【压轴题】高考数学试题含答案

【压轴题】高考数学试题含答案

一、选择题

1．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）

A．①③④ B．②④ C．②③④ D．①②③

2．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为

A．12 B．16 C．20 D．24

3．设01p，随机变量的分布列如图，则当p在0,1内增大时，（ ）



0

1

2

P 12p 12 2p

A．D减小 B．D增大

C．D先减小后增大 D．D先增大后减小

4．如图，12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,AB两点．若11::3:4:5ABBFAF，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．23yx B．22yx C．3yx D．2yx

5．函数1ln1yxx的图象大致为( ) A． B．

C． D．

6．已知非零向量ab，满足2ab=，且bab（–），则a与b的夹角为

A．π6 B．π3 C．2π3 D．5π6

7．设i为虚数单位，复数z满足21iiz，则复数z的共轭复数等于（ ）

A．1-i B．-1-i C．1+i D．-1+i

8．函数()lnfxxx的大致图像为 （ ）

A． B．

C． D．

9．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线3x对称的函数是（ ）

A．2sin23yx B．2sin26yx

C．2sin23xy D．2sin23yx

10．已知复数 ，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

11．一个样本a,3,4,5,6的平均数是b，且不等式x2－6x＋c＜0的解集为(a，b)，则这个样本的标准差是( )

A．1 B．2

C．3

D．2

12．sin47sin17cos30cos17

A．32 B．12 C．12

D．32

二、填空题

13．已知曲线lnyxx在点1,1处的切线与曲线221yaxax相切,则a= ．

14．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为23的扇形，则此圆锥的高为________cm.

15．设正数,ab满足21ab，则11ab的最小值为__________．

16．函数23s34fxinxcosx（0,2x）的最大值是__________．

17．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.

18．如图，圆C（圆心为C）的一条弦AB的长为2，则ABAC=______．

19．若45100ab，则122()ab_____________．

20．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）

三、解答题

21．已知数列na满足1112,22nnnaaa.

（1）设2nnnab，求数列nb的通项公式；

（2）求数列na的前n项和nS；

（3）记211422nnnnnnncaa，求数列nc的前n项和nT. 22．在ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c，且ac，已知2BABC，1cos3B，3b，求：

（1）a和c的值；

（2）cos()BC的值.

23．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.

（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：

①；

②；

③.

判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.

（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.

①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；

②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.

24．已知椭圆2222:10xyCabab的一个焦点为5,0，离心率为53.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点00,Pxy为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

25．已知函数3fxaxbxc在点2x处取得极值16c.

(1)求,ab的值；

(2)若fx有极大值28，求fx在3,3上的最小值．

26．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【解析】

【分析】

分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.

【详解】

由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A.

【点睛】

本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.

2．A

解析：A

【解析】

【分析】

本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．

【详解】

由题意得x3的系数为314424812CC，故选A．

【点睛】

本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．

3．D

解析：D

【解析】

【分析】

先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.

【详解】

111()0122222ppEp，

2222111111()(0)(1)(2)2222224ppDppppp，

1(0,1)2，∴()D先增后减，因此选D. 【点睛】

222111(),()(())().nnniiiiiiiiiExpDxEpxpE

4．A

解析：A

【解析】

【分析】

设1123,4,5,ABBFAFAFx，利用双曲线的定义求出3x和a的值，再利用勾股定理求c，由byxa得到双曲线的渐近线方程.

【详解】

设1123,4,5,ABBFAFAFx，

由双曲线的定义得：345xx，解得：3x，

所以2212||46413FF13c，

因为2521axa，所以23b，

所以双曲线的渐近线方程为23byxxa.

【点睛】

本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.

5．A

解析：A

【解析】

【分析】

确定函数在定义域内的单调性，计算1x时的函数值可排除三个选项．

【详解】

0x时，函数为减函数，排除B，10x时，函数也是减函数，排除D，又1x时，1ln20y，排除C，只有A可满足．

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．

6．B

解析：B

【解析】

【分析】 本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()abb得出向量,ab的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．

【详解】

因为()abb，所以2()abbabb=0，所以2abb，所以cos=22||122||abbbab，所以a与b的夹角为3，故选B．

【点睛】

对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]．

7．B

解析：B

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则解得1iz，结合共轭复数的概念即可得结果.

【详解】

∵复数z满足21iiz，∴2121111iiiziiii，

∴复数z的共轭复数等于1i，故选B.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

8．A

解析：A

【解析】

【分析】

【详解】

∵函数f（x）=xlnx只有一个零点，∴可以排除CD答案

又∵当x∈（0，1）时，lnx＜0，∴f（x）=xlnx＜0，其图象在x轴下方

∴可以排除B答案

考点：函数图像．

9．B

解析：B

【解析】

【分析】