2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 设xx y )sin 1(+=，则π=x dy= ________________ .(2) 曲线x x y 23)1(+=的斜渐近线方程为___________.(3)=--⎰1221)2(xxxdx______________(4) 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为________________.(5) 当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k =________________ .(6) 设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B .二、选择题：7-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则()f x 在),(+∞-∞内 ( )(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.(8) 设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”， 则必有 ( )(A)()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数. (B)()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数. (C)()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数. (D)()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数.(9) 设函数()y y x =由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线()y y x =在3x =处的法线与x轴交点的横坐标是 ( )(A) 1ln 238+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+.(10) 设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()( ( )(A) πab . (B) π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2b a + .(11) 设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有 ( )(A) 2222yux u ∂∂-=∂∂. (B) 2222y u x u ∂∂=∂∂. (C) 222y uy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂.(12) 设函数,11)(1-=-x xex f 则 ( ) (A) 0x =，1x =都是()f x 的第一类间断点. (B) 0x =，1x =都是()f x 的第二类间断点.(C) 0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点. (D) 0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点.(13) 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是 ( )(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ.(14) 设A 为n (2≥n )阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B , **,B A 分别为,A B 的伴随矩阵，则 ( )(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分11分)设函数()f x 连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x(16)(本题满分11分)如图，1C 和2C 分别是)1(21xe y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点(,)M x y 分别作垂直于x 轴和y 轴 的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=(17)(本题满分11分)如图，曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0))与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数()f x 具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.(19)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)1f f ==. 证明：)(I)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；(II)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f(20)(本题满分10分)已知函数(,)z f x y =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且(1,1)2f =. 求(,)f x y 在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.(21)(本题满分9分)计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D(22)(本题满分9分)确定常数a ,使向量组,),1,1(1Ta =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.(23)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321(k 为常数)，且0AB =, 求线性方程组0AX =的通解.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【详解】先求出函数的导数,再求函数在某点的微分.