高中数学人教B版必修二学案：2.4空间直角坐标系

《空间直角坐标系》学案

一. 学习目标

1.通过具体情境，使学生感受建立空间直角坐标系的必要性；

2.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；

3.感受类比思想在探索新知识过程中的作用．

二、要点扫描

1．空间直角坐标系

从空间某一个定点o引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴，这样就建立了一个空间直角坐标系xyzO.点O叫做坐标原点， x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．

2．右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系．

3．空间右手直角坐标系的画法

通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成135，而z轴垂直于y轴．y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等．

4．空间点的坐标表示

对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴与y轴与z轴，它们与x轴与y轴和z轴分别交与RQP,,．点RQP,,在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数对（x，y，z）叫做点A的坐标，记为A（x，y，z）．

5．在空间直角坐标系中画立体图形时，通常也遵循以下类似原则：已知图形中平行于y轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于x轴的线段，长度变为原来的一半．

三、巩固运用

例1．在空间直角坐标系中，作出点)6,4,5(P．

分析：可按下列步骤作出点P：

PPPOzyx个单位向上移动轴平行的方向沿与个单位向右移动轴平行的方向沿与个单位方向移动轴正从原点出发沿62415

解：所作图如下图所示．

1 2．4.1 空间直角坐标系

学习目标 1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标．

知识点 空间直角坐标系

思考1 在数轴上，一个实数就能确定一点的位置．在坐标平面上，需要一对有序实数才能确定一点的位置．为了确定空间中任意点的位置，需要几个实数呢？

思考2 空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？

梳理 (1)空间直角坐标系

①定义：为了确定空间点的位置，我们在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条________，使它与x轴，y轴都________，这样它们中的任意两条都________________；轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿________方向转90°能与y轴的正半轴重合．这时，我们说在空间建立了一个________________Oxyz，O叫做________________．

②坐标平面：每_____________分别确定的平面yOz，xOz，xOy，叫做坐标平面．

③卦限：三个坐标平面把空间分为________部分，每一部分都称为________________．

(2)空间中点的坐标

过点P作一个平面平行于平面______(垂直于x轴)，这个平面与______的交点记为________，它在______的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标．

过点P作一个平面平行于平面________(垂直于y轴)，这个平面与________的交点记为 2 ________，它在________的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标．

过点P作一个平面平行于平面________(垂直于z轴)，这个平面与________的交点记为________，它在________的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标．

这样，我们对空间中的一个点，定义了三个实数的有序数组作为它的坐标，记作________．其中x，y，z也可称为点P的坐标分量．

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空间直角坐标系

1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox，Oy，Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴叫做坐标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。

2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

3．在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零，在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零。

4. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴，Oy轴，Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，则把有序实数组(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。

5. 空间中两点间的距离公式：222212121dxxyyzz。

6．不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同。

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精心校对完整版 数学人教B必修2第二章2.4 空间直角坐标系

1．通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．

2．会推导空间两点间的距离公式，并能在具体问题中正确应用．

1．空间直角坐标系的建立

为了确定空间点的位置，在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都______，这样它们中的任意两条都互相垂直．

轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿____时针方向转90°能与y轴的正半轴重合，这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点．每两条坐标轴分别确定的平面yOz，xOz，xOy叫做坐标平面，三个坐标平面把空间分成八个卦限，如图所示．

______平面：由x轴及y轴确定的坐标面；

______平面：由x轴及z轴确定的坐标面；

______平面：由y轴及z轴确定的坐标面．

2．点在空间直角坐标系中的坐标

取定了空间直角坐标系后，就可以建立空间内的任意一点与三个实数的有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系．

点M为空间一已知点，在空间直角坐标系中，过这点作两条轴所确定平面的________，交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是点M相应的一个______．设点M在x轴，y轴，z轴的坐标依次为x，y，z.于是空间的点M就唯一确定了一个有序数组x，y，z.这组数x，y，z就叫做点M的坐标，记为________，并依次称x，y和z为点M的x坐标、y坐标和z坐标．反之，设(x，y，z)为一个三元有序数组，过x轴上坐标为x的点，y轴上坐标为y的点，z轴上坐标为z的点，分别作x轴，y轴，z轴的________，这三个平面的交点M便是三元有序数组(x，y，z)唯一确定的____．所以，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系．