4.3偏微分方程模型
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§4.3 偏微分方程模型
如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而
且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。本节以人口
增长模型和扩散模型为例说明偏微分方程的建模过程以及相应的数值解法。
4.3.1 人口增长模型
统计数据表明，世界人口在1800年达到10亿，1930年达到20亿，1960年达到30亿，
1974年达到40亿，1987年达到50亿，1999年达到60亿，2011年10月31日突破70亿。
可以看出，人口每增加10亿的时间由100多年缩短为10余年。人口的剧增导致资源消费量
增加，引起资源蓄积量减少甚至枯竭，出现诸如过度开垦土地、沙漠化日益严重、不合理地
砍伐森林、绿色空间缩小、能源紧张等问题。人口剧增还会带来空气污染，引起全球气候变
化异常等环境问题，造成全球性生态平衡失调。而且，这么多数量的人口空间分布极其不均
衡。全球45个发达国家的生育率都低于人口平均增长率。在世界出生率最低的25个国家中，
有22个在欧洲。人口数量的减少成为这些国家最大的危机，对经济发展和国家安全带来严
峻挑战。同时，世界上人口增长率最高的都是一些最不发达的国家，如阿富汗、布隆迪、刚
果、利比里亚等，而发展速度较快的发展中国家，如中国、印度、埃及等，也身负人口增加
给经济和环境带来的巨大压力。
中国是世界上人口最多的国家，根据2010年第六次人口普查登记的全国总人口为
13.3972亿（不包括港澳台地区），其中，男性人口6.8685亿，女性5287亿；60岁以上人口
为1.7765亿，占总人口的13.26%；城市人口为6.6558亿，农村人口为6.7415亿。老龄化
问题、男女比例失调、城镇化建设加速等问题成为我国人口问题的一些新特点，直接影响着
我国人口的发展趋势[1]
。
准确地对人口进行预测，有效地控制人口增长并制定合理的人口政策，是全面落实科
学发展观、实现适当生育水平、提高人口素质、改善人口结构、引导人口合理分布、保障人
口安全、促进人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展的重要手段。本节主要讨论人口
增长的指数增长模型、Logistic增长模型和考虑年龄结构和生育模式的人口发展模型。
指数增长模型
英国人口学家和政治经济学家Malthus曾调查了英国100多年的人口统计资料，得到了
人口增长率不变假设下的人口指数增长模型，该模型又被称为Malthus人口模型。记t
时刻
人口数为()xt
，初始时刻人口数为
0(0)xx
，假设单位时间内人口的相对增长率为常数r
，
利用微元法有
()()
()xttxt
rt
xt
.
等式两边同除以t
并令0t
，得到
0(0)dx
rx
dt
xx
（4.3.1）
这里相对增长率r
实际上是一种净相对增长率，即r
出生率
死亡率。模型（4.3.1）的解
为 0()rt
xtxe
. （4.3.2）
该模型于1798年提出，适用于20世纪六十年代之前的世界人口发展。例如，据统计，
1961年全世界人口为30.6亿，1951年—1961年年人均净增长率约为0.02，即在式（4.3.2）
中，9
03.0610x
，
01961t
，0.02r
，故有
00.02()9
()3.0610tt
xte
。用该式可以倒
过来计算1700—1961年间的人口总数，并把计算结果与实际统计数据作比较可以发现它们
是比较符合的。
下面利用中国1990年—2010年的人口数据建立模型，并预测人口数量。参数的估计可
以采用最小二乘估计，即对式（4.3.2）两端取对数，
0lnlnxxrt
并令*
lnxx
，*
00lnxx
，上式转化为**
0xxrt
，利用中国1990-2010年数据和最小二
乘估计方法，估计参数*
020.8729x
，0.0078r
，则有9
01.1610x
故有预测公式
