高考数学二轮复习 概率与统计综合题2 文
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- 1 - 【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 概率与统计综合题2 文
(文)二、概率与统计综合题
概率解答题为每年高考的必考内容，主要考查互斥事件和对立事件的关系、古典概型和几何概型．要求学生能准确理解题意，迅速确定是古典概型还是几何概型，然后用概率公式求解．对于古典概型，要准确列出所有基本事件的个数和所求事件包含的基本事件个数．对于几何概型，一定要明确其与面积(体积、长度等)的关系．对于较复杂的问题，可以借助于图形和表格帮助分析．
阅卷案例2 (2014·山东济南一模)一个袋中装有五个形状、大小完全相同的球，其中有两个红球，三个白球．
(1)从袋中随机取两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；
(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．
审题
(1切入点：转化为古典概型的概率计算．
关注点：分别准确列出随机取两个球及两个球颜色不同的可能结果．
(2)切入点：转化为古典概型的概率计算．
关注点：分别准确列出第一次取出一球，放回后再取出一球及两次取出的球中至少有一个红球的数．
解题
【解】 (1)两个红球记为a1，a2，三个白球记为b1，b2，b3，
从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共10个．(2分)
设事件A为“取出的两个球颜色不同”，
A中的基本事件有：
(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)共6个．(4分)
P(A)＝610＝35.(6分)
(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：
(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)，(b2，b3)，(b3，a1)，(b3，a2)，(b3，b1)，(b3，b2)，(b3，b3)共25个．(8分)
设事件B为“两次取出的球中至少有一个红球”，
B中的基本事件有：
(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b3，a1)，(b3，a2)共16个．(10分)
P(B)＝1625.(12分)
阅卷现场
评分细则
第(1)问得分点及说明
得分点：①表示出“随机取两个球”的所有结果，得2分；
②表示出“两个球颜色不同”的所有结果，得2分；
③运用古典概型公式并计算P(A)＝35，得2分．
说明：求“随机取两个球”或“两个球颜色不同”的所有可能结果没有求对，不得分．
第(2)问得分点及说明
得分点：①表示出“先取出一球，放回后再取出一球”的所有结果，得2分；
②表示出“两次取出的球中至少有一个红球”的所有结果，得2分； - 2 - ③运用古典概型公式并计算P(B)＝1625得2分．
说明：求“先取出一对，放回后再取出一对”或“两次取出的球中至少有一个红球”的所有可能结果没有求对，不得分．
满分规则
规则1得步骤分：是得分点的步骤，有则给分，无则没分
如第(1)问中或第(2)问中都是按照“三步曲”来完成．先求分母，再求分子，最后代入古典概型公式．
规则2得关键分： 解题过程的关键点，有则给分，无则没分
如第(1)问中或第(2)中红球经得a1，a2；白球经得b1，b2，b3.及思考问题中一个放回和一个不放回．
规则3规范答题得分：概率问题一般都有实际背景，解答时要将复杂事件拆分为简单事件，不可以只给出一些表达式，忽略文字解析
所以本题解答中的每一问都需按照如下形式：一改→二列分母→三列分子→四代X公式→五总结．
阅卷心得
狠抓基础保成绩，分步解决克难题
通过高考阅卷，可以看出学生基础知识的掌握和计算能力非常薄弱．例如，数学概念不清楚，不能准确地理解数学语言，证明推理能力弱，缺乏思维的严谨性，运算能力差，数学过程的表述过于简单．这就告诉我们，在考前的关键阶段，要把常用的基础知识把握准．题目再难，每个题目中的条件总是可以推导出结论的，哪怕只推导出一个结论，也可能是得分点．如根据法则和公式进行正确运算、变形等．总之，考场答题重点要突出，过程以踩点、清晰、完整、工整、简洁为佳．
变题
2．(2014·安徽江南十校联考)某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2 000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60,70)，第二组[70,80)，……，第八组：[130,140]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
(1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；
(2)估计该校的2 000名学生这次考试成绩的平均分(可用中值代替各组数据平均值)；
(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差大于10分的概率．
解：(1)由频率分布直方图知第七组的频率f7＝1－(0.004＋0.012＋0.016＋0.03＋0.02＋0.006＋0.004)×10＝0.08.直方图如图． - 3 -
(2)估计该校的2 000名学生这次考试的平均成绩为：65×0.04＋75×0.12＋85×0.16＋95×0.3＋105×0.2＋1 15×0.06＋125×0.08＋135×0.04＝97(分)．
(3)第六组有学生3人，分别记作A1，A2，A3，第八组有学生2人，分别记作B1，B2，则从中任取2人的所有基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，共10个．分差大于10分表示所选2人来自不同组，其基本事件有6个：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，所以从中任意抽取2人，分差大于10分的概率P＝610＝35.
