函数的定义域详解

函数定义域的应用

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积s与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：

s=（50-x）

故函数关系式为：s=（50-x）．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量

的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量 取负数或不小于50的数时，s的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 的范围：

即：函数关系式为：s=（50-x） （0＜x＜50 ）

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例2：求函数y=4x-5+的值域．

错解：令t=则2x=t2+3

∴y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2（t+）2+≥ 故所求的函数值域是[+∞] ．

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1．

故所求的函数值域是[1, +∞）．

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例3：指出函数f（x）=1og2（x2+2x）的单调区间．

解：先求定义域：

∵x2+2x＞0 ∴x＞0或x＜-2

∴函数定义域为（-∞，-2）∪（0，+∞）．

令u=x2+2x，知在x∈（-∞，-2）上时，u为减函数，

在x∈（0，+∞）上时， u为增函数。

又∵f（x）=log2u在[0，+∞]是增函数．

∴函数f（x）=log2（x2+2x）在（-∞，-2）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数。

常见函数解析式定义域值域的求法总结

函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。

一、定义域的求法：

1.开方函数的定义域：

对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax

+ b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。

2.分式函数的定义域：

对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。

3.对数函数的定义域：

对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。

4.指数函数的定义域：

对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。

5.三角函数的定义域：

对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。 6.反三角函数的定义域：

对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。

7.复合函数的定义域：

当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。

二、值域的求法：

1.函数的图像法：

通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。

2.函数的导数法：

对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。

3.函数的区间法：

对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。

4.反函数的值域：

如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。

5.一次函数的值域： 对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。

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1 学科培训师辅导讲义

学员编号 年 级 高一 课时数 2

学员姓名 辅导科目 数学 学科培训师 周老师

课 题 函数定义域、值域

备课时间 2014年07月25日 授课时间 2014年07月26日

教学内容

知识点三：函数的定义域

一、课前检测

1. （2008全国）函数()1fxxxx的定义域是____________. 答案：1xx

2.函数()fx的定义域为[1,1]，则(1fx）的定义域为____________. 答案：0,2x

3．函数1()lg4xfxx的定义域为（ ）

.A(14)， .B[14)， .C(1)(4)，， .D (1](4)，，

二、知识梳理

1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 答案：有意义的自变量的取值

2．常见的三种题型确定定义域：

（1） 已知函数的解析式，就是 . 答案：解不等式（组）

如：①)()(xgxfy，则 ； ②)()(*2Nnxfyn，则 ；

③0)]([xfy，则 ； ④)(log)(xgyxf，则 ；

⑤tanyx，则 ； ⑥()fx是整式时，定义域是全体实数。

（2） 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的

域.

（3）实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.

三、典型例题分析

例1。求下列函数的定义域

(1)2112yx|x|； 答案：112xxxx或且

函数的定义域及函数的解析式

因为函数是现实世界对应关系的抽象或者说是对应关系的数学模型，它重要而且基本，不仅是数学研究的重要对象，也是数学中常用的一种数学思想，所以全面正确深刻理解函数概念则是我们教学的关键.其中函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理

解充分体现.下面，针对函数的定义域及函数解析式做进一步探讨.

一、函数的定义域

［例1］求下列函数的定义域

(1)ｙ＝－221x＋１

(2)ｙ＝422xx

(3)xxy1

(4)ｙ＝241xx

(5)ｙ＝3142xx

(6)ｙ＝)13(113xxx

(7)ｙ＝x11111

(8)ｙ＝3ax（ａ为常数）

分析：当函数是用解析法给出，并且没有指出定义域，则使函数解析式有意义的自变量的全体所组成的集合就是函数的定义域.

解：(1)ｘ∈R

(2)要使函数有意义，必须使ｘ２－４≠０得原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≠２且ｘ≠－２｝

(3)要使函数有意义，必须使ｘ＋｜ｘ｜≠０得原函数定义域为｛ｘ｜ｘ＞０｝

(4)要使函数有意义，必须使0401xx得原函数的定义域为｛ｘ｜１≤ｘ≤4｝ (5)要使函数有意义，必须使03042xx得原函数定义域为｛ｘ｜－２≤ｘ≤２｝

(6)要使函数有意义，必须使01301xx得原函数的定义域为｛ｘ｜ｘ≠31且ｘ≠１｝

(7)要使函数有意义，必须使011111011110110xxxx 得

原函数的定义域为｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞０或－21＜ｘ＜０}

(8)要使函数有意义，必须使ａｘ－３≥０得当ａ＞0时，原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≥a3｝

当ａ＜0时，原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≤a3｝

当ａ＝０时，ａｘ－３≥０的解集为，故原函数定义域为