2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1～6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． （1）曲线xx xx ycos 25sin 4-+=的水平渐近线方程为______．【答案】51=y【考点】水平渐近线 【难易度】★★ 【详解】解析：，51cos 25sin 41lim cos 25sin 4lim lim =-+=-+=∞→∞→∞→xx x xx x x x y x x x 所以水平渐近线方程为51=y . （2）设函数⎪⎩⎪⎨⎧==/=⎰,,0,d sin 1)(023x a x t t x x f x在x ＝0处连续，则a ＝______．【答案】13【考点】函数连续的概念 【难易度】★★ 【详解】解析：按连续性定义，313sin lim d sin lim)(lim )0(220320=====→→→⎰x x x t t x f f a x xx x ． （3）广义积分⎰+∞+022)1(d x xx ＝______．【答案】12【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★ 【详解】 解析：211121)1(d 21)1(d 02022222=+-=+=++∞∞+∞+⎰⎰x x x x x x（4）微分方程xx y y )1(-='的通解是______． 【答案】xy Cxe -=，C 为∀常数 【考点】变量可分离的微分方程【难易度】★★ 【详解】解析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得x xy y d )11(d -=. 积分得 1ln ln y x x C =-+，即1C x y ex e -=．因此，通解为xy Cxe -=，C 为∀常数． （5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则0|d d =x xy＝______． 【答案】e -【考点】隐函数的导数 【难易度】★★ 【详解】解析：在原方程中令0(0)1x y =⇒=．将方程两边对x 求导，并令0x =得y y y e xe y ''=--，(0)(0)y y e e '=-=-．（6）设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足BA ＝B ＋2E ，则B =______．【答案】2【考点】抽象型行列式的计算 【难易度】★★★ 【详解】解析：由BA ＝B ＋2E 得()2B A E E -=，两边取行列式，有4B A E ⋅-=．因为11211A E -==-，所以2B =． 二、选择题：7～14小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．（7）设函数y ＝f （x ）具有二阶导数，且x x f x f ∆>">',0)(,0)(为自变量x 在点x 0处的增量，∆y 与d y 分别为f （x ）在点x 0处对应的增量与微分，若∆x ＞0，则（ ） （A ）0＜d y ＜∆y ． （B ）0＜∆y ＜d y ． （C ）∆y ＜d y ＜0． （D ）d y ＜∆y ＜0． 【答案】（A ）【考点】函数单调性的判别；函数图形的凹凸性 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法1：因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加()0,f x ''> 则()f x 是凹的又0x >V ，故0dy y <<V .方法2：用两次拉格朗日中值定理000()()()y dy f x x f x f x x '-=+--V V V0()()f x f x x ξ''=-V V0()()f x x ηξ''=-V 其中000,x x x x ξηξ<<+<<V由于()0f x ''>，从而0y dy ->V 又由于0()0dy f x x '=>V ，故选(A )（8）设()f x 是奇函数，除x ＝0外处处连续，x ＝0是其第一类间断点，则t t f xd )(0⎰是（ ）（A ）连续的奇函数． （B ）连续的偶函数．（C ）在x ＝0间断的奇函数． （D ）在x ＝0间断的偶函数．【答案】（B ）【考点】积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法1（排除法）： 设 ()f x =1,00,01,0x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩此()f x 满足题设条件，它是一个奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点.0()()0xxx F x f t dt xx >⎧==⎨-<⎩⎰当当并且0(0)()0F f t dt ==⎰即 0()()000xx x F x f t dt x x x >⎧⎪==>⎨⎪-<⎩⎰当当当 ()F x 是一个连续的偶函数，所以不选(A )、(C )、(D )，只能选(B ).方法2（论证法）：由题设条件，()f x 除0x =外，处处连续，在0x =处为第一类间断点，且()f x 为奇函数，从而知，(0)0f =，且00lim ()lim ()0x x f x A f x A A +-→→-≠存在记为，存在， 作函数 (),0)0,0(),0f x A x x x f x A x ϕ->⎧⎪==⎨⎪-<⎩当（当当)x ϕ（为连续的奇函数,0()xt dt ϕ⎰为可导的偶函数.另一方面，00(),0()0,0(),0x x xf t dt Ax x t dt x f t dt Ax x ϕ⎧->⎪⎪==⎨⎪+<⎪⎩⎰⎰⎰当当当所以，00(),0()0,0(),0x xxt dt Ax x f t dt x t dt Ax x ϕϕ⎧->⎪⎪==⎨⎪+<⎪⎩⎰⎰⎰当当当 即()()xxf t dt t dt A x ϕ=+⎰⎰，所以0()xf t dt ⎰为连续的偶函数,故选(B ).（9）设函数()g x 可微，1()()g x h x e +=，(1)1h '=，(1)2g '=，则(1)g 等于（ ）（A ）ln3－1． （B ）－ln3－1．（C ）－ln2－1．