方法1：利用恒等变形得xx y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+，从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法2：两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得1cos ln(1sin )1sin x x y x y x'=+++， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x+⋅++⋅+='，故 π=x dy =.)(dx dx y ππ-='(2)曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为___________.【详解】由求斜渐近线公式y ax b =+(其中()limx f x a x→∞=，lim[()]x b f x ax →∞=-)，得：32())limlim 1,x x f x a x →+∞=== []23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为.23+=x y(3)【详解】通过还原变换求定积分 方法1：令t x sin = (0)2t π<<,则=--⎰10221)2(x x xdx⎰-202cos )sin 2(cos sin πdt t t t t 220sin 2sin t dt t π=-⎰22200cos arctan(cos )1cos 4d t t t πππ=-=-=+⎰方法2t =，有221,x t =-所以有xdx tdt =-，其中01t <<.112001arctan 014dtt t π-===+⎰⎰(4)【答案】.91ln 31x x x y -=【详解】求方程()()dyP x y Q x dx+=的解，有公式()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ (其中C 是常数). 将原方程等价化为 x y xy ln 2=+'，于是利用公式得方程的通解 22[ln ]dx dx x xy e x e dx C -⎰⎰=⋅+⎰221[ln ]x xdx C x =⋅+⎰=211ln 39C x x x x-+, (其中C 是常数) 由91)1(-=y 得0C =，故所求解为.91ln 31x x x y -=(5)【详解】由题设，00()lim()x x x x βα→→=)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim 20x x x kx x x x x ++-+→ 201arcsin 1cos lim 2x x x x k x →+-=2001arcsin 1cos lim lim 2x x x x k x x →→-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦， 又因为 201cos 1lim 2x x x →-=，00arcsin lim arcsin lim 1sin x u x ux u xu →→ = =所以 0()11lim(1)()22x x x k βα→=+34k=由题设0→x 时()~()x x αβ，所以314k =，得.43=k(6)【答案】2 【详解】方法1：因为1231231()(,,)11αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1231231(24)(,,)24αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1231231(39)(,,)39αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故 123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 记123(,,)A ααα=，两边取行列式，于是有.221941321111=⨯=⋅=A B方法2：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)123123123,24,39B ααααααααα=++++++[2][1]1232323[3][1],3,28ααααααα--====++++[3]2[2]123233====,3,2αααααα-+++123233=2,3,αααααα+++[1][3]1223[2]3[3]====2,,αααα--+[1][2]123====2,,ααα-又因为123,,1A ααα==，故B 2A =2=.二、选择题 (7)【答案】C【详解】分段讨论，并应用夹逼准则，当||1x <时，≤≤，命n →∞取极限，得1n =，lim 1n →∞=，由夹逼准则得()1n f x ==；当||1x =时，()1n n f x ===；当||1x >时，33|||x x =<≤=，命n →∞取极限，得3||n x =，由夹逼准则得13331()lim ||(1)||.||n n n f x x x x →∞=+=所以 31,||1(),||1x f x x x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩再讨论()f x 的不可导点. 按导数定义，易知1x =±处()f x 不可导，故应选(C).(8)【答案】A 【详解】方法1：应用函数奇偶性的定义判定，函数()f x 的任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当()F x 为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即)()(x f x f =--，亦即)()(x f x f -=-，可见()f x 为奇函数；反过来，若()f x 为奇函数，则0()()xF x f t dt C --=+⎰，令t k =-，则有dt dk =-，所以 0()()()()()xxx F x f t dt C f k dk C f k dk C F x --=+=--+=+=⎰⎰⎰，从而 ⎰+=x C dt t f x F 0)()( 为偶函数，可见(A)为正确选项.方法2：排除法，令()1f x =, 则取()1F x x =+, 排除(B)、(C); 令()f x x =， 则取21()2F x x =, 排除(D);(9)【答案】A【详解】当3x =时，有322=+t t ，得121,3t t ==-(舍去，此时y 无意义)，曲线()y y x =的导数为 2111222(1)dy dy dt t dx dx t t dt+===++， 所以曲线()y y x =在3x =(即1t =)处的切线斜率为18于是在该处的法线的斜率为8-, 所以过点(3,ln 2)的法线方程为)3(82ln --=-x y ，令y =0, 得其与x 轴交点的横坐标为：32ln 81+, 故应(A).(10)【答案】D【详解】由于积分区域D 是关于y x =对称的, 所以x 与y 互换后积分值不变, 所以有=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()(σd x f y f x f b y f a D⎰⎰++)()()()(=12D d σ⎰⎰ =212.2242Da b a b a b d σππ+++=⋅⋅⋅=⎰⎰ 应选(D).