(,)|D x y x =≥★★(3)u=解:要使表达式有意义,必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★(4)z = 解:要使表达式有意义,必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★(5)ln()z y x =-+解:要使表达式有意义,必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限:★(1)10y x y →→知识点:二重极限。
思路:(1,0)为函数定义域内的点,故极限值等于函数值。
解:1ln 2ln 21y x y →→== ★★(2)00x y →→知识点:二重极限。
思路: 应用有理化方法去根号。
第七章 多元函数积分学典型习题解答与提示习 题 7-11.(1)2σ=⎰⎰DV xyd ; (2)|sin |σ=⎰⎰DV xy d 。
2.提示:利用σσ=⎰⎰Dd 。
3.(1)小于零; (2)零; (3)大于零; (4)大于零。
4.(1)利用估值不等式(),σσσ≤≤⎰⎰Dm f x y d M 易于发现,当(),x y 在边界时,函数1++x y 取得最小值和最大值,已知01,02≤≤≤≤x y ,故114≤++≤x y ,即1,4==m M ,122σσ==⨯=⎰⎰Dd ,所以()218σ≤++≤⎰⎰Dx y d ;(2)提示,()()11m ax ,,m in ,100102====M f x y m fx y ,200σ=,故10051原积分2≤≤。
5.(1)0; (2)0; (3)124=I I 。
习 题 7-21.(1)3223a ; (2)9; (3)12; (4)0。
2.(1)83; (2)16;(3)令=⎰⎰DI ,122⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰I dx ,=t ,则21,2=-=-x t dx tdt ,()()()0122418212415I tt t dt ttdt =--=-=⎰⎰;(4)22222211arctan ⎤⎤==⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰yyy Dyy yx dxdy dx dy dy x yx y y()2111arctan arctan ln 1424ππ⎤⎡=-=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦y dy y y y y1ln 2122=-;(5)0111111+-+++----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x y x yx yx x De dxdy dx edy dx edy1111110[][]+++-----=+⎰⎰x yx x yxx x edx edx()()01211211+---=-+-⎰⎰x x eedx e edx121121101122+---⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x e e x ex e 1=-e e。
第八章 多元函数积分学基 本 课 题 :8. 1 二重积分的概念与性质 目 的 要 求 :理解二重积分的概念与性质 重 点 :二重积分的性质 难 点 :8. 1 二重积分的概念教 学 方 法 : 讲授与讨论结合教 学 手 段 : 电子课件、黑板 教 参 :《高等数学》(人大理工类本科教材) 教学环节及组织: 复习并引入新课一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积.首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域:∆σ 1, ∆σ 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个∆σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为 高而底为∆σ i 的平顶柱体的体积为 : f (ξ i , η i ) ∆σi (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ). 这个平顶柱体体积之和:i i i ni f V σηξ∆≈=∑),(1.可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i ni f V σηξλ∆==→∑),(lim 10.其中λ是个小区域的直径中的最大值.定义 设f (x , y )是有界闭区域D 上的有界函数. 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域∆σ 1, ∆σ 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆σ n .其中∆σ i 表示第i 个小区域, 也表示它的面积. 在每个∆σ i 上任取一点(ξ i , ηi ), 作和i i i ni f σηξ∆=∑),(1.如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 记作σd y x f D⎰⎰),(, 即i i i ni Df d y x f σηξσλ∆==→∑⎰⎰),(lim ),(10. f (x , y )被积函数, f (x , y )d σ被积表达式, d σ面积元素, x , y 积分变量, D 积分区域, 积分和.