分类讨论思想、转化与化归思想
高考定位分类讨论思想、转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数及数列解答题中，难度较大.
1.中学数学中可能引起分类讨论的因素
(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.
(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等.
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.
(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.
(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.
2.常见的转化与化归的方法
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.
(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.
(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.
找规律方法专题
一、基本方法——看增幅
（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则
第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数
到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。
例：4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)
×6＝6n－2
（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种
通用求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；
2、求出第1位到第第n位的总增幅；
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。
分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n
位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：
〔3+（2n-1）〕×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1
所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方
法求出，方法就简单的多了。
（三）增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、
2、4、8.
（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一
些技巧。
二、基本技巧
（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些
已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以
比较，就比较容易发现其中的奥秘。
分类讨论思想
第1页，共3页 分类讨论思想
一、含义
分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。
二、常见类型
有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：
1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。
2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。
3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。
4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等。
5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。
6.由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中。
三、高中数学中相关的知识点
1.绝对值的定义； 分类讨论思想
第2页，共3页 2.一元二次方程根的判别式与根的情况；
3.二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向；
4.反比例函数0xxky的反比例系数k，正比例函数kxy的比例系数k，一次函数bkxy的斜率k与图像位置及函数单调性的关系；
5.幂函数axy的幂指数a的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；
6.指数函数xay及其反函数xyalog中底数a＞1及0
7.等比数列前n项和公式中q＝1与q≠1的区别；
8.不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响；
1 课 题： 分类讨论思想的应用
简略分析：
1、分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想。正确地使用分类思想，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁为简，化难为易，分而治之的目的。
2、针对中考常用的分类原则有同一性原则和层次性原则。
3、分类讨论关键是要弄清楚引起分类的原因（定义、概念、性质等），明确分类讨论的对象和标准，按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，从而得出正确答案。
教学过程：
一、与方程概念有关
练习：已知关于x的方程（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2=0．
（1）讨论此方程根的情况；
（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值；
二、三角形概念有关：（腰和底不确定或顶角和底角不确定）
例1：有同学将三角形这样分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形和等腰三角形。这样的分类是否正确？问题出在哪了？
例2：已知在△ABC中，∠A=80°，当∠B= 度时，△ABC是等腰三角形？
例3、抛物线与x轴交于A(1，0)，B（3，0）两点，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点D，使得以点A、C、D为顶点的三角形是直角三角形，
求点D的坐标．
例4、半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，∠OMA＝60º，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线经过点A、B、C．
2 A B
O C －1 1 y
x
M (1)求点A、B的坐标；
(2)求抛物线的函数关系式；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使得△BCD是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
课后练习
1、如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．