(11)【答案】B 【详解】因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ，)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 于是 )()()()(22y x y x y x y x x u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，)()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ， )()()()(22y x y x y x y x y u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， 可见有2222yu x u ∂∂=∂∂，应选(B).(12)【答案】D【详解】由于函数()f x 在0x =，1x =点处无定义，因此是间断点.且 ∞=→)(lim 0x f x ，所以0x =为第二类间断点；0)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，所以1x =为第一类间断点，故应选(D).(13)【答案】B 【详解】方法1：利用线性无关的定义12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.设有数12,k k ，使得0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k 1211222()0k k k λαλα⇒++=.因12λλ≠，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故21,αα线性无关，则⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k 当122100λλλ=≠时，方程只有零解，则0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法2：将向量组的表出关系表示成矩阵形式12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.由于()()()1112111221221,(),,0A λααααλαλαααλ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭， 因12λλ≠，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，知21,αα线性无关. 若1α，)(21αα+A 线性无关，则()112,()2r A ααα+=，则()()11112122221112,min ,,2000r r r r λλλααααλλλ⎛⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=≤≤≤ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，故121220r λλ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，从而12120r λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而122100λλλ=≠ 若122100λλλ=≠，则12120r λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又21,αα线性无关，则()11122211,200r r λλααλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()()11121221,(),20r A r λαααααλ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).方法3：利用矩阵的秩12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.因12λλ≠，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故21,αα线性无关，又121122()A ααλαλα+=+，故1α，)(21αα+A 线性无关112(,())2r A ααα⇔+=又因为 ()()211122122,,αλαλαλααλα+=11将的-倍加到第列则111221222(,)(,)20r r αλαλααλαλ+==⇔≠(若20λ=，与122(,)2r αλα=矛盾) 方法4：利用线性齐次方程组12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.由12λλ≠，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故21,αα线性无关，112,()A ααα+线性无关11122,αλαλα⇔+线性无关⇔11122,0αλαλα+≠，⇔()11122,0X αλαλα+=只有零解，又()()1111221221,,0λαλαλαααλ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ⇔()1112221,00x x λααλ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭只有零解⇔12,αα线性无关时()12,0Y αα=只有零解，故1122100x Y x λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，只有零解，⇔1122100x Y x λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的系数矩阵是个可逆矩阵，⇔122100λλλ=≠，故应选(B)方法5：由12λλ≠，21,αα线性无关12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.向量组()12I :,αα和向量组()1121122II :,()A αααλαλα+=+. 