当前位置：文档之家 › (整理)考点37空间直角坐标系空间向量及其运算

(整理)考点37空间直角坐标系空间向量及其运算

  • 格式：doc
  • 大小：200.50 KB
  • 文档页数：5

精品文档

精品文档 温馨提示：

此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观

看比例，关闭Word文档返回原板块。

考点37 空间直角坐标系、空间向量及其运算

一、解答题

1.（2012·北京高考理科·Ｔ16）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.

（1） 求证：A1C⊥平面BCDE；

（2） 若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

（3） 线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.

【解题指南】（1）利用线面垂直的判定定理证明；（2）（3）找出三个垂直关系，建系，利用向量法求解.

【解析】（1）//,,DEBCACBCDEAC，1,DEADDECD，

111,,ADCDDDEACDDEAC面

又11,,ACCDCDDEDACBCDE面.

（2）由（1）可知，1,,CBCDAC两两互相垂直，分别以它们为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,23)A,(0,1,3),(0,1,3),(1,2,0),MCMBE A

B C D E C B E D A1

M

图1 图2 精品文档

精品文档 1(3,0,23)AB，设平面1ABE的法向量为1111(,,)nxyz，

由1111111203230nBExynABxz，令11x，得113(1,,)22n，

设所求线面角为，则11322sin22nCM，2sin2，

[0,]2，4.

（3）假设存在这样的点P，设点P的坐标为(m,0,0)，04m3,

(0,2,0)D,1(,0,23),APm 1(0,2,23)AD,

设2222(,,)nxyz为平面1ADP的法向量，由212221222302230nAPmxznADyz，

令23z，得26(,3,3)nm，

又11ADPABE平面与平面垂直，12nn633022m，解得2m（舍去）.

所以不存在点P.

2.（2012·辽宁高考理科·T18）如图，直三棱柱///ABCABC，90BAC，/,ABACAA点M，N分别为/AB和//BC的中点.

(Ⅰ)证明：MN∥平面//AACC;

(Ⅱ)若二面角/AMNC为直二面角，求的值.

【解题指南】（1）由中点联想到中位线，据中位线和底边平行，解决问题； 精品文档

精品文档 （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求的值

【解析】（1）连接,ABAC,由已知得M为AB的中点，又N为BC的中点，所以MN为三角形ABC的中位线，故MN∥AC,又MNAACCACAACC平面，平面，

因此

（2）以A为坐标原点O，分别以直线,,ABACAA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系oxyz，

设1AA，则ABAC,从而(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,1),(,0,1),(0,,1)ABCABC

所以1(,0,),(,,1)2222MN

设(,,)mxyz是平面AMN的一个法向量，由00mAMmMN得10221022xzyz

取1x，则1,yz，故(1,1,)m

设(,,)nabc是平面MNC的一个法向量，由00nNCnMN得

取1b，则3,ac，故(3,1,)n

因为AMNC为直二面角，所以0(1,1,)(3,1,)02mn.

3.（2012·天津高考理科·Ｔ17）

如图，在四棱锥PABCD中，PA丄平面ABCD，AC丄AD，AB丄BC，∠BCA

==2PAAD，=1AC. 精品文档

精品文档 DCBAP

(Ⅰ)证明PC丄AD；

（Ⅱ）求二面角APCD--的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为030，求AE的长.

【解题指南】建立空间直角坐标系应用空间向量证明垂直关系、求空间角较简捷.

【解析】方法一：如图，

以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B)0,21,21(，P（0,0,2）， 精品文档

精品文档

（Ⅰ）易得),2-,1,0(PC),0,0,2(AD于是0.ADPC，所以PC⊥AD.

（Ⅱ）PC(0,1,-2),CD(2,1,0),设平面PCD的一个法向量n),,,(zyxn则

不妨令1z，可得n)1,2,1(，可取平面PAC的一个法向量m)0,0,1(，于是

从而所以二面角A-PC-D的正弦值为630.

（Ⅲ）设点E的坐标为（0,0,h）,其中]2,0[h，由此得11(,,),22BEh=-由(2,1,0),CD=-故2BECD3cosBE,CD|BE||CD|1020h，

所以2330cos2010302h，解得1010h，即1010AE.

