第三次课大M法对偶

《运筹学》大M法和两阶段法课后总结十一过后，我们班的同学分为两组，对线性规划的部分内容进行讨论学习，通过上一周各位同学在讲台上的精彩讲演，让我从中学到了很多，引发了我诸多的思考和在运用这两种方法时的注意事项：一、关于人工变量·用单纯形法解题时，需要一个单位矩阵作为初始可行基；当约束条件是“《”时，加入松弛变量就形成了初始基；但当实际存在“》”或“=”时，没有现成的单位矩阵；所以需要增加变量构造初始基，所加的变量就成为人工变量。

·人工变量是在等式中人为加入的，只有它等于0时，约束条件才是它本来的意义。

二、关于大M法·为保证人工变量是0，在目标函数中令其系数为M，M为任意大正数。

·倘若人工变量不为0，则目标函数就永远达不到最优，所以必须将人工变量逐步从基变量中替换出，若人工变量仍然没有置换出去，则目标函数没有可行解，也就没有最优解。

·用单纯形表解答时，对于maxZ问题，依然要选择检验数бj=Cj-Zj》0值最大的为换入变量，比值最小的为换出变量。

三、关于两阶段法·因为在大M法中，M值为任意大的正数，因而在计算目标函数的最优解问题的过程中容易产生一定的误差，两阶段法正是解决误差的方法之一。

·第一阶段：不考虑原问题是否存在基可行解，给原线性规划问题加入人工变量，并构造仅含人工变量的目标函数和要求实现最小化，例如minW=X6+X7(X6\X7均为人工变量)。

然后用单纯形表求解上述目标函数。

若得到W=0，则说明原问题存在基可行解，可进行第二阶段计算，否则原问题无可行解，停止结算。

·第二阶段：将第一阶段得到的最终表去除人工变量，将目标函数行的系数换为原问题目标函数系数，作为第二阶段计算的初始表，然后用单纯形法来计算求得目标函数的最优解。

四、关于退化在求解过程中，有时会存在两个以上的相同的最大（最小）的检验数（比值），因而在计算过程中容易出现循环现象，所以我们在选取检验数时，选择бj=Cj-Zj》0中下标最小的非基变量为换入变量，同样，最下比值中选择下标最小的基变量为换出变量，就可以避免循环现象的发生。

应⽤运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法这⼀节课讲解了线性规划的对偶问题及其性质。

引⼊对偶问题考虑⼀个线性规划问题：$$\begin{matrix}\max\limits_x & 4x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} & 2x_1 + 3x_2 \le 24 \\ & 5x_1 + 2x_2 \le 26 \\ & x \ge0\end{matrix}$$ 我们可以把这个问题看作⼀个⽣产模型：⼀份产品 A 可以获利 4 单位价格，⽣产⼀份需要 2 单位原料 C 和 5 单位原料 D；⼀份产品 B 可以获利 3 单位价格，⽣产⼀份需要 3 单位原料 C 和 2 单位原料 D。

现有 24 单位原料 C，26 单位原料 D，问如何分配⽣产⽅式才能让获利最⼤。

但假如现在我们不⽣产产品，⽽是要把原料都卖掉。

设 1 单位原料 C 的价格为 $y_1$，1 单位原料 D 的价格为 $y_2$，每种原料制定怎样的价格才合理呢？⾸先，原料的价格应该不低于产出的产品价格（不然还不如⾃⼰⽣产...），所以我们有如下限制：$$2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ 3y_1 + 2y_2 \ge3$$ 当然也不能漫天要价（也要保护消费者利益嘛- -），所以我们制定如下⽬标函数：$$\min_y \quad 24y_1 + 26y_2$$ 合起来就是下⾯这个线性规划问题：$$\begin{matrix} \min\limits_y & 24y_1 + 26y_2 \\ \text{s.t.} & 2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ & 3y_1 + 2y_2 \ge 3 \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这个问题就是原问题的对偶问题。

对偶问题对于⼀个线性规划问题（称为原问题，primal，记为 P） $$\begin{matrix} \max\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0\end{matrix}$$ 我们定义它的对偶问题（dual，记为 D）为 $$\begin{matrix} \min\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \ge c \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这⾥的对偶变量 $y$，可以看作是对原问题的每个限制，都⽤⼀个变量来表⽰。

