坐标系的探讨

坐标系与平面图形的关系及其性质

坐标系和平面图形是数学中的基本概念，它们在解决几何问题和建模实践中扮演着重要的角色。本文将探讨坐标系与平面图形之间的关系以及它们所具有的性质。

一、坐标系的定义及性质

坐标系是用来描述空间位置的系统，常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。直角坐标系由x轴、y轴和z轴组成，可用三个坐标值(x, y,

z)来表示空间中的点。而极坐标系则由极径和极角两个参数来确定点的位置。

坐标系具有以下性质：

1. 唯一性：在一定范围内，每个点都有唯一的坐标表示，不会有重复的情况。

2. 可表示任意位置：坐标系可以描述任意点的位置，无论该点位于直线、曲线、平面还是空间中。

3. 满足数学规律：坐标系中的坐标值满足一系列的数学规律，如直角坐标系中的距离公式、角度计算等。

二、平面图形的定义及性质

平面图形是指在平面上由多个点构成的形状，常见的平面图形有直线、曲线、多边形等。平面图形可以由坐标系表示，通过坐标系中的点的集合来描述其形状、大小和位置。 平面图形具有以下性质：

1. 可分解性：平面图形可以被分解为多个线段、面积或其他几何元素的组合。

2. 周长和面积：平面图形的周长和面积是衡量其大小的重要指标，可以通过数学方法进行计算和比较。

3. 对称性：平面图形可能具有对称性，如轴对称、中心对称等特点，这些对称性可以通过坐标系的变换来进行分析和判断。

三、坐标系与平面图形的关系

1. 坐标系的应用：坐标系可以用来表示平面图形的位置和形状。通过设定坐标系的原点和坐标轴方向，可以将平面图形的点与坐标系中的点进行一一对应。

2. 坐标系的变换：坐标系的平移、旋转和缩放等变换操作对于描述和分析平面图形非常重要。通过坐标系的变换，可以实现对平面图形的位置、形状和尺寸的调整。

3. 区域和方程的关系：平面图形可以通过方程来表示，方程的解即为图形上的点的坐标，而图形的形状和位置则可以由方程的特征来推断。

地方坐标系与国家坐标系转换方法探讨

地方坐标系与国家坐标系是地理信息系统中常用的两种坐标系。地方坐标系是一种局部坐标系统，通常在具体的地理区域内使用，以适应该区域的地理特征和测量要求。而国家坐标系则是一种全局坐标系统，用于整个国家范围内的地理数据管理和分析。地方坐标系与国家坐标系之间的转换方法是GIS数据集成、数据匹配和数据转换的基础。

1.地理坐标转国家坐标：地理坐标是基于地球椭球体的经纬度坐标，国家坐标通常是基于具体的地图投影系统的坐标。地理坐标转国家坐标的方法包括从地理坐标到投影坐标的转换。这通常涉及到地图投影参数的选择和计算，如投影中心经纬度、标准经度、假东原点等。

2.地方坐标转国家坐标：地方坐标通常是基于具体地区的局部坐标系统，比如UTM（通用横轴墨卡托投影）坐标系。将地方坐标转换为国家坐标的方法包括地方坐标与国家坐标之间的几何转换，如旋转、平移和比例变换。这要求在转换过程中具有可靠的控制点来识别和匹配地方坐标系和国家坐标系之间的关联。

3. 国家坐标转地理坐标：国家坐标转地理坐标通常是为了从国家坐标系中获取经纬度等地理坐标信息。这种转换方法与地理坐标转国家坐标方法相反，通常涉及到逆投影的计算，如从Lambert投影转回地理坐标。

4.国家坐标转地方坐标：国家坐标转地方坐标的方法与地方坐标转国家坐标相反。这也是通过几何转换来完成，需要通过控制点进行匹配和计算。

在实际应用中，地方坐标系与国家坐标系之间的转换并不总是简单和准确的。由于不同地方坐标系和国家坐标系的定义和参数不尽相同，转换过程可能存在误差。因此，进行坐标系转换时需要考虑误差控制和精度分析，通常需要依赖先进的GIS工具和算法来进行精确的转换。

总结起来，地方坐标系与国家坐标系之间的转换方法包括地理坐标转国家坐标、地方坐标转国家坐标、国家坐标转地理坐标、国家坐标转地方坐标等几种。在进行坐标系转换时，需要注意选择合适的转换方法和算法，并进行误差控制和精度分析，以确保转换结果的准确性和可靠性。

第一讲 坐标系

课题：平面直角坐标系

教学目标：

1.理解平面直角坐标系的意义；掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法。

2.掌握坐标法解决几何问题的步骤；体会坐标系的作用。

教学重点：体会直角坐标系的作用。

教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题。

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。

情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。

问题1：如何刻画一个几何图形的位置？

问题2：如何创建坐标系？

二、学生活动

学生回顾

刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系

1、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定

2、平面直角坐标系

在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定。

3、空间直角坐标系

在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定。

三、讲解新课：

1、 建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：

任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置

2、 确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标

四、数学运用

例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。

变式训练

先从简单说起，假设地球是正圆的，地球表面上的一点可以用经纬度来表示，这时的经纬度是唯一的。那什么情况下是不唯一的呢，就是地球不是正圆的时候。实际也是如此，地球本来就不是圆的，而是一个椭圆。关于这个椭圆并不是唯一的，比如克拉索夫斯基椭球，1975国际椭球等等。椭球的不同主要由两个参数来体现，一个是长半轴、一个是扁率。之所以会有不同的椭球体出现，是因为地球太大了，地球不是一个正椭球体，一个椭球体不可能都满足地球每个角落的精度要求，在一些边缘地带误差会很大，在赤道附近有适合赤道使用的椭球体，在极圈附近有适合极圈的椭球地，一切都是为了符合当地的精度需要。如果你有足够的需求也可以自定义一个椭球体。基于以上原因，这时经纬度就不是唯一的了，这个应该很好理解，当你使用克拉索夫斯基椭球体时是一对经纬度，当使用另外一个椭球体时又是另外一对经纬度。

用经纬度表示的是地理坐标系，也称大地坐标系。有时候用地理坐标系不够方便，人们比较习惯于使用平面坐标系，平面坐标系用xy表示。

把球体表面的坐标转成平面坐标需要一定的手段，这个手段称为投影。投影方法也不是唯一的，还是为了一个目的，务求使当地的坐标最准确。所以目前就存在了好多投影方法，比如高斯投影、墨卡托投影等。谁有本事而且有那方面的需求也可以自创一套投影方法。

接下来是关于WGS84 北京54 西安80的概念

首先有WGS84 北京54 西安80大地坐标系，是用经纬度表示的，也有WGS84 北京54 西安80平面坐标系，使用xy表示的。

WGS84的椭球采用国际大地测量与地球物理联合会第17届大会测量常数推荐值

北京54采用的是克拉索夫斯基椭球

西安80采用的是1975国际椭球

所以地球表面上一点的这三者大地坐标是不一样的，即经纬度是不一样的。

目前比较流行的是高斯- 克吕格投影和墨卡托投影，当然也可以用别的投影，看实际需要了。

涉及到不同坐标系，就会有坐标转的问题。关于坐标转换，首先要搞清楚转换的严密性问题，即在同一个椭球里的坐标转换都是严密的，而在不同的椭球之间的转换这时不严密的。例如，由1954北京坐标系的大地坐标转换到1954北京坐标系的高斯平面直角坐标是在同一参考椭球体范畴内的坐标转换，其转换过程是严密的。由1954北京坐标系的大地坐标转换到WGS-84的大地坐标，就属于不同椭球体间的转换。