2020高考物理一轮复习第十三章波与相对论第1讲机械振动教案

第2节机械波一、波的形成与传播1．机械波的形成条件(1)有发生机械振动的波源。

(2)有传播介质，如空气、水、绳子等。

2．传播特点(1)传播振动形式、能量和信息。

(2)质点不随波迁移。

(3)介质中各质点振动频率、振幅、起振方向等都与波源相同。

3．机械波的分类4.(1)波长：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻点间的距离，用λ表示。

波长由频率和波速共同决定。

①横波中，相邻两个波峰(或波谷)之间的距离等于波长。

②纵波中，相邻两个密部(或疏部)之间的距离等于波长。

(2)频率：波的频率由波源决定，等于波源的振动频率。

(3)波速：波的传播速度，波速由介质决定，与波源无关。

(4)波速公式：v ＝λf ＝λT 或v ＝Δx Δt。

二、波的图象 1．坐标轴x 轴：各质点平衡位置的连线。

y 轴：沿质点振动方向，表示质点的位移。

2．物理意义：表示介质中各质点在某一时刻相对各自平衡位置的位移。

3．图象形状：简谐波的图象是正弦(或余弦)曲线，如图所示。

三、波的干涉、衍射和多普勒效应1．波的叠加 观察两列波的叠加过程可知：几列波相遇时，每列波都能够保持各自的状态继续传播而不互相干扰，只是在重叠的区域里，质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。

2．波的干涉和衍射(1)定义：由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者感受到波的频率发生变化的现象。

(2)实质：波源频率不变，观察者接收到的频率发生变化。

(3)规律：①波源与观察者如果相互靠近，观察者接收到的频率变大。

②波源与观察者如果相互远离，观察者接收到的频率变小。

③波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率等于波源的频率。

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在机械波的传播中，各质点随波的传播而迁移。

(×)(2)机械波的频率等于振源的振动频率。

(√)(3)通过波的图象可以找出任一质点在任意时刻的位移。

高三物理第一轮复习：机械振动、机械波鲁教版【本讲教育信息】 一. 教学内容：机械振动、机械波本章的知识点： （一）机械振动 1、简谐运动（1）机械振动和回复力回复力f ：使振动物体返回平衡位置的力叫做回复力。

它时刻指向平衡位置。

回复力是以效果命名的力，它是振动物体在振动方向上的合外力，可能是几个力的合力，也可能是某一个力的分力。

并不一定是物体受的合外力。

（2）弹簧振子的振动①弹簧振子：一个物体和一根弹簧构成弹簧振子。

需要条件：物体可视为质点，弹簧为轻质弹簧，忽略一切阻力和摩擦。

②简谐振动：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动。

受力特征：f =－kx 。

可以由回复力f =－kx 证明一种运动为简谐运动。

2、振动的描述①简谐运动的振幅、周期和频率：振幅A ：物体偏离平衡位置的最大距离。

标量，反映振动的强弱和振动的空间范围。

周期T 和频率f ：描述振动快慢的物理量。

其大小由振动系统本身的性质决定，所以也叫固有周期和固有频率。

②简谐运动的振动图像：物理意义：表示振动物体的位移随时间变化的规律。

横轴表示时间，纵轴表示质点在不同时刻偏离平衡位置的位移。

需要注意的是振动图像不是质点的运动轨迹。

简谐运动的振动图像为正（余）弦函数曲线。

振动图像的应用：①可读取A 、T 及各时刻的位移；②判断v 、x 、f 、a 、的方向及变化情况和E k 、E p 的变化情况。

③简谐运动的公式表达；t TA x π2sin= 3、单摆①单摆，在小振幅条件下单摆作简谐振动在一条不可伸长的轻质细线下端拴一质点，上端固定，这样的装置就叫单摆。

单摆振动在偏角很小（θ＜5°）的情况下，才可以看成是简谐运动。

单摆做简谐运动的回复力为重力在垂直于摆线方向上的分力。

等效摆长：单摆的摆长是悬点到球心的距离。

图1单摆模型中的摆长为圆的半径减去球的半径，图2中的摆长不断的在变化，它先以摆长l 1摆动半个周期，再以摆长l 2摆动半个周期。

机械振动[高考导航］相对性质能关系实验十二:单摆的周期与摆长的关系实验十三：测定玻璃的折射率【说明】(1)波长、波速和频率（周期)的关系仅限于解决单一方向传播的问题。

(2）同时的相对性、长度的相对性和质能关系计算不作要求。

第1讲机械振动知识排查简谐运动单摆、单摆的周期公式1.简谐运动（1）定义:物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动。

(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。

(3)回复力①定义:使物体返回到平衡位置的力。

②方向：总是指向平衡位置。

③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。

2.简谐运动的两种模型模型弹簧振子单摆示意图简谐运动条件(1）弹簧质量可忽略(2)无摩擦等阻力（3)在弹簧弹性限(1)摆线为不可伸缩的轻细线(2）无空气等阻力（3）最大摆角小于度内10°回复力弹簧的弹力提供摆球重力沿与摆线垂直(即切向)方向的分力平衡位置弹簧处于原长处最低点周期与振幅无关T＝2π 错误!能量转化弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒重力势能与动能的相互转化，机械能守恒简谐运动的公式和图象1.简谐运动的表达式(1）动力学表达式：F＝－kx,其中“－”表示回复力与位移的方向相反.（2）运动学表达式：x＝A sin（ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf 表示简谐运动的快慢，（ωt＋φ)表示简谐运动的相位，φ叫做初相.2.简谐运动的图象（1）从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt,图象如图1甲所示。