直角坐标系中的面积元素:如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D , 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域∆σi 的边长为∆x i 和∆y i , 则∆σi =∆x i ∆y i , 因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素d σ 记作dxdy , 而把二重积分记作dxdy y x f D⎰⎰),(其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素.二重积分的存在性: 当f (x , y )在闭区域D 上连续时, 积分和的极限是存在的, 也就是说函数f (x , y )在D 上的二重积分必定存在. 我们总假定函数f (x , y )在闭区域D 上连续, 所以f (x , y )在D 上的二重积分都是存在的.二重积分的几何意义: 如果f (x , y )≥0, 被积函数f (x , y )可解释为曲顶柱体的在点(x , y )处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f (x , y )是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的.二. 二重积分的性质 性质1 设c 1、c 2为常数, 则σσσd y x g c d y x f c d y x g c y x f c DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+),(),()],(),([2121.性质2如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域, 则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和. 例如D 分为两个闭区域D 1与D 2, 则σσσd y x f d y x f d y x f D D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(.性质3σσσ==⋅⎰⎰⎰⎰DDd d 1(σ为D 的面积).性质4 如果在D 上, f (x , y )≤g (x , y ), 则有不等式σσd y x g d y x f DD⎰⎰⎰⎰≤),(),(.特殊地σσd y x f d y x f DD⎰⎰⎰⎰≤|),(||),(|.性质5 设M 、m 分别是f (x , y )在闭区域D 上的最大值和最小值, σ为D 的面积, 则有σσσM d y x f m D≤≤⎰⎰),(.性质6(二重积分的中值定理) 设函数f (x , y )在闭区域D 上连续, σ 为D 的面积, 则在D 上至少存在一点(ξ, η)使得σηξσ),(),(f d y x f D=⎰⎰.三、小结:二重积分的概念、几何意义、性质 四、作业:P158;1、2、4、5、7五、课后记载:基 本 课 题 :8. 2 二重积分的计算法 目 的 要 求 :掌握二重积分的计算法重 点 :直角坐标系下的二重积分的计算法 难 点 :极坐标系下的二重积分的计算法教 学 方 法 : 讲授与讨论结合教 学 手 段 : 电子课件、黑板 教 参 :《高等数学》(人大理工类本科教材) 教学环节及组织: 复习并引入新课一、利用直角坐标计算二重积分X --型区域:D : ϕ1(x )≤y ≤ϕ2(x ), a ≤x ≤b . Y --型区域:D : ψ1(x )≤y ≤ψ2(x ), c ≤y ≤d . 混合型区域:设f (x , y )≥0, D ={(x , y )| ϕ1(x )≤y ≤ϕ2(x ), a ≤x ≤b }.此时二重积分σd y x f D⎰⎰),(在几何上表示以曲面z =f (x , y )为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积.对于x 0∈[a , b ], 曲顶柱体在x =x 0的截面面积为以区间[ϕ1(x 0), ϕ2(x 0)]为底、以曲线z =f (x 0, y )为曲边的曲边梯形, 所以这截面的面积为⎰=)()(000201),()(x x dy y x f x A ϕϕ.根据平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体体积为⎰=badx x A V )(dx dy y x f b a x x ⎰⎰=]),([)()(21ϕϕ.即 V =dx dy y x f d y x f b a x x D⎰⎰⎰⎰=]),([),()()(21ϕϕσ.可记为⎰⎰⎰⎰=bax x Ddy y x f dx d y x f )()(21),(),(ϕϕσ.类似地, 如果区域D 为Y --型区域:D : ψ1(x )≤y ≤ψ2(x ), c ≤y ≤d ,则有⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy d y x f )()(21),(),(ψψσ.例1. 计算σd xy D⎰⎰, 其中D 是由直线y =1、x =2及y =x 所围成的闭区域. 