恒定总流的动量方程
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恒定总流的动量方程
利用前面介绍的连续性方程和能量方程，已经能够解决许多实际水力学问题，但对于某些较复杂的水流运动问题，尤其是涉及到计算水流与固体边界间的相互作用力问题，如水流作用于闸门的动水总压力，以及水流经过弯管时，对管壁产生的作用力等计算问题，用连续性方程和能量方程则无法求解，而必须建立动量方程来解决这些问题。
动量方程实际上就是物理学中的动量定理在水力学中的具体体现，它反映了水流运动时动量变化与作用力间的相互关系，其特点是可避开计算急变流范围内水头损失这一复杂的问题，使急变流中的水流与边界面之间的相互作用力问题较方便地得以解决。
一、动量方程式的推导及适用条件
（一）动量方程式的推导
由物理学可知，物体的质量m与速度的乘积称为物体的动量。动量是矢量，其方向与流速方向相同。物体在外力作用下，速度会发生改变，同时动量也随之变化。动量定理可表述为：运动物体单位时间内动量的变化等于物体所受外力的合力。现将动量定理用于恒定流中，推导恒定流的动量方程。
图3-29
在不可压缩的恒定流中，任取一渐变流微小流束段1—2（图3-29）。设1—1断面和2—2断面的过水断面面积和流速分别为21、dAdA和1u、2u，经过dt时段后，微小流束由原来的1—2位置运动到了新的位置21处，从而发生了变化。设其动量的变化为dk，它应等于流段21与流段1—2内的动量之差。
因为水流为不可压缩的恒定流，所以对于公共部分21段来讲，虽存在着质点的流动的替换现象，但它的形状、位置以衣液体的质量、流速等均不随时间发生变化，故动量也不随时间发生改变。这样，在dt时段内，21段的水流动量与1—2段的动量之差实际上即为22段的动量与11段的动量之差。 在dt时段内，通过11段的水体质量为11dtdAu，通过22段的水体质量为22dtdAu，对于不可压缩液体，根据连续性方程，可知dQdtdtdAudtdAu2211，则微小流束段的动量变化为
)(12uudQdtkd
设总流两个过水断面的面积分别为21AA与，将上述微小流束的动量变化kd沿相应的总流过水断面进行积分，即可得到总流在dt时段内动量的变化量为
)()()(121112221212adAuudAuudtudQdtudQdtuudQdtkdAAQQQ
由于实际液体过水断面上的流速分布均匀，且不易求得，故考虑用断面平均流速来代替断面上不均匀分布的流速u，以便计算总流的动量。在渐变流情况下，过水断面上各点流速u近似互相平行，与平均流速的方向基本一致，但按平均计算的动量与按实际流速u计算的动量并不相等，需引入一个动量修正系数来加以修正，即
AudAuA （b）
动量修正数为
AdAuA22 (3-33)
由此可见，动量修正系数，是表示单位时间内通过总流过水断面的单位质量液体实际动量与单位时间内以相应的断面平均流速通过的动量的比值。同样可以证明值大于1，且大小决定于过水断面的流速分布。通常在渐变流中=1.02～1.05。在工程实际中，为简便起见，一般采用=1.0。
将式（b）代入式(a)得
)(11112222AAdtkd
因为QAA2211，则
)(1122Qdtkd (c)
设dt时段内作用于总流1—2流段所有外力的矢量和为F，将式(c)代入动量定理
Fdtkd )(1122QF （3-34）
式(3-34)即为不可压缩液体恒定总流的动量方程。它表明，单位时间内作用于所研究总流流段上的所有外力的矢量和，应等于该流段通过下游断面出动量与通过上游断面流入动量的矢量差。
由于速度为矢量，动量也为矢量，所以动量方程是一个矢量方程，在计算实际问题中，常写成直角坐标轴上的投影表达式，即
)()()(112211221122zzzyyyxxxQFQFQF (3-35)
式中的x2、y2、z2和x1、y1、z1分别为总流下游过水断面2—2和上游过水断面1—1的平均流速12和在三个坐标方向上的投影。xF、yF、zF为作用在1—1断面与2—2断面间液体上的所有外力在三个坐标轴方向投影的代数和。
（二）动量方程式的适用条件
1. 应注意的条件
上面给出的动量方程，是在一定条件下推导出来的，因此在应用时应注意以下条件：
（1）液流为恒定流，即输入和输出动量的只有上、下游两个过水断面，输入和输出的流量应相等。
（2）液体为连续、不可压缩的液体。
（3）所选的两个过水断面必须为渐变流断面，但两个断面间的流段可以为急变流。
实际上，动量方程也可以推广应用于沿程水流有分支或汇合的情况。例如，对某一分叉管路（图3-30），可以把管壁以及上下游过水断面所组成的封闭段作为脱离体（图中虚线所示）来应用动量方程。此时，对该脱离体建立动量方程应为