图1(2）从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt，图象如图1乙所示。

受迫振动和共振1。

受迫振动系统在驱动力作用下的振动.做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率）等于驱动力的周期(或频率），而与物体的固有周期（或频率)无关。

2.共振做受迫振动的物体,它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大,当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。

第十三章波与相对论【研透全国卷】在新课标全国卷中，对本部分知识的考查是在选考题中出现.从近几年的高考试题来看，主要考查简谐运动的图象、波动图象以及波的传播规律等；另外对光学知识的考查主要以折射定律、全反射等为主.预测在2018年高考中，对本部分内容的考查仍将以图象为主，考查振动和波动问题；并以光的折射和全反射为重点考查光学知识.第1讲机械振动(实验：用单摆测定重力加速度)知识点一简谐运动1.定义：物体在跟位移大小成正比并且总是指向的回复力作用下的振动.2.平衡位置：物体在振动过程中为零的位置.3.回复力(1)定义：使物体返回到的力.(2)方向：总是指向.(3)来源：属于力，可以是某一个力，也可以是几个力的或某个力的.4.简谐运动的两种模型弹力重力原长2πLg弹性势能重力势能知识点二简谐运动的公式和图象1.简谐运动的表达式(1)动力学表达式：F＝，其中“－”表示回复力与位移的方向相反.(2)运动学表达式：x＝，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ叫做.2.简谐运动的图象(1)从开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，图象如图甲所示.②从处开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt，图象如图乙所示.答案：1.(1)－kx(2)A sin (ωt＋φ) 初相 2.(1)平衡位置(2)最大位移知识点三受迫振动和共振1.受迫振动系统在作用下的振动.做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率) .2.共振做受迫振动的物体，它的驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者时，振幅达到最大，这就是共振现象.共振曲线如图所示.答案：1.驱动力驱动力无关 2.相等(1)简谐运动是匀变速运动.( )(2)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量.( )(3)振幅等于振子运动轨迹的长度.( )(4)简谐运动的回复力可以是恒力.( )(5)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大.( )(6)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动.( )(7)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关.( )(8)简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹.( )答案：(1) (2)√(3) (4) (5)√(6) (7)√(8)简谐运动的角频率与周期公式推导简谐运动的运动方程及速度、加速度的瞬时表达式分别为： 振动方程：x ＝A cos (ωt ＋φ)速度表达式：v ＝x ′＝－ωA sin (ωt ＋φ) 加速度表达式：a ＝v ′＝－ω2A cos (ωt ＋φ) 又根据牛顿第二定律a ＝F m和回复力F ＝－kx 得ω＝k m ，T ＝2πω＝2πmk.考点一 简谐运动的特征1.动力学特征：F ＝－kx ，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数.2.运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比且方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时x 、F 、a 、E p 均增大，v 、E k 均减小，靠近平衡位置时则相反.3.运动的周期性特征：相隔T 或nT 的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同.4.对称性特征 (1)相隔T 2或2n ＋12T (n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反.(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P 、P ′(OP ＝OP ′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等.(3)振子由P 到O 所用时间等于由O 到P ′所用时间，即t PO ＝t OP ′. (4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即t OP ＝t PO .5.能量特征：振动的能量包括动能E k 和势能E p ，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒.考向1 描述简谐运动的物理量[典例1] 如图所示，弹簧振子在BC 间振动，O 为平衡位置，BO ＝OC ＝5 cm ，若振子从B 到C 的运动时间是1 s ，则下列说法中正确的是( )A.振子从B 经O 到C 完成一次全振动B.振动周期是1 s ，振幅是10 cmC.经过两次全振动，振子通过的路程是20 cmD.从B 开始经过3 s ，振子通过的路程是30 cm[解析] 振子从B →O →C 仅完成了半次全振动，所以周期T ＝2×1 s＝2 s ，振幅A ＝BO ＝5 cm.振子在一次全振动中通过的路程为4A ＝20 cm ，所以两次全振动中通过的路程为 40 cm ，3 s 的时间为1.5T ，所以振子通过的路程为30 cm.[答案] D考向2 简谐运动的对称性和周期性[典例2] (多选)弹簧振子做简谐运动，O 为平衡位置，当它经过点O 时开始计时，经过0.3 s ，第一次到达点M ，再经过0.2 s 第二次到达点M ，则弹簧振子的周期为( )A.0.53 sB.1.4 sC.1.6 sD.3 s[解析] 如图甲所示，设O 为平衡位置，OB (OC )代表振幅，振子从O →C 所需时间为T4.因为简谐运动具有对称性，所以振子从M →C 所用时间和从C →M 所用时间相等，故T4＝0.3 s ＋0.2 s2＝0.4 s ，解得T ＝1.6 s.