恒定流动量方程

- 1 - 流体力学动量守恒方程

是十九世纪法国科学家和数学家傅里叶发现的。当时，由于资本主义经济迅速发展，许多工厂使用大量矿物燃料。由于设备不断更新，这些燃料的质量也越来越大，煤的耗量不断增加。为了计算煤的产量和损失情况，他对一个实验作了如下假设：当两股气流同时通过一段狭窄管道时，一股以相等的流速沿直线向前流动，另一股则沿着弯曲的管道流动。傅里叶想，这两股气流是相互混合，彼此完全混合，因此这两股气流之间没有质量交换。

在运动中，两股气流都具有一定的能量，它们既相互转化又相互消耗。能量既不能创造，也不能毁灭。为了计算在管内两股气流的总能量和损失情况，就必须把它们之间的所有动量传递给管壁，使其动量保持不变。因此，他设想在这个“管子”中加入一些流体，这些流体只是具有连续性的机械功。他还进一步考虑，如果两股气流的温度不同，那么这种动量传递应该是连续的，但是傅里叶却不这样认为，因为在某一点上，两股气流的温度可能是相同的。所以，根据牛顿第二定律，他提出了如下公式： p=- kx

按照动量守恒定律，质量是守恒的，因此能量也是守恒的，只要在这个系统中，只有一股流体和一个管壁，在一定时间内能量是守恒的。那么，如何利用动量守恒定律来计算煤的耗量呢？在第一个管子里装入0。 6立方米的水，它每秒损失1。 8立方米。在第二个管子里装入2。 5立方米的水，它每秒损失1。 5立方米。总共能够损失多少吨煤呢？经过研究，他得到了这样一个表达式： x=0。 006x-1。。 - 2 - 5(1。 8-0。 6)=0。 2吨。

今天的研究很有趣，但我觉得，这一切源于傅里叶发明动量守恒定律之前，流体力学已经有100多年的历史了。我想，这足以说明人类已经意识到环境问题的重要性了。 这次研究，让我体会到，我们不能光凭自己的感受去做事，而要依据事实，否则，就像儿童一样不讲理。 我希望，我长大以后，成为一名科学家，发明一种仪器，帮助人们解决问题，真正地解决问题，让我们的地球永远安静。 我还想告诉大家的是：发明动量守恒定律，使用煤炭作燃料，并不是一件不光彩的事情。 人类要节约资源，才能使世界变得更美好。

恒定总流的动量方程

利用前面介绍的连续性方程和能量方程，已经能够解决许多实际水力学问题，但对于某些较复杂的水流运动问题，尤其是涉及到计算水流与固体边界间的相互作用力问题，如水流作用于闸门的动水总压力，以及水流经过弯管时，对管壁产生的作用力等计算问题，用连续性方程和能量方程则无法求解，而必须建立动量方程来解决这些问题。

动量方程实际上就是物理学中的动量定理在水力学中的具体体现，它反映了水流运动时动量变化与作用力间的相互关系，其特点是可避开计算急变流范围内水头损失这一复杂的问题，使急变流中的水流与边界面之间的相互作用力问题较方便地得以解决。

一、动量方程式的推导及适用条件

（一）动量方程式的推导

由物理学可知，物体的质量m与速度的乘积称为物体的动量。动量是矢量，其方向与流速方向相同。物体在外力作用下，速度会发生改变，同时动量也随之变化。动量定理可表述为：运动物体单位时间内动量的变化等于物体所受外力的合力。现将动量定理用于恒定流中，推导恒定流的动量方程。

图3-29

在不可压缩的恒定流中，任取一渐变流微小流束段1—2（图3-29）。设1—1断面和2—2断面的过水断面面积和流速分别为21、dAdA和1u、2u，经过dt时段后，微小流束由原来的1—2位置运动到了新的位置21处，从而发生了变化。设其动量的变化为dk，它应等于流段21与流段1—2内的动量之差。

因为水流为不可压缩的恒定流，所以对于公共部分21段来讲，虽存在着质点的流动的替换现象，但它的形状、位置以衣液体的质量、流速等均不随时间发生变化，故动量也不随时间发生改变。这样，在dt时段内，21段的水流动量与1—2段的动量之差实际上即为22段的动量与11段的动量之差。 在dt时段内，通过11段的水体质量为11dtdAu，通过22段的水体质量为22dtdAu，对于不可压缩液体，根据连续性方程，可知dQdtdtdAudtdAu2211，则微小流束段的动量变化为

