高考数学一轮复习 第11章 复数、算法、推理与证明 第4讲 直接证明与间接证明课件 文

直接证明与间接证明

直接证明和间接证明是数学中常用的两种证明方法。直接证明是通过逻辑推理和已知的真实前提，以直接的方式推出所要证明的结论。间接证明则是采用反证法或者假设推理的方式，通过说明对立假设或者逻辑矛盾来推出所要证明的结论。

直接证明的思路是从已知条件出发，逐步运用数学定义、性质、定理等等，直接推导到所要证明的结论。这种证明方法通常比较直观，步骤清晰，容易理解。下面来看一个简单的例子。

假设我们要证明：如果一个正整数是3的倍数，则这个正整数的平方也是3的倍数。

直接证明的思路是从正整数是3的倍数这个已知条件出发，即假设正整数n可以写为3k，其中k为整数。那么正整数n的平方可以写为(3k)^2=9k^2，即n^2=9k^2、由此可知，正整数n^2也可以写为3的倍数，因为9k^2可以写为3的倍数。因此，根据直接证明的逻辑推理，我们得出结论：如果一个正整数是3的倍数，则这个正整数的平方也是3的倍数。

间接证明的思路是通过反证法或者假设推理的方式，假设所要证明的结论不成立，然后通过推理说明这个假设是不可能的或者导致矛盾的。下面来看一个简单的例子。

假设我们要证明：不存在两个整数的和等于3的倍数，且差等于5的倍数。

间接证明的思路是先假设存在这样的两个整数，分别为a和b。那么根据条件，我们可以得到以下两个等式： a+b=3k，其中k为整数；

a-b=5m，其中m为整数。

然后我们将这两个等式相加，得到：

2a=3k+5m。

由于3k+5m是整数，所以2a也是整数。但是，由于2是偶数，所以2a是偶数，而3k+5m是奇数。因此，2a和3k+5m不能同时成立，即假设不成立。因此，不存在两个整数的和等于3的倍数，且差等于5的倍数。

以上是直接证明和间接证明的简单例子，实际的证明可能需要更多的推理和步骤。两种证明方法各有优点和适用范围。直接证明通常通过展示清晰的推理过程来达到证明目的，适合于结论的证明比较明显和直观的情况。而间接证明则通过反证法或者假设推理来达到证明目的，适合于结论的证明比较困难或者复杂的情况。

直接证明与间接证明

讲义

第4

讲

【教学建议】

我们知道，

合情推理所得结论的正确性是需要证明的，这正是数学区别于其他学科的显著特点，数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，反证法是

间接证明的一种直接方法. C先生上了公交车却发现没带钱包，售票员不由分说让他下车，一位小伙子微笑着递过一块钱，C先生

很感激．车上的人开始小声议论C先生是骗钱的，就在C先生生气准备甩票下车的时候，借钱给他的小伙

子大声问：“能不能借一下您的手机？”C先生递过手机，小伙子拨了个号码，说了两三分钟的话，C先生

想这下可以证明我的清白了．下车后C先生打开手机愣住了，原来小伙子根本没有拨通电话，但是直接证

明了他的清白．

1.用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思

维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使

用综合法证明问题，有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何

找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明数学问题的关键． 2. 综合法证明数学命题的步骤

第一步：分析条件，选择方向．认真发掘题目的已知条件，特别是隐含条件，分析已知与结论之间的联

系，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．

第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图

形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．

第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当

的修饰，反思总结解题方法的选取．

讲义

一、导入

二、知识讲解

知识点1 综合法

1.分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理． 2.分析法证明不等式的依据、方法与技巧． (1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结

直接证明与间接证明

【要点梳理】

要点一：直接证明

直接证明最常见的两种方法是综合法和分析法，它们是思维方向相反的两种不同的推理方法．

综合法

定义：

一般地，从命题的已知条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过演绎推理，一步步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这种思维方法叫做综合法．．．.

基本思路：执因索果

综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题．

综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．

综合法的思维框图：

用P表示已知条件，Q表示要证明的结论，123...iQin（，，，，）为已知的定义、定理、公理等，则综合法可用框图表示为：

11223...nPQQQQQQQ

（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）

要点诠释

（1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；

（2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹；

（3）因用综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为：

故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等．

所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”．

综合法证明不等式时常用的不等式

（1）a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）； （2）2abab（a，b∈R*，当且仅当a=b时取“=”号）；

（3）a2≥0，|a|≥0，(a－b)2≥0；

（4）2baab（a，b同号）；2baab（a，b异号）；

（5）a，b∈R，2221()2abab，

2019年

【2019最新】精选高考数学一轮复习 第11章 复数、算法、推理与证明 第4讲 直接证明与间接证明分层演练 文

一、选择题

1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是( )

A．自然数a，b，c中至少有两个偶数

B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

C．自然数a，b，c都是奇数

D．自然数a，b，c都是偶数

解析：选B．“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”．故选B．

2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：

A．a－b>0 B．a－c>0

C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0

解析：选C．

⇔(a＋c)2－ac<3a2

⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0

⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0

⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0．故选C．

3．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是( )

A．a＞b＞c B．b＞c＞a

C．c＞a＞b D．a＞c＞b 2019年

解析：选A．因为a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，

且＋＞＋＞＋＞0，

所以a＞b＞c．

4．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋( )

A．都大于2 B．至少有一个大于2

C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2

解析：选C．假设三个数都小于2，

则＋＋＋＋＋<6，

由于＋＋＋＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，

所以假设不成立，

所以＋，＋，＋中至少有一个不小于2．故选C．

5．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )

A．A≤B≤C B．A≤C≤B

C．B≤C≤A D．C≤B≤A

解析：选A．因为≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，所以f≤f()≤f．

6．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是( )