如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B 运动，设点M ′与点M 关于点O 对称，则振子从点M ′经过点B 到点M ′所用的时间与振子从点M 经过点C 到点M 所需时间相等，即0.2 s.振子从点O 到点M ′和从点M ′到点O 及从点O 到点M 所需时间相等，为0.3 s －0.2 s 3＝130 s ，故周期为T ＝⎝⎛⎭⎪⎫0.5＋130 s ＝1630 s≈0.53 s.[答案] AC分析简谐运动的技巧(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小，反之，则产生相反的变化.另外，各矢量均在其值为零时改变方向.(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性.考点简谐运动的公式和图象1.对简谐运动图象的认识(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图所示.(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹.2.图象信息(1)由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期和频率.(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移.(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴.(4)确定某时刻质点速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t轴；下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t轴.(5)比较不同时刻回复力、加速度的大小.(6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小.考向1 简谐运动公式的应用[典例3] (多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin (2.5πt) m.t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度g＝10 m/s2.以下判断正确的是( )A.h＝1.7 mB.简谐运动的周期是0.8 sC.0.6 s内物块运动的路程为0.2 mD.t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反[问题探究] (1)小物块做简谐运动的振幅是多少？周期为多少？(2)在0.6 s 内，小物块的位移是多少？路程是多少？ [提示] (1)A ＝0.1 m T ＝0.8 s (2)x ＝－0.1 m s ＝0.3 m[解析] 由物块简谐运动的表达式y ＝0.1sin (2.5πt ) m 知，ω＝2.5π，T ＝2πω＝2π2.5πs ＝0.8 s ，选项B 正确；t ＝0.6 s 时，y ＝－0.1 m ，对小球：h ＋|y |＝12gt 2，解得h ＝1.7 m ，选项A 正确；物块0.6 s 内运动的路程为0.3 m ，t ＝0.4 s 时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同，故选项C 、D 错误.[答案] AB[变式1] (多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝A sin π4t ，则质点( )A.第1 s 末与第3 s 末的位移相同B.第1 s 末与第3 s 末的速度相同C.3 s 末至5 s 末的位移方向都相同D.3 s 末至5 s 末的速度方向都相同 答案：AD 解析：因为ω＝π4，所以T ＝2πω＝8 s ，作出简谐运动的图象如图所示.所以1 s 末和3 s 末的位移相同，但速度方向相反，A 正确，B 错误；3 s 末和5 s 末位移方向相反，C 项错误；根据简谐运动的对称性可知D 项正确.考向2 简谐运动图象的应用[典例4] (2017·广东深圳一调)(多选)一个质点经过平衡位置O ，在A 、B 间做简谐运动，如图(a)所示，它的振动图象如图(b)所示，设向右为正方向，下列说法正确的是( )图(a) 图(b) A.OB ＝5 cmB.第0.2 s 末质点的速度方向是A →OC.第0.4 s 末质点的加速度方向是A →OD.第0.7 s 末时质点位置在O 点与A 点之间E.在4 s内完成5次全振动[解析] 由图(b)可知振幅为5 cm，则OB＝OA＝5 cm，A项正确；由图可知0～0.2 s内质点从B向O运动，第0.2 s末质点的速度方向是B→O，B项错误；由图可知第0.4 s末质点运动到A点处，则此时质点的加速度方向是A→O，C项正确；由图可知第0.7 s末时质点位置在O与B之间，D项错误；由图(b)可知周期T＝0.8 s，则在4 s内完成全振动的次数为4 s0.8 s＝5，E项正确.[答案] ACE[变式2] (多选)如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图象.已知甲、乙两个振子质量相等.则( )A.甲、乙两振子的振幅之比为2∶1B.甲、乙两振子的频率之比为1∶2C.前2 s内甲、乙两振子的加速度均为正值D.第2 s末甲的速度最大，乙的加速度最大答案：AD 解析：根据甲、乙两个振子做简谐运动的图象可知，两振子的振幅A甲＝2 cm，A乙＝1 cm，甲、乙两振子的振幅之比为2∶1，选项A正确；甲振子的周期为4 s，频率为0.25 Hz，乙振子的周期为8 s，频率为0.125 Hz，甲、乙两振子的频率之比为2∶1，选项B错误；前2 s内，甲的加速度为负值，乙的加速度为正值，选项C错误；第2 s末甲通过平衡位置，速度最大，乙在最大位移处加速度最大，选项D正确.对简谐运动的进一步理解(1)简谐运动的图象不是振动质点的轨迹，它表示的是振动物体的位移随时间变化的规律.(2)因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴.(3)速度方向可以通过下一个时刻位移的变化来判定：下一个时刻位移如果增加，振动质点的速度方向就远离t轴；下一个时刻的位移如果减小，振动质点的速度方向就指向t轴.考点受迫振动和共振1.自由振动、受迫振动和共振的关系比较(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f ，纵坐标为振幅A .它直观地反映了驱动力频率对某振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f 与f 0越接近，振幅A 越大；当f ＝f 0时，振幅A 最大.(2)受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换.