第1讲坐标系

第三讲：平面直角坐标系（1）

坐标系的引入是数学史上的伟大发明.法国数学家笛卡尔(Rene Descartes)因这一不朽贡献而永载史册.有了坐标系,我们就可以用代数手段和方法研究几何问题,即通过"数"研究"形";同时,代数式也有了其对应的直观的几何含义,几何图形的性质也能反映代数的性质,即"形"能反映"数".数形结合有了最充分的体现.

例1.若P(a,8)和Q(7,b)关于y轴对称，求2012()ab

练1.点A(-3,2)关于原点的对称点为B,点B关于x轴的对称点为C，求点C的坐标.

例2.在暑期课上,我们学过数轴上两点之间的距离该如何求:点x和点y之间的距离为2||()xyxy.现请你证明平面直角坐标系中两点1122(,),(,)xyxy之间的距离为:221212()()xxyy(提示:两个数的平方和与什么几何图形有关?)

练2.与平面直角坐标系类似地,我们可以想象一个空间直角坐标系,其间的点用一个三维有序数组来表示.请你写出空间直角坐标系中两点111222(,,),(,,)xyzxyz的距离公式.(无需证明)

例3.(不同数学对象之间的内在联系:杨辉三角,组合数,二项式展开;递推思想)在一平面直角坐标系中,一只蚂蚁在网格（0,0）的位置，每次能向上走一个单位长或者向右走一个单位长，要到达（5,5）的位置，且不能经过点（1,1），（1,4），（4,1）和（4,4），则不同的走法共有多少种?

例4.如图,已知OABC是一个长方形,其中顶点A,B的坐标分别为(0,a）和（0,a）,点E在AB上,且AE=1/3AB,点F在OC上,且OF=1/3OC.点G在OA上,且使GEC的面积为20,GFB的面积为16,试求a的值.

练3.

(1)设平面直角坐标系的轴以1厘米作为长度单位,PQR的顶点坐标分别为P(0,3),Q(4,0),R(k,5),其中0

(2)在平面直角坐标系中,已知A(7,0),B(9,5),P为坐标轴上一点,且PABS=50,求P的坐标(注意考虑所有情形!)

第1讲坐标系种类及坐标转换

在数学和物理学中，坐标系是用于表示和定位点的一组数学规则。它可以帮助我们在平面或空间中精确地描述和测量位置、方向和距离。坐标系通常由坐标轴和原点组成，坐标轴是一条直线，它们与原点形成直角。

有多种类型的坐标系，每一种都有特定的用途和应用。以下是常见的几种坐标系：

1.直角坐标系：直角坐标系也称为笛卡尔坐标系，是最常见的坐标系。它由两条垂直的坐标轴和一个原点组成。坐标轴可以是水平的x轴和垂直的y轴，或者在三维空间中可以加上一个垂直的z轴。直角坐标系使用(x,y,z)来表示点的坐标，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置，z表示点在z轴上的位置。

2.极坐标系：极坐标系用于描述平面上的点，它由一个原点和一个角度和距离组成。极坐标系以原点为中心，用一个角度（通常用弧度表示）表示点与参考线（通常是x轴）之间的角度，用一个距离表示点与原点之间的距离。极坐标系使用(r,θ)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的距离，θ表示点与参考线之间的角度。

3.柱坐标系：柱坐标系是三维空间中的一种坐标系，它由一个原点、一个角度、一个距离和一个高度组成。柱坐标系类似于极坐标系，但增加了一个垂直的z轴来表示高度。柱坐标系使用(r,θ,z)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的水平距离，θ表示点与参考线（通常是x轴）之间的角度，z表示点的高度。

4.球坐标系：球坐标系也是三维空间中的一种坐标系，它由一个原点、一个纬度、一个经度和一个距离组成。球坐标系使用(r,θ,φ)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的距离，θ表示点与参考线（通常是z轴）之间的纬度，φ表示点在参考平面上的经度。

在不同的坐标系之间进行转换时，我们需要使用特定的转换公式。以直角坐标系和极坐标系为例，我们可以使用以下公式进行转换：

x = r * cos(θ)

y = r * sin(θ)

r = sqrt(x^2 + y^2)

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第1讲 质点 参考系和坐标系

一、机械运动

1．定义：物体相对于其他物体的位置变化,叫做机械运动，简称运动。

2．运动的绝对性和静止的相对性：宇宙中的一切物体都在不停地运动，无论是巨大的天体，还是微小的原子、分子，都处在永恒的运动之中。

运动是绝对的，静止是相对的。

二、物体和质点

1．质点：

（1）定义：用来代替物体的有质量的点。

①质点是用来代替物体的具有质量的点，因而其突出特点是“具有质量”和“占有位置”，但没有大小，它的质量就是它所代替的物体的质量。

②质点没有体积，因而质点是不可能转动的。任何转动的物体在研究其自转时都不可简化为质点。

③质点不一定是很小的物体，很大的物体也可简化为质点。同一个物体有时可以看作质点，有时又不能看作质点，要具体问题具体分析。

（2）物体可以看成质点的条件：物体可看成质点的条件：当物体的大小和形状对所研究的问题的影响可忽略不计时，物体可以看作质点。这是判断物体能否作为质点的惟一条件。

（3）理想化模型：在物理学中，抓住事物的主要特征，忽略次要因素，简化问题，便于研究，从而将实际问题简化为物理模型。这种方法是物理学是经常采用的一种科学研究方法．

质点是一个理想化的物理模型，实际上并不存在；不同于几何中的“点”，质点是用来代替物体的有质量的点，具有质量，没有大小、体积、形状；与几何中的“点”有本质的区别．

2．实际的物体：除了具有质量外，都有一定的大小和形状。

例１：下列关于质点的说法中，正确的是( )

A．质点就是一个体积很小的球

B．只有很小的物体才能视为质点

C．质点不是实际存在的物体，只是一种理想化模型

D．大的物体不可以视为质点

[解析] 质点不是实际存在的物体，更不是小球，是实际物体的近似，是一种理想化模型．并不是任何情况下大的物体都不可以视为质点，也不是只有很小的物体才能视为质点，这要看物体的大小和形状对研究的问题是否有影响．

第一节 坐标系与参数方程 考试要求

1．了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.4.了解参数方程，了解参数的意义.5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．

第一课时 坐标系

[知识排查·微点淘金]

知识点1 平面直角坐标系中的伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x，（λ＞0），y′＝μ·y，（μ＞0）的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

知识点2 极坐标系与点的极坐标

在如图所示的极坐标系中，点O是极点，射线Ox是极轴，θ为极角(通常取逆时针方向)，ρ为极径(表示极点O与点M的距离)，点M的极坐标是M(ρ，θ)．

[微提醒]

(1)极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向．四者缺一不可．

(2)由极径的意义知ρ＞0时，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角． 知识点3 直角坐标与极坐标的互化

(1)如图，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标为(x，y)、极坐标为(ρ，θ)，则x＝ρcos

θ，y＝ρsin θ，

ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx（x≠0）Ｗ.

(2)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)．一般取ρ≥0，θ∈[0，2π)．

常用结论

曲线 极坐标方程

圆心为极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)

圆心为(r，0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ－π2≤θ≤π2