高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点教案数学教案

3．1.1 方程的根与函数的零点

[目标] 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系；2.会求函数的零点；3.掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数．

[重点] 函数零点的概念以及函数零点的求法．

[难点] 对函数零点的判断方法的理解及应用.

知识点一 函数的零点

[填一填]

对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．

[答一答]

1．函数的零点是点吗？如何求函数的零点？

提示：函数的零点不是点，是一个实数；由函数的零点定义可知，求函数的零点可通过解方程f(x)＝0得到．

2．当二次函数通过零点时，函数值一定变号吗？

提示：不一定．如下图，x0是函数的零点，当函数通过零点时，函数值不变号． 知识点二 方程的根、函数的零点、图象之间的关系

[填一填]

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

[答一答]

3．怎样理解方程的根、函数的零点、图象之间的关系？

提示：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．所以，函数y＝f(x)的图象与x轴有几个交点，函数y＝f(x)就有几个零点，方程f(x)＝0就有几个解．

知识点三 函数零点的存在性定理

[填一填]

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

[答一答]

4．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在(a，b)内的零点唯一吗？

提示：不一定．如f(x)＝x3－x在区间[－2,2]上有f(2)·f(－2)<0，但f(x)在(－2,2)内有三个零点－1，0,1；如f(x)＝x＋1，在区间[－2,0]上有f(－2)·f(0)<0，在(－2，0)内只有一个零点－1.

5．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)>0，是不是说函数y＝f(x)在(a，b)内没有零点？

提示：y＝f(x)在(a，b)内也可能有零点．如f(x)＝x2－1，在区间[－2,2]上有f(－2)f(2)>0，但在(－2,2)内有两个零点－1,1.

类型一 求函数的零点

[例1] (1)求函数f(x)＝x2－x－2的零点；

(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．

[解] (1)因为f(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)．

令f(x)＝0，即(x＋1)(x－2)＝0.

解得x＝－1或x＝2.所以函数f(x)的零点为－1和2.

(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.

故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．

令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－13. 所以函数g(x)的零点为0和－13. 1求函数fx的零点就是求方程fx＝0的解，求解时注意函数的定义域. 2已知x0是函数fx的零点，则必有fx0＝0.

[变式训练1] 已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．

解：由题意知f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2，

则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实根，

所以有 1＋2＝－3m＋1，1×2＝n，解得 m＝－2，n＝2.

所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1)．令log2(－2x＋1)＝0，得x＝0.

所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.

类型二 判断函数零点所在区间

[例2] (1)方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )

A．(0,2) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

(2)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________.

x －1 0 1 2 3

ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5

[答案] (1)C (2)1

[解析] (1)令f(x)＝log3x＋x－3，则f(1)＝log31＋1－3＝－2<0，f(2)＝log32＋2－3＝log323<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，f(4)＝log34＋4－3＝log312>0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．

(2)记f(x)＝ex－x－2，则该函数的零点就是方程ex－x－2＝0的实根．由题表可知f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.39－4>0，f(3)＝20.09－5>0.由零点存在性定理可得f(1)f(2)<0，故函数的零点所在的区间为(1,2)．所以k＝1.

判断函数零点所在区间的三个步骤：

1代.将区间端点代入函数求出函数的值.

2判.把所得函数值相乘，并进行符号判断.

3结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点.

[变式训练2] 函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是( B )

A．(1,2) B．(2,3)

C．(1e，1)和(3,4) D．(e，＋∞) 解析：∵f(1)＝－2<0, f(2)＝ln2－1<0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，

∴在(1,2)内f(x)无零点．

又∵f(3)＝ln3－23>0，∴f(2)·f(3)<0.

∴f(x)在(2,3)内有一个零点．∴选B.

类型三 函数零点个数的有关问题

命题视角1：判断函数零点的个数

[例3] 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．

[解] 方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，

f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0，

∴f(x)在(0,2)上必定存在零点．

又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．

方法二：如图，

在同一坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象．

由图知，g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．

判断函数零点的个数的方法主要有：

1对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数. 2由fx＝gx－hx＝0，得gx＝hx，在同一坐标系中作出y1＝gx和y2＝hx的图象，利用图象判定方程根的个数.

[变式训练3] 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( B )

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：

易知函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝12x＝12x的根的个数⇔函数y1＝|log0.5x|与y2＝12x的图象的交点个数．两个函数的图象如图所示，可知两个函数图象有两个交点，故选B.

命题视角2：由函数的零点求参数的取值范围

[例4] 已知函数f(x)＝ 12x＋34，x≥2，log2x，0

[答案] 34，1

[解析] 画出函数f(x)的图象如图．

要使函数g(x)＝f(x)－k有两个不同零点，只需y＝f(x)与y＝k的图象有两个不同交点，由图易知k∈34，1. 此类题关键是画出图象，将函数零点问题转化为图象交点问题，从而确定参数的范围.

[变式训练4] 若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是(0,2)．

解析：令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，0

1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是( B )

A．(－2,3) B．2,3

C．(2,3) D．－2，－3

解析：令－x2＋5x－6＝0.解得x1＝2，x2＝3，故函数零点为2,3.

2．设x0是方程lnx＋x＝4的解，则x0所在的区间是( C )

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

解析：设f(x)＝lnx＋x－4，则f(1)＝－3<0，f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4>0，则x0∈(2,3)．

3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(1，＋∞)．

解析：函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，就是方程x2＋2x＋a＝0没有实数解，所以Δ＝4－4a<0，即a>1.

4．方程2|x|＋x＝2的实根的个数为2. 解析：

由2|x|＋x＝2，得2|x|＝2－x.

在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2|x|与函数y＝2－x的图象，如图，图象有2个交点，即方程有2个实根．

5．求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．

解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.

令y1＝log2x，y2＝x－2.

画出两个函数的大致图象，如图所示．

有两个不同的交点．

所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．

——本课须掌握的三大问题

1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．

2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．

3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．

学习至此，请完成课时作业23

二次函数的零点问题

开讲啦二次函数零点的分布问题又称为一元二次方程根的分布问题，求解此类问题，一定要注意数形结合方法的应用，从各