绝对值不等式的证明及应用
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绝对值不等式的证明及应用
一、绝对值有关性质回顾:
①
(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
②ab a b =,
a
a b b
= (0)b ≠ ③2
2a a =
④0a ≥ ⑤a a a -≤≤
⑥x a a x a ≤⇔-≤≤ x a x a a ≥⇔≥≤-或 二、绝对值不等式:
定理:绝对值三角不等式:
a b a b a b
-≤±≤+.(代数形式)
a b a b a b -≤±≤+
(向量形式)
几何解释:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
(0b a b ab +≤+≥取等号) 证明:方法一:
()
2
2
+a b a b +≤, 2222+22a ab b a ab b +≤++, 22ab ab ≤,
而22ab ab ≤显然成立,∴(0a b a b ab +≤+≥取等号)
||||||
a b a b +=====
+||||||
a b a b +===<=
=+方法二:(选修4-5证法) 当ab ≥0时, ||,ab ab =
||,ab ab =-
当ab <0时
综上,a b a b +≤+ 0ab ≥当时,取等号, 方法三:(原人教版教材证法) ∵a a a -≤≤ ① b b b -≤≤ ②
①+②:()a b a b a b -+≤+≤+, 逆用性质x a ≤得:a b a b +≤+
推论1:
123123
.......n a a a a a a a +++≤++ ,当123,,,......n a a a a 都非正或都非负时。
a b a b -≤+.
证明:方法一:当0a b -<时显然成立,当0a b -≥时,两边平方,
()
2
2
a b a b
-≤+, 222222a ab b a ab b -+≤++, 22ab ab -≤,
而22ab ab -≤显然成立,∴a b a b -≤+,(当0ab <时取等号). 方法二:直接利用定理1
a a
b b a b b a b b =+-≤++-=++.
当()()0a b b +-≥时,取等号.即()00a b b ab +≤⇒≤,取等号. 合在一起得:
a b a b a b -≤+≤+.(当0ab ≤时左边取等号,当0ab ≥时右边取等号)
(当0ab ≥时左边取等号, 当0ab ≤时左边取等号)
证明:只需利用已有结论把a b a b a b -≤+≤+中的b 用b -代替即得到定理3.
b a
c b c -≤-+-
证明:
a b a c c b a c c b a c b c
-=-+-≤-+-=-+-,(当()()0a c c b --≥时,取等号)
几何解释:设A ,B ,C 为数轴上的3个点,分别表示数a ,b ,c ,则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ,B 之间时,等号成立。
特别的,取c =0(即C 为原点),就得到定理3的后半部分。
1 .ε>0,|x-a|<ε,|y-b|<ε,|2x+3y-2a-3b|<5ε例已知求
证明: |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|
=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε+3ε=5ε.
所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε.
练习:
1、已知 2
,2c
b y
c a x <-<
-,求证 .)()(c b a y x <+-+ 证明 )()()()(b y a x b a y x -+-=+-+ b y a x -+-≤(1)
2
,2c b y c a x <-<
- , ∴c c
c b y a x =+<-+-22 (2)
由(1),(2)得:c b a y x <+-+)()(
2、已知.6,4a
y a x << 求证:a y x <-32。
证明 6,4a y a x << ,∴2
3,22a
y a x <<,
由例1及上式,a a
a y x y x =+<+≤-2
23232。
例2 求证:不等式b
b a
a b
a b a +++≤+++111
():10,;a b +=证法一当时显然成立()20,a b +≠当时
11
11
11111111a b a b
a
b
a
b a b
a b a b a b
a b
a b
a b
++=
≤
=
=
+
≤
+
++++++++++++++.
∴原不等式成立
::0,0,a a m
a b m b b m
+<≤>≤+证法二利用分式不等式性质若则
()10,;a b +=当时显然成立
()20,1111a b a b a b a b a b a b a b
a b
a
b
+++≠+≤+∴
≤
≤
+
++++++ 当时
综上(1),(2)得b
b a
a b
a b
a ++
+≤
+++111
证法三:(考虑构造函数)
例3:已知()2
10f x x x =-+且1x a -<,求证:()()()21fx fa a -<+(放缩功能) 证明:()()
22
1010f x f a x x a a -=-+-+- ()()1x ax a =-+- ()()1xa xa =-+- ()11x a x a <+-≤++ ()1x a a a =-+++ ()()2121x a a a <-++<+ 所以()()()21fx fa a -<+ 例4
b
a b f a f b a x x f -<-+=)()(:,,,1)(2求证为互异实数且若
()()1:()(),1.f a f b f a f b a b a b
--<-<-分析欲证成立只要证
成立
()()
:f a f b a b
-=
=
-
证法一
()1a b a b a b
+=
=
<
<≠+
()().f a
f b a b
∴-<-成立
2:()()()(),.f a f b f a f b -分析直接把
进行分子有理化,也易得证
22:()()a b f a f b a b
--=
=
<
+证法二 ()()
a b a b a b a b
+-≤
=-+
所以,原命题得证
:()(),f a f b a b a b -<-
<-证法三欲证成立
2222112a b a ab b +++--+只要证
1ab >+
2222222210,,
10,1122,,.
