积分变换习题解答

复变函数讲稿

641§6.4 应 用

拉普拉斯变换法，在历史上也称为运算微积法.

一. 求解微分方程例题

1.求解微分方程：

⎪⎩⎪

⎨⎧

=ω=+

0)0(sin0

jtEjRj

dtdL （P.128，书例1）

解：用拉普拉斯变换法求解，

220)()(

ω+ω=+

pEpjRpjLp

LRppLE

RLppEpj

+⋅

ω+ω⋅=

+ω+ω=1

))(()(220

220

LL=τ⋅ωτ=∗ω=∴∫τ−−−ttLRtLR

de

LEet

LEtj

0)(00sinsin)(又解：

2

22220

2201)1(1)(

ω+−⋅

+−

ω+−ω=

+⋅

ω+ω⋅=

LR

LRppLRp

LE

LRppLEpj

)sincos()(2220t

LRte

LRLEtjtLR

ω

ω+ω−

ω+ω=∴−

2.求解：0)0(,0)0(,sin222=′=ω=π+′′TTtAT

laT （P.132：习题6；）

解：用拉普拉斯变换法求解， 222222)()(

ω+ω=π+

pApT

lapTp

2

222

222222

2222221)11(1)(

ω−ππ+−

ω+ω=

π+⋅

ω+ω=

la

lappA

lappApT

)sin(sin)sinsin1()(22222

22222

lat

alt

laAl

lat

alt

lalAtTπ

πω−ω

ω−π=π

π−ω

ωω−πω=∴复变函数讲稿

642 亦可：LL=π∗ω

π=

latt

aAltTsinsin)(较繁。

二. 计算积分例题

用运算微积方法求积分（P.132：习题12；）

⑵. ∫∞

=

0sin)(dx

xtxtI

解：对t > 0

2)(

2tgarc1)(

0022π=∴π==

+=∫∞∞tI

ppx

pxpdxpI

对t < 0

2sin

)(

0π−=−=∫∞

dx

xxt

tI

对t＝0 I(t)＝0

⑷ I(t)∫∞

=

022sindx

xtx

解：t > 0 ∫∞−=

0222cos1)(dx

xtxtI

∫∫∞∞∞π==

+=

+−⋅=

020222220222tgarc1

)4(2)

41(

1 复变函数与积分变换第五版答案

目录

练 习 一...............................1

练 习 二...............................3

练 习 三...............................5

练 习 四...............................8

练 习 五..............................13

练 习 六..............................16

练 习 七..............................18

练 习 八..............................21

练 习 九..............................24

练 习 一

1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。

（1）iiii524321；

解：iiii524321

=i2582516

zkkArgzzzz221arctan2558258Im2516Re （2）3)231(i

解： 3)231(i

zkkArgzzzzeii210Im1Re1][)3sin3(cos333

2．将下列复数写成三角表示式。

1）i31 解：i31

2 )35sin35(cos2i

（2）ii12 解：ii12

)4sin4(cos21ii

3．利用复数的三角表示计算下列各式。

（1）ii2332

解：ii2332

2sin2cosii

（2）422i

解：422i41)]43sin43(cos22[i

3,2,1,0]1683sin1683[cos2]424/3sin]424/3[cos28383kkikkik

拉氏变换习题解答

习题一

］．求下列函数的拉氏变换，并用查表的方法来验证结果.

.

' .

,

kt h t-2

nn .l

i ss =

= 、

｀

丿

、

I

'tt

,

i

,

!

、

,

i

\ff

m6

(2)/(t)=e-21;

(3)/(t)=t气

(6) f(t)=coshkt; (7)/(t)=cos2t; (4) f (t) = sin tcost;

(10) f(t) =cos2 t

i1

一,,

如

解(l)&

[/ t . t

() ] = f

sm 2

e-s, dt = fo 如(e2-e

2)e咄

O dt

-

I-

-8

_

2 +

0 _

.

l t 与

2

一s + s (

e

o

_

2 g _

.

I I 与

2

+

s $ (

e rlllllllllll

1

－

凶= dt

、

丿I

、

丿i-

2 J s (

e I

、

丿·1

-

2 s (

e ( L

g

1

－

凶=

飞[,~1一言］飞::ti:t)

l

+ 2

?

-s 4 =

l-

4 _

2+

，

今$ =

(Res> 0)

e -(s+2)t

十

(2)

& [J(t)] = (00

e-2te-stdt =厂e-cs+2J1dt =

o = I

t

o -(s +

2) s +

2 (Res >-2)

叩[.f(t)]寸00

t2e-st dt = -二f厂＋打00

2te -SI

dt = _ 2

te一stI也+2厂产dt

。s。s。s2o s2。

2如

-stl 2

=-—

e =—

s3 t=O s2 (Res> 0)

叩[/()]i。如}+oo } +oo

t = sintcoste-s'dt=-J sin2te-stdt=-

2

0 f [ e-(s-2i)t _

e一(s+2i)t]dt

4i

0

=i[勹:~2\~一~;::2q=点(,~2;

-,:2;)= s'~4 (Re, >0)

kt玉

(5)

& [f (t)] = Jo+"'sinh kte-stdt =f。如e~e亡dt=½U。如e一(s-k)'dt-Ii;

《积分变换》第 1 页 共 5 页

天津工业大学（2013—2014学年第一学期）

《积分变换》期末试卷(2013 .12 理学院)

一.

选择题(每小题3分)

1. 设)()(ttf，则)]([tf= ( )

A 1 B 2 C 0jwte D 0jwte

2. 设)]([tf)(wF，则)]()2[(tft＝ ( )

A )(2)('wFwF B )(2)('wFwF

C )(2)('wFwjF D )(2)('wFwjF

3. 积分dtett03sin= ( )

A 0 B  C 101 D 3e

4. 设)()]([sFtf，则下列公式中，不正确的是 ( )

A nnttf)1()(-1)]([)(sFn

B )('tf-1)()0()]([tfssF

C tdttf0)(-1])([ssF

D tae-1)]([asF

二. 填空题(每空3分)

-------------------------------密封线----------------------------------------密封线----------------------------------------密封线--------------------------------------- 学院

专业班

学号

姓名

装订线装订线装订线满分 12

得分

满分 27

得分 《积分变换》第 2 页 共 5 页 1. tu= ________________, tuetj0= _____________;