复合函数求导例题100道
- 格式：docx
- 大小：36.76 KB
- 文档页数：3
复合函数求导例题100道
1、已知函数$y=f(u)$和$u=g(x)$，求复合函数$y=f(g(x))$的导数$y'$。
首先，根据复合函数的链式法则，我们可以得到复合函数的导数公式：
$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$
其中，$\frac{dy}{du}$表示函数$y$对自变量$u$的导数，$\frac{du}{dx}$表示函数$u$对自变量$x$的导数。
现在，我们来看一个具体的例子。
例题1：已知函数$y=u^2$和$u=x^3$，求复合函数$y=(x^3)^2$的导数$y'$。
首先，我们可以将函数$y=u^2$和$u=x^3$带入到复合函数的导数公式中，得到：
$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$
然后，我们计算$\frac{dy}{du}$和$\frac{du}{dx}$的值。
$\frac{dy}{du}$表示函数$y$对自变量$u$的导数，即$y'=2u$。
$\frac{du}{dx}$表示函数$u$对自变量$x$的导数，即$\frac{du}{dx}=3x^2$。
最后，将$\frac{dy}{du}=2u$和$\frac{du}{dx}=3x^2$的值带入到复合函数的导数公式中，得到： $$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2u\cdot3x^2=6x^2\cdot(x^3)^2=6x^2\cdot x^6=6x^8$$
所以，复合函数$y=(x^3)^2$的导数$y'$为$6x^8$。
接下来，我们来看几个例题进行练习。
例题2：已知函数$y=e^u$和$u=\ln(x)$，求复合函数$y=e^{\ln(x)}$的导数$y'$。
首先，我们可以将函数$y=e^u$和$u=\ln(x)$带入到复合函数的导数公式中，得到：
$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$
然后，我们计算$\frac{dy}{du}$和$\frac{du}{dx}$的值。
$\frac{dy}{du}$表示函数$y$对自变量$u$的导数，即$y'=e^u$。
$\frac{du}{dx}$表示函数$u$对自变量$x$的导数，即$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}$。
最后，将$\frac{dy}{du}=e^u$和$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}$的值带入到复合函数的导数公式中，得到：
$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=e^u\cdot\frac{1}{x}=e^{\ln(x)}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{x}=1$$
所以，复合函数$y=e^{\ln(x)}$的导数$y'$为$1$。
例题3：已知函数$y=\sqrt{u}$和$u=x^2+1$，求复合函数$y=\sqrt{x^2+1}$的导数$y'$。 首先，我们可以将函数$y=\sqrt{u}$和$u=x^2+1$带入到复合函数的导数公式中，得到：
$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$
然后，我们计算$\frac{dy}{du}$和$\frac{du}{dx}$的值。
$\frac{dy}{du}$表示函数$y$对自变量$u$的导数，即$y'=\frac{1}{2\sqrt{u}}$。
$\frac{du}{dx}$表示函数$u$对自变量$x$的导数，即$\frac{du}{dx}=2x$。
最后，将$\frac{dy}{du}=\frac{1}{2\sqrt{u}}$和$\frac{du}{dx}=2x$的值带入到复合函数的导数公式中，得到：
$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot2x=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$
所以，复合函数$y=\sqrt{x^2+1}$的导数$y'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$。
通过以上例题的练习，我们可以发现，通过复合函数的导数公式，可以很容易地求出复合函数的导数。当然，在实际计算中，我们还需要灵活运用其他的导数计算方法，如常见的求导法则等，以更快速地求出复合函数的导数。
