12017高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第5讲直接证
明与间接证明习题
A组基础巩固
一、选择题
1．用反证法证明命题“设a
，b
为实数，则方程x3
＋ax
＋b
＝0至少有一个实根”时，要
做的假设是()
A．方程x2
＋ax
＋b
＝0没有实根
B．方程x2
＋ax
＋b
＝0至多有一个实根
C．方程x2
＋ax
＋b
＝0至多有两个实根
D．方程x2
＋ax
＋b
＝0恰好有两个实根
[答案]A
[解析]至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x3
＋ax
＋b
＝0没有实
根”．
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a
＞b
＞c
，且a
＋b
＋c
＝0，
求证：b2
－ac
＜3a
”索的因应是()
A．a
－b
＞0B.a
－c
＞0
C．(a
－b
)(a
－c
)＞0D．(a
－b
)(a
－c
)＜0
[答案]C
[解析]b2
－
ac
＜3a
⇔b2
－ac
＜3a2
⇔(a
＋c
)2
－ac
＜3a2
⇔a2
＋2ac
＋c2
－ac
－3a2
＜0
⇔－2a2
＋ac
＋c2
＜0
⇔2a2
－ac
－c2
＞0
⇔(a
－c
)(2a
＋c
)＞0⇔(a
－c
)(a
－b
)＞0.
故选C.
3．不相等的三个正数a
，b
，c
成等差数列，并且x
是a
，b
的等比中项，y
是b
，c
的等
比中项，则x2
，b2
，y2
三数()
A．成等比数列而非等差数列
B．成等差数列而非等比数列
C．既成等差数列又成等比数列
D．既非等差数列又非等比数列
[答案]B
2[解析]
由已知条件，可得a
＋c
＝2b
，①
x2
＝ab
，②
y2
＝bc
.③
由②③得a
＝x2
b，
c
＝y2
b.代入①，得x2
b＋y2
b＝2b
，
即x2
＋y2
＝2b2
.故x2
，b2
，y2
成等差数列．
4．设f
(x
)是定义在R上的奇函数，且当x
≥0时，f
(x
)单调递减，若x
1＋x
2＞0，则f
(x
1)
＋f
(x
2)的值()
A．恒为负值B.恒等于零
C．恒为正值D．无法确定正负
[答案]A
[解析]由f
(x
)是定义在R上的奇函数，
且当x
≥0时，f
(x
)单调递减，
可知f
(x
)是R上的单调递减函数，
由x
1＋x
2＞0，可知x
1＞－x
2，f
高三数学直接证明与间接证明试题
1. 设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋ ( )
A．都大于2 B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
【答案】C
【解析】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.另取x＝y＝z＝1，可排除A、B.
2. 已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.
【答案】见解析
【解析】解：假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3，
而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝2(x－)2＋3≥3，
两者矛盾；
故a，b，c至少有一个不小于1.
3. 已知函数f(x)＝ax＋ (a>1)．
(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】证明：(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1
由于a>1，ax10.
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴－
＝
＝>0，
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，
即f(x2)>f(x1)，
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)证法一：假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
则ax0＝－.
∵a>1， ∴0
∴0<－<1，即
故方程f(x)＝0没有负数根．
证法二：假设存在 x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
①若－1
∴f(x0)<－1，与f(x0)＝0矛盾．
②若x0<－1，则>0,1>ax0>0，
∴f(x0)>0，与f(x0)＝0矛盾，
故方程f(x)＝0没有负数根．
4. 若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )
A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
第六章 不等式、推理与证明
第5讲直接证明与间接证明
教材回顾▼夯实基础
和课梳理,
1.直接证明
直接证明中最基本的两种证明方法是综合法 和分析法
(1) 综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、 公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结 论成立，这种证明方法叫做综合法.
综合法又称为：由因导果法(顺推证法).课本温故追根求源
（2）分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成 立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个 明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这 种证明方法叫做分析法.
分析法又称为：执果索因法 （逆推证法）.
2.间接证明
反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出 矛盾 ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这
样的证明方法叫做反证法.
要点整食,
1. 辨明两个易误点
⑴用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常 常用“要证(欲证)…” “即要证…” “就要证…”等分析到一 个明显成立的结论.
(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设 命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推 理过程是错误的.
2. 证题的三种思路
(1)综合法证题的一般思路
用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能 想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件 所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论.
(2)分析法证题的一般思路
分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒 着分析，寻找结论成立的充分条件.应用分析法证明问题时要 严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件.
(3) 反证法证题的一般思路
反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要 依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A, 或者是非A,即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个 是正确的，不能有第三种情况出现.
12020高考人教版数学理科一轮复习
课后练40【直接证明与间接证明、数学归纳法】及解析
一、选择题
1．已知函数f(x)
＝1
2x
，a，b为正实数，A＝
fa＋b
2，B＝f(ab)，C＝
f2ab
a＋b，则A，B，C的大小关系
为(A)
A．A≤B≤CB．A≤C≤B
C．B≤C≤AD．C≤B≤A
解析：因为a＋b
2≥ab≥2ab
a＋b，又f(x)
＝1
2x
在R上是单调减函数，故
fa＋b
2≤f(ab)≤
f2ab
a＋b，即
A≤B≤C.
2．若a、b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(B)
A．lg(1＋a2)>0B．a2
＋b2
≥2(a－b－1)C．a2
＋3ab>2b2D.a
b
b＋1
解析：在B中，∵a2
＋b2
－2(a－b－1)＝(a2
－2a＋1)＋(b2
＋2b＋1)＝(a－1)2
＋(b＋1)2
≥0.∴a2
＋b2
≥2(a
－b－1)恒成立．
3．①已知p3
＋q3
＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，
求证方程x2
＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x
1的绝对值大于或等于
1，即假设|x
1|≥1.以下正确的是(D)
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q>2，所以①不正确；对于②，其假设
正确．
4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b
＋c＝0，求证b
2
－ac<3a”索的
因应是(C)
A．a－b>0B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0
解析：由题意知b
2
－ac<3a⇐b2
－ac<3a2
⇐(a＋c)2
－ac<3a2
⇐a2
＋2ac＋c2
－ac－3a2<0
⇐－2a2
＋ac＋c2<0
⇐2a2
－ac－c2>0
2⇐(a－c)(2a＋c)>0
⇐(a－c)(a－b)>0.
5．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是(C)
