多元线性回归练习题

线性模型练习题(含答案)

练题一

设有线性回归模型：$ y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 +

\beta_3x_3 $，其中 $x_1$、$x_2$ 和 $x_3$ 是自变量，$y$ 是因变量。已知模型的参数估计值如下：

$ \hat{\beta}_0 = 2.5 $

$ \hat{\beta}_1 = 0.8 $

$ \hat{\beta}_2 = -1.2 $

$ \hat{\beta}_3 = 1.3 $

请判断以下哪个自变量与因变量的关系最为显著：

A. $x_1$

B. $x_2$

C. $x_3$

D. 无法确定

答案：B. $x_2$

练题二

下面是一个简单的线性回归模型：

$ y = 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 + 1 $

已知模型的参数估计值如下：

$ \hat{\beta}_1 = 2.1 $

$ \hat{\beta}_2 = 1.8 $

$ \hat{\beta}_3 = 0.9 $

请根据模型参数估计值计算预测值 $ \hat{y} $，当 $x_1 = 2$，$x_2 = 3$，$x_3 = 1$ 时的结果。

答案：$ \hat{y} = 3(2) + 4(3) + 2(1) + 1 = 23 $

练题三

某研究人员运用线性回归模型分析了一个因变量 $y$ 和四个自变量 $x_1$、$x_2$、$x_3$ 和 $x_4$ 的关系，得到模型方程如下：

$ y = 2.6x_1 + 1.9x_2 - 1.4x_3 + 0.5x_4 - 1 $

已知 $x_1 = 3$，$x_2 = 2$，$x_3 = 4$，$x_4 = 1$，请计算对应的预测值 $ \hat{y} $。

答案：$ \hat{y} = 2.6(3) + 1.9(2) - 1.4(4) + 0.5(1) - 1 = 2.9 $

练题四

以下是一个多元线性回归模型的参数估计值摘录：

第三章多元线性回归模型

一、名词解释

1、 多元线性回归模型：在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量影响的现象，表现在线性回归模型中 有多个解释变量，这样的模型被称做多元线性回归模型，多元是指多个解释变量

2、 调整的可决系数R2 :又叫调整的决定系数，是一个用于描述多个解释变量对被解释变量的联合影响程

2 2-2 2 门

度的统计量‘克服了 R随解释变量的增加而增大的缺陷，与 R的矢系为R2=1 -（1 -R2）-

n — k —1

3、 偏回归系数：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变

量保持不变时，该变量增加 1单位对被解释变量带来的平均影响程度。

4、 正规方程组：采用OLS方法估计线性回归模型时，对残差平方和矢于各参数求偏导，并令偏导数为 0

后得到的方程组，其矩阵形式为 XX AXYo

5、 方程显著1•生检验：是针对所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著所作的检验，旨在对模型中被解释变

量与解释变量之间的线性矢系在总体上是否显著成立作岀判断。

、单项选择题

1、 C ： F统计量的意义

2、 A： F统计量的定义

2

2 Z ei

3、 B ：随机误差项方差的估计值:? ・

n _k_1

4、 A :书上P92和P93公式

5、 C： A参看导论部分内容；B在判断多重共线等问题的时候，很有必要； D在相同解释变量情况下可以衡 量

6、 C ：书上P99,比较F统计量和可决系数的公式即可

7、 A ：书 P81

8、 D ： A截距项可以不管它；B不考虑betaO ； C相矢矢系与因果矢系的辨析

9、 B ：注意！只是在服从基本假设的前提下，统计量才服从相应的分布

10、 D : AB不能简单通过可决系数判断模型好坏，还要考虑样本量、异方差等问题；

三、 多项选择题

1、ACDE ：概念性 2、BD :概念性 3、BCD :总体显著，则至少一个参数不为 0

多元线性回归练习题

1. 一家电气销售公司的管理人员认为，每月的销售额是广告费用的函数，并想通过广告费用对月销售额作出估计。近8个月的销售额与广告费用数据见book7.1表。

（1）用电视广告费用作自变量，月销售额作因变量，建立估计的回归方程。

（2）用电视广告费用和报纸广告费用作自变量，月销售额作因变量，建立

估计的回归方程。检验回归方程的线性关系是否显著( =0.05)；检验各回归系数是否显著( =0.05) 。

2. 一家房地产评估公司想对某城市的房地产销售价格y1与地产的评估价值

x1、房产的评估价值x2和使用面积x3建立一个模型，以便对销售价格作出合

理预测。为此，收集了20栋住宅的房地产评估数据见book7.2表。 （1）写出估计的多元回归方程。

（2）检验回归方程的线性关系是否显著( =0.05)。

（3）检验各回归系数是否显著( =0.05) 。

3. 某农场通过试验取得早稻收获量与春季降雨量和春季温度的数据见book7.3表。

（1）试确定早稻收获量对春季降雨量和春季温度的二元线性回归方程。

解释回归系数的实际意义。

（2）检验回归方程的线性关系是否显著( =0.05)。

（3）检验各回归系数是否显著( =0.05) 。

思考题

4.1 为了考察城镇商品房市场的特征，有人建立了如下的模型：

iiiiiZPXY3210lnln

其中：iY为第i个城镇的商品房销售面积，iX为该城镇居民的人均可支配收入，iP为商品

房均价，iZ为常住人口数量。

（1）分别解释系数1和2的经济含义。

（2）有人认为，中国商品房市场存在严重的炒房现象，导致价格越高，商品房的销

售量越火爆，你如何检验这种观点？写出你的原假设、备选假设、检验统计量和判定规则。

（3）有人认为，商品房市场存在严重泡沫，商品房的销售量已经与居民收入、人口规

模严重脱节，你如何检验这种观点？写出你的原假设、备选假设、检验统计量和判定规则。

（4）如果样本中既有大城市，也有小城镇，你如何检验大小城市的商品房市场是否

具有相同的特征。

4.2. 在分析变量Y的影响因素时，学生甲建立了如下的多元回归方程：

ttttXXY22110。

学生乙也在研究同样的经济问题，她只学习了一元回归模型。为了考察在X2不变时，X1对Y

的影响，学生乙进行了如下的三步回归分析：

tttXY1210 （a）

tttXX22101 （b）

ttt3211ˆˆ （c）

其中：tt21ˆ,ˆ分别是回归方程（a）、（b）的残差项。

（1）参数1和参数1有什么样的关系？解释你的理由。

（2）参数2和参数1是同一个参数吗？解释你的理由。 （3）回归方程（c）为什么没有截距项？

4.3. 在基于受约束和无约束回归方程的估计结果检验规线性约束时，需要建立F检验统计

量。有同学在相关文献中看到了如下的F检验统计量： )1,(~)1/(/)(

222KNqFKNRqRRFurrur。

（1）说明该F统计量的形式是如何得到的。

（2）在使用该统计量形式时需要注意什么条件？

（3）在分析生产函数时，如果无约束和受约束方程分别为：

ttttLKQlnlnln210