解: 画出区域D .解法1. 可把D 看成是X --型区域: 1≤x ≤2, 1≤y ≤x . 于是⎰⎰⎰⎰=211][x Ddx xydy d xy σ⎰⎰-=⋅=2132112)(21]2[dx x x dx y x x 89]24[212124=-=x x . 注: 积分还可以写成⎰⎰⎰⎰⎰⎰==211211xx Dydy xdx xydy dx d xy σ.解法2. 也可把D 看成是Y --型区域: 1≤y ≤2, y ≤x ≤2 . 于是⎰⎰⎰⎰=212][y Ddy xydx d xy σ⎰⎰-=⋅=2132122)22(]2[dy y y dy x y y 89]8[2142=-=y y .例2. 计算σd y x y D⎰⎰-+221, 其中D 是由直线y =1、x =-1及y =x 所围成的闭区域.解 画出区域D , 可把D 看成是X --型区域: -1≤x ≤1, x ≤y ≤1. 于是⎰⎰⎰⎰-+=-+-122112211x Ddy y x y dx d y x y σ⎰⎰----=-+-=1131112322)1|(|31])1[(31dx x dx y x x21)1(32103=--=⎰dx x .也可D 看成是Y --型区域:-1≤y ≤1, -1≤x <y . 于是⎰⎰⎰⎰---+=-+111222211yDdx y x ydy d y x y σ.例3 计算σd xy D⎰⎰, 其中D 是由直线y =x -2及抛物线y 2=x 所围成的闭区域.解 积分区域可以表示为D =D 1+D 2,其中x y x x D ≤≤-≤≤ ,10 :1; x y x D ≤≤≤≤2 ,41 :2. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=41210xx x xD xydy dx xydy dx d xy σ.积分区域也可以表示为D : -1≤y ≤2, y 2≤x ≤y +2. 于是⎰⎰⎰⎰-+=2122y yDxydx dy d xy σ⎰-+=21222]2[dy y x y y ⎰--+=2152])2([21dy y y y 855]62344[21216234=-++=-y y y y .讨论积分次序的选择.例4 求两个底圆半径都等于ρ的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解 设这两个圆柱面的方程分别为x 2+y 2=ρ 2及x 2+z 2=ρ 2.利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积V 1, 然后再乘以8就行了.第一卦限部分是以D ={(x , y )| 0≤y ≤22x R -, 0≤x ≤ρ}为底, 以22x R z -=顶的曲顶柱体. 于是σd x R V D⎰⎰-=228⎰⎰--=R x R dy x R dx 0022228⎰--=Rx Rdx y x R 002222][83022316)(8R dx x R R=-=⎰.二. 利用极坐标计算二重积分有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量ρ 、θ 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分σd y x f D⎰⎰),(.按二重积分的定义i ni i i Df d y x f σηξσλ∆=∑⎰⎰=→1),(lim ),(.下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式.以从极点O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D 分为n 个小闭区域, 小闭区域的面积为:i i i i i i θρθρρσ∆⋅⋅-∆⋅∆+=∆2221)(21i i i i θρρρ∆⋅∆∆+=)2(21 i i i i iθρρρρ∆⋅∆⋅∆++=2)(i i i θρρ∆∆=, 其中i ρ表示相邻两圆弧的半径的平均值.在∆σi 内取点) , (i i θρ, 设其直角坐标为(ξ i , η i ), 则有 i i i θρξcos =, i i i θρηsin =.于是 i i ni i i i i i i ni i i f f θρρθρθρσηξλλ∆∆=∆∑∑=→=→110)sin ,cos (lim ),(lim ,即θρρθρθρσd d f d y x f DD)s i n ,c o s (),(⎰⎰⎰⎰=. 若积分区域D 可表示为ϕ 1(θ)≤ρ≤ϕ 2(θ), α≤θ≤β, 则ρρθρθρθθρρθρθρθϕθϕβαd f d d d f D⎰⎰⎰⎰=)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (.讨论:如何确定积分限?ρρθρθρθθρρθρθρθϕβαd f d d d f D⎰⎰⎰⎰=)(0)sin ,cos ()sin ,cos (ρρθρθρθθρρθρθρθϕπd f d d d f D⎰⎰⎰⎰=)(020)sin ,cos ()sin ,cos (.例5. 计算⎰⎰--Dy xdxdy e 22, 其中D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域.解 在极坐标系中, 闭区域D 可表示为 0≤ρ≤a , 0≤θ ≤2π . 