（D ）ln2－1．【答案】（C ）【考点】复合函数的求导法则 【难易度】★★ 【详解】 解析：由1()()g x h x e +=两边对x 求导，得1()()()g x h x g x e+''=，再以1x =代入，并由已知数值得1(1)12g e+=，于是1(1)ln1ln 212g =-=--.故选(C ). （10）函数212x x xy C e C e xe -=++满足的一个微分方程是（ ）（A ）.e 32xx y y y =-'-" （B ）.e 32xy y y =-'-"（C ）.e 32xx y y y =-'+" （D ）.e 32xy y y =-'+"【答案】（D ） 【考点】线性微分方程解的结构定理；自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★★ 【详解】解析：该方程对应的齐次方程的特征根为1和-2，于是特征方程为2(1)(2)20λλλλ-+=+-=对应的齐次微分方程为 -20y y y '''+= 所以不选(A )与(B )，为了确定是(C )还是(D )，只要将特解xy xe *=代入方程左边，计算得()()-23xy y y e ***'''+=，故选(D ).（11）设f （x ，y ）为连续函数，则r r r r f d )sin ,cos (d 14π0θθθ⎰⎰等于（ ）（A ）⋅⎰⎰-y y x f x x xd ),(d 21220（B ）⋅⎰⎰-y y x f x x d ),(d 210220（C ）.d ),(d 22012x y x f y y y⎰⎰- （D ）.d ),(d 210220x y x f y y ⎰⎰-【答案】（C ）【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换 【难易度】★★ 【详解】 解析：y x y x f r r r r f Dd d ),(d )sin ,cos (d 14π0⎰⎰⎰⎰=θθθ．D 的极坐标表示是：0≤r ≤1，4π0≤≤θ．见右图．现转换为先x 后y 的积分顺序． 原式x y x f y y yd ),(d 21220⎰⎰-=．因此选（C ）．（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且0),(=/'y x y ϕ．已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（ ） （A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=． （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠． （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=． （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠．【答案】（D ）【考点】多元函数极值存在的必要条件；拉格朗日乘数法 【难易度】★★★ 【详解】解析：引入函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，有(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y f x y x y f x y x y x y λλϕλϕϕ'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩F =F =F =000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'Q 代入（1）得00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选D.（13）设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（ ） （A ）若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关． （B ）若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关． （C ）若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关． （D ）若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关． 【答案】（A ）【考点】向量组线性相关的判别法 【难易度】★★ 【详解】解析：方法1：若12,,,s αααL 线性相关,则存在不全为0的数12s ,,,k k k L 使得11220s s k k k ααα+++=L用A 左乘等式两边,得11220s s k A k A k A ααα+++=L于是12,,,s A A A αααL 线性相关. 方法2：因为：1.12,,,s αααL 线性相关⇔ 12(,,,)s r s ααα<L .2.()()r AB r B <. 所以有：矩阵1212(,,,)(,,,)s s A A A A αααααα=L L ,因此1212(,,,)(,,,)s s r A A A r s αααααα≤<L L由此可判断答案应为A .（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的－1倍加到第2列得C ，记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010011P ，则（ ） （A ）1C P AP -=． （B ）1C PAP -=．（C ）T C P AP =．（D ）TC PAP =．【答案】（B ）【考点】矩阵的初等变换；逆矩阵的计算 【难易度】★★ 【详解】解析：将A 的第2行加到第1行得B ，即 110010001B A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=PA将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，即110010001C B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记 BQ因PQ =110010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E =，故1Q P -=从而 11C BP PAP --== ,故选(B ).