第三章 线性规划及其对偶问题线性规划是最优化问题的一种特殊情形，也是运筹学的一个重要分支，它的实质是从多个变量中选取一组适当的变量作为解，使这组变量满足一组确定的线性式，而且使一个线性目标函数达到最优（最大或最小）．线性规划的应用极为广泛，自1949年美国数学家G. B. Dantzing 提出一般线性规划问题求解的方法——单纯形法之后，线性规划无论在理论上、计算方法和开拓新的应用领域中，都获得了长足的进步，线性规划从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都有广泛的发展和应用．本章主要从线性规划的基本概念、数学模型、单纯形法、对偶理论、灵敏度分析等方面进行介绍．§3.1 线性规划数学模型基本原理一、线性规划的数学模型满足以下三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型：（1）每一个问题都用一组决策变量T n x x x ][21，，， 表示某一方案；每一组值就代表一个具体方案．（2）有一个目标函数，可用决策变量的线性函数来表示，按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化．（3）有一组约束条件，可用一组线性等式或不等式来表示． 线性规划问题的一般形式为1211221111221121122222112212max(min)()()()..()0n n n n n n n m m mn n m n f x x x c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x =++++++≤=≥⎧⎪+++≤=≥⎪⎪⎨⎪+++≤=≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，，，，，，，．这里，目标函数中的系数n c c c ，，， 21叫做目标函数系数或价值系数，约束条件中的常数m b b b ，，， 21叫做资源系数，约束条件中的系数；，，，m i a ij 21(= )21n j ，，， =叫做约束系数或技术系数．二、线性规划问题的标准形式所谓线性规划问题的标准形式，是指目标函数要求min ，所有约束条件都是等式约束，且所有决策定量都是非负的，即1211221111221121122222112212min ()..0n n n n n n n m m mn n mn f x x x c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x =++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，，，，，或简写为11min ()12..012nj j j nij ji j jf X c x a x b i m s t x j n ===⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑∑，，，，，，，，，，． 可以规定各约束条件中的资源系数0(12)i b i n ≥=，，，，否则等式两端乘以“1-”．线性规划问题的矩阵表示为min ()..0f X CX AX b s t X ==⎧⎨≥⎩，，，其中12[]n C c c c =，，，，12[]T n X x x x =，，，，11121212221212n n n m m mn a a a a a a A P P P a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦［，，，］，12[]T n b b b b =，，，． 任意的线性规划模型都可以转化为标准形式：（1）若目标函数是求最大值的问题，这时只需将所有目标函数系数乘以“－1”，求最大值的问题就变成了求最小值的问题，即)](min[)(max X f X f --=．求其最优解后，把最优目标函数值反号即得原问题的目标函数值．（2）若约束条件为不等式，这里有两种情况：一种是“≤”不等式，则可在“≤”不等式的左端加入一个非负的新变量（叫松驰变量），把不等式变为等式；另一种是“≥”不等式，则可在“≥”不等式的左端减去一个非负松驰变量（也叫剩余变量），把不等式变为等式．松驰变量在目标函数中对应的系数为零．（3）若存在取值无约束的变量k x ，可令k k k x x x ''-'=，其中k x '，0≥''k x ． 例3.1 将下列线性规划问题化为标准形式123123123123123max ()2372.3250f X x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≥⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩，，，，，，为无约束． 解 将目标函数变为)](min[X f -，令543x x x -=，其中450x x ≥，，在第一个约束不等式中加入松驰变量6x ，在第二个约束不等式中减去剩余变量7x ，则可得标准形式12456712456124571245124567min[()]23()00()7()2.32()5,,,,,0f X x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x -=-+--++++-+=⎧⎪-+--=⎪⎨-++-=⎪⎪≥⎩，，，，．三、线性规划的解的概念和基本定理 考虑线性规划标准形式的约束条件0AX b X =≥，，其中A 为n m ⨯矩阵，m n >，b 是m 维向量．假定增广矩阵,A b ［］的秩=矩阵A 的秩m =，把矩阵A 的列进行可能的重新排列，使,A B N =［］．这里B 为m m ⨯矩阵，且有逆矩阵存在，即0||≠B ，称B 为该线性规划问题的一个基．不失一般性，设111211212,,,m m m m mm a a a B PP P a a a ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦［］， 称(12)j P j m =，，，为基向量，与基向量对应的变量(12)j x j m =，，，称为基变量，记为12T B m X x x x =［，，，］，其余的变量称为非基变量，记为12T N m m n X x x x ++=［，，，］．令m n -个非基变量均为0，并用高斯消元法，可得一个解12[][00]T T T T B N m X X X x x x ==，，，，，，，，称X 为该约束方程组的基解，其中b B X B 1-=．满足非负约束条件0≥X （基解的非零分量都0≥）的基解称为基可行解．对应于基可行解的基称为可行基．基可行解的非零分量个数小于m 时，称为退化解．线性规划的解的基本定理：引理3.1 线性规划问题的可行解12[]T n X x x x =，，，为基可行解的充要条件是X 的正分量所对应的系数列向量是线性无关的．证 必要性由基可行解的定义可知．下证充分性若向量组k P P P ，，，21线性无关，则必有m k ≤；当m k =时，它们恰构成一个基，从而12[00]T k X x x x =，，，，，，为相应的基可行解．当m k <时，则一定可以从其余的列向量中取出k m -个与k P P P ，，，21构成最大的线性无关向量组，其对应的解恰为X ，所以它是基可行解． 定理3.1 线性规划问题的基可行解X 对应于可行域D 的顶点． 证 不失一般性，假设基可行解X 的前m 个分量为正，故∑==mj jj b xP 1．（3.1）现在分两步来讨论，分别用反证法．（1）若X 不是基可行解，则它一定不是可行域D 的顶点．根据引理3.1，若X 不是基可行解，则其正分量所对应的系数列向量m P P P ，，， 21线性相关，即存在一组不全为零的数12i i m α=，，，，，使得02211=+++m m P P P ααα （3.2）用一个0>μ的数乘式（3.2），再分别与式（3.1）相加和相减，得到111222()()()m m m x P x P x P b μαμαμα-+-++-=，111222()()()m m m x P x P x P b μαμαμα++++++=．现取11122[()()()00]T m m X x x x μαμαμα=---，，，，，，，21122[()()()00]T m m X x x x μαμαμα=+++，，，，，，，由21X X ，可得121122X X X =+，即X 是21X X ，连线的中点．另一方面，当μ充分小时，可保证012i i x i m μα±≥=，，，，，即21X X ，是可行解，这证明了X 不是可行域D 的顶点．（2）若X 不是可行域D 的顶点，则它一定不是基可行解．因为X 不是可行域D 的顶点，故在可行域D 中可找到不同的两点，(1)(1)(1)112[]T nX x x x =，，，，T nx x x X ][)2()2(2)2(12，，， =，使12(1)01X X X ααα=+-<<，．设X 是基可行解，对应向量组m P P P ，，， 21线性无关，当m j >时，有0)2()1(===j j j x x x ，由于21X X ，是可行域的两点，应满足∑∑====mj mj jj j j b xP b x P 11)2()1(,．将这两式相减，即得∑==-mj j j jx xP 1)2()1(0)(．因21X X ≠，所以上式系数)()2()1(j j x x -不全为零，故向量组m P P P ，，， 21线性相关，与假设矛盾，即X 不是基可行解．定理3.2 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优．证 设k X X X ，，， 21是可行域的顶点，若0X 不是顶点，且目标函数在0X 处达到最优*0()f X CX =（标准形式是*()min ()f X f X =）．因0X 不是顶点，所以它可以用D 的顶点线性表示为01101kki i i i i i X X ααα===≥=∑∑，，．因此011k ki i i i i i CX C X CX αα====∑∑．（3.3）在所有的顶点中必然能找到某一个顶点m X ，使m CX 是所有i CX 中最小者，并且将m X 代替式（3.3）中的所有i X ，得到∑∑===≥ki ki m m i ii CX CX CX11αα，由此得到m CX CX ≥0．根据假设，0CX 是最小值，所以只能有m CX CX =0，即目标函数在顶点m X 处也达到最小值．§3.2 线性规划迭代算法单纯形法是求解线性规划问题的迭代算法．一、单纯形法的计算步骤单纯形法的基本思路是：从可行域中某个基可行解（一个顶点）开始，转换到另一个基可行解（顶点），直到目标函数达到最优时，基可行解即为最优解．单纯形法的基本过程如图3.1所示．为计算方便，通常借助于单纯形表来计算，从初始单纯形表3.1开始，每迭代一步构造一个新单纯形表．单纯型表中B X 列中填入基变量m x x x ，，， 21；B C 列中填入基变量的价值系数m c c c ，，， 21；b 列中填入约束方程组右端的常数；j θ列的数字是在确定换入变量后，按θ规则计算填入；最后一行称为检验数行，对应各非基变量j x 的检验数是∑=-=-=mi j j ij i j j z c a c c 1σ，1j m n =+，，（这里令∑==mi ijj j ac z 1）．（1）找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯形表． （2）检验各非基变量j x 的检验数∑=-=-=mi j j iji j j z c ac c 1σ（1j m n =+，，）．若所有0≥j σ，则已得到最优解，停止计算．否则转入下一步．（3）在0(1)j j m n σ<=+，，，中，若所有0≤jk a ，则此问题无最优解，停止计算．否则转入下一步．