复合函数求导举例

1 简单复合函数的导数

一、基础知识梳理：

（一）常用的求导公式

11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则

（二）复合函数的求导数公式

若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则

2)()()()(vvuvuvuuccuvuvuvuvuvu

（三）复合函数求导法则

1、二重复合：若)(ufy， )(xu 且)(xu在点x处可导。 则)()(•xufy

2、多次复合函数求导法则类推

二、典型例题分析：

例1、求下列函数的导数；

1）、3(23)yx 2）、ln(51)yx

2 练习：求下列函数的导数

1）、2(23)yx 2）、3(13)yx

例2、求下列函数的导数；

1）、131yx 2)、cos(12)yx

练习：求导数；

1）、1lnyx 2）、2xye

3）、求曲线sin2yx在点P（,0）处的切线方程。

例题3 已知(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1ffgg ，根据下列条件 求(5)h及'(5)h

复合函数求导例题100道

1、已知函数$y=f(u)$和$u=g(x)$，求复合函数$y=f(g(x))$的导数$y'$。

首先，根据复合函数的链式法则，我们可以得到复合函数的导数公式：

$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$

其中，$\frac{dy}{du}$表示函数$y$对自变量$u$的导数，$\frac{du}{dx}$表示函数$u$对自变量$x$的导数。

现在，我们来看一个具体的例子。

例题1：已知函数$y=u^2$和$u=x^3$，求复合函数$y=(x^3)^2$的导数$y'$。

首先，我们可以将函数$y=u^2$和$u=x^3$带入到复合函数的导数公式中，得到：

$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$

然后，我们计算$\frac{dy}{du}$和$\frac{du}{dx}$的值。

$\frac{dy}{du}$表示函数$y$对自变量$u$的导数，即$y'=2u$。

$\frac{du}{dx}$表示函数$u$对自变量$x$的导数，即$\frac{du}{dx}=3x^2$。

最后，将$\frac{dy}{du}=2u$和$\frac{du}{dx}=3x^2$的值带入到复合函数的导数公式中，得到： $$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2u\cdot3x^2=6x^2\cdot(x^3)^2=6x^2\cdot x^6=6x^8$$

所以，复合函数$y=(x^3)^2$的导数$y'$为$6x^8$。

接下来，我们来看几个例题进行练习。

例题2：已知函数$y=e^u$和$u=\ln(x)$，求复合函数$y=e^{\ln(x)}$的导数$y'$。

首先，我们可以将函数$y=e^u$和$u=\ln(x)$带入到复合函数的导数公式中，得到：

复合函数求导

复合函数的求导是微积分中的重要内容，它利用链式法则来处理多个函数相互嵌套的情况。链式法则是求导的一种规则，用于计算复合函数的导数。下面我们将详细介绍链式法则及其应用。

1.链式法则的基本思想

链式法则是基于导数的定义推导出来的一种计算方法。对于两个函数f(x)和g(x)，若它们都可导，则复合函数h(x)=f(g(x))也可导，并且有如下公式：

h'(x)=f'(g(x))*g'(x)

其中f'(g(x))表示函数f(x)在g(x)处的导数，g'(x)表示函数g(x)的导数。

简单来说，链式法则认为复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。

2.链式法则的推导过程

为了更好地理解链式法则，我们以一个具体的例子来推导。

设有函数 y = f(u) 和 u = g(x)，其中 y 是因变量，u 是中间变量，x 是自变量。我们的目标是求解复合函数 y = f(g(x)) 的导数 dy/dx。

根据导数的定义，dy/dx 表示当 x 发生微小变化 dx 时，y 发生的对应变化 dy。我们可以通过函数之间的关系进行推导。

将u=g(x)代入f(u)中，得到y=f(g(x))，这里的y是u和x的函数，即y=f(u(x))。我们可以写成链式形式： dy/dx = dy/du * du/dx

根据导数的定义，上式中的 dy/du 表示当 u 发生微小变化 du 时，y 对应的变化 dy，即 f(u+du) - f(u)。同样地，du/dx 表示当 x 发生微小变化 dx 时，u 对应的变化 du，即 g(x+dx) - g(x)。

将上述两个变化代入原式中，得到：

dy/dx = (f(u+du) - f(u)) / (g(x+dx) - g(x))

若 dx 趋近于 0，du 也趋近于 0，则上式可以表示成：

dy/dx = lim(du -> 0, dx -> 0) [(f(u+du) - f(u)) / (g(x+dx) -

高中复合函数求导公式大全，16个基本导数公式推导

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

复合函数：总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。

复合函数如何求导：

f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)。

f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u) 所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u，得f'[g(x)]=2cos(2x). 从而(公式):f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)

1.y=c(c为常数) y'=0

2.y=x^n y'=nx^(n-1)

3.y=a^x y'=a^xlna

y=e^x y'=e^x

4.y=logax y'=logae/x

y=lnx y'=1/x

5.y=sinx y'=cosx

6.y=cosx y'=-sinx

7.y=tanx y'=1/cos^2x

8.y=cotx y'=-1/sin^2x

9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

11.y=arctanx y'=1/1+x^2

12.y=arccotx y'=-1/1+x^2

13：复合函数求导：（uv)'=uv'+u'v

(u+v)'=u'+v'

(u/)'=(u'v-uv')/^2

14：y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)

15：y'={sin(3-x)]'=-cos(x)