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2018人教A版数学必修二4-3《空间直角坐标系》学案

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四川省岳池县第一中学高中数学必修二学案: 4-3 空间直角坐标系导学案

1、 学习目标:

2、 通过具体情境, 使学生感受建立空间直角坐标系的必要性。

3、 了解空间直角坐标系, 会用空间直角坐标系刻画点的位置。

4、 感受类比思想在探究新知识过程中的作用。

学习重点:

本节教学重点是建立空间直角坐标系, 用空间直角坐标系刻画点的位置和根据点的位置表示出点的坐标。

一、 学习过程:

二、 概念的引入

主要概念:

空间直角坐标系----从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz, 这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz,

点O叫做坐标原点, x轴、y轴、z轴叫做坐标轴。

坐标平面----通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,

分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。

右手直角坐标系----在空间直角坐标系中, 让右手拇指指向x轴的正方向, 食指指向y轴的正方向, 若中指指向z轴的正方向, 则称这个坐标系为右手直角坐标系。

空间直角坐标系中的坐标----对于空间任一点M, 作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影, 若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z, 则把有序实数对(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标, 记作M(x, y, z), 其中x叫做点M的横坐标, y叫做点M的纵坐标, z叫做点M的竖坐标。

二、教材解读

第一板块 问题提出 解读

借助平面直角坐标系, 我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置, 那么空间的点如何表示呢？

类比于平面直角坐标系的建立。通过具体情境,

如要确定教室内所挂电灯的位置, 一方面发现用平面直角坐标系不能再确定点的位置, 需要第三个坐标, 拓宽了思维空间；另一方面感受建立空间直角坐标系的必要性。

第二板块 知识探求 解读

如何建立空间直角坐标系？

如何建立空间直角坐标系？ 1.在平面直角坐标系的基础上, 通过原点再增加一根竖轴, 就成了空间直角坐标系。

2.如无特别说明, 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系。

3、空间直角坐标系象平面直角坐标系一样, 有“三要素”：原点、坐标轴方向、单位长度。

4、在平面上画空间直角坐标系O-xyz时, 一般使, , 且使y轴和z轴的单位长度相同, x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的单位长度的一半, 即用斜二

测的方法画。

第三板块 思考交流 解读

1、为什么空间的点M能用有序实数对(x, y,

z)表示？

1.为什么空间的点M能用有序实数对(x, y,

z)表示？

1、为什么空间的点M能用有序实数对(x, y,

z)表示？ 设点M为空间直角坐标系中的一点, 过点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面, 依次交x轴、y轴、z轴于P、Q、R点, 设点P、Q、R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y和z, 那么点M就有唯一确定的有序实数组(x, y, z)；反过来, 给定有序实数组(x,

y, z), 可以在x轴、y轴、z轴上依次取坐标为x、y和z的点P、Q和R, 分别过P、Q和R点各作一个平面, 分别垂直于x轴、y轴、z轴, 这三个平面的唯一的交点就是有序实数组(x, y, z)确定的点M。

2、课本P.143, 请标出图4.3-1中, 位于yOz平面上点、的坐标；以及zOx平面上点的坐标, 有什么意图？

这些点都是特殊点, 其目的在于在找出这些特殊点的过程中, 要善于发现它们的规律：在xOy平面上的点的竖坐标都是零, 在yOz平面上的点的横坐标都是零, 在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零, 在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零, 在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零。

例1: 在空间直角坐标系中, 作出点P(5, 4, 6)。

总结: 对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目, 要引起足够的重视, 它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识, 而且有利于进一步培养空间想象能力。

例2、如图, 在长方体ABCD—A' B' C' D'中, AB=12, AD=8, A A'=5以这个长方体的顶点A为坐标原点, 射线AB, AD, A A'分别为x轴, y轴和z轴的正半轴, 建立空间直角坐标系, 求长方体各个顶点的坐标。

例3.（1）在空间直角坐标系O—xyz中, 画出不共线的3个点P,Q,R,

使得这三个点的坐标都满足Z=3,并画出图形。

（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件。

1、 基础达标:

在空间坐标系中, 画出下列个点：

A(0,0,3) B(1,2,3) C(2,0,4) D(-1,2,-2)

A（0） y z

x B' D'

C'

C A'

B D

已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4, 侧棱长为10, 试建立适当的空间直角坐标系, 写出各顶点的坐标。

在长方体ABCD—A' B' C' D'中, AB=6, AD=4, A A'=7,以这个长方体的顶点B为坐标原点,

射线BA, BC, BB'分别为x轴, y轴和z轴的正半轴, 建立空间直角坐标系, 求长方体各个顶点的坐标。

我的收获: _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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2018版高中数学第三章空间向量与立体几何疑难规律方法学案人教B版2-1

2018版高中数学第三章空间向量与立体几何疑难规律方法学案人教B版2-1

学必求其心得，业必贵于专精

1 第三章 空间向量与立体几何

1 空间向量加减法运用的三个层次

空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．

第1层 用已知向量表示未知向量

例1 如图所示,M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用向量错误!,错误!,错误!表示错误!和错误!。

解 错误!＝错误!＋错误!

