中南大学高等工程数学试卷超全整理

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）1

考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分)

1. 若函数1()[,]xCab,且[,]xab有()[,]xab和1)('Lx, 则方程()xx在[,]ab上的解存在唯一，对 任意bax,0为初值由迭代公式)(1nnxx产生的序列nx一定收敛于方程

()xx在[,]ab上的解*x，且有误差估计式*xxkL1；

2. 建立最优化问题数学模型的三要素是： 确定决策变量 、 建立适当的约束条件 、

建立目标函数 ；

3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是：

最速下降法前后两个搜索方向总是垂直的 ；

4．已知函数)(xfy过点(,),0,1,2,,iixyin，[,]ixab，设函数)(xS是()fx的三次样条插值函数，则)(xS满足的三个条件（1）在每个子区间iixx,1（i=1，2，…，n）上是不高于三次的多项式；（2）S（x），S’（x），S’’（x）在ba,上连续；（3）满足插值条件S（xi）=yi（i=1，2，…，n）；

5．随机变量1210~(3,4),(,,,)XNXXX为样本，X是样本均值，则~X N（3，0.4）；

6．正交表()pqNLnm中各字母代表的含义为 L表示正交表，N表示试验次数，n、m表示因子水平数，p、q表示试验至多可以安排因素的个数 ；

7．线性方程组Axb其系数矩阵满足 A=LU，且分解唯一 时，可对A进行LU解，选主元素的Gauss消元法是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大，按列选取主元素时第k步消元的主元akk为

)1,2,......,1(1niayabyiinijiijii

8．取步长0.01h，用Euler法解'3,[0,1](0)1yxyxy的公式为 。

二、（本题6分）某汽车厂三种汽车：微型轿车、中级轿车和高级轿车。每种轿车需要的资源和销售的利润如下表。为达到经济规模，每种汽车的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。工厂规定的经济规模为微型车1500辆，中级车1200辆，高级车1000辆，请建立使该厂的利润最大的生产计划数学模型。

微型车 中级车 高级车 资源可用量

钢材（吨） 1.5 2 2.5 6000（吨）

人工（小时） 30 40 50 55000（小时） 1002,1,009.003.01nyxynnn利润 2 3 4

解：设微型车生产了x1辆，中级车生产了x2辆，高级车生产了x3辆，而钢材、人工均有限制，所以应满足限制条件：

钢材：1.5x1+2x2+2.5x3≤6000

人工：30x1+40x2+50x3≤55000

生产数量：x1≥1500 x2≥1200 x3≥1000

从而问题的数学模型为：

Max c1x1+c2x2+c3

1000120015005500050403060005.225.1321321321xxxxxxxxx

三、（本题10分）已知)(xf的数据如表：

x 0 1 2 5

)(xf -5 3 0 6

用Newton插值法求)(xf的三次插值多项式，计算(6)f的近似值，给出误差估计式。

解：

xi F(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商

0 -5

1 3 8

2 0 -3 -11/2

5 6 2 5/4 27/20

6 12.5 6.5 4.5/4 -0.025 -0.2292

因此32335.155.97.105.0)(xxxxN，而5.12)6()6(3Nf

504.27)56()26()16(62292.0)()6(432103xxxxxxfR

四、（本题12分）为了研究小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有没有差异，现试验了在接种三种不同菌型伤寒杆菌（记为123,,AAA并假设2~(,)iiAN，1,2,3i，）后的存活日数，得到的数据已汇总成方差分析表如下：

方差来源 平方和 自由度 样本方差 F值

组间SSA 66 2 33 6.286 组内SSE 63 12 5.25 )(3xN总和SST 129 14

(1) 试把上述方差分析表补充完整（请在答卷上画表填上你的答案）

(2) 小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有无显著差异？（取0.05，0.05(2,12)3.89F）

解：（1）见表中红色部分

（2）设H0：μ1=μ2=μ3=„=μi

选取统计量

)1()1(NSSEISSAF，由于显著性水平未给出，设α=0.05，查表得89.3)12,2(05.0F，因为F=6.286>)12,2(05.0F，所以拒绝H0，即小白鼠在接种不同型伤寒杆菌后存活日数有显著差异。

五、（本题12分）用表格形式单纯形法求解

1231231213132max2086832250250..43150,0,Zstxxxxxxxxxxxxx

六、（本题10分）试确定求积公式 1012 1()(1)(0)(1)fxdxAfAfAf 中的待定系数，使其代数精度尽量高。

解：将2,,1)(xxxf分别代入式中得

20202103202AAAAAAA，因此得35,31120AAA

七、（本题12分）（1）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。常用的方法有向前回归法、向后回归法、逐步回归法。试解释什么是逐步回归法？

（2）如果要考察因素A、B、C及交互作用A×B、A×C、B×C，如何用正交表78(2)L安排试验，交互作用见下表，试作表头设计。

表 78(2)L两列间交互作用表

列号

(列号) 1 2 3 4 5 6 7

(1) 3 2 5 4 7 6

(2) 1 6 7 4 5

(3) 7 6 5 4

(4) 1 2 3

(5)

3

2

(6)

1

解：(1)逐步回归法就是对全部因子按其对y影响程度大小（偏回归平方的大小），从大到小地依次逐个地引入回归方程，并随时对回归方程当时所含的全部变量进行检验，看其是否仍然显著，如不显著就将其剔除，知道回归方程中所含的所有变量对y的作用都显著是，才考虑引入新的变量。再在剩下的未选因子中，选出对y作用最大者，检验其显著性，显著着，引入方程，不显著，则不引入。直到最后再没有显著因子可以引入，也没有不显著的变量需要剔除为止。

（2）如果因子A放在第1列，因子B放第2列，则A×B放在第3列。如C放在第4列，再查交互作用表，A×C和B×C应分别放在第5列和第6列。表头设计如下：

列号 1 2 3 4 5 6 7

因子 A B A×B C A×C B×C

八、（本题14分）设方程组为

1230259510430102014xxx

（1）对方程组进行适当调整，使得用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛；

（2）取(0)0x，用Gauss-Seidel迭代法计算两步迭代值(1)x，(2)x；

（3）取(0)0x，估计用Jacobi迭代求解(100)x与准确解*x的误差。

解：（1）将原矩阵变换为如下：

9301452041050210321xxx，经变换后的矩阵为严格对角占优阵，因此在用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛。

（2）由G—S迭代公式得： )29(51)4530(101)214(101)1(2)1(3)(3)1(1)1(2)(2)1(1kkkkkkkxxxxxxx，又由于(0)0x，因此经两步迭代后得88.03.24.1)1(x，9288.0178.294.0)2(x

（3）由Jacobi迭代公式得：

)29(51)4530(101)214(101)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1kkkkkkkxxxxxxx

因此)29(51)4530(101)214(101)99(2)99(3)99(1)99(2)100(xxxxx

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷2

考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分)

1. 若方程0)(xf可表成)(xx，且在[,]ab内有唯一根*x，那么)(x满足

，则由迭代公式)(1nnxx产生的序列nx一定收敛于*x。

（)(x满足：1()[,]xCab,且[,]xab有()[,]xab, '()1xL；）

2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)TfxxxxxxxX，该函数从X0 出发的最速下降方向为 （最速下降方向为：4,2Tp）；

3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)TfxxxxxxxX，该函数从X0 出发