（4）根据min{|0}j j k σσσ<=，确定k x 为换入变量．按θ规则计算min 0i l ik ik lkb ba a a θ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭， 可确定l x 为换出变量，转入下一步．（5）以lk a 为主元素进行迭代（用高斯消元法），把k x 所对应的列向量120010k k k lk mk a a P l a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→⎢⎥⎢⎥←⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦变换成第行， 将B X 列中的l x 换为k x ，得到新的单纯形表，重复步骤（2）—步骤（5），直到终止．单纯形法的流程图如图3.2所示．若目标函数要求实现最大化，一方面可将最大化转换为最小化，另一方面也可在上述计算步骤中将判定最优解的0≥j σ改为0≤j σ，将换入变量的条件min{|0}j j k σσσ<=改为max{|0}j j k σσσ>=．二、初始可行基的确定 （1） 若线性规划问题是11min ()12..012nj j j nij ji j jf X c x a x b i m s t x j n ===⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑∑，，，，，，，，，，， 则从(12)j P j n =，，，中一般能直接观察到存在一个初始可行基12100010[,,,]001m B P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦．（2）对所有约束条件是“≤”形式的不等式，可以利用化标准形式的方法，在每个约束条件的左端加入一个松驰变量，经过整理重新对j x 及ij a 进行编号，可得下列方程组．，，m n mn m m m m n n m m n n m m b x a x a x b x a x a x b x a x a x =+++=+++=+++++++++ 11,2211,221111,11显然得到一个m m ⨯单位矩阵B 可作为初始可行基12100010[,,,]001m B P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦． （3）对所有约束条件是“≥”形式的不等式及等式约束情况，若不存在单位矩阵时，可采用人工变量，即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后，再加入一个非负的人工变量；对等式约束再加入一个非负的人工变量，总可得到一个单位矩阵作为初始可行基．例3.2 求解线性规划问题12121212max ()2328416..4120f X x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩，，，，，． 解：将线性规划问题化为标准形式12345123142512345min[()]2300028416..4120f X x x x x x x x x x x s t x x x x x x x -=--+++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩，，，，，，，，．作初始单纯形表，按单纯形法计算步骤进行迭代，结果如下（表3.2）．表3.2最后一行的检验数均为正，这表示目标函数值已不可能再减小，于是得到最优解*42004T X =［，，，，］，目标函数值14)(*=X f ．三、单纯形法的有关说明对线性规划问题min ()..0f X CX AX b s t X ==⎧⎨≥⎩，，，（3.5） 若系数矩阵中不含单位矩阵，没有明显的基可行解时，常采用引入非负人工变量的方法来求初始基可行解．下面分别介绍常用的“大M 法”和“两阶段法”．（一）大M 法在约束条件式（3.5）中加入人工变量，人工变量在目标函数中的价值系数为M ，M 为一个很大的正数．在迭代过程中，将人工变量从基变量中逐个换出，如果在最终表中当所有检验数0≥j σ时，基变量中不再含有非零的人工变量，这表示原问题有解，否则无可行解．例3.3 求解线性规划问题12312312313123min ()3211423..210f X x x x x x x x x x s t x x x x x =-++-+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩，，，，，，． 解：将原问题化为标准形式并引入人工变量，得12345671234123561371234567min ()300211423..210f X x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-++++++-++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，，，，．用单纯形法计算，得表3.3．根据表 3.3的最后一行的检验数均0≥，得最优解*4190000T X =［，，，，，，］，最优值2)(*-=X f ，由于人工变量的值均为零，故得原问题的最优解*419T X =［，，］，最优值为2)(*-=X f ．（二）两阶段法两阶段法是把线性规划问题的求解过程分为两个阶段：第一阶段，给原问题加入人工变量，构造仅含价值系数为1的人工变量的目标函数且要求实现最小化，其约束条件与原问题相同，即11111111211221112min ()00..0n n m n n n n nn n n m mn n n m m n m g X x x x x a x a x x b a x a x x b s t a x a x x b x x x ++++++=++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，． 然后用单纯形法求解上述问题，若得到0)(=X g ，这说明原问题存在基可行解，可进入第二阶段计算，否则原问题无可行解，停止计算．第二阶段，将第一阶段计算得到的最终表，除去人工变量，将目标函数行的系数换为原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始单纯形表进行计算．例3.4 用两阶段法求解线性规划问题12312312313123min ()3211423.210f X x x x x x x x x x s t x x x x x =-++-+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩，，，，，，． 解 第一阶段，标准化并引入人工变量，得如下的线性规划=)(min X g 76x x +，1234123561371234567211423.210x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩，，，，，，，，，． 用单纯形法计算该线性规划（见表 3.4），最优解为*[011120000]T X =，，，，，，，，最优值0)(*=X g ．表3.4由于人工变量076==X X ，所以得原问题的基可行解为[011120]T X =，，，，．于是进入第二阶段计算（见表3.5），最优解为*[41900]T X =，，，，，最优值2)(*-=X f ，于是原问题的最优解为*[419]T X =，，，最优值为2)(*-=X f ．§3.3 对偶问题的基本原理一、对偶问题的提出对偶性是线性规划的重要内容之一，每一个线性规划问题必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，我们称一个叫原问题，另一个叫对偶问题，这两个问题有着非常密切的关系，让我们先分析一个实际的线性规划模型与其对偶线性规划问题的经济意义．例3.5 某工厂计划在下一生产周期生产3种产品1A ，2A ，3A ，这些产品都要在甲、乙、丙、丁4种设备上加工，根据设备性能和以往的生产情况知道单位产品的加工工时，各种设备的最大加工工时限制，以及每种产品的单位利润（单位：千元），如表3.6所示，问如何安排生产计划，才能使工厂得到最大利润？解 设321x x x ，，分别为产品321A A A ，，的产量，构造此问题的线性规划模型为1231231231312123max ()8102237042280..3152250,,0f X x x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪⎪≥⎩，，，，，．现在从另一个角度来讨论该问题．假设工厂考虑不安排生产，而准备将所有设备出租，收取租费．于是，需要为每种设备的台时进行估价．设4321y y y y ，，，分别表示甲、乙、丙、丁4种设备的台时估价．由表3.6可知，生产一件产品1A 需用各设备台时分别为h h h h 2342，，，，如果将h h h h 2342，，，不用于生产产品1A ，而是用于出租，那么将得到租费43212342y y y y +++．当然，工厂为了不至于蚀本，在为设备定价时，保证用于生产产品1A 的各设备台时得到的租费，不能低于产品1A 的单位利润8千元，即823424321≥+++y y y y ．按照同样分析，用于生产一件产品2A 的各设备台时h 1，h 2，0，h 2所得的租费，不能低于产品2A 的单位利润10千元，即1022421≥++y y y ．同理，还有223321≥++y y y ．另外，价格显然不能为负值，所以01234iy i ≥=，，，，． 企业现在设备的总以时数为70h ，80h ，15h ，50h ，如果将这些台时都用于出租，企业的总收入为422150158070)(y y y y Y g +++=．企业为了能够得到租用设备的用户，使出租设备的计划成交，在价格满足上述约束的条件下，应将设备价值定得尽可能低，因此取)(Y g 的最小值，综合上述分析，可得到一个与例3.5相对应的线性规划，即123412341231231234min ()70801550243282210..3220g Y y y y y y y y y y y y s t y y y y y y y =++++++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，．称后一个规划问题为前一个规划问题的对偶问题，反之，也称前一个规划问题是后一个规划问题的对偶问题．二、原问题与对偶问题的表达形式和关系在线性规划的对偶理论中，把如下线性规划形式称为原问题的标准形式11221111221121122222112212min ()..0n n n n n n m m mn n mn f X c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x =++++++≥⎧⎪+++≥⎪⎪⎨⎪+++≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，． 而把如下线性规划形式称为对偶问题的标准形式11221111221121122222112212max ()..0n n m m m m n n mn m nm g Y b y b y b y a y a y a y c a y a y a y c s t a y a y a y c y y y =++++++≥⎧⎪+++≥⎪⎪⎨⎪+++≥⎪⎪≥⎩，，，，，，，． 若用矩阵形式表示，则原问题和对偶问题分别可写成如下形式：原问题min ()..0f X CX AX b s t X =≥⎧⎨≥⎩，，．（3.6）对偶问题max ()..0g Y Yb YA C s t Y =≤⎧⎨≥⎩，，．（3.7）原问题与对偶问题的关系见表3.7．