显然向量组()II 可以由向量组()I 线性表出；当20λ≠时，不论1λ的取值如何，向量组()I 可以由向量组()II 线性表出11αα=，112111*********11()()()A λλααλαλααααλλλλ=-++=-⋅++， 从而()I ，()II 是等价向量组⇒当20λ≠时，()()1211122,,2r r αααλαλα=+=(14)【答案】(C) 【详解】方法1：由题设，存在初等矩阵12E (交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得B A E =12，(A 进行行变换，故A 左乘初等矩阵)，于是 ****1212()B E A A E ==，又初等矩阵都是可逆的，故 *1121212E E E -=， 又121E E =-=-(行列式的两行互换，行列式反号)，11212E E -=，故****1*1*1212121212B A E A E E A E A E --==⋅=-=-，即*12*B E A -=,可见应选(C).方法2：交换A 的第一行与第二行得B ，即12B E A =.又因为A 是可逆阵，121E E =-=-，故12120B E A E A A ===-≠， 所以B 可逆，且1111212()BE A A E ---==.又11,A B A B A B **--==，故12B A E B A**=，又因B A =-，故*12*B E A -=.三、解答题(15)【详解】 作积分变量代换，命x t u -=，则00()()()()xxxf x t dt f u du f u du -=-=⎰⎰⎰,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→xxxx x xx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 00)()()(lim)()()(lim=洛必达法则⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim=整理⎰⎰+→xxx x xf du u f dt t f 000)()()(lim0001()lim 1()()xx x x f t dt x f x f t dt x →=+⎰⎰上下同除 而 00000(())1lim ()lim lim ()(0)xxx x x f t dt f t dt f x f x x →→→'==='⎰⎰ 所以由极限的四则运算法则得，原式0001()lim1()()xx x f t dt x f x f t dt x →=+⎰⎰00001lim ()1lim ()lim ()x x x x f t dt x f x f t dtx →→=+⎰⎰(0)(0)(0)f f f =+(0)012f ≠=.(16) 【详解】由题设图形知，3C 在1C 的左侧，根据平面图形的面积公式得，⎰--=+-=xx t t x e dt e e x S 01)1(21)]1(21[)(，⎰-=ydt t t y S 12))((ln )(ϕ，由)()(21y S x S =，得⎰-=--y xdt t t x e 1))((ln )1(21ϕ，注意到(,)M x y 是xe y =的点， 于是⎰-=--y dt t t y y 1))((ln )1ln (21ϕ两边对y 求导得)(ln )11(21y y yϕ-=-， 整理上面关系式得函数关系为：.21ln )(yy y y x --==ϕ(17)【详解】由直线1l 过(0,0)和(2,4)两点知直线1l 的斜率为2. 由直线1l 是曲线C 在点(0,0)的切线，由导数的几何意义知(0)2f '=. 同理可得(3)2f '=-. 另外由点(3,2)是曲线C 的)一个拐点知(3)0.f ''=由分部积分公式，33220()()()()x x f x dx x x df x '''''+=+⎰⎰3320()()()(21)x x f x f x x dx ''''=+-+⎰ 3220(33)(3)(00)(0)()(21)f f f x x dx ''''''=+-+-+⎰=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-30330)(2)()12()()12(30(231)(3)(201)(0)2()f f f x dx '''=-⨯++⨯++⎰=.20)]0()3([216=-+f f(18)【详解】 由题设)0(cos π<<=t t x ，有sin dxt dt=-，由复合函数求导的链式法则得 dtdyt dx dt dt dy y sin 1-=⋅='，)sin 1(]sin 1sin cos [222t dt y d t dt dy t t dx dt dt y d y -⋅-=⋅'=''， 代入原方程，2222cos 111(1cos )[]()cos ()0sin sin sin sin t dy d y dyt t y t dt t dt t t dt--⋅---+=， 化简得022=+y dty d ，其特征方程为210r +=，特征根1,2r i =±, 通解为12cos sin y C t C t =+所以 221211sin cos x C x C t C t C y -+=+=，将初始条件01,x y==代入得，1210C C C =⨯+=，即21C =.而121y C x C C '''=+=+，将2x y ='=代入得112C C =+=，即12C =.将122,1C C ==代入通解公式得满足条件的特解为21 1.y x x =-<<(19)【详解】(I) 令x x f x F +-=1)()(，则()F x 在[0，1]上连续，且(0)10F =-<, (1)10F =>,于是由闭区间连续函数的介值定理知，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .(II) 在],0[ξ和]1,[ξ上对()f x 分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f(20)【详解】由ydy xdx dz 22-=知2,2z z x y x y ∂∂==-∂∂.对2zx x∂=∂两边积分得2(,)()z f x y x c y ==+. 将2(,)()z x y x c y =+代入2zy y∂=-∂得()2c y y '=. 所以2()c y y c =+. 所以22z x y c =-+.再由1,1x y ==时2z =知， 2c =. 于是所讨论的函数为222z x y =-+.求z 在2214y x +<中的驻点. 由2,2z zx y x y ∂∂==-∂∂得驻点(0,0)，对应的(0,0)2z f ==.讨论222z x y =-+在D 的边界22=14y x +上的最值，有两个方法. 方法1：把224(1)y x =-代入z 的表达式，有2222=52z x y x =-+-，11x -≤≤10x z x '=命0x z '=解得0x =，对应的2y =±，0,22x y z==±=-还要考虑11x -≤≤的端点1x =±，对应的0y =，1,03x y z =±==由2,2,3z z z ==-=比较大小，故min 2z =-(对应于0x =，2y =±)，max 3z =(对应于0x =，2y =±)方法2：用拉格朗日乘数法，作函数2222(,,)2(1)4y F x y x y x λλ=-+++-解方程组 2222(1)0,12022104xy f F x x x f y F y y y y F x λλλλλ⎧∂'=+=+=⎪∂⎪∂⎪'=+=-+=⎨∂⎪⎪'=+-=⎪⎩ 由上面的第一个方程解得0x =或1λ=-：当0x =时由最后一个方程解得2y =±；当1λ=-是由第二个方程解得0y =，这时由最后一个方程解得1x =±. 