FQQQ111333222 （3-36）
式中1、2、3——1—1、2—2、3—3三个过水断面上的平均流速；
F——作用于脱离体上的合外力。
图3-30
2. 应注意的问题 动量方程在实际工程中应用十分广泛，为了便于求解，应注意以下几个问题：
（1）选取脱离体。根据问题需要，选取液流某一包含已知条件和待求量的流段作为脱离体，流段上下游端的过水断面为渐变流断面。过水断面的动量修正系数均可取1.0。
（2）选取坐标轴。动量方程为矢量方程，式中的流速和作用力都是有方向的。因此，在应用动量方程时需选定坐标轴，坐标轴原则上可任意选取，但应考虑到计算方便。矢量投影与坐标轴方向一致取正，反之则取负。
（3）分析外力。分析并标出作用在脱离体上的外力，一般包括以下几种外力：
1）两端过水断面上的动水压力21PP及。因为流段两端的过水断面为渐变流断面，则两个过水面上的动水压力可按静水压力方法计算，即ApPc（cp为断面形心处压强）。
2）重力G。它等于脱离体内液体的重量。
3）固体边界表面作用于脱离体上的作用力F。这个力与水流作用于固体边界的动水总作用力F大小相等，方向相反，即FF。通常F为要求解的力，如其方向不确定时可先假定某一方向，若求得该力为正值，表明假定方向正确，否则，该力的实际方向与假定方向相反。
（4）计算动量改变。计算动量改变时，一定是流出的动量减去流入的动量。切记不可颠倒。
（5）联立其他方程求解。动量方程可求解许多情况下水流与固体边界的相互作用力问题，应用时，一般需配合使用连续性方程和能量方程。
二、动量方程应用举例
（一）弯管内水流对管壁的作用力
［例3-7］ 管路中一段水平放置的等截面弯管，直径d为200mm，弯角为45°（图3-31）。管中1-1断面的平均流速1=4m/s，其形心处的相对压强p1=1个大气压。若不计管流的水头损失，求水流对弯管的作用力xR与yR（坐标轴x与y如图所示）。
图3-31
解 利用总流的动量方程求解xR与yR。取渐变流过水断面1-1与2-2以及管内壁所围成的封闭曲面为控制面。作用在控制面上的表面力，以及流入与流出控制面的流速如图3-31所示，其中xR与yR是弯管对水流的反作用力，p1与p2分别是1-1断面与2-2断面形心处的相对压强。所以作用在这两断面上的总压力分别为1p=p1A1，2p =p2A2。作用在控制面内的水流重力，因与所研究的水平面垂直，故不必考虑。 总流的动量方程（3-35）在x轴与y轴上的投影为
221112222222(cos45)cos45(sin450)0sin45xyQpApARQpAR
则 112222112222cos45(cos45)sin45sin45xyRpApAQRpAQ （a）
式中 231113.140.224=0.126(m/s)44Qd
根据总流的连续性方程（3-6），124/ms，同时，因弯管水平，且不计水头损失，则由总流的伯诺里方程得到p2=p1=1大气压=9.8N/cm2，于是
418.9412111122dpApAp×3.14×202=3077（N）
取 β1=β2=1
将它们代入式（a）得
1224126.010002230773077xR=1049（N）
224126.01000223077yR=2532（N）
Rx与xR，Ry与yR分别大小相等，方向相反。
（二）水流对溢流坝面的水平总作用力
［例3-8］ 某溢流坝如图3-32，上游渐变流断面1-1处的水深h1=2m,下游渐变流过水断面2-2处的水深h2=0.8m，若忽略水头损失，试求水流作用于1m坝宽上的水平推力。
图3-32
解：建立x轴坐标方向，并选取渐变流断面1-1和2-2之间水体为脱离体。脱离体内水体沿x轴方向所受的外力有：过水断面1-1和2-2上的动水压力P1和P2；溢流坝对水流的作用力F，它实际上是水流对溢流坝水平推力F的反作用力。去动量修正系数121.0，列出x轴方向上的动量方程为
2112()QppF 则 1221()FppQ （a）
1-1断面动水压力为
2211119.82119.6()22PhbkN
2-2断面动水压力为
2222119.80.813.136()22PhbkN
为求流量，以取底部0-0面为基准面，取动能修正系数121.0，列出1-1断面和2-2断面上的能量方程为
22121222hhgg （b）
有连续性方程可得 12111222.50.8AA (c)
将(c)式代入（b）式，得
2211(2.5)20.822gg
故 2122.122.51g（2-0.8）（m/s）
212.55.3（m/s）
112.12214.24()A3Q=m/s
将已求得的1P、2P、1、2及Q值代入（a）得
19.63.13614.24(5.32.12) =2.981(KN)F