考向1 对受迫振动及共振条件的理解[典例5] (2017·江西重点中学联考)(多选)如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动.开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2 Hz.现匀速转动摇把，转速为240 r/min.则( )A.当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5 sB.当振子稳定振动时，它的振动频率是4 HzC.当转速增大时，弹簧振子的振幅增大D.当转速减小时，弹簧振子的振幅增大E.振幅增大的过程中，外界对弹簧振子做正功[解析] 摇把匀速转动的频率f ＝n ＝24060 Hz ＝4 Hz ，周期T ＝1f ＝0.25 s ，当振子稳定振动时，它的振动周期及频率均与驱动力的周期及频率相等，A 错误，B 正确.当转速减小时，其频率将更接近振子的固有频率2 Hz ，弹簧振子的振幅将增大，C 错误，D 正确.外界对弹簧振子做正功，系统机械能增大，振幅增大，故E 正确. [答案] BDE考向2 共振曲线的应用[典例6] (多选)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A 与驱动力频率f 的关系)如图所示，则下列说法正确的是( )A.此单摆的固有周期约为2 sB.此单摆的摆长约为1 mC.若摆长增大，单摆的固有频率增大D.若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动[解析] 由共振曲线可知，单摆固有频率为 0.5 Hz ，所以固有周期为2 s ，根据周期公式T ＝2πLg 可计算摆长约为 1 m.摆长增大，由T ＝2πLg可知，周期变大，频率变小，共振曲线的峰将向左移动.[答案] AB1.无论发生共振与否，受迫振动的频率都等于驱动力的频率，但只有发生共振现象时振幅才能达到最大.2.受迫振动系统中的能量转化不再只有系统内部动能和势能的转化，还有驱动力对系统做正功补偿系统因克服阻力而损失的机械能.考点实验：用单摆测定重力加速度1.实验原理：由单摆的周期公式T ＝2πl g ，可得出g ＝4π2Tl ，测出单摆的摆长l 和振动周期T ，就可求出当地的重力加速度g .2.实验步骤(1)做单摆：取约1 m 长的细丝线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂，如图所示.(2)测摆长：用毫米刻度尺量出摆线长L (精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D ，则单摆的摆长l ＝L ＋D2.(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出平均每摆动一次的时间，即为单摆的振动周期.(4)改变摆长，重做几次实验.3.数据处理(1)公式法：g ＝4π2T2l .(2)图象法：画l ­T 2图象. 4.注意事项(1)选用1 m 左右的细线.(2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定. (3)小球在同一竖直面内摆动，且摆角小于10°.(4)选择在摆球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的次数.(5)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l ′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r ，则摆长l ＝l ′＋r .考向1 对实验原理与操作的考查甲[典例7] 根据单摆周期公式T ＝2πl g，可以通过实验测量当地的重力加速度.如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆.乙(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为 mm. (2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有 . a.摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些 b.摆球尽量选择质量大些、体积小些的c.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度d.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt 即为单摆周期Te.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt ，则单摆周期T ＝Δt50[解析] (1)按照游标卡尺的读数原则得小钢球直径为18 mm ＋6×0.1 mm＝18.6 mm.(2)单摆的构成条件：细线质量要小，弹性要小；球要选体积小、密度大的；偏角不超过5°，故a 、b 正确，c 错误.为了减小测量误差，要从摆球摆过平衡位置时计时，且需测量多次全振动所用时间，然后计算出一次全振动所用的时间，故d 错误，e 正确.[答案] (1)18.6 (2)abe考向2 对数据处理和误差分析的考查 [典例8] 某同学利用单摆测量重力加速度.(1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是 . A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球 B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线 C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动 D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m 的单摆.实验时，由于仅有量程为20 cm 、精度为1 mm 的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T 1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T 2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL .用上述测量结果，写出重力加速度的表达式 g ＝ .[解析] (1)应选用密度较大且直径较小的摆球，A 错.在摆动中要尽力保证摆长不变，故应选用不易伸长的细线，B 对.摆动中要避免单摆成为圆锥摆，摆球要在同一竖直面内摆动，C 对.摆动中摆角要控制在5°以内，所以D 错.(2)设两次摆动时单摆的摆长分别为L 1和L 2，则T 1＝2πL 1g ，T 2＝2πL 2g ，则ΔL ＝g 4π2(T 21－T 22)，因此，g ＝4π2ΔL T 21－T 22.