高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点第24课时方程的根与函数的零点aa高一数学

[k12]

最新K12 3.1.1 方程的根与函数的零点

整体设计

教学目标

知识与技能

1．结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；

2．结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；

3．结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法．

过程与方法

1．通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；

2．通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；

3．通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；

4．通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力．

情感、态度与价值观

1．让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；

2．培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；

3．使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感．

教学重点与难点

教学重点：零点的概念及零点存在性的判定．

教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法．

教学的方法与手段

授课类型 新授课 教学方法 启发式教学、探究式学习

教学课件 自制Powerpoint课件 多媒体设备 计算机

教学过程

【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标

教师活动：用屏幕显示

第三章 函数的应用

3.1.1 方程的根与函数的零点

教师活动：这节课我们来学习第三章 函数的应用．通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题．为此，我们还要做一些基本的知识储备．方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧[k12]

最新K12 重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”．

精品资料 值得拥有

1 3．1.1 方程的根与函数的零点

函数的零点

[提出问题]

如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象：

问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)＝0的根的个数？

提示：方程f(x)＝0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由题图可知，方程有3个根，即x＝－3，－1,2.

问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？

提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标．

[导入新知]

1．函数的零点

对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2．方程、函数、图象之间的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

[化解疑难]

函数零点的本质

(1)函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．

(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．

函数零点的判断

[提出问题]

函数f(x)＝x2－4x＋3的图象如图． 精品资料 值得拥有

2

问题1：函数的零点是什么？

提示：1,3.

问题2：判断f(0)·f(2)与f(2)·f(4)的符号．

提示：∵f(0)＝3，f(2)＝－1，f(4)＝3，

∴f(0)·f(2)<0，f(2)·f(4)<0.

[导入新知]

函数零点的存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

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教案试题 3.1.1 方程的根与函数的零点

整体设计

教学目标

知识与技能

1．结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；

2．结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；

3．结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法．

过程与方法

1．通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；

2．通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；

3．通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；

4．通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力．

情感、态度与价值观

1．让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；

2．培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；

3．使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感．

教学重点与难点

教学重点：零点的概念及零点存在性的判定．

教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法．

教学的方法与手段

授课类型 新授课 教学方法 启发式教学、探究式学习

教学课件 自制Powerpoint课件 多媒体设备 计算机

教学过程

【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标

教师活动：用屏幕显示

第三章 函数的应用

3.1.1 方程的根与函数的零点

教师活动：这节课我们来学习第三章 函数的应用．通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题．为此，我们还要做一些基本的知识储备．方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧最新K12教育

教案试题 重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”．

3．1.1 方程的根与函数的零点

学习目标 1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系；2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间；3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．

知识点一 函数的零点概念

思考 函数的“零点”是一个点吗？

答案 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

一般地，对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

方程、函数、图象之间的关系：

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

知识点二 零点存在定理

思考 函数零点有时是不易求或求不出来的．如f(x)＝lg x

＋x.但函数值易求，如我们可以求出f(110)＝lg 110＋110＝－1＋110＝－910，f(1)＝lg 1＋1＝1.

那么能判断f(x)＝lg x＋x在区间110，1内有零点吗？

答案 能．因为f(x)＝lg x＋x是连续的，函数值从－910变化到1，势必在110，1内某点处的函数值为0.

一般地，有函数零点存在性定理：

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

类型一 求函数的零点

例1 函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．

答案 x＝1或x＝10

解析 由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，

∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.

反思与感悟 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．