复变函数与积分变换习题答案
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复变函数与积分变换习题答案
习题六1. 求映射1
w z
=
下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：222211i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221
x x u x y ax a
=
==+,
所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a=. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y =
=-++ 22
2222
x y kx
u v x y x y x y =
=-
=-
+++ v ku =-
故1w z
=
将y kx =映成直线v ku =-.2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0,
(1i)z w z >=+；
解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,.20.u x y v x y u v y =-=+-=-<
所以Im()Re()w w >.
故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0=
. 解：设z =x +i y , x >0, 0
i i i(i )i x y y x w z x iy x y x y x y -=
===+++++ Re(w )>0. Im(w )>0. 若w =u +i v , 则2222
,u v
y x u v u v==++ 因为0
221101,()22
u u v u v <
<-+>
+ 故i w z =
将Re(z )>0, 00,Im(w )>0, 1212w > (以（12,0）为圆⼼、
1
2为半径的圆)
3. 求w =z 2在z =i 处的伸缩率和旋转⾓，问w =z 2
将经过点z =i 且平⾏于实轴正向的曲线的切线⽅向映成w 平⾯上哪⼀个⽅向？并作图.
解：因为w '=2z ,所以w '(i)=2i , |w '|=2, 旋转⾓arg w '=
π2
. 于是, 经过点i 且平⾏实轴正向的向量映成w 平⾯上过点-1，且⽅向垂直向上的向量.如图所⽰.
→
4. ⼀个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转⾓的不变性？映射w =z 2
在z 平⾯上每⼀点都具有这个性质吗？
答：⼀个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w =z 2
在z =0处导数为零，所以在z =0处不具备这个性质.5. 求将区域0
6. 试求所有使点1±不动的分式线性变换. 解：设所求分式线性变换为az b
w cz d
+=+(ad -bc ≠0)由11-→-.得 1a b
b a
c
d c d
-+-=
=+--+ 因为(1)a z c d
w cz d ++-=+,
即(1)(1)1a z c z w cz d
++++=
+,
由11→代⼊上式，得22a ca d c d
+=?=+. 因此11(1)(1)d c
d c
d c w z z cz d z +++=+=+?++ 令
d
q c =，得 1(1)(1)/()(1)(1)1
1(1)(1)/()2(1)(1)1
w z q z q z q z a w z q z q z q z +++++++===?-+++---- 其中a 为复数.
反之也成⽴，故所求分式线性映射为11
11
w z a w z ++=?
--， a 为复数.
7. 若分式线性映射，az b
w cz d
+=+将圆周|z |=1映射成直线则其余数应满⾜什么条件？ 解：若az b w cz d +=
+将圆周|z |=1映成直线，则d
z c
=-映成w =∞. ⽽d
z c
=-落在单位圆周|z |=1,所以1d c -=,|c |=|d |.
故系数应满⾜ad -bc ≠0,且|c |=|d |.8. 试确定映射，1
1
z w z -=
+作⽤下，下列集合的像. (1) Re()0z =; (2) |z |=2; (3) Im(z )>0. 解：(1) Re(z )=0是虚轴，即z =i y 代⼊得.
22222
i 1(1i )12i i 1111y y y y
w y y y y ----+===+?
++++ 写成参数⽅程为2211y u y -+=+， 2
21y
v y =
+, y -∞<<+∞. 消去y 得，像曲线⽅程为单位圆,即
u 2+v 2=1.
(2) |z |=2.是⼀圆围，令i 2e ,02πz θθ=≤≤.代⼊得i i 2e 1
2e 1
w θθ-=+化为参数⽅程.
354cos u θ=
+ 4sin 54cos u θ
θ
=+ 02πθ≤≤ 消去θ得，像曲线⽅程为⼀阿波罗斯圆.即
22254()()33
u v -+=
(3) 当Im(z )>0时，即
11
Im()011
w w z w w ++=-?<--, 令w =u +i v 得
22
1(1)i 2Im()Im()01(1)i (1)w u v v w u v u v +++-==<--+-+.
即v >0,故Im(z )>0的像为Im(w )>0.9. 求出⼀个将右半平⾯Re(z )>0映射成单位圆|w |<1的分式线性变换. 解：设映射将右半平⾯z 0映射成w =0，则z 0关于轴对称点0z 的像为w =∞， 所以所求分式线性变换形式为00z z w k z z -=?