[答案] (1)BC (2)4π2ΔLT 21－T 221.[描述简谐运动的物理量]关于简谐运动的位移、加速度和速度的关系，下列说法中正确的是( )A.位移减小时，加速度减小，速度也减小B.位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向相同C.物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同D.物体向负方向运动时，加速度方向与速度方向相同；向正方向运动时，加速度方向与速度方向相反答案：C 解析：位移减小时，加速度减小，速度增大，A 错误；位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向有时相同，有时相反，B 、D 错误，C 正确.2.[简谐运动的图象](多选)甲、乙两弹簧振子的振动图象如图所示，则可知( )A.两弹簧振子完全相同B.两弹簧振子所受回复力最大值之比F 甲∶F 乙＝2∶1C.振子甲速度为零时，振子乙速度最大D.振子的振动频率之比f 甲∶f 乙＝1∶2答案：CD 解析：从图象中可以看出，两弹簧振子周期之比T 甲∶T 乙＝2∶1，得频率之比f 甲∶f 乙＝1∶2，D 选项正确.弹簧振子的周期与振子质量、弹簧劲度系数k 有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A 错误.由于弹簧的劲度系数k 不一定相同，所以两振子所受回复力(F ＝－kx )的最大值之比F 甲∶F 乙不一定为2∶1，所以B 错误.对简谐运动进行分析可知，在振子达到平衡位置时位移为零，速度最大；在振子到达最大位移处时，速度为零，从图象中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰好到达平衡位置，所以C 正确.3.[简谐运动](多选)如图所示，一质点为x 轴上以O 为平衡位置做简谐运动，其振幅为8 cm ，周期为4 s ，t ＝0时物体在x ＝4 cm 处，向x 轴负方向运动，则( )A.质点在t ＝1.0 s 时所处的位置为x ＝＋4 3 cmB.质点在t ＝1.0 s 时所处的位置为x ＝－4 3 cmC.由起始位置运动到x ＝－4 cm 处所需最短时间为23 sD.由起始位置运动到x ＝－4 cm 处所需最短时间为16s答案：BC 解析：由题意可知，质点振动的角速度ω＝2πT ＝π2 rad/s ，因t ＝0时，x ＝4 cm ，所以质点的振动方程为x ＝8sin π2t ＋5π6 cm ，当t ＝1 s 时，x ＝8sin 4π3 cm ＝－4 3cm ，B 正确.当x ＝－4 cm 时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2t ＋5π6＝－12，t 的最小值为23 s ，C 正确.4.[简谐运动的公式和图象](多选)一个质点以O 为中心做简谐运动，位移随时间变化的图象如图所示.a 、b 、c 、d 表示质点在不同时刻的相应位置，且b 、d 关于平衡位置对称，则下列说法中正确的是( )A.质点做简谐运动的方程为x ＝A sin π4tB.质点在位置b 与位置d 时速度大小相同，方向不同C.质点从位置a 到c 和从位置b 到d 所用时间相等D.质点从位置a 到b 和从b 到c 的平均速度相等答案：AC 解析：由题给的质点位移随时间变化的图象可知，振幅为A ，周期T ＝8 s ，质点简谐运动的方程为x ＝A sin 2πT t ＝A sin π4t ，选项A 正确；根据对称性可知质点在位置b与位置d 时速度相同，选项B 错误；质点从位置a 到c 与从位置b 到d 所用时间均为2 s ，选项C 正确；质点从位置a 到b 和从b 到c 的时间都为1 s ，时间相等，位移不等，所以平均速度不相等，选项D 错误.5.[受迫振动、共振](多选)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击.由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动.普通钢轨长为12.6 m ，列车固有振动周期为0.315 s.下列说法正确的是( )A.列车的危险速率为40 m/sB.列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象C.列车过桥需要减速，是为了防止桥梁发生共振现象D.列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的E.增加钢轨的长度有利于列车高速运行答案：ACE 解析：列车在钢轨上运动时，受钢轨对它的冲击力作用做受迫振动，当列车固有振动频率等于钢轨对它的冲击力的频率时，列车振动的振幅最大，因v ＝l t ＝12.6 m0.315 s＝40m/s ，故A 对；列车过桥做减速运动，是为了使驱动力频率远小于桥梁的固有频率，防止桥发生共振现象，而不是防止列车发生共振现象，B 错、C 对；增加钢轨的长度有利于列车高速运行，E 对.6.[用单摆测定重力加速度]某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：(1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径如图甲所示，可读出摆球的直径为 cm.把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L .(2)用秒表测量单摆的周期.当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n ＝1，单摆每经过最低点记一次数，当数到n ＝60时秒表的示数如图乙所示，该单摆的周期是T ＝ s(结果保留三位有效数字).(3)测量出多组周期T 、摆长L 的数值后，画出T 2­L 图线如图丙，此图线斜率的物理意义是( )A.gB.1g C.4π2g D.g4π2(4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小( )A.偏大B.偏小C.不变D.都有可能答案：(1)2.06 (2)2.28 (3)C (4)C解析：(1)摆球的直径为d ＝20 mm ＋6×110mm ＝20.6 mm ＝2.06 cm.(2)秒表的读数为t ＝60 s ＋7.4 s ＝67.4 s ，根据题意t ＝60－12T ＝592T ，所以周期T ＝2t59＝2.28 s.(3)根据单摆的周期公式T ＝2πL g ，可得T 2L ＝4π2g＝k (常数)，所以选项C 正确. (4)因为T 2L ＝4π2g ＝k (常数)，所以ΔT 2ΔL ＝4π2g ＝k ，若误将摆线长当作摆长，画出的直线将不通过原点，但图线的斜率仍然满足T 21－T 22L 1－L 2＝4π2g＝k ，所以由图线的斜率得到的重力加速度不变.。