例3.6 求下面线性规划问题的对偶问题123412341342341234min ()23535224..600f X x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x =+-++-+≥⎧⎪+-≤⎪⎨++=⎪⎪≤≥⎩，，，，，，，无约束． 解：根据表3.7可直接写出上述问题的对偶问题12312131********max ()546223..325100g Y y y y y y y y s t y y y y y y y y y =+++≥⎧⎪+≤⎪⎪-++≤-⎨⎪-+=⎪⎪≥≤⎩，，，，，，，无约束． 三、对偶理论定理3.3（弱对偶定理） 对偶问题（max ）的任何可行解︒Y ，其目标函数值总是不大于原问题（min ）任何可行解︒X 的目标函数值．证 由定理所设及问题（3.6）和问题（3.7）容易看出︒︒︒︒≤≤CX AX Y b Y ．定理3.4（对偶定理） 假如原问题或对偶问题之一具有有限的最优解，则另一问题也具有有限的最优解，且两者相应的目标函数值相等．假如一个问题的目标函数值是无界的，则另一问题没有可行解．证明从略．定理3.5（互补松驰定理） 假如︒X 和︒Y 分别是原问题（3.6）和对偶问题（3.7）的可行解，︒U 是原问题剩余变量的值，︒V 是对偶问题松驰变量的值，则︒X 、︒Y 分别是原问题和对偶问题最优解的充要条件是0=+︒︒︒︒X V U Y ．证 由定理所设，可知有0AX U b X U ︒︒︒-=︒≥，，，（3.8） 0Y A V C Y V ︒︒︒︒︒+=≥，，．（3.9）分别以︒Y 左乘式（3.8），以︒X 右乘式（3.9），两式相减，得b Y CX X U U Y ︒︒︒︒︒︒-=+．若0=+︒︒︒︒X V U Y ，根据弱对偶定理知CX b Y CX Yb ≤=≤︒︒．这说明︒X ，︒Y 分别是原问题和对偶问题最优解，反之亦然．根据互补松驰定理和决策变量满足非负条件可知，在最优解时，︒︒U Y 和︒︒X V 同时等于0，所以有)21(000n j x v j j ，，， ==， )21(000m i u y i i ，，， ==． 于是，互补松驰定理也可以这样叙述：最优化时，假如一个问题的某个变量取正数，则相应的另一个问题的约束条件必取等式；或者一个问题中的约束条件不取等式，则相应于另一问题中的变量必为零．例3.7 已知线性规划问题123451234512445min ()23523234.2330125jf X x x x x x x x x x x s t x x x x x x j =++++⎧++++≥⎪-+++≥⎨⎪≥=⎩，，，，，，，．已知其对偶问题的最优解为5)(5/35/4**2*1===Y g y y ，，，试用对偶理论找出原问题的最优解．解：先写出它的对偶问题12121212121212max ()4322(1)3(2)235(3)..2(4)33(5)0g Y y y y y y y y y s t y y y y y y =++≤⎧⎪-≤⎪⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎪≥⎪⎩，，，，，，，．将*2*1y y ，的值代入约束条件，得（2），（3），（4）为严格不等式，由互补松驰定理得***2340x x x ===，因021≥y y ，，原问题的两个约束条件应取等式，故有**1534x x +=， **1523x x +=．求解后得到**1511x x ==，，故原问题的最优解为 **10001()5TX f X ==［，，，，］，．四、对偶问题的迭代算法对偶单纯形法是对偶问题的迭代算法，其基本思想是：从原问题的一个基本解出发，此基本解不一定是可行解，但它对应着对偶问题的一个可行解；然后检验原问题的基本解是否可行，即是否有负的分量．如果有小于零的分量，则进行迭代，求另一个基本解，此基本解对应着另一个对偶可行解．如果得到的基本解的分量皆非负，则该基本解为最优解．也就是说，对偶单纯形法在迭代过程中始终保持对偶解的可行解，使原问题的基本解由不可行逐步变为可行．当同时得到对偶问题与原问题的可行解时，便得到原问题的最优解．对线性规划问题的标准形式min ()..0f X CX AX b s t X =≥⎧⎨≥⎩，，．对偶单纯形法的计算步骤如下：(1)找出原问题的一个基，构成初始对偶基可行解，使所有检验数0≥j σ，构成初始对偶单纯形表．(2)若所有0≥i b ，则当前的解是最优解，停止计算，否则计算min{|0}l i i b b b =<，则l 行为主行，该行对应的基变量为换出变量．(3)若所有0≥lj a ，则对偶问题无界，原问题无解，停止计算，否则计算min |0j k lj lj lka a a σσθ⎧⎫⎪⎪=<=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭，则k 列为主列，该列对应的基变量为换入变量．(4)以lk a 为主元素进行迭代，然后转回步骤(2)． 对偶单纯形法的流程图如图3.3所示．例3.8 用对偶单纯形法求解下述线性规划问题123123123123min ()23423..2340f X x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，，，．解：首先将“≥”约束条件两边反号，再加入松驰变量，可得原问题的一个基123451234123512345min ()2340023..2340f X x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =++++---+=-⎧⎪-+-+=-⎨⎪≥⎩，，，，，，，．图3.3从表3.8看出，所有检验数0≥j σ，则对应对偶问题的解是可行的，因b 列数字为负，需进行迭代，计算min 344--=-｛，｝．所以5x 为换出变量．又因为24min 123θ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭，，，所以1x 为换入变量，以换入、换出变量所在行列交叉处元素“－2”为主元素，按单纯形法计算步骤进行迭代，得表3.9．由表3.9的最后一行看出，所有检验数0≥j σ，故原问题的最优解为*[11/52/50]T X =，，．若对应两个约束条件对偶变量为1y ，2y ，则可得对偶问题的最优解为*[8/51/5]T Y =，．§3.4 线性规划问题灵敏度在建立实际的线性规划模型时，所收集到的数据不是很精确；另一方面在实际应用中，各种信息瞬息万变，已形成的数学模型中的某些数据需要随之而变．因此，对于一个线性规划问题，研究当数据发生变动时解的变化情况是很重要的．下面仅介绍两种数据变化而导致解的变化的情况，这就是灵敏度分析问题．一、价值系数的变化假设只有一个系数k C 变化，其它系数保持不变 ，k C 的变化只影响检验解而不影响解的非负定性，下面分别就k C 是非基变量系数和基变量系数两种情况进行讨论．（1）k C 是非基变量的系数由于B C 不变，因而j Z 对任何j 都不变．这时非基变量的系数k C 的变化只影响与k C 有关的一个检验数k σ的变化，而对其它j σ没有影响，设系数从k C 变化到k C '，这时检验数k k k Z C -=σ被k k kZ C -'='σ所代替，在当前解是原问题的最优解时，有0≥-=k k k Z C σ，假如()(k k k k k k C Z C Z C σ'''=-=-+)0k C -<，则k X 必须引进基，单纯形法继续进行，否则原解仍是k C 变化后的新问题的最优解，最优解不变相当于k C '变化的界限为)(k k k kZ C C C --≥'． （2）k C 为基变量的系数当k C 被k C '所代替时，j Z 变成j Z '，j j Z C '-可计算为kj k kj j j j a C C Z C Z C )(-'--='-． （3.10）特别是当k j =时，0=-k k Z C ，且1=kk a ，因此k k k k C C Z C -'='-，仍为零．由式（3.10）知，基变量k x 的价值系数k C 的变化会引起整个价值系数行的变化，变化值为)(k k C C -'-乘以最终表相应该基变量k x 所在的k 行的数值kj a ．k 列本身则调整为0='-'k k Z C ．由式（3.10）可看出，当对某个非基变量j x ，式（3.10）为负时会引起基的变化，若要保持最优解不变，分析变化值)(k k C C -'且大于或小于零以及kj a 值是正或负的情况，得出会保持最优解不变的k C '的变化界限为max 0min 0j j j j k kj k k kj j jkj kj C Z C Z C a C C a a a ⎧⎫⎧⎫--⎪⎪⎪⎪'+<≤≤+>⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭．例3.8 以例3.2的最终表为例，设基变量2x 的系数2C 变化2C ∆，在原最优解不变条件下，确定2C ∆的变化范围．解 此时例3.2的最终表便成为表3.10为了保持原最优解不变，则2x 的检验数应当为零，进行行初等变换，得表3.11．从表（3.11）可得02232≥∆-C 且08812≥∆+C ． 由此可得2C ∆的变化范围为312≤∆≤-C ，即2x 的价值系数2C 可以在[0，4]之间变化，而不影响原最优解．二、资源系数的变化假设资源系数k b 变化为k b '，k b 的变化将会影响解的可行性，但不会引起检验数的符号变化．根据基可行解的矩阵表示可知，b B X B 1-=，所以只要k b 变化必定会导致最优解的数值发生变化，最优解的变化分为两类：一类是保持01≥-b B ，最优基B 不变；另一类是b B 1-中出现负分量，这将使最优基B 变化，若最优基不变，则只需将变化后的k b 代入B X 的表达式重新计算即可；若b B 1-中出现负分量，则要通过迭代求解新的最优基和最优解．设系数k b 变化到k k k b b b ∆+='，而其它系数都不变，这样使最终表中原问题的解相应变化为11111100k B k k k k m mk m b a b X B b b B b B b b b a b ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=+∆=+∆=+∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 其中B X 为原最优解，i b '为B X 的第i 个分量，ik a 为1-B 的第i 行第k 列元素，为了保持最优基不变，应使0≥'B X ，即110k k m mk a b b b a '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+∆≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦． 由此可得到保持最优基不变时，资源系数的变化界限为max 0min 0i i k ik k k ik ik ik b b b a b b a a a ⎧⎫⎧⎫''--⎪⎪⎪⎪'+>≤≤+<⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭．例3.9 若例3.2的第二个约束条件中2b 变化为22b b ∆+，在最优解不变的条件下，求2b ∆的变化范围．解 计算⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡≥∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆+--000812141244002211b b B b B可得2224/(1/4)164/(1/2)82/(1/8)16b b b ∆≥-=-∆≥-=-∆≤--=，，．所以2b ∆的变化范围是（－8，16）．显然2b 的变化范围是（8，32）．。