学习单元六、恒定总流动量方程及应用

一、恒定总流的动量方程建立

质点系运动的动量定律：质点系的动量在某一方向的变化，等于作用于该质点系上所有外力的冲量在同一方向上投影的代数和。

如上图，在恒定总流中，取出某一流段来研究。该流段两端过水断面为1-1及2-2。经微小时段dt后，设原流段1-2移至新的位置1`-2`。流段内动量的变化p应等于1`-2`与1-2流段内液体的动量P1`-2`和P1-2之差。

即有2121ppp

而 222121211121pppppp 故有1122ppp

任取一微小流束MN，微小流束1-1`流段内液体的动量111udtdAu。对断面A1积分有111111111dAuudtdtdAuupAA。

同理2222222222dAuudtdtdAuupAA

采用断面平均流速v代替u，有2222222221111111121QvdtdAudtpQvdtdAudtpAA。

其中 AvdAuQvdAuuAA22，称为动量修正系数，是表示单位时间内通过断面的实际动量与单位时间内以相应的断面平均流速通过的动量的比值。该值同样取决于断面流速分布的均匀程度，一般液流为紊流时，常采用 0.1。

结合连续性方程，因为QQQ21故有：)(1122vvQdtp，由动量定理可得：

FQ)(1122 此式即为液体恒定总流的动量方程。

动量方程表明：在两个断面之间选取一控制体，作用在该控制体上的合外力等于流出该控制体的动量与流入该控制体的动量之差。这是动量方程的实质。决定着方程的形式。建立起了速度变化和力之间的关系。

需要说明的是动量方程是个矢量方程，通常写成投影方程的形式，如下式。

恒定总流动量⽅程

恒定总流动量⽅程1． 流体为恒定流，且流体是不可压缩的。

2． 流体运动符合连续原理；

3．所取的两个断⾯为渐变流流动，但在两个断⾯之间可以不是渐变流。

4．两个断⾯之间的流体没有外界能量的加⼊或内部能量的取出。

5．能量⽅程在推导过程中流量是沿程不变的，前后两个断⾯是指同⼀股液流。

§2-4-2 应⽤伯努利⽅程应注意的问题

1. 分析流动，选取好过⽔断⾯；

2. 选择好计算点和基准⾯；

3. 压强⼀般以相对压强表⽰，单位要⼀致；

4. 全⾯分析和考虑所取两过流断⾯之间的能量损失。

§2-4-3 伯努利⽅程的应⽤

1．毕托管测流速

图3-28

① 驻压强：流动流体中加⼀障碍物后，驻点处增⾼的压强，即动能转化⽽来的压强

② 动压强：流动流体中不受流速影响的某点的压强

③ 总压强：运动流体动压强与驻压强之和，即驻点处的压强。

③ 总压强：运动流体动压强与驻压强之和，即驻点处的压强。

④ 单孔测速管

制作原理：当⽔流受到迎⾯物体的阻碍，被迫向四周分流时，在物体表明上受⽔流顶冲的A点流速等于零，称为⽔流滞⽌点（驻点）。驻点处的动能全部转化为压能，单孔测速管和毕托管就是根据这⼀原理制成的⼀种测速仪。

如图，1管测的是动压强，2管测的是总压强，则驻压强

测得理论流速：

实际流速： （ µ：修正系数，Ｈ：为两管⽔头差。）

2. ⽂丘⾥流量计（Venturi Meter）

如图，主管路直径为,喉管直径；在定流条件下，测压管⽔头差为，推导管路中实际⽔流量的计算式。

对过⽔断⾯1-1、2-2列能量⽅程

图3-30 运⽤连续⽅程有：

得主管流速

理想情况下的流量

实际流量

式中——流量系数，主要与管材、尺⼨、加⼯精度、安装质量、流体的粘性及其运动速度等有关， ——结构常数

. ⼀般⽔⼒计算问题

【例3-3】 ⼀虹吸管，已知a=1.8m,b=3.6m,，由⽔池引⽔⾄Ｃ端流⼊⼤⽓，若不计损失，设⼤⽓压为10m⽔柱，求：（１）管中流速，及Ｂ点之绝对压强。（２）若Ｂ点绝对压强下降到0.24m⽔柱以下，将发⽣汽化，设Ｃ端保持不动，问欲不发⽣汽化，a不能超过多少？