第十三章波与相对论【研透全国卷】在新课标全国卷中，对本部分知识的考查是在选考题中出现.从近几年的高考试题来看，主要考查简谐运动的图象、波动图象以及波的传播规律等；另外对光学知识的考查主要以折射定律、全反射等为主.预测在2018年高考中，对本部分内容的考查仍将以图象为主，考查振动和波动问题；并以光的折射和全反射为重点考查光学知识.第1讲机械振动(实验：用单摆测定重力加速度)知识点一简谐运动1.定义：物体在跟位移大小成正比并且总是指向的回复力作用下的振动.2.平衡位置：物体在振动过程中为零的位置.3.回复力(1)定义：使物体返回到的力.(2)方向：总是指向.(3)来源：属于力，可以是某一个力，也可以是几个力的或某个力的.4.简谐运动的两种模型4.弹力重力原长2πLg弹性势能重力势能知识点二简谐运动的公式和图象1.简谐运动的表达式(1)动力学表达式：F＝，其中“－”表示回复力与位移的方向相反.(2)运动学表达式：x＝，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ叫做.2.简谐运动的图象(1)从开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，图象如图甲所示.②从处开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt，图象如图乙所示.答案：1.(1)－kx(2)A sin (ωt＋φ) 初相 2.(1)平衡位置(2)最大位移知识点三受迫振动和共振1.受迫振动系统在作用下的振动.做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率) .2.共振做受迫振动的物体，它的驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者时，振幅达到最大，这就是共振现象.共振曲线如图所示.答案：1.驱动力驱动力无关 2.相等(1)简谐运动是匀变速运动.( )(2)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量.( )(3)振幅等于振子运动轨迹的长度.( )(4)简谐运动的回复力可以是恒力.( )(5)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大.( )(6)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动.( )(7)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关.( )(8)简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹.( )答案：(1) (2)√(3) (4) (5)√(6) (7)√(8)简谐运动的角频率与周期公式推导简谐运动的运动方程及速度、加速度的瞬时表达式分别为： 振动方程：x ＝A cos (ωt ＋φ)速度表达式：v ＝x ′＝－ωA sin (ωt ＋φ) 加速度表达式：a ＝v ′＝－ω2A cos (ωt ＋φ) 又根据牛顿第二定律a ＝F m和回复力F ＝－kx 得ω＝k m ，T ＝2πω＝2πmk.考点一 简谐运动的特征1.动力学特征：F ＝－kx ，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数.2.运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比且方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时x 、F 、a 、E p 均增大，v 、E k 均减小，靠近平衡位置时则相反.3.运动的周期性特征：相隔T 或nT 的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同.4.对称性特征 (1)相隔T 2或2n ＋12T (n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反.(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P 、P ′(OP ＝OP ′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等.(3)振子由P 到O 所用时间等于由O 到P ′所用时间，即t PO ＝t OP ′. (4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即t OP ＝t PO .5.能量特征：振动的能量包括动能E k 和势能E p ，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒.考向1 描述简谐运动的物理量[典例1] 如图所示，弹簧振子在BC 间振动，O 为平衡位置，BO ＝OC ＝5 cm ，若振子从B 到C 的运动时间是1 s ，则下列说法中正确的是( )A.振子从B 经O 到C 完成一次全振动B.振动周期是1 s ，振幅是10 cmC.经过两次全振动，振子通过的路程是20 cmD.从B 开始经过3 s ，振子通过的路程是30 cm[解析] 振子从B →O →C 仅完成了半次全振动，所以周期T ＝2×1 s＝2 s ，振幅A ＝BO ＝5 cm.振子在一次全振动中通过的路程为4A ＝20 cm ，所以两次全振动中通过的路程为 40 cm ，3 s 的时间为1.5T ，所以振子通过的路程为30 cm.[答案] D考向2 简谐运动的对称性和周期性[典例2] (多选)弹簧振子做简谐运动，O 为平衡位置，当它经过点O 时开始计时，经过0.3 s ，第一次到达点M ，再经过0.2 s 第二次到达点M ，则弹簧振子的周期为( )A.0.53 sB.1.4 sC.1.6 sD.3 s[解析] 如图甲所示，设O 为平衡位置，OB (OC )代表振幅，振子从O →C 所需时间为T4.因为简谐运动具有对称性，所以振子从M →C 所用时间和从C →M 所用时间相等，故T4＝0.3 s ＋0.2 s2＝0.4 s ，解得T ＝1.6 s.如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B 运动，设点M ′与点M 关于点O 对称，则振子从点M ′经过点B 到点M ′所用的时间与振子从点M 经过点C 到点M 所需时间相等，即0.2 s.振子从点O 到点M ′和从点M ′到点O 及从点O 到点M 所需时间相等，为0.3 s －0.2 s 3＝130 s ，故周期为T ＝⎝⎛⎭⎪⎫0.5＋130 s ＝1630 s≈0.53 s.[答案] AC分析简谐运动的技巧(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小，反之，则产生相反的变化.另外，各矢量均在其值为零时改变方向.(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性.考点简谐运动的公式和图象1.对简谐运动图象的认识(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图所示.