一、考试知识点第二章线性规划2.1 线性规划的标准形式2.2 线性规划的基本解基本可行解2.3规范形式线性规划的单纯形算法、大M法求解线性规划列出初始单纯形表2.4 单纯型算法求解线性规划的唯一最优解、无解、无界解、无穷多解的判定方法第三章对偶规划3.1 线性规划的对偶规划3.2对偶规划规划的基本性质（证明题、计算题）3.3灵敏度分析（关于目标函数系数C、右端向量b）第四章运输问题4.1目标规划的图解法Vogel 法）、检验、4.2标准形式运输问题的表上作业法，包括求出初始方案（最小元素法、调整等4.3 带弹性约束的运输问题转化为标准形式的运输问题第五章整数规划整数规划问题建模指派问题的匈牙利算法第六章动态规划6.1离散确定型动态规划的标号算法（练习题 6.1 ）6.2运用动态规划原理求解生产存储问题、投资决策问题、零部件安全性问题第七章图论(6.3,6.5)7.1 寻找最小生成树7.2 Dijkstra 算法寻找最短路7.3 寻找最大流、最小割第十章博弈论占优策略均衡、反复剔除的占优策略均衡划线法求纯策略纳什均衡混合策略纳什均衡向归纳法求动态博弈的纳什均衡二、考试题型1 、选择题 2*10 =202、计算题： 5道大题共计80分三、考试时间和地点6月 28 日（ 17 周日） 9 ：30-11 ： 30地点：教学楼 5-105 （上午班） 5-107 （下午班）按序号指定位置就座，现场可查询自己班内序号。