关闭Word文档返回原板块。

合集下载

空间向量知识点归纳总结（经典）

空间向量知识点归纳总结（经典）

空间向量知识点归纳总结（经典）

空间向量与⽴体⼏何知识点归纳总结

⼀．知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有⼤⼩和⽅向的量叫做向量。 注：（1）向量⼀般⽤有向线段表⽰同向等长的有向线段表⽰同⼀或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平⾯向量运算⼀样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈

运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+

⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++

⑶数乘分配律：b a b a

λλλ+=+)(

运算法则：三⾓形法则、平⾏四边形法则、平⾏六⾯体法则 3. 共线向量。

（1）如果表⽰空间向量的有向线段所在的直线平⾏或重合，那么这些向量也叫做共

线向量或平⾏向量，a

平⾏于b ，记作b a

//。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b

（b ≠0 ），a //b

存在实数

λ，使a

＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中

（4）与

共线的单位向量为±

4. 共⾯向量

（1）定义：⼀般地，能平移到同⼀平⾯内的向量叫做共⾯向量。 说明：空间任意的两向量都是共⾯的。

（2）共⾯向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b

共⾯的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共⾯：若A 、B 、C 、P 四点共⾯<=>AC y AB x AP +=<=>

)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c

不共⾯，那么对空间任⼀向量p ，存

在⼀个唯⼀的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++

。

若三向量,,a b c 不共⾯，我们把{,,}a b c

叫做空间的⼀个基底，,,a b c 叫做基向量，

空间向量及其运算讲义

空间向量及其运算讲义

空间向量及其运算讲义

一、知识梳理

1．空间向量的有关概念

名称 概念 表示

零向量 模为0的向量 0

单位向量 长度(模)为1的向量

相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b

相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a

共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b

共面向量 平行于同一个平面的向量

2.空间向量中的有关定理

(1)共线向量定理

空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

(2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)空间向量数量积的运算律

①(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示 坐标表示

数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3

共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

模 |a| a21＋a22＋a23

夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23

空间向量的直角坐标运算

空间向量的直角坐标运算

让更多的孩子得到更好的教育

空间向量的直角坐标运算

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

 掌握空间向量的坐标表示、坐标运算、夹角公式、距离公式。

 能通过坐标运算判断向量的共线与垂直。

 理解直线的方向向量与平面的法向量，会求平面的法向量。

重点难点：

 重点：掌握空间向量的坐标运算，能通过坐标运算判断向量的共线与垂直。

 难点：向量坐标的确定以及夹角公式，距离公式的应用。

学习策略：

 空间向量的直角坐标运算和平面向量的直角坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

 对于垂直问题，一般是利用0abab进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明。

二、学习与应用

空间向量的基本定理

（一）共线向量定理：

空间任意两个向量a、b(b≠0)，a//b的充要条件是

（二）共面向量定理（平面向量的基本定理）：

两个向量a、b不共线，向量p与向量a、b共面的充要条件是

*推论：P、A、B、C四点共面的充要条件：对空间任意一点O，有OP

（三）空间向量基本定理：

如果三个向量,,abc不共面，那么对空间任一向量p，存在 的有序实数组{,,}xyz，使p 。 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

空间向量考点(全)

空间向量考点(全)

空间向量考点（全）

1、空间向量的坐标及基本运算

空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵坐标），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.

a=(a1,a2,a3),),,(321bbbb，

),,(332211babababa，

))(,,(321Raaaa，

332211babababa ，

向量平行：a∥)(,,332211Rbababab332211bababa 。

向量垂直：0332211babababa。

向量的模：222321aaaaaa•

特例：向量模与向量之间的转化：aaaaaa••2

空间两个向量的夹角公式：232221232221332211||||,cosbbbaaababababababa•

空间两点的距离公式：212212212)()()(zzyyxxd.

2、法向量

若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量.

3、向量的应用

①利用法向量求点到面的距离定理：

如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中A，则点B到平面的距离为||||nnAB•.

②.利用向量求异面直线间的距离

nnCDd• (12,ll是两异面直线，其公垂向量为nr，CD、分别是12,ll上任一点，d为12,ll间的距离).

③.利用向量求直线AB与平面所成角

sin||||ABmarcABmuuururuuurur(mur为平面的法向量).

④.利用法向量求二面角的平面角定理

21,nn分别是二面设角l中平面,的法21,nn所成的角就向量，则是所求二面角的平面角或其补角大小（21,nn方向相同，则为补角，21,nn反方，则为其夹角）.二面角l的平面角cos||||mnarcmnurrurr或cos||||mnarcmnurrurr（mur，nr为平面，的法向量）.