于是⎰⎰⎰⎰---=DDy x d d e dxdy e θρρρ222θθρρπρπρd e d d e a a020200]21[ ][22⎰⎰⎰---==)1()1(212220a a e d e ---=-=⎰πθπ.注: 此处积分⎰⎰--Dy xdxdy e 22也常写成⎰⎰≤+--22222a y x y x dxdy e .利用)1(222222a a y x y xe dxdy e -≤+---=⎰⎰π计算广义积分dx e x 2-+∞⎰:设D 1={(x , y )|x 2+y 2≤R 2, x ≥0, y ≥0}, D 2={(x , y )|x 2+y 2≤2R 2, x ≥0, y ≥0}, S ={(x , y )|0≤x ≤R , 0≤y ≤R }. 显然D 1⊂S ⊂D 2. 由于022>--y x e , 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式⎰⎰⎰⎰⎰⎰------<<22222122D y xSy xD y xdxdy e dxdy e dxdy e .因为20)(22222⎰⎰⎰⎰⎰-----=⋅=Rx Ry Rx Sy x dx e dy edx edxdy e,又应用上面已得的结果有)1(42122R D y xe d x d y e ----=⎰⎰π,)1(422222R D y xe dxdy e ----=⎰⎰π,于是上面的不等式可写成)1(4)()1(4222220R Rx R e dx e e ----<<-⎰ππ.令R →+∞, 上式两端趋于同一极限4π, 从而220 π=-∞+⎰dx e x .例6 求球体x 2+y 2+z 2≤4a 2被圆柱面x 2+y 2=2ax 所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积.解 由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍. ⎰⎰--=Ddxdy y x a V 22244,其中D 为半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D 可表示为 0≤ρ≤2a cos θ , 2 0πθ≤≤.于是 ⎰⎰⎰⎰-=-=20cos 2022224444πθρρρθθρρρa Dd a d d d a V)322(332)sin 1(33222032-=-=⎰πθθπa d a .三、小结:积分的确定,直角坐标系下的二重积分与坐标系下的二重积分的解题步骤 四、作业:P158;1、2、4、5、五、课后记载:基本课题:8。
习题全解-第八章 多元函数微积分习题 8-11.在y 轴上求与点)7,3,1(-A 和点)5,7,5(-B 等距离的点。
解 设y 轴上有点)0,,0(y P 与A 和B 点等距离。
则PA ==PB ==由PA PB =得2=y即在y 轴上与点)7,3,1(-A 和点)5,7,5(-B 等距离的点为)0,2,0( 2.指出下列平面的特点,并画出草图:(1) 230x y -+=; (2) 350x -=; (3) 0x z -=; (4) 20x y +=; (5)0x y z --=; (6) 0z =. 解(1)方程中,0=C 平面平行于z 轴。
(2方程中,0==C B 平面平行于yoz 平面。
(3)方程中,0==D B 平面过y 轴。
(4)方程中,0==D C 平面过z 轴。
(5)方程中,0=D 平面过坐标原点。
(6)方程中,0===D B A 平面重合于xoy 平面。
3.指出下列方程所表示的曲面,并画出草图:(1) 2221x y z ++=; (2) 2240x y x +-=(3) 22194x y +=; (4) 2z y =; (5) 22244936x y z ++=; (6) 22214z x y +-=;(7) z =; (8) z =. 解 (1)表示球心在原点,半径为1的球面(2)表示母线平行于z 轴的圆柱面(3)表示母线平行于z 轴的椭圆柱面(4)表示母线平行于x 轴的抛物柱面(5)表示旋转椭球面(6)表示单叶双曲面(7)表示球心在坐标原点,半径为2的上半个球面(8)表示圆锥面4.写出下列旋转面的方程:(1) zOx 面上的直线2z x =分别绕x 轴、z 轴旋转而成的旋转面; (2) yOz 面上的抛物线23y z =绕z 轴旋转而成的旋转面; (3) yOz 面上的圆224y z +=绕y 轴旋转而成的旋转面; (4) xOy 面上的椭圆2244x y +=绕x 轴旋转而成的旋转面.解 (1)绕x 轴旋转:0)(4222=+-z y x ;绕y 轴旋转:0)(4222=+-y x z(2)0322=-+z y x (3)4222=++z y x(4)44222=++)(z y x 5.画出下列曲面所围立体的图形:(1)旋转抛物面228z x y =--与xOy 平面; (2)旋转抛物面22z x y =+与平面4z =; (3)圆柱面2216x y +=与平面4,0y z z +== (4)曲面22y x z +=与222y x z --=解 (1)(2)(3)(4)习题8-21.已知函数22),(xy y x y x f -=,试求)sin ,cos (y x y x f 解 22)sin (cos sin )cos ()sin ,cos (y x y x y x y x y x y x f -= y x y x y x y x 2222sin cos sin cos ⋅-⋅= )sin (cos sin cos 3y y y y x -= 2.