＝错误!错误!＋错误!错误!

＝12错误!＋错误!(错误!－错误!）

＝错误!错误!＋错误!(错误!－错误!错误!)

＝错误!错误!＋错误!×错误!(错误!＋错误!)

＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!； 学必求其心得，业必贵于专精

2 错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!

＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!）

＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!错误!）

＝错误!错误!＋错误!×错误!（错误!＋错误!)

＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!。

点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．

第2层 化简向量

例2 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD.设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．

(1）错误!＋错误!＋错误!;

（2)错误!＋错误!(错误!＋错误!）； 学必求其心得，业必贵于专精

3 （3）错误!－错误!（错误!＋错误!)．

解 (1）错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。

(2）错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!＋错误!错误!＋错误!错误!

【小初高学习】课标通用2018年高考数学一轮复习坐标系与参数方程学案理选修4_4

【小初高学习】课标通用2018年高考数学一轮复习坐标系与参数方程学案理选修4_4

小初高教案试题导学案集锦

K12资源汇总，活到老学到老 §选修4－4 坐标系与参数方程

考纲展示► 1.理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．

2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．

3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．

4．了解参数方程，了解参数的意义．

5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．

6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．

考点1 直角坐标方程与极坐标方程的互化

1.极坐标系

(1)设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明，我们认为ρ≥0,0≤θ＜2π.

(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝________，y＝________.另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________(x≠0)．

答案：(1)极径 (2)ρcos θ ρsin θ x2＋y2 yx

2．常用简单曲线的极坐标方程 小初高教案试题导学案集锦

K12资源汇总，活到老学到老 (1)几个特殊位置的直线的极坐标方程

①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；

②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；

③直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b.

(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程

①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝________；

②当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝________；

人教A版高中数学必修二空间直角坐标系学案(3)

人教A版高中数学必修二空间直角坐标系学案(3)

“空间直角坐标系”学习指南

一、知识梳理：

（一）空间直角坐标系的建立

1、建立空间直角坐标系时，我们通常建右手直角坐标系：在z轴的端点处观察，从x轴到y轴的最短旋转方向为逆时针；

2、在平面上画空间直角坐标系oxyz时，一般使00135,90xoyyoz。

（二）空间直角坐标系中点的坐标

1、空间的任一点M与一个有序数组（点的坐标）之间建立起一一对应的关系，(,,)Mxyz。这里应熟练掌握由坐标确定点的位置和求点的坐标两类问题；

2、坐标平面、坐标轴上点的记法：

xoy平面上的点可记作(,,0)xy yoz平面上的点可记作(0,,)yz

xoz平面上的点可记作(,0,)xz x轴上的点可记作(,0,0)x

y轴上的点可记作(0,,0)y z轴上的点可记作(0,0,)z

3、空间直角坐标系内点的对称问题：

(,,)Pxyz关于坐标平面xoy对称的点1(,,)Pxyz (,,)Pxyz关于坐标平面yoz对称的点2(,,)Pxyz

(,,)Pxyz关于坐标平面xoz对称的点3(,,)Pxyz (,,)Pxyz关于x轴对称的点4(,,)Pxyz

(,,)Pxyz关于y轴对称的点5(,,)Pxyz (,,)Pxyz关于z轴对称的点6(,,)Pxyz

(,,)Pxyz关于原点对称的点7(,,)Pxyz.

4、空间两点的中点坐标公式：

空间的两点11112222(,,),(,,)PxyzPxyz ，则12PP中点P的坐标为121212(,,)222xxyyzzP.

（三）空间两点间的距离公式

1、设11112222(,,),(,,)PxyzPxyz，则22212121212()()()PPxxyyzz；

特别地，点(,,)Pxyz到原点的距离为222OPxyz.

2017-2018版高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算学案版2-1

2017-2018版高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算学案版2-1

学必求其心得，业必贵于专精

1 3.2。3 空间的角的计算

［学习目标] 1。理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题。3。掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤．

知识点一 两条异面直线所成的角

（1）定义：设a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做a与b所成的角．

（2）范围:两条异面直线所成角θ的取值范围是0

(3)向量求法：设直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为φ，则a，b所成角的余弦值为cos θ＝｜cos φ|＝错误!.

知识点二 直线与平面所成的角

(1）定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．

(2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤错误!.

(3）向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有

sin θ＝｜cos φ｜＝错误!或cos θ＝sin φ。

知识点三 二面角 学必求其心得，业必贵于专精

2 (1)二面角的取值范围：［0，π］．

（2）二面角的向量求法：

①若AB，CD分别是二面角α—l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线(垂足分别为A，C),如图,则二面角的大小就是向量错误!与错误!的夹角．

②设n1、n2是二面角α-l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与向量n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．

题型一 两条异面直线所成角的向量求法

例1 如图,在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．

解 以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

则A（0,0，0)，B（2，0，0），C(0，2,0），D(1,1，0)，A1(0,0,4)，C1(0，2,4)，所以错误!＝(2,0，－4），错误!＝（1，－1，－4）．