-其中k 为常数.
⼜因为00z z w k z z -=?-,⽽虚轴上的点z 对应|w |=1,不妨设z =0，则
i 00
||1e ()z z w k k k z z θθ-=?
==?=∈-R
故000e (Re()0)i z z w z z z θ-=?>-.
10. 映射e 1i z w z
α
α-=?
-?将||1z
解：因为2i i 22(1)()()1||()e e (1)(1)
z z w z z z ?
αααααα-----'=?=?-?- 从⽽2i i 222
1||1
()e e (1||)1||w ?
αααα-'=?=?-- 所以i 2arg ()arg e arg (1||)w ?αα?'=-?-= 故?表⽰i e 1z w z
θα
α-=?
-在单位圆α处的旋转⾓arg ()w α'.
11. 求将上半平⾯Im(z )>0,映射成|w |<1单位圆的分式线性变换w =f (z )，并满⾜条件
(1) f (i)=0, arg (i)f '=0; (2) f (1)=1, f.
解：将上半平⾯Im(z )>0, 映为单位圆|w |<1的⼀般分式线性映射为w =k z z α
α
-?
-(Im(α)>0). (1) 由f (i)=0得α=i ，⼜由arg (i)0f '=,即i 2
2i
()e (i)f z z θ
'=?
+,
πi()21(i)e 02f θ-'==，得π
2
θ=，所以
i
i i
z w z -=?
+. (2) 由f (1)=1,得k =
1
1αα--；由f ,得k α联⽴解得w =
12. 求将|z |<1映射成|w |<1的分式线性变换w =f (z)，并满⾜条件： (1) f (
12)=0, f (-1)=1. (2) f (
12)=0, 12π
arg ()2
f '=
, (3) f (a )=a , arg ()f a ?'=.
解：将单位圆|z |<1映成单位圆|w |<1的分式线性映射，为i e
1z w z
θ
α
α-=-?, |α|<1.
(1) 由f (12)=0，知1
2
α=
.⼜由f (-1)=1，知 1i i i 2
12
1e e (1)1e 1π1θ
θθθ--?=-=?=-?=+.
故12221112
z
z z w z --=-?=--. (2) 由f (12)=0，知12α=
，⼜i 254e (2)z w z θ
-'=?- i 1122
4π
()e
arg ()32
f f θ
θ''=?==， 于是 π2
1i 2
221e ()i 12z
z z w z
--==?--. (3) 先求=()z ξ?，使z =a 0ξ→=，arg ()a ?θ'=,且|z |<1映成|ξ|<1. 则可知 i =()=e 1z a
z a zθ
ξ?-?
-?
再求w =g (ξ)，使ξ=0→w =a , arg (0)0g '=,且|ξ|<1映成|w |<1. 先求其反函数=()w ξψ,它使|w|<1映为|ξ|<1,w =a 映为ξ=0，且arg ()arg(1/(0))0w g ψ''==,则
=()=
1w a
w a w
ξψ--?.
因此，所求w 由等式给出.i =e 11w a z a
a w a z
θ--?-?-?.
13. 求将顶点在0，1，i 的三⾓形式的部映射为顶点依次为0，2，1+i 的三⾓形的部的分式线性映射.
解：直接⽤交⽐不变性公式即可求得02w w --∶1i 01i 2+-+-=02z z --∶i 0
i 1
--
2w w -.1i 21i +-+=1z z -.i 1
i
- 4z
(i 1)(1i)
w z -=
--+.
14. 求出将圆环域2<|z |<5映射为圆环域4<|w |<10且使f (5)=-4的分式线性映射. 解：因为z=5,-5,-2,2映为w=-4,4,10,-10,由交⽐不变性，有2525-+∶2525---+=104104-+--∶104
104
+- 故w =f (z )应为
55z z -+∶2525---+=44w w +-∶104
105+- 即 44w w +-=55z z --+20
w z
=-.
讨论求得映射是否合乎要求，由于w =f (z )将|z |=2映为|w |=10，且将z =5映为w =-4.所以|z |>2映为|w |<10.⼜w =f (z )将|z |=5映为|w |=4，将z =2映为w =-10，所以将|z |<5映为|w |>4，由此确认，此函数合乎要求.
15.映射2