三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（15）（本题满分10分）试确定常数A ，B ，C 的值，使得23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小．【考点】高阶无穷小；泰勒公式；洛必达法则 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得11021026B A C B B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩由此可解得13A =， 23B =-，16C =方法二：用洛必达法则．由23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++，（0x →）⇒ )(记J0)1(e )1(lim 320=+-++-→x Ax Cx Bx x x ⇒ 203])1[(e 2limx Ax A Cx B x x +-++-→ （要求分子极限为0，即1＋B －A ＝0，否则J ＝∞）⇒ xAx A C J x x 6)12(e 2lim0--+=-→ （要求分子极限为0，即2A ＋2C －1＝0，否则J ＝∞），⇒ 06316)31(e lim0=-=+-=-→AAx A J x x ，即1－3A ＝0． 解 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=-+,031,0122,01A C A A B 得61,32,31=-==C B A ． （16）（本题满分10分）求.d e e sin arc x xx⎰【考点】不定积分的分部积分法；不定积分的第二类换元法 【难易度】★ 【详解】解析：x x xx x x x xx x x 2e1d e ee sin arc e de e sin arc d e e sin arc -+-=-=---⎰⎰⎰ 1)e (de e sin arc e 2---=---⎰x x xx其中，22sec tan sec sec ln sec tan ln ()1tan ()1x x x x x t te t dt tdt t t C e e C te -----===++=+-+-⎰⎰⎰因此，x x xd ee sin arc ⎰.|1e e |ln e sin arc e 2C x x x x +-+--=--- （17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥，计算二重积分⎰⎰⋅+++-=Dy x y x xyI d d 1122【考点】二重积分的计算；利用极坐标计算二重积分 【难易度】★★★ 【详解】解析：D 为右半单位圆，它关于x 轴对称，于是0d d 122=++⎰⎰y x y x xyD， 从而 ⎰⎰⎰⎰++=++=122221d d 2d d 11D Dy x yx y x yxI ． 又 {}10D D y =⋂≥，如图，作极坐标变换，cos x r θ=，sin y r θ=， 则 10,2π0:1≤≤≤≤r D θ．因此 2ln 2π)1ln(2πd 11d 21221022π0=+=+=⎰⎰r r r r I θ．（18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin n n x x +=（1,2,n =L ）． （Ⅰ）证明n n x ∞→lim 存在，并求该极限；（Ⅱ）计算.)(lim 211n x nn n x x +∞→【考点】函数极限与数列极限的关系；单调有界准则【难易度】★★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）由于0x π<<时，0sin x x <<，于是10sin n n n x x x +<=≤ 说明数列{}n x 单调减少且0n x >.由单调有界准则知lim n n x →∞存在.记为A递推公式两边取极限得 sin ,0A A A =∴=（Ⅱ）原式21sin lim(),n x n n nx x →∞=为∞"1"型 由于离散型不能直接用洛比达法则先考虑22011sin lim ln()0sin lim()t ttt t t t e t→→=用洛比达法则2323203311(cos sin )1110()0()lim 26cos sin sin 1262limlim2262t t t t t t t t t t t t t t tt t t ttteeeee →→→⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-=====g g（19）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++． 【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★ 【详解】证明：令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0x π<<时,()f x 单调增加（严格）()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+ ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴ 单调减少（严格）又()cos 0f ππππ'=+=，故0()0()x f x f x π'<< >时则单调增加（严格）()()b a f b f a >>由则，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且)(22y x f z +=满足等式.02222=∂∂+∂∂yzx z （Ⅰ）验证;0)()(='+"uu f u f （Ⅱ）若1)1(,0)1(='=f f ，求函数()f u 的表达式． 