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教案五线性规划的对偶问题教学内容第四节线性规划的对偶问题1．线性规划的对偶问题2．对偶单纯形法3．线性规划的灵敏度分析4．线性规划在卫生管理中的应用教学学时 7学时教学目标1．理解对偶问题的基本概念2．掌握对偶单纯形法3．掌握线性规划的灵敏度分析4．掌握线性规划在卫生管理中的应用重点难点重点是对偶问题的基本概念、对偶单纯形法线、灵敏度分析、线性规划在卫生管理中的应用。

难点是对偶问题的基本概念和线性规划的灵敏度分析教学手段教师与学生互动使用多媒体课件教学过程一、复习巩固1．单纯形法的基本原理（见课件）2．单纯形解法（见课件）3．大M法（见课件）二、讲授新课1．线性规划的对偶问题（1）对偶问题的基本概念（见课件）对偶现象每一个线性规划都伴随着另一个线性规划，两者有密切关系，互为对偶．其中一个问题称为原问题，另一个问题称为其对偶问题．两者间只要得到其中一个问题的解，那么也就得到了另一个问题的解．下面通过一个实例来解释对偶线性规划的概念．例2-12 以例2-1为例，我们讨论了一个制药厂的生产计划的数学模型及其解法．现在假定该制药厂决定在计划期内不生产药品Ⅰ、Ⅱ，而将生产设备的有效台时全部租给某公司，那么该公司应对设备D C B A 、、、每小时付多少租金，才能使成本最小，而又能为制药厂所接受？从租用设备的公司的角度考虑，一是所付的租金越低越好；二是所付的租金总额能使制药厂接受，即租金应不低于制药厂自己生产该两种药品所得利润，否则，制药厂宁可自己生产，而不租给公司．设公司租用该制药厂D C B A 、、、四种设备的租金（元/小时）分别为1y 、2y 、3y 和4y ．在考虑租用设备的定价时，能使该制药厂接受的条件是：公司租用该制药厂用以生产每千克药品Ⅰ所需D C B A 、、、四种设备的台时的租金不应少于200元，即2000424321≥+++y y y y同样，公司租用该制药厂用以生产每千克药品Ⅱ所需D C B A 、、、四种设备的台时的租金不应少于300元，即30040224321≥+++y y y y公司在考虑自身利益时，其目标是使付出的租金总额为最小，即 43211216812Min y y y y W +++=于是，上面的问题可以用下列线性规划的数学模型表示： 43211216812Min y y y y W +++= 20004 24321≥+++y y y y ..t s 30040224321≥+++y y y y 0,,,4321≥y y y y若把制药厂利润最大的线性规划问题称为原问题，则想租用DC B A 、、、四种设备的公司的租金最小的线性规划问题称为原问题的对偶问题（dual problem ）；反之，若把租用D C B A 、、、四种设备的公司的租金最小的线性规划问题称为原问题，则制药厂利润最大的线性规划问题称为原问题的对偶问题．影子价格 一般地，我们称对偶问题的最优解为原问题约束条件的影子价格，即对偶问题的解i y 称为第i 种资源的影子价格．它并不是某种资源在市场上的价格，而是代表单位资源在最优利用的条件下所产生的经济效果．为了和市场价格相区别，我们才称它为影子价格．它在经济上是一个很有意义的数据，通过它我们可以知道，当增加某种资源时，可以使利润增长的大小．另外，影子价格还给出了是否应当购进某种资源以增加生产量，而获得更多利润的价格标准．（2）对称的对偶线性规划（见课件）如果一个线性规划具备下面两个条件，则称它具有对称形式：①所有的变量都是非负的；②所有的约束条件都是不等式，而且在目标函数是求极大值的情况，不等式具有小于和等于（≤）的符号，在目标函数是求极小值的情况，不等式具有大于和等于（≥）的符号．对称形式的原问题和对偶问题叫做对称的对偶线性规划． 原问题和对偶问题在形式上的对比 如果我们把线性规划n n x c x c x c Z +++= 2211Max11212111b x a x a x a n n ≤+++22222121b x a x a x a n n ≤+++..t s…………………………m n mn m m b x a x a x a ≤+++ 22110,,,21≥n x x x称为原问题，则必同时存在另一线性规划问题，我们称为对偶问题：m m y b y b y b W +++= 2211Min11221111c y a y a y a m m ≥+++22222112c y a y a y a m m ≥+++..t s…………………………n m mn n n c y a y a y a ≥+++ 22110,,,21≥m y y y而且 Max Z Min =W 用简缩形式表示：原问题为 ∑==nj j j x c Z 1Max∑=≤nj i j ij b x a 1m i ,,2,1 =0 ≥j x n j ,,2,1 = 对偶问题为 ∑==mi i i y b W 1Min∑=≥mi j i ij c y a 1n j ,,2,1 =0 ≥i y ; m i ,,2,1 =矩阵形式表示：原问题为 CX Z =Max b AX ≤0 ≥X 对偶问题为 Min W ＝Yb C YA ≥0 ≥Y 其中， ),,,(21n c c c C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m b b b b 21()m y y y Y ,,,21 =原问题与对偶问题之间的关系1）原问题是求目标函数的最大值，对偶问题是求目标函数的最小值．.t .s.t .s.t .s .t .s.t .s2）原问题约束条件的右端项变成对偶问题目标函数的系数．原问题目标函数中的系数变成对偶问题约束条件的右端项．3）原问题约束条件是“≤”，对偶问题的约束条件则是“≥”．4）原问题约束条件的每一行正好对应于对偶问题的每一列，所以原问题中约束条件的数目等于对偶问题中变量的数目．5）原问题中约束条件的每一列正好对应于对偶问题的每一行，所以原问题中变量的数目正好等于对偶问题中的约束条件的数目．6）对偶问题的对偶规划正是原问题． 例2-13 设原问题为：2152M i n x x W +=41≥x 3 2≥x8221≥+x x0,21≥x x 试写出它的对偶问题．解 321834Max y y y Z ++=2y 31≤+y5 232≤+y y0,,321≥y y y（3）非对称的对偶线性规划（见课件）对于我们经常遇到的非对称形式的线性规划，我们可首先将其化为等价的对称形式的线性规划问题，然后再按对称的对偶线性规划原问题与对偶问题之间的对应关系，将其化为对偶问题．实际上，我们在考虑对称的对偶线性规划或非对称的对偶线性规划（dual of a nonnormal LP ）时，也可以按表2-13原问题与对偶问题之间的对应关系，直接进行变换，得到原问题或对偶问题．表2-13 原问题与对偶问题间的转换.t .s例2-14 原问题为：2154M a x x x Z += 202321≤+x x 1034 21≥-x x5 21=+x x 01≥x ，2x 符号不限可按表2-13的原则，将原问题直接转化成对偶问题：32151020Min y y y W ++=443321≥++y y y..t s 532321=+-y y y01≥y ，02≤y ，3y 符号不限（4）对偶问题的基本性质（见课件） 1）对偶问题的对偶是原问题（对称性质）．2）若X 和Y 分别是原问题和对偶问题的可行解，则C X ≤Y b （弱对偶性质）．3）设X 和Y 分别是原问题和对偶问题的可行解，当两者目标函数值相等，即C X ＝Y b 时，X ，Y 分别是原问题和对偶问题的最优解（可行解是最优解的.t .s性质）．4）若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标函数值相等（对偶性质）．5）若X 和Y 分别是原问题和对偶问题的可行解，则X 和Y 为原问题及对偶问题最优解的充分条件为：v X ＝0和Y u ＝0其中，u ＝T m u u u ),,,(21 , m u u u ,,,21 是原问题的松弛变量，v ＝（n v v v ,,,21 ）, n v v v ,,,21 是对偶问题的剩余变量（松弛互补性质）．此性质在线性规划中有广泛应用．如从已知的原问题最优解（或对偶问题最优解）求取对偶问题最优解（或原问题最优解）；验证原问题的可行解是否最优解等等．6）原问题的检验数对应于对偶问题的一个基本解．由对偶性质可知，在求解原问题的过程中，利用单纯形表每一次迭代所得的检验数与对偶问题的基本解仅仅相差一个符号，于是原问题获得最优解时对应的单纯形表中检验数的相反数，即为对偶问题的最优解．例2-15 设原问题为：4321432Max x x x x Z +++=20322 4321≤+++x x x x..t s 2023 2 4321≤+++x x x x0,,,4321≥x x x x已知其对偶问题的最优解为1y *＝1.2，2y *＝0.2，相应的目标函数最小值W *＝28，试利用对偶性质求该问题的最优解．解 原问题的对偶问题为： 212020Min y y W +=12 21≥+y y2 221≥+y y..t s 33221≥+y y42321≥+y y 0,21≥y y由松弛互补性质可知，在最优条件下，v X ＝0和Y u ＝0，即1u *1y *＝0，2u *2y *＝0，1v *1x *＝0，2v *2x *＝0，3v *3x *＝0，4v *4x *＝0；这里i u *（2,1=i ），j v *（4,3,2,1=j ）分别为原问题的松弛变量及对偶问题的剩余变量．由1y * ＝1.2>0，可以推出1u * =0；由2y * ＝0.2>0，可推出2u * =0． 由对偶约束1y *+22y * =1.6>1，知1v * >0,于是1x * =0；同理，由21y *+2y * =2.6>2，知2v *>0,于是2x *=0．根据上述结果，原约束可以转化成二元一次线性方程组： 32x * +43x * =20 33x * +42x * =20 解方程得3x * =4x * =4综上所得，原问题的最优解为X * =()T4400，相应的目标函数最优值为Z *=28．由对偶性质还可以推论：1）若原问题可行，但有无界解（或称无有限最优解），则对偶问题不可行；若对偶问题可行，但有无界解（或称无有限最优解），则原问题不可行；2）若原问题可行，而对偶问题不可行，则原问题有无界解（或称无有限最优解）；若对偶问题可行，而原问题不可行，则对偶问题有无界解（或称无有限最优解）．2．对偶单纯形法前面已叙述原问题与对偶问题的解之间的对应关系．在用单纯形法进行迭代时，在b 列中得到的是原问题的基本可行解，而在检验数（j j Z c -）行得到的是对偶问题基本解的相反数．通过逐步迭代，当在检验数行得到的对偶问题的解也是可行解时，原问题和对偶问题都达到了最优解．所以，单纯形法的特点是保持原问题解的可行性，通过逐步迭代，使对偶问题的解由基本解变成基本可行解，这时原问题和对偶问题都达到了最优解．那么根据对偶问题的对称性，我们也可以这样来处理：保持对偶问题的解是可行解（即0≤-j j Z c ），而原问题则从非可行解开始，通过迭代，逐步达到基本可行解．这样，也使原问题和对偶问题都达到了最优解．事实上，对偶单纯形法（dual simplex method ）并不是解对偶问题的单纯形法，而是应用对偶原理来求解原问题的最优解的一种方法．（1）对偶单纯形法的要点（见课件）例2-16 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题 32140025001600Min x x x W ++=45 2321≥++x x x..t s 3 5.2221≥+x x0,,321≥x x x解 此问题可用大M 法去解，但用大M 法求解很麻烦，现在用对偶单纯形法求解．先将原问题化为标准形式，为此引入剩余变量4x ，5x ，令W Z -=，得32140025001600Max x x x Z ---=4 5 24321=-++x x x x..t s 3 5.22521=-+x x x0,,,,54321≥x x x x x然后将约束条件等式的两边都乘以（-1），得到 32140025001600Max x x x Z ---=4 5 24321-=+---x x x x..t s 3 5.22521-=+--x x x0,,,,54321≥x x x x x建立这个问题的初始单纯形表，见表2-14：表2-14 对偶单纯形法求解例2-16（1）在这个初始单纯形表中，4x 、5x 是基本变量，初始单纯形表所对应的基本解为X ＝()T34000--，它是一个不可行解．而全部检验数0≤-j j Z C ，即所对应的对偶问题的一个基本解也是一个可行解, 0≥i y ，5,,2,1 =i ．下面的迭代是在保持检验数小于等于零的条件下，逐步使0≥j x ，5,,2,1 =j ．为了满足上面要求，迭代的要点是：1）首先确定换出变量：选择具有负数的基本变量中绝对值最大的基本变量为换出变量．2）确定换入变量：用换出变量那一行具有负值的系数分别去除同列的检验数，取最小商数所对应的变量为换入变量；如果换出变量那一行无负值的系数，则原问题无可行解．3）把换出变量的那一行除以枢元位置的系数，使枢元位置变为1． 4）进行行变换，使除枢元外的其他枢列位置变为0．5）进行最优解检查．如果所得的基本解都是非负的，则此解即为最优解．如果基本解中还有负的数值，则重复第1步继续迭代，直到所有基本变量为非负的数值为止．（2）表解形式的对偶单纯形法（见课件）按上述迭代的要点，对表2-14继续运算，见表2-15．表2-15 对偶单纯形法求解例2-16（2）表2-15中b 列数字全为非负，检验数全为非正，故问题的最优解为X * =()T0004.01，最优值W *＝2600．若对应两个约束条件的对偶变量分别为1y 和2y ，则对偶问题的最优解为Y *=()20000600200，最优值＝2600．（3）对偶单纯形法的优点及用途（见课件）1）初始解可以是非可行解，当检验数都是小于等于零时，就可以进行基变换，这样就避免了增加人工变量，使运算简化．2）对变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可先将其变为对偶问题，再用对偶单纯形法求解，简化计算．3）用于灵敏度分析． 3．线性规划的灵敏度分析在上述讨论线性规划问题时，假定ij a ，i b ，j c 都是精确的数据，然而在大多数实际问题中，这些系数往往是估计值和预测值，而且它们也随着某些条件的变化而变化．因此很自然会想到，当这些系数中的一个或几个发生变化时，已求得的规划问题的最优解会发生什么变化？如果最优解发生了变化，又怎样用最简单的方法找到新的最优解？这就是线性规划灵敏度分析（sensitivity analysis of LP ）的任务．（1）单纯形法的矩阵表达式（见课件） 设有一线性规划问题，用矩阵表示为CX Z =Maxb AX ≤0≥X式中，A 为n m ⨯矩阵，C 为1×n 行向量，X 为n ×1列向量，b 为m ×1列向量，0为n ×1列向量．现引入松弛变量化为标准型S X 0Max +=CX Zb X I X A S =+0≥X ，0≥S X其中，I 是m m ⨯阶单位矩阵，约束条件也可写成()b X X I A S =⎪⎪⎭⎫⎝⎛,和0≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S X X ，0有n m +个元素． 