故解得4个可能的极值点(0,2),(0,2),(1,0),(1,0)--.计算对应z 的值：(0,2)(0,2)(1,0)(1,0)2,2,3,3zzzz--=-=-==再与(0,0)2z=比较大小，结论同方法1.(21) 【详解】D ：2210x y +-=为以O 为中心半径为1 的圆周，划分D 如下图为1D 与2D .这时可以去掉绝对值符号222222211,(,)11,(,)x y x y D x y x y x y D ⎧+-∈⎪+-=⎨--∈⎪⎩方法1：221Dx y d σ+-⎰⎰=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x后一个积分用直角坐标做，21122220(1)1)D x y dxdy dx x y dy +-=+-⎰⎰⎰312222011[(1)((1-)]33x x x dx =----⎰ 33221111222200002222[()(1)](1)3333x x dx x dx dx x dx =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰ 42012cos 33tdt π=-+⎰220121cos 2()332t dt π+=-+⎰2+y 2=1220121(12cos 2cos 2)334t t dt π=-+⨯++⎰201211cos 4(12cos 2)3342t t dt π+=-+⨯++⎰201211cos 4(12cos 2)33422t t dt π=-+⨯+++⎰20121321cos 4(2cos 2)33422342tt dt ππ=-+⨯⨯⨯+⨯+⎰12103834π=-++⨯⨯138π=-+.前一个积分用极坐标做，11222220011(1)(1)()248D x y dxdy d r rdr d πππθθ--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰. 所以221Dx y d σ+-⎰⎰=8π+138π-+=.314-π方法2：由于区域2D 的边界复杂，计算该积分较麻烦，可以将2D 内的函数“扩充”到整个区域D =12D D ，再减去“扩充”的部分，就简化了运算. 即222(1)d D x y σ+-=⎰⎰22(1)Dx y d σ+-⎰⎰122(1)D x y d σ-+-⎰⎰ 因此221D xy d σ+-⎰⎰=122(1)D x y d σ--⎰⎰222(1)D x y d σ++-⎰⎰122(1)D x y d σ=--⎰⎰+22(1)Dx y d σ+-⎰⎰122(1)D x y d σ-+-⎰⎰ 1222(1)D x y d σ=--⎰⎰+22(1)Dx y d σ+-⎰⎰由极坐标112222200011(1)(1)()248D x y dxdy d r rdr d πππθθ--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰. 而 3111222220001(1)(1)[(1)]03Dx x y d dy x y dx y x dy σ+-=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰311220011221[1]()[]033333y y dy y dy y =+-=-=-=-⎰⎰ 所以 221Dx y d σ+-⎰⎰=28π⨯13-=.314-π(22)【详解】方法1：记123123(,,),(,,)A B αααβββ==. 由于123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，故()3r A <，(若()3r A =，则任何三维向量都可以由123,,ααα线性表出)，从而111111a A a a =2222311111a a a a a+++把第、行加到第行1111(2)11(2)11a a a a ++提取第行的公因子11121(2)01031100a a a - +---行行行行13013(2)(1)11a a a +-+⋅-⨯⨯-按第列展开2(2)(1)a a =-+-0=(其中13(1)+-指数中的1和3分别是1所在的行数和列数)从而得1a =或2a =-.当1a =时，1231[1,1,1]Tαααβ====，则12312300αααβββ===+⋅+⋅，故123,,ααα可由123,,βββ线性表出，但2[2,1,4]Tβ=-不能由123,,ααα线性表出(因为方程组2123211111114111k k k β-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即123123123214k k k k k k k k k ++=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩无解)，故1a =符合题意.当2a =-时,由于122112[]122121242211B A ---⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦12211221000033312006000---⎡⎤-⎢⎥--⎢⎥+⨯⎢⎥-⎣⎦行行，行行 因2()2()3r B r B α=≠=，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，故方程组2BX α=无解，故2α不能由123,,βββ线性表出，这和题设矛盾，故2a =-不合题意.因此1a =.方法2：对矩阵),,,,(321321αααβββ =A 作初等行变换，有),,,,(321321αααβββ =A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11411111221a a a a a a a1221121022010*********a a a a a a a a a --⎡⎤-⎢⎥++-⎢⎥-⨯⎢⎥+--⎣⎦行行，行行 1221132202201000403(1)1a a a a a a a --⎡⎤⎢⎥-⨯++-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦行行， 当2a =-时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----330600030000211221 , 不存在非零常数123,,k k k ，使得123112230003006k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2α不能由321,,βββ线性表示，因此2-≠a ；当4a =时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----390000030660411221 ，3α不能由321,,βββ线性表示，不存在非零常数123,,k k k ，使得123412200663000k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因此4≠a . 