ab ab a b a b ab a b a b ab +<+≥+++>+++>∴当时显然成立当时只要证即而此式成立原不等式成立
:()(),f a f b a b a b
-<-<-证法四欲证成立
2222112a b a ab b +++--+只要证
1ab >
+
1ab
=≥=
+1,a b ab ≠>+∴ 原不等式成立
例5 若
在区间上恒有,
(1)对所有这样的f (x ),求的最大值。
(2)试给出一个这样的f (x ),使
确实取到上述最大值。
解:因为时恒
成立,则
而
因此得:
11|||||||2(1)42(0)|4(1)3(0)|(0)|
2213|(1)|8||6|(0)|17
2a b c f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫
++=-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
≤++≤ ⎪⎝⎭
所以
与等号成立时,只需
同号,与
异号(根据绝对值不等式成立的条件)
即(或)
此时(或)
例6已知a 、b 、c 是实数,函数f (x )=ax 2+bx +c ,g (x )=ax +b ,当-1≤x ≤1时,│f (x )│≤1.(96年高考题
25题)
(Ⅰ)证明:│c │≤1;
(Ⅱ)证明:当-1≤x ≤1时,│g (x )│≤2;
(Ⅲ)设a >0,当-1≤x ≤1时,g (x )的最大值为2,求f (x ).
解析:本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质,以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力.满分12分.
(Ⅰ)证明:由条件当-1≤x ≤1时,│f (x )│≤1,取x =0得
│c │=│f (0)│≤1, 即│c │≤1. ——2分
(Ⅱ) 证法一:
由题知:()()()11,0,f a b c f a b c f c =++-=-+=,
()()()1
[1120]2a f f f =+--,
()()1
[11]2
b f f =--
()0c f =
()g x ax b =+
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11
[1120][11]2211
111102211
1111022
11
1112211
111222
f f f x f f x f x f f x f x f f x x x x =+--+--=
++---≤++--+≤
++-+=++-+=
所以当11x -≤≤时,()2g x ≤
说明:这个例题直接找区间的中点,端点所对应的函数值,再将系数a b c 、、用刚才求出的函数值表示出来,再用它们的有界性进行证明。
证法二:
当a >0时,g (x )=ax +b 在[-1,1]上是增函数, ∴g (-1)≤g (x )≤g (1),
∵│f (x )│≤1 (-1≤x ≤1),│c │≤1, ∴g (1)=a +b =f (1)-c ≤│f (1)│+│c │≤2,
g (-1)=-a +b =-f (-1)+c ≥-(│f (-1)│+│c │)≥-2, 由此得│g (x )│≤2;
——5分
当a <0时,g (x )=ax +b 在[-1,1]上是减函数, ∴g (-1)≥g (x )≥g (1),
∵│f (x )│≤1 (-1≤x ≤1),│c │≤1,
∴g (-1)=-a +b =-f (-1)+c ≤│f (-1)│+│c │≤2, g (1)=a +b =f (1)-c ≥-(│f (1)│+│c │)≥-2, 由此得│g (x )│≤2;
——7分 当a =0时,g (x )=b ,f (x )=bx +c . ∵-1≤x ≤1,
∴│g (x )│=│f (1)-c │≤│f (1)│+│c │≤2. 综上得│g (x )│≤2. ——8分
证法三:
由4)1()1(2
2--+=x x x ,可得
b ax x g +=)(
)21
21(])21()21[(
22--++--+=x x b x x a ])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++=
),2
1()21(--+=x f x f
——6分
当-1≤x ≤1时,有,021
1,1210≤-≤-≤+≤x x 根据含绝对值的不等式的性质,得
2)2
1
()21()21()21(
≤-++≤--+x f x f x f x f 即│g (x )│≤2.
——8分
(Ⅲ)因为a >0,g (x )在[-1,1]上是增函数,当x =1时取得最大值2, 即g (1)=a +b =f (1)-f (0)=2. ① ∵-1≤f (0)=f (1)-2≤1-2=-1, ∴c =f (0)=-1.
——10分
因为当-1≤x ≤1时,f (x )≥-1,即f (x )≥f (0),
根据二次函数的性质,直线x =0为f (x )的图像的对称轴,由此得
0,02==-
b a
b
即 由① 得a =2. 所以 f (x )=2x 2-1.
——12分。