如果我们把系数矩阵A 分为两块，),(N B A =，B 也称基矩阵（即原始系数)Tm n n n m n n n S x x x x x x X ++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,,,2121矩阵中对应于基本变量的列所组成的矩阵），对应于B 的变量Bm B B x x x ,,,21 是基本变量，用向量T Bm B B B x x x X ),,,(21 =表示，其他的变量则为非基本变量，于是将X 也分为两块：0≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛N B X X向量C 也可分为两块),(N B C C C =，其中B C 是目标函数中基本变量向量BX 的系数行向量，N C 是目标函数中非基本变量向量N X 的系数行向量．所以于是线性规划问题可以写成S N N B B X X C X C Z 0Max ++=b IX NX BX S N B =++0 ≥S N B X ,X ,X在单纯形法的每次迭代中，是用行变换的方法将基矩阵变成单位矩阵．用矩阵方法，则将上述约束方程的两边乘以基矩阵B 的逆矩阵1-B ,于是可得b B IX B NX B BX B S N B 1111----=++ （2-9） 即: b B X B NX B IX S N B 111---=++ （2-10） 所以 S N B X B NX B b B X 111-----= （2-11） 将式（2-11）代入目标函数可得N N S B N B B X C X B C NX B C b B C Z +--=---111S B N B N B X B C X N B C C b B C Z 111)(-----+= （2-12） 或者 b B C X B C X C N B C Z B S B N N B 111)(---=+-+ （2-13）()()()()S N B S N B S SN N B B S N B N B S IX NX BX X X X I N B X X I A X X C X C X X X C C X X C ++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛,,,00,,0,.t .s从式（2-9）可知，在单纯形表每次迭代后,每个变量的系数列向量是B 的逆阵1-B 乘以该变量的原始列向量而得到的，右端常数的列向量是B 的逆阵1-B 乘以右端常数的原始列向量而得到的．从式（2-10）可见，其松弛变量的系数矩阵正好是基矩阵的逆阵1-B ．更一般地理解，在任一单纯形表中相应于初始基本变量的那些列给出了相应于该表格的基矩阵的逆阵．例如第二章第三节的例2-8中，表2-4、表2-5、表2-6和表2-7给出了单纯形法的计算过程，其中表2-7为最优解单纯形表，其基本变量是3x ,1x ，6x 和2x ．对应于表2-7的基矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4100004020102021B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-0812101212004100041111B 所以对应于表2-7的1x 列向量是11P B ⨯-＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----081210121200410004111×⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0412＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010 式中1P 为原始单纯形表中对应于1x 的列向量. 对应于表2-7的4x 列向量是41P B ⨯-＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----081210121200410004111×⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21201 式中4P 为原始单纯形表中对应于4x 的列向量.对应于表2-7的b 列向量是b B ⨯-1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----081210121200410004111×⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1216812＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2440 式中b 为原始单纯形表中右端列向量.对应于表2-7的非基本变量的检验数是N B C C B N 1--，松弛变量的检验数是1--B C B ．（2）系数变化的灵敏度分析（见课件）系数变化的灵敏度分析是在决策变量和约束条件数目不变时，研究各种系数的变化对最优解的影响．它主要考虑两种情况：一是这些系数在什么范围内变化时，已得到的最优解保持不变，或者最优解的基本变量保持不变（但数值有所改变）；二是如果某些系数的变化引起最优解的变化，如何用最简便的方法求出新的最优解．目标函数中j c 变化范围的确定 假设其他参数不变，仅目标函数中j x 的系数j c 变成j c ＋j c ∆，现求不改变最优解的j c ∆的大小．这分两种情况：1）j c 是非基本变量j x 的成本或利润系数 因为 j j j Z c C -= （n j ,,2,1 =）∑='='=mi j B iji j P C a c Z 1 （式中i c 是基本变量的成本或利润系数） 所以改变非基本变量的成本或利润系数，Z j 不变，但j j j Z c C -=变为新的检验数j C '：j j j j j j c C Z c c C ∆+=-∆+='要想保持极大化问题最优解不变，即j C '0≤∆+=j j c C ，则：j j C c -≤∆．2）j c 是基本变量j x 的成本或利润系数 因为j B j j mi ij i j j mi ij i j m i ij i j mi ij i i j j j j j j P C c C a c c C a c c a c c a c c c c Z c c C '∆-∆+=∆-∆+=∆-∆+-=∆+-∆+='-∆+='∑∑∑∑====1111' '' ')()()(要保持极大化问题最优解不变，则0≤'∆-∆+='j B j j j P C c C C ．对于基本变量检验数总为零，而对于非基本变量j x ，因0=∆j c ，所以要求检验数小于等于0变为：0≤'∆-j B j P C C例2-17 以例2-8的最终计算表（表2-7）为例．设基本变量2x 在目标函数中的系数2c 变化了2c ∆；这时表2-7的最终计算表便成为表2-16所示．表2-16 基本变量利润系数变化的灵敏度分析这时要保持最优解不变，则必须满足下列不等式：-150-()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∆212010002c =-150-221c ∆≤0-()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∆-812141410002252c =-281225c ∆+≤01003002≤∆≤-c即2c 可在[0,400]间变动，不影响原来的生产计划安排，但制药厂收益变化了．在约束条件中i b 变化范围的确定 初始单纯形表中i b 的变化，除了影响最优解的数值之外，不影响最终单纯形表中的其他系数．所以只要保证最后的解仍是可行解，那么它仍然是最优解．即0)(1111≥∆+'=∆+=∆+='----b B b b B b B b b B b式中，b '为右端常数变化后，最终单纯形表右端常数向量；b '为右端常数未变化时，最终单纯形表右端常数向量．例2-18 在例2-8中，如果第三个约束条件3b 发生变化，变化量为3b ∆，为了使最后的解仍为可行解，3b ∆应满足下列不等式：=∆+'-b B b 1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2440＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----081210121200410004111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆0003b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2440＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆∆∆-333381214141b b b b＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+∆+∆-333381221441441b b b b 0≥03≤∆b163-≥∆b 83-≥∆b163≤∆b 083≤∆≤-b所以3b ∆在[－8,0]之间变动时（即3b 的变化范围在[8,16]时），原来最优解的基本变量不变，但最优解的值发生变化．例如，3b ∆为－2时（即3b ＝14），则b B b b ∆+'=-1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2440＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----081210121200410004111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆0003b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+∆+∆-333381221441441b b b b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4932721 最优解X *＝T⎪⎭⎫⎝⎛300214927，最优值Z *＝1375，见表2-17．表2-17 右端常数变化后的最优解如果3b ∆的变化超出了[－8,0]的范围，这时最优解的基本变量就发生变化．在这种情况下要用对偶单纯形法继续求出新的最优解．例如3b ∆为2时（即3b ＝18），则b B b b ∆+'=-1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2440＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----081210121200410004111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆0003b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+∆+∆-333381221441441b b b b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4752921 则最终单纯形表变为表2-18．表2-18 右端常数变化后的对偶单纯形法求解新的最优解X *＝()T420024，最优值Z *＝1400．矩阵A 中的系数改变对最优解的影响 当对应于j P 的变量j x 为非基本变量的系数时，它的变化不会改变基矩阵B 和它的逆阵1-B ，所以只需修改单纯形表中所对应j x 的列就可以了．j j P B P 1-=' j B j j P B C C C 1--=若极大化问题j C '≤0,则得到的还是新问题的最优单纯形表，最优解和最优值不变，否则可用单纯形法求解．当对应于j P 的变量j x 为基本变量的系数时，它的变化会改变基矩阵B 和它的逆阵1-B ，所以会影响到最终单纯形表的右端向量和非基本变量对应的列．下面就举例讨论此种基本变量的系数变化情况．例2-19 以例2-1为例，若计划生产的药品Ⅰ的工艺结构有了改进，相应地生产单位药品Ⅰ所需设备D C B A 、、、的台时改为（3,2,5,2），它的利润也提高到每千克400元．试分析已求得的最优计划有何变化？解 当1x 的系数列向量变化后,原最终单纯形表（表2-7）中1x 的系数列向量变成:111P B P -='=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----081210121200410004111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2523=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-83214541 原最终单纯形表变成表2-19：表2-19 决策变量系数改变对最优解的影响（1）由1x 的系数列向量可知，到此尚未完成行变换，所以需继续使1x 的系数列向量变成单位列向量，于是得到表2-20．表2-20 决策变量系数改变对最优解的影响（2）因为j C ≤0，所以新的最优解()TX 4.2008.08.02.3*=，最优值Z *＝1520元.4．线性规划在卫生管理中的应用 （1）放射科的业务安排（见课件）A 医院放射科可以开展X 线平片检查和CT 检查业务，现拟购买磁共振仪，以增设磁共振检查业务．为此A 医院收集了有关信息，以决策是否购买磁共振仪．A 医院估计今后放射科如果开展此3项业务，在现有放射科医务人员力量和病人需求的情况下，每月此3项业务的最多提供量为1800人次．平均每人次检查时间、每月机器实际可使用时间、平均每人次检查利润如下表2-25．表2-25 放射科3项检查时间与利润及机器可使用时间放射科业务项 目X 线平片检查CT 检查 磁共振检查平均每人次检查时间（小时/次） 0.1 0.25 0.5 每月机器实际可使用时间（小时） 300 120 120 平均每人次检查利润（元/次） 206010设每月X 线平片检查、CT 检查和磁共振检查的业务量分别为1x ,2x 和3x 人次，则使A 医院放射科此3项业务收入最多的线性规划模型如下：321106020Max x x x Z ++=300 1.01≤x 120 25.0 2≤x..t s 1205.0 1≤x1800 321≤++x x x0,,321≥x x x利用单纯形法可得最终单纯形表（见表2-26）．表2-26 放射科业务安排最终单纯形表最优解X*＝()T04801320，最优值Z*＝55200．168120从最终单纯形表上可读出如下信息：1）A医院从放射科收益的角度考虑，不应购买磁共振机.2）在每月X线平片检查和CT检查业务量各为1320人次和480人次时，放射科利润最大，达55200元．3）在最优业务安排情况下，每月X光机仍有168小时未实际利用，故它的影子价格为0元/小时；每月CT机可使用的时间已完全利用，它的影子价格为160元/小时，如果市场上能租到CT机的价格低于影子价格160元/小时，那么就应当租用CT机，增加CT检查业务，以求得更高的利润．4）在最优业务安排情况下，每月X线平片检查和CT检查的服务量已达到现有的最大量．A医院如果想通过从人才市场上聘用医务人员以增加放射科的服务能力，则只有当增加一个病人的服务量所需额外增加的人员招聘费和宣传费低于20元时，才是适宜的，可使放射科的利润更高．三、课堂练习（见课件）四、小结（见课件）五、作业（见课件）。

