人教版八下数学18.2.2菱形 课时2 菱形的判定教案+学案

人教版八年级下册数学第18章 平行四边形

18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 菱 形

课时2 菱形的判定教案

【教学目标】

知识与技能目标

1．理解并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算.

2．了解菱形的现实应用和常用判别条件．

过程与方法目标

1．从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与联系.

2．让学生经历探索菱形判定定理的过程,理解并掌握菱形的判定方法,积累几何学习的经验,培养学生的观察能力、动手能力,发展合情推理和演绎推理能力.

情感、态度与价值观目标

1．让学生在探究过程中加深对菱形的理解,养成主动探索的学习习惯.

2．通过菱形与矩形判定方法的类比,进一步体会类比的思想方法的作用.

【教学重点】

菱形的定义和判定定理的运用．

【教学难点】

探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．

【教学过程设计】

一、情境导入

我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？

菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：

1．两条对角线互相垂直平分；

2．四条边都相等；

3．每条对角线平分一组对角．

这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？

二、合作探究 知识点一：菱形的判定

【类型一】

利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形

例 1 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.

求证：四边形BCFE是菱形．

解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．

证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．

方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．

【类型二】 利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形

例 2 如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：

(1)AC⊥BD；

(2)四边形ABCD是菱形．

解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD即可；(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形．

证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；

(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA＝CB.∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形． 方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．

【类型三】

利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形

例 3 如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；

②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；

③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF.

(1)求证：△AED≌△CFD；

(2)求证：四边形AECF是菱形．

解析：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE＝CE，AD＝CD.然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用“AAS”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE＝CF.然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA.从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF为菱形．

证明：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED.在△AED与△CFD中，∠EAC＝∠FCA，∠AED＝∠CFD，AD＝CD，∴△AED≌△CFD(AAS)；

(2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF.∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形AECF为菱形．

方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．

知识点二：菱形的判定的应用

【类型一】 菱形判定中的开放性问题

例 4如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)．

解析：∵AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB.∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF.同理ED＝CD.∵AD＝BC，AB＝CD，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC⊥EF.

方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【类型二】

菱形的性质和判定的综合应用

例 5 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF.

(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；

(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；

(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说明理由．

解析：(1)首先利用“SSS”证明△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC.再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD＝∠AFB，进而得到∠AFD＝∠CFE；(2)首先证明∠CAD＝∠ACD，再根据“等角对等边”，可得AD＝CD.再由条件AB＝AD，CB＝CD，可得AB＝CB＝CD＝AD，可得四边形ABCD是菱形；(3)首先证明△BCF≌△DCF，可得∠CBF＝∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC＝∠DEF＝90°，进而得到∠EFD＝∠BCD.

(1)证明：在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，

∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC.在△ABF和△ADF中，AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFD＝∠AFB.∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE；

(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.

又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，

∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，

∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；

(3)解：当EB⊥CD于E时，∠EFD＝∠BCD.理由如下：∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.在△BCF和△DCF中，BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，CF＝CF，

∴△BCF≌△DCF(SAS)，

∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，

∴∠BEC＝∠DEF＝90°，则∠BCD＋∠CBF＝∠EFD＋∠CDF＝90°，

∴∠EFD＝∠BCD.

方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．

三、教学小结

本节课你有哪些收获?

学生归纳小结菱形的判定方法:

(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

(2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

(3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形

四、学习检测

1.下列说法正确的是( )

A.对角线相等的平行四边形是菱形

B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D.有一个角是直角的平行四边形是菱形 解析:根据菱形的定义与判定定理直接辨别各选项正确与否.由菱形的定义,可知一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,因此,选项B正确.故选B.

2.已知平行四边形ABCD,下列条件:①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.其中能使平行四边形ABCD是菱形的有( )

A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③

解析:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,一组邻边相等的平行四边形是菱形,因此①③都可以判定平行四边形ABCD是菱形.故选A.

3.用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )

A.一组邻边相等的四边形是菱形

B.四条边相等的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

解析:根据菱形的判定定理(四条边相等的四边形是菱形)即可判定,由题中图的作法可知AD=AB=DC=BC,∴四边形ABCD是菱形.故选B.

4.一个平行四边形的一条边长是3,两条对角线的长分别是4和2,这是一个特殊的平行四边形吗?为什么?求出它的面积

解析:先根据题意画出相应的图形,如图.根据平行四边形的对角线互相平分,可求出OB及OA的长,由勾股定理的逆定理可得∠BOA为直角,进而得AC⊥BD.根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得平行四边形ABCD为菱形.根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得菱形ABCD的面积.

解:这是一个菱形.理由如下:如图,▱ABCD中,AC=4,BD=2,AB=3,

∴OA=AC=2,OB=BD=.∵OA2+OB2=22+()2=9,

而AB2=32=9,∴OA2+OB2=AB2.

∴△AOB是直角三角形,∠AOB=90°.

∴AC⊥BD.