分类讨论专题
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分类讨论专题训练答案
1、如图,已知一次函数y=3/4x+m的图象与x轴交于点A(−6,0)，交y轴于点B.
(1)求m的值与点B的坐标；
(2)若点C在y轴上，且使得△ABC的面积为12，请求出点C的坐标。
(3)若点P在x轴上，且△ABP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标。
答案：(1)m=8，点B坐标为(0,8).
(2)存在,点C坐标(0,12)或(0,4).
(3)满足条件的点P坐标为(−16,0)或(4,0)或(6,0)或(73,0).
2、如图，在平面直角坐标系中，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，，AO=6，将沿直线BE折叠，使得OB边落在AB上，点O与点D重合.（1）求直线BE的解析式；（2）求点D的坐标；
（3）x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.
答：
3、如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(1,0)和B(3,0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点,FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是等腰三角形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
答案：抛物线的解析式为y=x2-4x+3； 点C的坐标为（4，3）；存在点P（2，21）或
（2，-21）或（2，21+3）或（2，3-21） 4、如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点。如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm/s的速度运动。
(1)若点P、Q两点分别从B. A 两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(2)若点P、Q两点分别从B. A 两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形?
答案(1)，△BPD与△CQP是全等。理由如下：
当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时
有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm
则CP=BC−BP=10−4=6cm
CQ=AC−AQ=12−8=4cm …(2分)
∵D是AB的中点
∴BD=12AB=12×12=6cm
∴BP=CQ,BD=CP …(3分)
又∵△ABC中，AB=AC
∴∠B=∠C …(4分)
在△BPD和△CQP中
BP=CQ
∠B=∠C
BD=CP
∴△BPD≌△CQP(SAS) …(6分)
(2)设当P，Q两点同时出发运动t秒时，
有BP=2t，AQ=4t
∴t的取值范围为0 则CP=10−2t,CQ=12−4t …(7分) ∵△CPQ的周长为18cm， ∴PQ=18−(10−2t)−( 12−4t)=6t−4 …(8分) 要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论： ①当CP=CQ时，则有10−2t=12−4t 解得：t=1 …(9分) ②当PQ=PC时，则有6t−4=10−2t 解得：t=74…(10分) ③当QP=QC时，则有6t−4=12−4t 解得：t=85…(11分) 三种情况均符合t的取值范围。 综上所述,经过1秒或74秒或85秒时,△CPQ是等腰三角形…(12分) 5、如图，A，B，C，D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P，Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，点Q从点C向点D移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点P，Q分别从点A，C同时出发，问经过2s时P，Q两点之间的距离是多少？ （2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P，Q分别从点A，C同时出发，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm？ （3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P，Q分别从点A，C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ 答案（1）如图，过点P作PE⊥CD于点E． 则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm. 在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2， ∴PQ=62√cm. 故经过2s时P，Q两点之间的距离是62√cm； （2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm． (16-2x-3x)2+62=102，即(16-5x)2=64， ∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245. 故经过85s或245s时P，Q两点之间的距离是10cm； （3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2． ①当0≤y≤163时，则PB=16-3y， ∴12PB×BC=12，即12×(16-3y)×6=12，解得y=4； ②当163＜y≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y， 则12BP×CQ=12(3y-16)×2y=12， 解得y1=6，y2=-23（舍去）；③当223＜y≤8时，QP=CQ-PQ=22-y， 则12QP×CB=12(22-y)×6=12，解得y=18（舍去）． 综上所述，经过4秒或6秒时，△PBQ的面积为12cm2． 6、如图,在△ABC中,∠B=90∘，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。 (1)如果P、Q分别从A. B同时出发,经过多长时间,使△PBQ的面积为8cm2? (2)如果P、Q分别从A. B同时出发，当P、Q两点运动几秒时，PQ有最小值，并求这个最小值。 解答： (1)设P、Q经过t秒时,△PBQ的面积为8cm2， 则PB=6−t，BQ=2t， ∵∠B=90∘，AB=6cm，BC=8cm， ∴12(6−t)2t=8， 解得,t1=2,t2=4， ∴当P、Q经过2或4秒时,△PBQ的面积为8cm2； (2)设P、Q两点运动t秒时，PQ有最小值， ∴PQ2=(6−t)2+(2t)2， 整理得,PQ2=5(t−65)2+1445， ∴当t=65时,PQ有最小值为PQ=125√5.
