人教A版高中数学必修1第二章 2.2 2.2.1 第2课时 对数的运算
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第2课时 对数的运算
课时过关·能力提升
基础巩固
1.若a>0,且a≠1,x>y>0,则下列式子正确的个数是 ( )
①logax·logay=loga(x+y);②logax-logay=loga(x-y);③log𝑎𝑥𝑦=log𝑎𝑥÷log𝑎𝑦;④log𝑎(𝑥𝑦)=log𝑎𝑥·logay.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:A
2.2log510+log50.25等于( )
A.0 B.1 C.2 D.4
解析:原式=log5100+log50.25=log525=log552=2.
答案:C
3.计算log225·log32√2·log59的结果为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:原式=lg25lg2×lg2√2lg3×lg9lg5=2lg5lg2×32lg2lg3×2lg3lg5=6.
答案:D
4.计算823+log32−log36的结果是( )
A.16√2−1
B.4
C.3
D.1
解析:原式=(23)23+log326=4+log313=4−1=3.
答案:C
5.已知log23=a,log37=b,则log27等于( )
A.a+b B.a-b C.ab D.𝑎𝑏
解析:log27=log23·log37=ab.
答案:C
6.若lg x-lg y=t,则lg(𝑥2)3−lg(𝑦2)3=( )
A.3t
B.32𝑡
C.𝑡
D.𝑡2
解析:lg(𝑥2)3−lg(𝑦2)3=3lg𝑥2−3lg𝑦2=3lg𝑥𝑦=3(lg x-lg y)=3t.
答案:A
7.若lg x=lg m-2lg n,则x= .
解析:∵lg m-2lg n=lg m-lg n2=lg 𝑚𝑛2,∴𝑥=𝑚𝑛2.
答案:𝑚𝑛2
8.已知3a=2,用a表示log34-log36= .
解析:∵3a=2,∴a=log32,
∴log34-log36=log322-log3(2×3)=2log32-log32-log33=a-1.
答案:a-1
9.若2.5x=1 000,0.25y=1 000,则1𝑥−1𝑦=______________________.
解析:∵x=log2.51 000,y=log0.251 000,
∴1𝑥=1log2.51 000=log1 0002.5,
同理1𝑦=log1 0000.25,∴1𝑥−1𝑦=log1 0002.5-log1 0000.25=log1 00010=lg10lg1 000=13.
答案:13
10.计算:
(1)(lg 5)2+3lg 2+2lg 5+lg 2×lg 5;
(2)lg8+lg125-lg2-lg5lg√10×lg0.1;
(3)(log62)2+(log63)2+3log62×(𝑙𝑜g6√183-13lo𝑔62).
解:(1)(lg 5)2+3lg 2+2lg 5+lg 2×lg 5
=lg 5(lg 5+lg 2)+2(lg 2+lg 5)+lg 2
=lg 5×lg 10+2lg 10+lg 2
=2+(lg 5+lg 2)
=3.
(2)𝑙𝑔8+𝑙𝑔125-𝑙𝑔2-𝑙𝑔5𝑙𝑔√10×𝑙𝑔0.1=𝑙𝑔8×1252×5𝑙𝑔1012×lg10-1=lg10212×(-1)=−4.
(3)(log62)2+(log63)2+3log62×(log6√183−13log62)
=(log62)2+(log63)2+3log62×log6√183√23
=(log62)2+(log63)2+3log62×log6√93
=(log62)2+(log63)2+2log62×log63
=(log62+log63)2=1.
能力提升
1.若lg a+lg b=0(其中a>0,b>0,a≠1,b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=bx的图象关于( )
A.直线y=x对称 B.x轴对称
C.y轴对称 D.原点对称
解析:∵lg a+lg b=lg(ab)=0,
∴ab=1,∴b=1𝑎.
∴g(x)=(1𝑎)𝑥,故函数f(x)与g(x)的图象关于y轴对称.
答案:C
2.若实数a,b,c满足25a=403b=2 015c=2 018,则下列式子正确的是( )
A.1𝑎+2𝑏=2𝑐
B.2𝑎+2𝑏=1𝑐
C.1𝑎+1𝑏=2𝑐
D.2𝑎+1𝑏=2𝑐
解析:由已知,得52a=403b=2 015c=2 018,得2a=log52 018,b=log4032 018,c=log2 0152 018,所以12𝑎=log2 0185,1𝑏=log2 018403,1𝑐=log2 0182 015,而5×403=2 015,所以12𝑎+1𝑏=1𝑐,即1𝑎+2𝑏=2𝑐,故选A.
答案:A
3.★某种食品因存放不当受到细菌的侵害.据观察,此食品中细菌的个数y与经过的时间t(单位:min)满足关系y=2t.若细菌繁殖到3个、6个、18个所经过的时间分别是t1,t2,t3,则有( )
A.t1·t2=t3 B.t1+t2>t3
C.t1+t2=t3 D.t1+t2 解析:由题意,得2𝑡1=3,2𝑡2=6,2𝑡3=18,则t1=log23,t2=log26,t3=log218, 所以t1+t2=log23+log26=log218=t3. 答案:C 4.计算lg25+lg 2+lg 2·lg 5= . 解析:原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5+lg 2=1. 答案:1 5.已知函数f(x)=x+1,g(x)=−1𝑥,则𝑓(log2 3)+𝑔(log6 2)=_____________. 解析:f(log23)+g(log62)=log23+1−1log62=log2 3−log2 6+1=log2 36+1=log2 12+1=log2 2−1+1=−1+1=0. 答案:0 6.若关于lg x的方程lg2x+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0 的两个根是lg α,lg β,则αβ的值是 . 解析:由题意,得lg α+lg β=-(lg 7+lg 5)=lg135,故lg(αβ)=lg 135,即αβ=135. 答案:135 7.已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,且2x=py. (1)求p; (2)求证:1𝑧−1𝑥=12𝑦. (1)解设3x=4y=6z=k(显然k>0,且k≠1), 则x=log3k,y=log4k,z=log6k. 由2x=py,得2log3k=plog4k=p·log3𝑘log34. ∵log3k≠0,∴p=2log34. (2)证明1𝑧−1𝑥=1log6𝑘−1log3𝑘=log𝑘 6−log𝑘 3=log𝑘 2. ∵12𝑦=12log𝑘 4=log𝑘 2, ∴1𝑧−1𝑥=12𝑦. 8.★甲、乙两人在解关于x的方程log2x+b+c·logx2=0时,甲写错了常数b得两根为14,18,乙写错了常数𝑐得两根为12,64.求原方程的根. 分析:将方程化为关于log2x的一元二次方程的形式.先利用一元二次方程的根与系数的关系求出b和c,再求出原方程的根. 解:由原方程可知x>0,且x≠1.原方程可化为log2x+b+c·1log2𝑥=0,即(log2x)2+blog2x+c=0.因为甲写错了常数b得两根为14,18,所以c=log2 14·log2 18=6. 因为乙写错了常数c得两根为12,64, 所以b=−(log212+log264)=−5.故原方程为log2x-5+6logx2=0,可化为(log2x)2-5log2x+6=0.解得log2x=2或log2x=3.所以x=4或x=8,故原方程的根为x=4或x=8.
