专题四 第2讲高二理科学生版

第2讲空间中的平行与垂直
热点一空间线面位置关系的判定
例1(1)设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是()
A．若a⊥α且a⊥b，则b∥α
B．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β
C．若a∥α且a∥β，则α∥β
D．若γ∥α且γ∥β，则α∥β
(2)平面α∥平面β的一个充分条件是()
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个
命题：
①若α⊥β，m∥α，则m⊥β
②若m⊥α，n⊥α，则m∥n
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α
④若n⊥α，n⊥β，则β∥α
其中真命题的序号为()
A．①③B．②③
C．①④D．②④
热点二平行、垂直关系的证明
例2如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)P A⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面P AD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD
为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
求证：(1)AF∥平面BCE；
(2)平面BCE⊥平面CDE.
热点三图形的折叠问题
例3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB 的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE 的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由．
如图(1)，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB
＝BC＝2AD＝4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE＝x.沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图(2)所示)，G 是BC的中点．
(1)当x＝2时，求证：BD⊥EG；
(2)当x变化时，求三棱锥D－BCF的体积f(x)的函数式．
真题感悟
1．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
2．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥D－BCG的体积．
附：锥体的体积公式V＝1
3Sh，其中S为底面面积，h为高．
押题精练
1.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线P A 垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：
①P A∥平面MOB；
②MO∥平面P AC；
③OC⊥平面P AC；
④平面P AC⊥平面PBC.
其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．
2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？并证明你的结论．
(推荐时间：60分钟)
一、选择题
1．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()
A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥β
C．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β
3．ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是()
A．BD∥平面CB1D1B．A1C⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
5．直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：
①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，
n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α.其中正确命题的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
6.在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝23，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是()
A．12π B．32π
C．36π D．48π
二、填空题
7．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数为_______________________．8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．
9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF. 10．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F 为线段EC上一动点(不包括端点)．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK ＝t，则t的取值范围是________．
三、解答题
11．(2014·浙江)如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.
(1)证明：AC⊥平面BCDE；
(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．
(1)证明
12．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D，E分
别为A1B1，AA1的中点，点F在棱AB上，且AF＝1
4AB.
(1)求证：EF∥平面BC1D；
(2)在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15，若存在，指出点G的位置；若不存在，请说明理由．
13.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，
M分别为AB，DE的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F
为A′C的中点，A′C＝
4.
(1)求证：平面A′DE⊥平面BCD；
(2)求证：FB∥平面A′DE.
11。