已知函数vu vwu w v u f ++=),,(,试求),,(xy y x y x f -+解 x yx xy y x xy y x y x f 2)(),,(++=-+-3.求下列函数的定义域: (1))4ln(12222y x y x z --+-+=解 要使函数有意义,须使 ⎪⎩⎪⎨⎧>--≥-+04012222y x y x解得2214x y ≤+<所以函数的定义域为{}41),(22<+≤y x y x(2)x yy x f arcsin),(=解 要使函数有意义,须使⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≤-011x x y解得0>x 时,x y x ≤≤-;0<x 时,x y x -≤≤所以函数的定义域为{}x y x x y x ≤≤->,0),(⋃{}x y x x y x -≤≤<,0),((3)yx z -=解 要使函数有意义,须使⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-0y y x 解得yx y x ≥≥≥2,0,0所以函数的定义域为{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0),((4)2229z y x u ---=解 要使函数有意义,须使09222≥---z y x解得9222≤++z y x所以函数的定义域为{}9),(222≤++z y x y x4.下列函数在哪些点间断?(1)2132--+=x y x z解 当2=x 时,函数间断所以函数有一条间断线为{}2),(=x y x(2)44y x e z xy+=解 当,0==y x 时,函数间断所以函数间断点为)0,0(习题8-31.求下列函数的偏导数和全微分 (1)123+-=xy y x z解 223y y x x z -=∂∂ xy x y z23-=∂∂ dy xy x dx y y x dz )2()3(322-+-=(2))ln(xy x z =解 1)ln()ln(+=+=∂∂xy xyy x xy x z y xxy x x y z ==∂∂ dy y x dx xy dz ++=)1(ln(3)xy yx z +-=1解 22222)1(1)1(1)1()1)(()1()(xy y xy y xy xy xy xy y x xy y x x z ++=++-+=+'+--+'-=∂∂2222)1(1)1()()1()1()1)(()1()(xy x xy x y x xy xy xy y x xy y x y z ++-=+--+-=+'+--+'-=∂∂ dy xy x dx xy y dz 2222)1(1)1(1++-++=(4)22arcsin y x z +=解 2222222212211y x y x x y x x y x x z +--=+⋅--=∂∂ 2222222212211y x y x y y x y y x y z +--=+⋅--=∂∂ dy yx y x y dx y x y x x dz 2222222211+--++--= (5)32sin xz x y u +=解 32cos z x y x u +=∂∂ x y usin =∂∂ 26xz z u =∂∂dz xz xdy dx z x y du 236sin )2cos (+++=(6)zxy u )1(-=解 ðuðx=−yz(1−xy)z−1ðuðy=−xz(1−xy)z−1ðuðz =(1−xy)z ⋅ln(1−xy)()()()dz xy xy dy xy xz dx xy yz du zz z --+----=--1ln 11)1(112.设函数)2(),(sin y x e y x f x +=,求)1,0(x f '和)1,0(y f '解 因为xx x e y x x e f sin sin )2(cos ++=' 所以3)1,0(='x f因为)2(sin +='x e f x y 所以2)1,0(='y f3.设222),,(zx yz xy z y x f ++=,求)1,2,0(x f ',)2,0,1(xzf '',)0,1,0(-''yzf ,)1,0,2(zzxf '''。
第1篇一、实验目的1. 掌握多元函数积分的基本概念和计算方法。
2. 熟悉不同坐标系下多元函数积分的计算过程。
3. 学会运用数学软件进行多元函数积分的计算。
二、实验内容1. 多元函数积分的概念及性质2. 直角坐标系下二重积分的计算3. 极坐标系下二重积分的计算4. 三重积分的计算5. 第一类曲线积分的计算6. 第一类曲面积分的计算三、实验步骤1. 多元函数积分的概念及性质(1)定义:设函数f(x,y)在区域D上连续,将区域D划分为若干个子区域,每个子区域上取一点(x_i,y_i),构造积分和式:∮_D f(x,y) dxdy = ∑_i f(x_i,y_i) ΔS_i当子区域的直径趋于0时,积分和式极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D 上的二重积分。
(2)性质:线性性质、保号性、区域可加性、对称性。
2. 直角坐标系下二重积分的计算(1)画出积分区域D,确定积分限。
(2)选择积分次序,按照积分次序将二重积分转化为两个一重积分。
(3)计算一重积分。
3. 极坐标系下二重积分的计算(1)将直角坐标系下的积分区域D转换为极坐标系下的积分区域D'。