(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹.2.图象信息(1)由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期和频率.(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移.(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴.(4)确定某时刻质点速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t轴；下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t轴.(5)比较不同时刻回复力、加速度的大小.(6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小.考向1 简谐运动公式的应用[典例3] (多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin (2.5πt) m.t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度g＝10 m/s2.以下判断正确的是( )A.h＝1.7 mB.简谐运动的周期是0.8 sC.0.6 s内物块运动的路程为0.2 mD.t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反[问题探究] (1)小物块做简谐运动的振幅是多少？周期为多少？(2)在0.6 s 内，小物块的位移是多少？路程是多少？ [提示] (1)A ＝0.1 m T ＝0.8 s (2)x ＝－0.1 m s ＝0.3 m[解析] 由物块简谐运动的表达式y ＝0.1sin (2.5πt ) m 知，ω＝2.5π，T ＝2πω＝2π2.5πs ＝0.8 s ，选项B 正确；t ＝0.6 s 时，y ＝－0.1 m ，对小球：h ＋|y |＝12gt 2，解得h ＝1.7 m ，选项A 正确；物块0.6 s 内运动的路程为0.3 m ，t ＝0.4 s 时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同，故选项C 、D 错误.[答案] AB[变式1] (多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝A sin π4t ，则质点( )A.第1 s 末与第3 s 末的位移相同B.第1 s 末与第3 s 末的速度相同C.3 s 末至5 s 末的位移方向都相同D.3 s 末至5 s 末的速度方向都相同 答案：AD 解析：因为ω＝π4，所以T ＝2πω＝8 s ，作出简谐运动的图象如图所示.所以1 s 末和3 s 末的位移相同，但速度方向相反，A 正确，B 错误；3 s 末和5 s 末位移方向相反，C 项错误；根据简谐运动的对称性可知D 项正确.考向2 简谐运动图象的应用[典例4] (2017·广东深圳一调)(多选)一个质点经过平衡位置O ，在A 、B 间做简谐运动，如图(a)所示，它的振动图象如图(b)所示，设向右为正方向，下列说法正确的是( )图(a) 图(b) A.OB ＝5 cmB.第0.2 s 末质点的速度方向是A →OC.第0.4 s 末质点的加速度方向是A →OD.第0.7 s 末时质点位置在O 点与A 点之间E.在4 s内完成5次全振动[解析] 由图(b)可知振幅为5 cm，则OB＝OA＝5 cm，A项正确；由图可知0～0.2 s内质点从B向O运动，第0.2 s末质点的速度方向是B→O，B项错误；由图可知第0.4 s末质点运动到A点处，则此时质点的加速度方向是A→O，C项正确；由图可知第0.7 s末时质点位置在O与B之间，D项错误；由图(b)可知周期T＝0.8 s，则在4 s内完成全振动的次数为4 s0.8 s＝5，E项正确.[答案] ACE[变式2] (多选)如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图象.已知甲、乙两个振子质量相等.则( )A.甲、乙两振子的振幅之比为2∶1B.甲、乙两振子的频率之比为1∶2C.前2 s内甲、乙两振子的加速度均为正值D.第2 s末甲的速度最大，乙的加速度最大答案：AD 解析：根据甲、乙两个振子做简谐运动的图象可知，两振子的振幅A甲＝2 cm，A乙＝1 cm，甲、乙两振子的振幅之比为2∶1，选项A正确；甲振子的周期为4 s，频率为0.25 Hz，乙振子的周期为8 s，频率为0.125 Hz，甲、乙两振子的频率之比为2∶1，选项B错误；前2 s内，甲的加速度为负值，乙的加速度为正值，选项C错误；第2 s末甲通过平衡位置，速度最大，乙在最大位移处加速度最大，选项D正确.对简谐运动的进一步理解(1)简谐运动的图象不是振动质点的轨迹，它表示的是振动物体的位移随时间变化的规律.(2)因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴.(3)速度方向可以通过下一个时刻位移的变化来判定：下一个时刻位移如果增加，振动质点的速度方向就远离t轴；下一个时刻的位移如果减小，振动质点的速度方向就指向t轴.考点受迫振动和共振1.自由振动、受迫振动和共振的关系比较(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f ，纵坐标为振幅A .它直观地反映了驱动力频率对某振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f 与f 0越接近，振幅A 越大；当f ＝f 0时，振幅A 最大.(2)受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换.考向1 对受迫振动及共振条件的理解[典例5] (2017·江西重点中学联考)(多选)如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动.开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2 Hz.现匀速转动摇把，转速为240 r/min.则( )A.当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5 sB.当振子稳定振动时，它的振动频率是4 HzC.当转速增大时，弹簧振子的振幅增大D.当转速减小时，弹簧振子的振幅增大E.振幅增大的过程中，外界对弹簧振子做正功[解析] 摇把匀速转动的频率f ＝n ＝24060 Hz ＝4 Hz ，周期T ＝1f ＝0.25 s ，当振子稳定振动时，它的振动周期及频率均与驱动力的周期及频率相等，A 错误，B 正确.当转速减小时，其频率将更接近振子的固有频率2 Hz ，弹簧振子的振幅将增大，C 错误，D 正确.外界对弹簧振子做正功，系统机械能增大，振幅增大，故E 正确. [答案] BDE考向2 共振曲线的应用[典例6] (多选)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A 与驱动力频率f 的关系)如图所示，则下列说法正确的是( )A.