高中数学第二章2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时学案含解析新人教A版必修1

1 §2.2 对数函数

2.2.1 对数与对数运算

第1课时 对 数

学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．

知识点一 对数的概念

对数的概念：

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

常用对数与自然对数：

通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg_N，logeN简记为ln_N.

知识点二 对数与指数的关系

思考 求loga1(a>0，且a≠1)的值．

答案 设loga1＝t，化为指数式at＝1，则不难求得t＝0，即loga1＝0.

梳理 一般地，有对数与指数的关系：

若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.

对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．

对数的性质：

(1)1的对数为零；

(2)底的对数为1；

(3)零和负数没有对数．

1．若3x＝2，则x＝log32.( √ )

2．因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以logaa＝1.( √ )

3．logaN>0(a>0且a≠1，N>0)．( × )

4．若lnN＝12，则N＝12e.( × )

类型一 对数的概念 2 例1 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )

A．b<2或b>5 B．2

C．4

考点 对数的概念

题点 对数的概念

答案 D

解析 ∵ b－2>0，5－b>0，5－b≠1，∴2

反思与感悟 由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.

跟踪训练1 求f(x)＝logx1－x1＋x的定义域．

考点 对数的概念

题点 对数的概念

解 要使函数式有意义，需 x>0，x≠1，1－x1＋x>0，解得0

∴f(x)＝logx1－x1＋x的定义域为(0,1)．

类型二 对数基本性质的应用

例2 求下列各式中x的值：

(1)log2(log5x)＝0；

(2)log3(lgx)＝1.

考点 对数式与指数式的互化

题点 对数式化为指数式

解 (1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.

(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.

反思与感悟 此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．logaN＝0⇒N＝1；logaN＝1⇒N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．

跟踪训练2 若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为( )

A．9B．8C．7D．6

考点 对数式与指数式的互化

题点 对数式化为指数式 3 答案 A

解析 ∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.

∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.

类型三 对数式与指数式的互化

命题角度1 指数式化为对数式

例3 将下列指数式写成对数式：

(1)54＝625；

(2)2－6＝164；

(3)3a＝27；

(4)13m＝5.73.

考点 对数式与指数式的互化

题点 指数式化为对数式

解 (1)log5625＝4；(2)log2164＝－6；

(3)log327＝a；(4)

反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：

跟踪训练3 (1)如果a＝b2 (b>0，b≠1)，则有( )

A．log2a＝b B．log2b＝a

C．logba＝2 D．logb2＝a

考点 对数式与指数式的互化

题点 指数式化为对数式

答案 C

解析 logba＝2，故选C.

(2)将3－2＝19，126＝164化为对数式．

考点 对数式与指数式的互化

题点 指数式化为对数式

解 3－2＝19可化为log319＝－2；

126＝164可化为

(3)解方程：13m＝5. 4 考点 对数式与指数式的互化

题点 指数式化为对数式

命题角度2 对数式化为指数式

例4 求下列各式中x的值：

(1)log64x＝－23；(2)logx8＝6；(3)lg100＝x；

(4)－lne2＝x；(5)log(2－1)13＋22＝x.

考点 对数式与指数式的互化

题点 对数式化为指数式

解 (1)

(2)因为x6＝8，所以

(3)10x＝100＝102，于是x＝2.

(4)由－lne2＝x，得－x＝lne2，即e－x＝e2.

所以x＝－2.

(5)因为

所以(2－1)x＝13＋22＝12＋2＝12＋1＝2－1，

所以x＝1.

反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．

跟踪训练4 计算：(1)log927；

考点 对数式与指数式的互化

题点 对数式化为指数式

解 (1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，∴x＝32.

∴x＝16.

(3)

∴x＝3.

1．logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是( ) 5 A．ab＝N B．ba＝N

C．aN＝b D．bN＝a

考点 对数式与指数式的互化

题点 对数式化为指数式

答案 B

2．若logax＝1，则( )

A．x＝1 B．a＝1

C．x＝a D．x＝10

考点 对数式与指数式的互化

题点 对数式化为指数式

答案 C

3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )

A．e0＝1与ln1＝0

B．＝12与log812＝－13

C．log39＝2与＝3

D．log77＝1与71＝7

考点 对数式与指数式的互化

题点 对数式与指数式的互化

答案 C

4．已知logx16＝2，则x＝________.

考点 对数式与指数式的互化

题点 对数式化为指数式

答案 4

5．设10lgx＝100，则x＝________.

考点 对数的运算

题点 对数恒等式的应用

答案 100

1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.

2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.

6 一、选择题

1．有下列说法：

①零和负数没有对数；

②任何一个指数式都可以化成对数式；

③以10为底的对数叫做常用对数；

④以e为底的对数叫做自然对数．

其中正确命题的个数为( )

A．1B．2C．3D．4

考点 对数的概念

题点 对数的概念

答案 C

解析 ①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．

2．已知log3a＝2，则a等于( )

A．6B．7C．8D．9

考点 对数式与指数式的互化

题点 对数式化为指数式

答案 D

解析 把log3a＝2化为指数式，有a＝32＝9.

3．lne等于( )

A．0B.12C．1D．2

考点 对数式与指数式的互化

题点 对数式化为指数式

答案 B

解析 设lne＝x，则ex＝e＝e，

∴x＝12.

4．方程2＝14的解是( )

A．x＝19B．x＝33C．x＝3D．x＝9

考点 对数式与指数式的互化

题点 对数式与指数式的互化

答案 A 7 解析 ∵2＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝19.

5．下列四个等式：

①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝10，则x＝10；④若lnx＝e，则x＝e2.

其中正确的是( )

A．①③B．②④C．①②D．③④

考点 对数式与指数式的互化

题点 对数式化为指数式

答案 C

解析 ①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；

③若lgx＝10，则x＝1010；④若lnx＝e，则x＝ee.

6.12－1＋log0.54的值为( )

A．6B.72C．0D.37

考点 对数式与指数式的互化

题点 对数式化为指数式

答案 C

解析 12－1＋log0.54＝12－1＋log4＝2－2＝0.

7．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是( )

A．15B．75C．45D．225

考点 对数式与指数式的互化

题点 对数式化为指数式

答案 C

解析 由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，

∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.

8．log(3－22)等于( )

A．－2B．－4C．2D．4

考点 对数式与指数式的互化

题点 对数式化为指数式

答案 A

解析 3－22＝2－22＋1＝(2)2－22＋12

＝(2－1)2