《运筹学》教案授课专业：信息管理、工程管理任课教师：黄健南通大学商学院2007．2教案用纸第 1 次课 3 学时上次课复习：无一、本次课题（或教材章节题目）：绪论1、运筹学的性质和特点2、运筹学的模型与工作步骤3、运筹学的应用与展望教学要求： 1、了解运筹学的性质和特点、运筹学的应用与展望2、运筹学的模型与工作步骤重点：运筹学工作步骤难点：无教学手段及教具：讲授讲授内容：1、运筹学的性质和特点2、运筹学的模型与工作步骤3、运筹学的应用与展望课后作业无同济大学出版社：运筹学教程参考资料高等教育出版社：管理运筹学注：本页为每次课教案首页教案用纸第 2 次课 3 学时上次课复习：运筹学的学科性质和发展概况运筹学的模型与工作步骤本次课题（或教材章节题目）：二、线性规划与目标规划第一章线性规划及单纯形法1、线性规划问题及其数学模型教学要求：1、通过实际问题引入线性规划模型，初步掌握建立线性规划模型的方法；2、通过图解法直观地理解线性规划解的状态和线性规划的基本性质；3、熟练掌握线性规划问题的标准化方法；4、理解基、基解，基可行解的概念。

重点：线性规划问题及其数学模型、标准形式难点：线性规划问题及其数学模型、线性规划问题解的概念教学手段及教具：讲授讲授内容：1、线性规划模型的建立2、线性规划问题的图解法3、线性规划问题的标准形式4、线性规划问题解的概念课后作业P44： 1.1、1.2、1.3、1.10同济大学出版社：运筹学教程参考资料高等教育出版社：管理运筹学注：本页为每次课教案首页教案用纸第 3 次课 3 学时上次课复习：1、线性规划模型的建立2、线性规划问题的图解法3、线性规划问题的标准形式4、线性规划问题解的概念本次课题（或教材章节题目）：2、线性规划问题的几何意义3、单纯形法4、单纯形法的计算步骤教学要求：1、了解线性规划问题的几何意义和基本性质2、理解单纯形法的理论基础，熟练掌握可行条件和优化条件；3、熟练掌握单纯形法的计算步骤重点：可行条件与优化条件。