山西省太原市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题(含答案)

2023~2024学年第二学期八年级期末学业诊断

数学

注意事项：

1．本试卷全卷共6页，满分100分，考试时间上午8:00—9:30．

2．答卷前，学生务必将自己的姓名、考试编号填写在本试卷相应的位置．

3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．

一、选择题（本大题共10个小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请

选出并在答题卡上将该项涂黑．）

1．通过手机银行，用户可以随时随地进行各种银行业务操作．下面是某手机银行服务项目的图标，其文字

上方的图案是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

2．若分式𝑎𝑎+2有意义，则a的取值范围是（）

A．a=2B．a≠0C．a≠-2D．a=-2

3．在四边形ABCD中，AD=BC，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）

A．AB=CDB．C．D．∠A+∠B=180°

4．下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）

A．2𝑎³𝑏²=𝑎²𝑏⋅2𝑎𝑏B．𝑎2+𝑎=𝑎2(1+1𝑎)

C．𝑎²―2𝑎+1=(𝑎―1)²D．a²-4+a=（a+2）（a-2）+a

5．要将5𝑥𝑦20𝑥2𝑦化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（）

A．xB．5xC．xyD．5xy

6．如图，将△ABC沿射线BA平移6个单位长度得到△DEF，点A，B，C分别平移到了点D，E，F，当点E

落在线段AB上时，连接CF．若CF=2AE，则线段AB的长度为（）

（第6题图）

A．8B．9C．10D．12

7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D．若BC=8，BD=5，则点D到AB

的距离为（）ABCD∥ADBC∥（第7题图）

A．3B．4C．5D．6

8．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O．若BC=5，∠ABC=45°，∠ACB=90°，则BD的长度为

（）

（第8题图）

A．55B．10C．53D．52

9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，∠ABC的平分线交DE于点F，∠

ACB的平分线交DE于点G．若AB=8，AC=6，则线段GF的长度为（）

（第9题图）

A．1B．32C．2D．5210．实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比

提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程3×10150=10150―𝑥，则未知数x表示的意义是

（）

（第10题图）

A．增加的水量B．蒸发掉的水量

C．加入的食盐量D．减少的食盐量二、填空题（本大题共5个小题．把答案写在答题卡相应位置．）

11．不等式-3x>6的解集为______．

12．已知点A（-1．b）与B（a，2）点关于原点对称，则a+b=______．

13．“交木如井．画以藻文”．中国古代的匠人们极尽精巧之能事，营造出穹顶上的绝美艺术——藻井．

如图，是一副“藻井”的图案、其外轮廓为正八边形．这个正八边形的每个内角的度数为______°．

（第13题图）

14．如图．一次函数y=ax+b（a，b为常数．a≠0）的图象分别与x轴，y轴交于点𝐴(―5,0)，𝐵(0,3)，则关

于x的不等式αx+b≥0的解集为______．

（第14题图）

15．已知．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=2，将Rt△ABC绕点C逆时针旋转，点A，B的对应点

分别为点A'，B'．当点A'落在∠BAC的角平分线上时，连接𝐵𝐵′与∠𝐵𝐴𝐶的角平分线相交于点P，则点P到AB

的距离为______．

（第15题图）三、解答题（本大题共8个小题．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．）

16．分解因式：(1)𝑎³―4𝑎²𝑏+4𝑎𝑏²;(2)𝑥²(𝑥―𝑦)+𝑦²(𝑦―𝑥)．

17．解不等式组：{2𝑥―1>5．①3𝑥+12―1≥𝑥．②并将其解集表示在如图所示的数轴上．

18．先化简，再求值：(1―𝑥+1𝑥―3)÷𝑥2―9𝑥2―6𝑥+9，其中x=-1，

19．下面是小亮同学解方程12―𝑥=3―𝑥―1𝑥―2

的过程，请阅读并完成相应任务．任务：

（1）小亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______；

（2）请你改正并写出完整的解方程过程；

（3）解分式方程产生增根的原因是______．20．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交对角线BD于点E，CF平分∠BCD交对角线BD

于点F、∠𝐵𝐶𝐷连接AF，CE．求证:AF=CE．

21．习总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校计

划组织600名师生前往山西老陈醋的发源地——清徐研学．现准备租用A，B两种型号的客车若干辆，为安

全起见，每名师生都需有座且每一辆客车都不得超载．已知每辆A型客车比每辆B型客车的乘客座位数多

25%，若每辆客车均坐满，则单独租用A型客车的数量比单独租用B型客车的数量少3辆．

（1）求每辆A型客车和每辆B型客车的乘客座位数；

（2）由于实际参加研学活动的人数比原计划增加了35人、学校决定同时租用A、B两种型号的客车共14

辆，为确保所有参加活动的师生都有座位（可以坐不满），求最多租用B型客车多少辆?