(2)将直角坐标系下的函数f(x,y)转换为极坐标系下的函数f(r,θ)。
(3)按照极坐标系下的积分次序计算二重积分。
4. 三重积分的计算(1)画出积分区域V,确定积分限。
(2)选择积分次序,按照积分次序将三重积分转化为三个一重积分。
(3)计算一重积分。
5. 第一类曲线积分的计算(1)确定曲线L的参数方程。
(2)计算曲线积分∮_L f(x,y) ds。
6. 第一类曲面积分的计算(1)确定曲面S的参数方程。
(2)计算曲面积分∮_S f(x,y,z) dS。
四、实验结果与分析1. 通过实验,掌握了多元函数积分的基本概念和计算方法。
2. 学会了在不同坐标系下进行多元函数积分的计算。
3. 运用数学软件进行多元函数积分的计算,提高了计算效率。
4. 通过实验,发现以下规律:(1)直角坐标系下二重积分的计算比极坐标系下二重积分的计算复杂。
第八章 多元函数微分法及其应用(A)1.填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2,x y z∂∂∂2 ,则在D 上,xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。
2.求下列函数的定义域(1)y x z -=;(2)22arccos yx z u +=3.求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→; (2)11lim 00-+→→xy xyy x ; (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4.设()xy x z ln =,求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。
5.求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =;(2)()xy z ln =;(3)32z xy e u =。
6.设u t uv z cos 2+=,t e u =,t v ln =,求全导数dt dz 。
7.设()z y e u x -=,t x =,t y sin =,t z cos =,求dtdu。
8.曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ,在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少? 9.求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
10.设y x ye z x 2sin 2+=,求所有二阶偏导数。
11.设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数,求x z ∂∂,yz∂∂。
12.设x y e e xy =+,求dxdy。
13.设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数,求x z ∂∂,y z ∂∂,yx z∂∂∂2。
天水师范学院数学与统计学院
实验报告
实验项目名称实验八多元函数积分
所属课程名称数学实验
实验类型上机实验
实验日期2013-5-14
班级10级数应(2)班
学号291010836
姓名吴保石
成绩
;
a*Sin[u]*Cos[v],
附录1:源程序
1
144
16932
NIntegrate Cos x^2y^2,x,0,Pi,y,0,Pi
1
8
1596
2 481
4
Log4
Sin81
4
Integrate x Cos y^2,y,0,9,x,0,y Sin81
4
1
4
116
1
4
116
Integrate Sin
r
,,Pi4,Pi2,r,2,1
Log2 22
2
5
Integrate g x,y,z,x,1,1,y,1x^2,1x^2,z,x^2y^2,1 22
1
105
121732
Clear x,y,z;
luj t,t^23,t;
D luj,t
1,2t
3
,
1
2t
3 2
2a7 105
a3a2
h2
h232
a2
h2
32
h232
附录2:实验报告填写说明
1.实验项目名称:要求与实验教学大纲一致。
2.实验目的:目的要明确,要抓住重点,符合实验教学大纲要求。
3.实验原理:简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4.实验环境:实验用的软、硬件环境。
5.实验方案(思路、步骤和方法等):这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验,要写明依据何种原理、操作方法进行实验,要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验,在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法,再配以相应的文字说明。
对于创新性实验,应注明其创新点、特色。
6.实验过程(实验中涉及的记录、数据、分析):写明具体实验方案的具体实施步骤,包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7.实验结论(结果):根据实验过程中得到的结果,做出结论。
8.实验小结:本次实验心得体会、思考和建议。
9.指导教师评语及成绩:指导教师依据学生的实际报告内容,给出本次实验报告的评价。