90.0078(1990)
()1.1610t
xte
，利用该式预测中国1990—2020年的人口数量，结果如图（4.3.1）
所示。
图4.3.1 指数增长模型预测中国人口数
拟合过程及画图程序如下：
function [Y,p]=zhishu(y,t)%y为人口数据t为年份，Y为人口预测，p为拟合一次方程
z=size(y);
if z(1)>z(2)
y=y';
end
z1=max(z);
tt=0:(z1-1);
y1=log(y);
p=polyfit(tt,y1,1);%对数下的最小二乘拟合
y2=polyval(p,tt); Y=exp(y2);
plot(t,Y,'.-',t,y)%绘图
xlabel('年份');ylabel('人口');legend('预测','实际');
fprintf('x(t)=（%d）*exp(（%d）*(t-%d))',Y(1),p(1),t(1))
可以看出，Malthus模型用于预测中国的人口数量，除了1994年左右和2006年左右，
其它年份的预测误差都比较大，因此，指数增长模型对于中国的人口预测效果并不是很好。
另外，若用指数增长模型来预测全世界人口数量，则到2510年地球上人口将达到14
210
，
即把地球上的全部海洋都变成陆地，每人也只能分到0.87平方米的土地；而到2670年地球
上人口将达到16
3.610
，也就是说所有人站立起来需要一个人站在另一个人的肩上叠成两
层才行。因此需要对Malthus模型进行修正。
阻滞增长模型—Logistic模型
分析Malthus模型可以看出，我们假设了人口的相对增长率r
为常数，这个假设实际上
只是在人口总数不太大而且食物丰富时才合理。当人口总数非常大时，人类不同群体各成员
之间会因为有限的生存空间、有限的自然资源与食物等原因，进行生存竞争。也就是说，自
然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，这种阻滞作用
越来越大。因此，当人口总数很大时，模型中不仅要考虑一个自然增长r
，还需要有一个竞
争项来部分抵消这个增长项。因为这种竞争项会随着人口的增加而增大，所以假设该竞争项
与人口数量()xt
成正比，比例系数为s
，故有
()dx
rsxx
dt
. （4.3.3）
若设现有自然资源和环境条件下的最大人口数量为
mx
，则当
mxx
时，人口不再增长，即
相对变化率为0，故0
mrsx
，/
msrx
，这样就得到4.1.3介绍过的阻滞增长模型（或
称Logistic模型）：
01
(0)mdxx
rx
dtx
xx
（4.3.4）
式（4.3.4）中r
为固有增长率，
mx
也称作为人口容量。该模型由比利时数学家Verhulst于
1838年提出，因此阻滞增长模型也被称作Verhulst方程。模型的求解结果为
0()
11m
rt
mx
xt
x
e
x
. （4.3.5）
式（4.3.4）和（4.3.5）的图形如下：
图4.3.2（a） 图4.3.2（b）
由图4.3.2（a）可以看出，人口相对增长率在/2
mxx
处达到最大，即此时是人口增
长的最高峰。由图4.3.2（b）知，人口数量一直处于增长态势，在/2
mxx
时增长速度较
快，/2
mxx
时增长速度较慢，最后人数渐趋于
mx
。
为了可以利用式（4.3.5）进行人口预测，需要估计其中的参数
mx
，
0x
和r
，但是
mx
无
法直接进行估计，需要借助其他的方法才能完成。一种途径是结合所考虑的环境中的资源状
况进行估计；另一种途径是用数值微分的方法间接进行估计，即将式（4.3.4）变形为
/
1
mdxdtx
rrsx
xx
. （4.3.6）
可以利用最小二乘估计先得到r
和s
的估计值，然后利用s
和r
的关系得到
mx
的估计值，再
代入式（4.3.5）进行预测。利用中国1990—2010年数据，得到0.0645r
，0.0451s
，
1.4307
mx
，预测结果如图4.3.3所示。
图4.3.3
比较图4.3.1和图4.3.3，可以看出，阻滞增长模型拟合的效果显然要比指数增长模型好，并