【考点】多元复合函数的求导法；变量可分离的微分方程 【难易度】★★★ 【详解】解析：（I）z zf fx y∂∂''==∂∂()22222z xf fx x y x y ∂'''=+∂++()()22322222x yf fx y x y '''=+++()() 22232 22222z y xf fy x y x y∂'''=+∂++同理222200()()0z zfx yf uf uu∂∂''+==∂∂'''∴+=代入得成立（II）令(),f u p'=于是上述方程成为dp pdu u=-，则dp ducp u=-+⎰⎰ln ln,()cp u c f u pu'=-+∴==22(1)1,1,()ln||,(1)0,0()ln||f c f u u c f c f u u'===+===由得，于是22(1)1,1,()ln||,(1)0,0()ln||f c f u u c f c f u u'===+==∴=由，（21）（本题满分12分）已知曲线L的方程为)0(4,122≥⎪⎩⎪⎨⎧-=+=tttytx，（Ⅰ）讨论L的凹凸性；（Ⅱ）过点（－1，0）引L的切线，求切点（x0，y0），并写出切线的方程；（Ⅲ）求此切线与L（对应于x≤x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积．【考点】导数的几何意义；由参数方程所确定的函数的导数；平面图形的面积【难易度】★★★【详解】解析：（Ⅰ）4222,42,12dx dy dy tt tdt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dydd y dxtdxdx dt t t tdt⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<>⎪⎝⎭处∴曲线L （在0t >处）是凸.（Ⅱ）切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则 2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+⎪⎝⎭得 200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=Q点为（2，3），切线方程为1y x =+（Ⅲ）设L 的方程()x g y =, 则 ()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+==±=±+解出t 得由于（2，3）在L上，由(23221()y x x g y ===-+=得可知(309(1)S y y d y ⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy y =--⎰33332202(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-8642213333=+-=-（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-++-=+++13,1534,1432143214321bx x x ax x x x x x x x x有3个线性无关的解．（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求a ，b 的值及方程组的通解．【考点】非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系；非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★ 【详解】解析：(Ⅰ)设123,,ααα是方程组的3个线性无关的解,则2131,αααα--是0Ax =的两个线性无关的解.于是0Ax =的基础解系中解的个数不少于2,即4()2r A -≥,从而()2r A ≤.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以()2r A ≥. 两个不等式说明()2r A =.(Ⅱ)对方程组的增广矩阵作初等行变换:[]A b = 1111|11111|14351|10115|3,13|1004245|42a b a a b a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+--⎣⎦⎣⎦由()2r A =,得出 2,a = 3b =-.代入后继续作初等行变换:1024|20115|3.0000|0-⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎣⎦得同解方程组 1342342-24-3-5x x x x x x =+⎧⎨=+⎩求出一个特解(2,3,0,0)T-和0Ax =的基础解系(2,1,1,0)T-,(4,5,0,1)T-.得到方程组的通解: 12(2,3,0,0)(2,1,1,0)(4,5,0,1)T T Tc c -+-+-，12,c c 任意.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量1(1,2,1)T α=--，2(0,1,1)Tα=-是线性方程组0Ax =的两个解．（Ⅰ）求A 的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ，使得Q T AQ ＝Λ．【考点】矩阵的特征值的计算；矩阵的特征向量的计算；施密特正交化；相似对角矩阵 【难易度】★★★ 【详解】解析：(Ⅰ) 由A 的每行元素之和为3，有(1,1,1)(3,3,3)T TA =故，0(1,1,1)Tα=是A 的特征向量,特征值为3.又12,αα都是0AX =的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于12,αα线性无关, 特征值0的重数大于1. 于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:0c α, c 0≠.属于0的特征向量: 1122c c αα+，12,c c 不都为0. (Ⅱ)将0α单位化,得0333(, , )333T η=. 对12,αα作施密特正交化,得122(0, , )22T η=-,2666( )366Tη=--. 作123(,,)Q ηηη=,则Q 是正交矩阵,并且-13 0 00 0 00 0 0T Q AQ Q AQ ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭。