22．阅读下列材料，完成相应任务．

等周线

问题：一个平面图形的周长能被一条直线平分吗?

答案是肯定的．由于一个平面图形的周长是可以度量的，那就一定能度量其一半．过这一半的两个端点就

能作出这条直线．

定义：一条直线平分一个平面图形的周长，我们称这条直线为这个平面图形的等周线．例如，如图1，已知

一个圆，点O是它的圆心，过圆心的每一条直线都是它的等周线．

操作实验：如图2，在▱ABCD

中，小雨发现用无刻度的直尺就能画出任意平行四边形的一条等周线．深入探究：小雨继续思考，能否通过尺规作图，求作任意三角形的一条等周线呢?

情形1：当等周线经过三角形的一个顶点时：

已知:如图3，△ABC．

求作：直线m，使直线m经过点A且平分△ABC的周长．

小雨的想法是：以点B为圆心，以BA的长为半径作弧，交直线BC于点D（点D在点B的左侧）．通过“截

长补短”，将平分周长的问题转化为平分线段的问题．

情形2：当等周线不经过三角形的顶点时：

利用小雨的思路同样可以作出此时三角形的等周线；

发现结论：通过操作实验我们可以发现一个平面图形有无数条等周线．

任务：

（1）在图2中，请你用无刻度的直尺画出▱ABCD的一条等周线（保留作图痕迹，不写画法，指出所求）；

（2）如图3是小雨用尺规所作的不完整的图形，请你将小雨的图形补全．（保留作图痕迹，不写作法，指

出所求）；

（3）结论应用:如图4，在△ABC中，∠B=45°，∠C=15°，AC=2，点Q为BC的中点，直线PQ是△ABC

的等周线，请你直接写出线段PQ的长度．

23．综合与实践

问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在‖□𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐷𝐶=90°，点O是边AD的

中点，连接AC．保持‖□𝐴𝐵𝐶𝐷不动，将△𝐴𝐷𝐶从图1的位置开始，绕点0顺时针旋转得到△𝐸𝐹𝐺，，点

A，D，C的对应点分别为点E，F，G．当线段AB与线段FG相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）

时，连接OM．老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究．

初步思考：（1）如图2，连接FD，“勤学”小组在旋转的过程中发现𝐹𝐷‖𝑂𝑀，请你证明这一结论；

操作探究：（2）如图3，连接BG，“善思”小组在旋转的过程中发现OM垂直平分BG，请你证明这一结论；

拓展延伸：（3）已知𝐴𝐷=22，𝐶𝐷=2，，在旋转的过程中，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时线段AM

的长度．2023～2024学年第二学期八年级期末学业诊断

数学试题参考答案及等级评定建议

一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）题号12345678910

选项DCBCDBAACB

二、填空题（本大题共5道小题，每小题3分，共15分）

11．12．13．13514．15．3三、解答题（本大题共8道小题，满分55分）

16．（每小题4分，共8分）

解：（1）原式．（2）原式．

17．（本题4分）

解：解不等式①，得．

解不等式②，得．

不等式组的解集为．

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

18．（本题5分）

解：原式．

当时，原式．

19．（本题7分）

（1）一；

方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“3”．

（2）原方程可化为．

方程两边都乘以去分母，得．2x15x

222442aaabbaab

22222xxyyxyxyxyxyxy

3x

1x

3x



23313333xxxxxxx

434333xxxx

1x4213

11322xxx

2x1321xx整理，得．解，得．

检验：当时，，所以是原分式方程的增根，

所以原方程无解．

（3）去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公

分母为零，就产生增根．

20．（本题5分）

证明：四边形是平行四边形，，，．

．

平分，平分，，．

．．

，．．

四边形为平行四边形．

．21．（本题９分）

解：（1）设每辆型客车乘客座位数为个，则每辆型客车乘客座位数为个．根据题意，得．解，得．

经检验，是原方程的根，且符合题意．

．

答：每辆型客车的乘客座位数为50个，每辆型客车的乘客座位数为40个．

（2）设租用型客车辆，则租用型客车辆．

根据题意，得．

解这个不等式，得．

因为为整数，且取最大值，所以．

答：最多租用型客车数量6辆．22．（本题7分）

（1）

结论：直线即为的一条等周线．

（2）152x2x

2x20x2x

ABCDADBCBADDCBADBC∥

ADECBF

AEBADCFDCB12DAEBAD12BCFDCB

DAEBCFDAEBCF≌△△

AECFAEDCFBAECF∥

AECFAFCE

BxA125%x

6006003125%xx40x

40x

125%1.254050x

AB

BaA14a

40501460035aa

6.5a

aa6a

B

aABCD