复变函数与积分变换习题解答

1 练 习 一

1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。

（1）iiii524321；

解：iiii524321

=i2582516

zkkArgzzzz221arctan2558258Im2516Re （2）3)231(i

解： 3)231(i

zkkArgzzzzeii210Im1Re1][)3sin3(cos333

2．将下列复数写成三角表示式。

1）i31

解：i31

)35sin35(cos2i

（2）ii12

解：ii12

)4sin4(cos21ii

3．利用复数的三角表示计算下列各式。

（1）ii2332

解：ii2332

2sin2cosii

（2）422i

2 解：422i41)]43sin43(cos22[i

3,2,1,0]1683sin1683[cos2]424/3sin]424/3[cos28383kkikkik

4．.设321,,zzz三点适合条件：321zzz=0，,1321zzz321,,zzz是内接于单位圆z=1的一个正三角形的项点。

证：因,1321zzz所以321,,zzz都在圆周,11zz又因321zzz=0

则,321zzz1321zzz，所以21zz也在圆周1z上，又,12121zzzz所以以0，211,zzz为顶点的三角形是正三角形，所以向量211zzz与之间的张角是3，同理212zzz与之间的张角也是3，于是21zz与之间的张角是32，同理1z与3z，2z与3z之间的张角都是32，所以321,,zzz是一个正三角形的三个顶点。

5．解方程013z

iiziziizkkikzz232135sin35cos1sincos23213sin3cos2,1,032sin32cos1:3213解

6．试证：当1,1时，则11。 z3

z2

z1+z2

0

3 证：111

7．设,0(cos21zzz是Z的辐角），求证.cos2nzznn

证：01cos2cos221zzzz

则 sincosiz

当sincosiz时 sincos1iz

nnininzznncos2)]sin()[cos()sin(cos

故 nzznncos2

当sincosiz时，同理可证。

*8 .思考题：

（1）复数为什么不能比较大小？

答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。

（2）是否任意复数都有辐角？

答：否，0z是模为零，辐角无定义的复数。

4 练 习 二

1．指出满足下列各式的点Z的轨迹是什么曲线？

（1）4)arg(iz

解：设iyxz 则4)]1(arg[)arg(yixiz

1010yxyx 则点Z的轨迹为：

（2）)Re(bzaz，其中ba,为实数常数；

解：设iyxz 则：)Re()(iybxiyax

0)()(222bxbxyax 则：bxbaxbaabxbay)2)((2)(2222

若：ba 则轨迹为： 0y

若：ba 则bbax2

轨迹：)2)((22baxbay

若：ba 则,2bax无意义

（3）0bzazazz，其中为a复数b为实常数。

解：由题设可知：0))((2abazaz

即：baaz22

若：ba2，则Z的轨迹为一点-a， 0 i y

y

0

2ba b

5 若：ba2，则Z的轨迹为圆，圆心在-a，半径为ba2

若：ba2，无意义

2．用复参数方程表示曲线，连接i1与i41直线段。

解：10)]1()41[()1(ttiiiz

则)0()52()1(ttiiz

3．描出下列不等式所确定和区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？并标出区域边界的方向。

（1）21Re,1zz

解：由1z，得122yx

又21Rez，得21x

有界，单连域

（2）1Re2z

解：令 iyxz

由11Re222yxz

即：122xy

无界，单连域 0 y

(1,1)

(-1,-4)

0 0 x

y

-1

1

0 y

6 v

0 （3）211zz

解：令iyxz 则：222)34()35(yx

无界，多连域

4．对于函数0Im:,)(zDizzf，描出当z在区域D内变化时，w的变化范围。

解：令iyxz

则ixyiyxiizzfw)()(

,0Imz则0y

,0Reyw

w的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴

5.试证zzzRelim0不存在。

证：zzzRelim0=iyxxyx00lim

令kxy 则：上述极限为ki11不确定，因而极限不存在。

*6.思考题

（1）怎样理解复变函数)(zfw？

答：设)(,,zfwiyxzivuw则就是

),(),()(yxivyxuiyxfivu

即 ),(),(yxvvyxuu 因此，一个复变函数)(zf与两个实变函数),(yxu和),(yxv相对应，从几何意义上来说，复变函数可以看作是z平面上的点集D到w平面上的点集G上的映射。

（2）设复变函数)(zf当0zz时的极限存在，此极限值与z趋于0z所采取的方式（取的路径）有无关系？ x y

u 3/5

7 答：没有关系，z以任意方式趋于0z时，极限值都是相同的，反过来说，若令z沿两条不同的曲线趋于0z时极限值不相等，则说明)(zf在0z没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函数中，x只能从左、右以任何方式趋于0x，而这里可以从四面八方任意趋于0z。

练 习 三

8 1．用导数定义，求zzzfRe)(的导数。

解：zzzzzzzzzfzzfzzRe)Re()(lim)()(lim00

)(Relim)Re(Relim)ReRe(RelimReReRelim00000yixxzzzzzzzzzzzzzzzzzyxzzz

当0z时，导数不存在，

当0z时，导数为0。

2．下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？

（1）zzf1)(

解：),(),(1)(2222yxivyxuyxyiiyxxzzzzf

2222222222222222)()(2)(2)(yxyxvyxxyvyxxyuyxxyuyxyx

当且仅当yx时， )(zf满足RC条件，故当yx时)(zf可导，但在复平面不解析。

（2）)3(3)(3223yyxixyxzf

解：令)(),()(xyivyxuzf

则 2222336633yxvxyuxyvyxuyyxx

因)(zf在复平面上处处满足RC条件，且偏导数连续，故)(zf可导且解析。

3．设)(2323lxyxiynxmy为解析函数，试确定nml,,的值。

解：由RC条件可知： lxynxy22所以 ln

又 222233lyxnxmy所以 3,3nlm且

9 即 31lnm

4.设)(zf在区域D内解析，试证明在D内下列条件是彼此等价的。

（1）)(zf=常数； （2）0)(zf； （3）)(Rezf常数

（2）)(Imzf常数； （5）)(zf解析； （6）)(zf常数。

证:由于)(zf在且域D内解析，则可得RC方程成立，即

yvxu且xvyu

1）→2）由czf)(则0)(czf在D内成立，故（2）显然成立，

2）→3）由),(00)(yxuyuxuyuiyvxvixuzf是常数

即 )(Rezf常数

3）→4） u常数0yuxu 由RC条件 ),(00yxvxvyv是常数

)(Imzf常数

4）→5）若,)(,)(,)(Im1icuzficuzfczf因)(zf在D内解析

0,0xcxvyuycyvxu

即 xcyuycxu)(,)(一阶偏导连续且满足RC条件)(zf在D内解析。

5）→6） ivuzfzgivuzf)()(,)( 因)(zg解析，则由RC条件

xvyuyvxu,， 对)(zf在D内解析，