高中数学分类讨论专题

分类讨论思想在高中数学解题中的应用

摘要

分类讨论思想是数学中的一个重要思想，其在高中数学解题中得到了广泛的应用。本文将详细阐述分类讨论思想的定义、重要性、应用及具体案例，以便更好地展示其在高中数学解题中的应用价值。

分类讨论思想；高中数学；解题应用；具体案例

一、

分类讨论思想是一种数学思想，在高中数学中得到了广泛的应用。它可以有效地降低解题难度，提高解题效率。本文将重点研究其在高中数学解题中的应用。

二、分类讨论思想的定义

分类讨论思想指的是将问题分为若干小问题，根据不同的情况分别进行讨论，最终得到问题的解决方法的一种数学思想。使用这种方法，问题就可以逐步分解，降低难度，提高解题效率。

三、分类讨论思想的重要性

分类讨论思想的重要性主要体现在以下几个方面：

1.降低问题难度

采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以使问题难度逐步降低，最终简化问题难度，得到问题的解决方法。

2.提高解题效率

分类讨论思想可以使问题分解成若干小问题，这样可以使解决问题的速度更快，提高解题效率。

3.避免遗漏

采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以避免因为考虑不全面而遗漏某些情况，从而得到更为全面的解决方法。

四、分类讨论思想在高中数学解题中的应用

分类讨论思想在高中数学中的应用非常广泛，下面将以具体案例来说明其应用方法。

1.解决数列问题

在解决数列问题时，可以采用分类讨论思想，将数列分成等差数列和等比数列两种情况进行讨论。例如，如下：

已知数列{a_n}满足a_1=-3，a_n+1=2a_n+7，求数列的前n项和。

解：由题意得，

a_n+1=2a_n+7

化简可得：

a_n=2^(n-2)a_1+7(2^(n-2)-1)/(2-1)

若数列为等差数列，则

d=a_n-a_1=(2^(n-2)-1)*2

若数列为等比数列，则

q=a_n/a_(n-1)

代入公式得：

q=2

综上所述，

1

高中时许中函数分类讨论-结果交并问题

1. 由数学概念引起的讨论.如绝对值的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等.

2. 由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等.

3. 由函数的性质及定理、公式的限制引起的分类讨论（如等比数列中的公比是否为1等）

4. 由图形的不确定性引起的分类讨论（圆锥曲线中较多）

例1 函数243fxaxx在0,2x上有最大值2f，求实数a的取值范围.（结果取并集）

解: (1)当0a时，43fxx在0,2x上为单调增函数，最大值为2f，满足题意.

(2)当0a时，函数2224433fxaxxaxaa，其对称轴为2xa.①当0a时，243fxaxx在0,2x上为单调增函数，最大值为2f，满足题意;②当0a时，当22a即10a时，243fxaxx在0,2x上为单调增函数，最大值为2f，满足题意.

综上所述：当1a时，函数243fxaxx在0,2x上有最大值2f.

由于每一类中的a都符合题意,所以整合时,把每一类型中a的范围取并集,得到最终答案.

例2 设函数3()31()fxaxxxR，若对于任意的1,1x都有0)(xf成立，求实数a的值（结果取交集）

解：若0x，则不论a取何值，fx≥0显然成立,所以Ra；

当0x 即]1,0(x时，331fxaxx≥0可化为：2331axx,设2331gxxx，则'4312xgxx， 所以gx 在区间10,2上单调递增，在区间1,12上单调递减，因此max142gxg，从而a≥4；

学必求其心得，业必贵于专精

分类讨论思想是高中重要数学思想之一,是历年高考数学的重点与难点.突出考察思维的逻辑性、全面严谨性，比如在不等式、数列、导数应用相关的习题中，分类讨论思想很常见。

一、什么是分类讨论思想：

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结果不能唯一确定,有些问题的结论不能以统一的形式进行研究，还有些含参数的问题,参数的取值不同也会影响问题的结果，那么就要根据题目的要求，将题目分成若干类型，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再对分好的每类逐一研究、解决问题的数学思想，就是分类讨论思想。

二、分类讨论的一般步骤：

第一，明确讨论对象，确定对象的取值范围；

第二,确定分类标准，进行合理分类，不重不漏;

第三，对分好的每类进行讨论,获得阶段性结果；

第四,归纳总结，得出结论。

三、分类讨论的常见情形：

1.由数学概念引起的分类：有的概念本身就是分类给出的,在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、指数与对数函数、直线和平面所成的角等。 学必求其心得，业必贵于专精

2.由性质、定理、公式的限制引起的分类：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）,由a的正负而导致开口方向不确定；等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.

3。由某些数学运算要求引起的分类讨论：如解不等式ax2+bx+c＞0，a=0，a＜0,a＞0解法是不同的；除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数时不等号的方向，三角函数的定义域等．

4。由图形引的不确定性起的分类：有的图形的类型、位置需要分类，比如角的终边所在象限;立体几何中点、线、面的位置关系等。

5.由实际意义引起的分类：此类问题在实际应用题中常见.特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．

题目 高中数学复习专题讲座分类讨论思想

高考要求

分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决 分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论 ”

重难点归纳

分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则 分类讨论常见的依据是

1 由概念内涵分类 如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类

2 由公式条件分类 如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等

3 由实际意义分类 如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论

在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论

典型题例示范讲解

例1已知{an}是首项为2，公比为21的等比数列，Sn为它的前n项和

（1）用Sn表示Sn+1;

（2）是否存在自然数c和k，使得21cScSkk成立

命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力

知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质

错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出kkScS223

技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得答案

解 （1）由Sn=4(1–n21），得

221)211(411nnnSS，(n∈N*)