而当2-≠a 且4≠a 时，秩3),,(321=βββr ，此时向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示. 又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==a a a a a a a B 41111122111),,,,(321321 βββααα21112221011022310110423a a a a a a a aa a --⎡⎤-⎢⎥--++⎢⎥-⨯⎢⎥--+⎣⎦行行，行行2111223201102200206342a a a a a a a a a --⎡⎤⎢⎥+--++⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦行行， 由题设向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，则方程组()1231x αααβ =或()1232x αααβ =或()1233x αααβ =无解，故系数矩阵的秩≠增广矩阵的秩，故()123()r B r ααα≠ .又当2-≠a 且4≠a 时，()3r B =，则必有01=-a 或022=--a a ，即1a =或2-=a .综上所述，满足题设条件的a 只能是：1a =.方法3：记()()123123,,,,,A B αααβββ==，对矩阵()A B 作初等行变换，得()12312311122(,,,,)111114aA B a a a a a a αααβββ--⎡⎤⎢⎥ ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 21112221011022310110423a a a a a a a a a a --⎡⎤-⎢⎥--++⎢⎥-⨯⎢⎥--+⎣⎦行行，行行 2111223201102200206342a a a a a a a a a --⎡⎤⎢⎥+--++⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦行行， 由于123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，故()3r A <，(若()3r A =，则任何三维向量都可以由123,,ααα线性表出)，从而111111a A a a =2222311111a a a a a +++把第、行加到第行1111(2)11(2)11a a a a ++提取第行的公因子 11121(2)01031100a a a -+---行行行行13013(2)(1)110a a a +-+⋅-⨯⨯-按第列展开2(2)(1)a a =-+-0=从而得1a =或2a =-.当1a =时，()111122000033000096A B -⎛⎫ ⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭，则12312300αααβββ===+⋅+⋅，123,,ααα可由123,,βββ线性表出，但由于()()212r A r A β=≠ =，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，方程组2Ax β=无解，2[2,1,4]T β=-不能由123,,ααα线性表出. 或由于()()312r A r A β=≠ =，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，方程组3Ax β=无解，3β不能由123,,ααα线性表出，即123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，故1a =符合题意.当2a =-时，()112122033000000006A B --⎛⎫ ⎪ =- ⎪ ⎪-⎝⎭，因()()323r A r A β=≠ =，，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，但()()223r B r B α=≠ =(或()33r B α =)，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，即2BX α=(或3BX α=)无解，即123,,ααα不能由123,,βββ线性表出，与题设矛盾，故2a =-不合题意.故1a =.(23)【详解】 由0AB =知，B 的每一列均为0Ax =的解，且.3)()(≤+B r A r (3是A 的列数或B 的行数)(1) 若9k ≠, 13,ββ不成比例，12,ββ成比例，则()2r B =, 方程组0Ax =的解向量中至少有两个线性无关的解向量，故它的基础解系中解向量的个数2≥，又基础解系中解向量的个数=未知数的个数()r A -3()r A =-，于是()1r A ≤.又矩阵A 的第一行元素(),,a b c 不全为零，显然()1r A ≥, 故()1r A =. 可见此时0Ax =的基础解系由3()2r A -= 个线性无关解向量组成，13,ββ是方程组的解且线性无关，可作为其基础解系，故0Ax = 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若9k =，则123,,βββ均成比例，故()r B =1, 从而.2)(1≤≤A r 故()1r A =或()2r A =.①若()2r A =, 则方程组的基础解系由一个线性无关的解组成，1β是方程组0Ax =的基础解系， 则0Ax =的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.②若()1r A =, 则A 的三个行向量成比例，因第1行元素(),,a b c 不全为零，不妨设0a ≠，则0Ax =的同解方程组为：0321=++cx bx ax , 系数矩阵的秩为1，故基础解系由312-=个线性无关解向量组成，选23,x x 为自由未知量，分别取231,0x x ==或230,1x x ==，方程组的基础解系为121,001b c a a ξξ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其通解为121210,,01b c a a x k k k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数.。