此单摆的固有周期约为2 sB.此单摆的摆长约为1 mC.若摆长增大，单摆的固有频率增大D.若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动[解析] 由共振曲线可知，单摆固有频率为 0.5 Hz ，所以固有周期为2 s ，根据周期公式T ＝2πLg 可计算摆长约为 1 m.摆长增大，由T ＝2πLg可知，周期变大，频率变小，共振曲线的峰将向左移动.[答案] AB1.无论发生共振与否，受迫振动的频率都等于驱动力的频率，但只有发生共振现象时振幅才能达到最大.2.受迫振动系统中的能量转化不再只有系统内部动能和势能的转化，还有驱动力对系统做正功补偿系统因克服阻力而损失的机械能.考点实验：用单摆测定重力加速度1.实验原理：由单摆的周期公式T ＝2πl g ，可得出g ＝4π2T2l ，测出单摆的摆长l 和振动周期T ，就可求出当地的重力加速度g .2.实验步骤(1)做单摆：取约1 m 长的细丝线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂，如图所示.(2)测摆长：用毫米刻度尺量出摆线长L (精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D ，则单摆的摆长l ＝L ＋D 2. (3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出平均每摆动一次的时间，即为单摆的振动周期.(4)改变摆长，重做几次实验.3.数据处理(1)公式法：g ＝4π2T 2l . (2)图象法：画l ­T 2图象.4.注意事项(1)选用1 m 左右的细线.(2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定.(3)小球在同一竖直面内摆动，且摆角小于10°.(4)选择在摆球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的次数.(5)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l ′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r ，则摆长l ＝l ′＋r .考向1 对实验原理与操作的考查甲[典例7] 根据单摆周期公式T ＝2πl g，可以通过实验测量当地的重力加速度.如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆.乙(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为 mm.(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有 .a.摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些b.摆球尽量选择质量大些、体积小些的c.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度d.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt 即为单摆周期Te.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt ，则单摆周期T ＝Δt 50[解析] (1)按照游标卡尺的读数原则得小钢球直径为18 mm ＋6×0.1 mm＝18.6 mm.(2)单摆的构成条件：细线质量要小，弹性要小；球要选体积小、密度大的；偏角不超过5°，故a 、b 正确，c 错误.为了减小测量误差，要从摆球摆过平衡位置时计时，且需测量多次全振动所用时间，然后计算出一次全振动所用的时间，故d 错误，e 正确.[答案] (1)18.6 (2)abe考向2 对数据处理和误差分析的考查[典例8] 某同学利用单摆测量重力加速度.(1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是 .A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约 1 m 的单摆.实验时，由于仅有量程为20 cm 、精度为1 mm 的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T 1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T 2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL .用上述测量结果，写出重力加速度的表达式 g ＝ .[解析] (1)应选用密度较大且直径较小的摆球，A 错.在摆动中要尽力保证摆长不变，故应选用不易伸长的细线，B 对.摆动中要避免单摆成为圆锥摆，摆球要在同一竖直面内摆动，C 对.摆动中摆角要控制在5°以内，所以D 错.(2)设两次摆动时单摆的摆长分别为L 1和L 2，则T 1＝2πL 1g ，T 2＝2πL 2g ，则ΔL ＝g 4π2(T 21－T 22)，因此，g ＝4π2ΔL T 21－T 22. [答案] (1)BC (2)4π2ΔL T 21－T 221.[描述简谐运动的物理量]关于简谐运动的位移、加速度和速度的关系，下列说法中正确的是( )A.位移减小时，加速度减小，速度也减小B.位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向相同C.物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同D.物体向负方向运动时，加速度方向与速度方向相同；向正方向运动时，加速度方向与速度方向相反答案：C 解析：位移减小时，加速度减小，速度增大，A 错误；位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向有时相同，有时相反，B 、D 错误，C 正确.2.[简谐运动的图象](多选)甲、乙两弹簧振子的振动图象如图所示，则可知( )A.两弹簧振子完全相同B.两弹簧振子所受回复力最大值之比F 甲∶F 乙＝2∶1C.振子甲速度为零时，振子乙速度最大D.振子的振动频率之比f 甲∶f 乙＝1∶2答案：CD 解析：从图象中可以看出，两弹簧振子周期之比T 甲∶T 乙＝2∶1，得频率之比f 甲∶f 乙＝1∶2，D 选项正确.弹簧振子的周期与振子质量、弹簧劲度系数k 有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A 错误.由于弹簧的劲度系数k 不一定相同，所以两振子所受回复力(F ＝－kx )的最大值之比F 甲∶F 乙不一定为2∶1，所以B 错误.对简谐运动进行分析可知，在振子达到平衡位置时位移为零，速度最大；在振子到达最大位移处时，速度为零，从图象中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰好到达平衡位置，所以C 正确.3.[简谐运动](多选)如图所示，一质点为x 轴上以O 为平衡位置做简谐运动，其振幅为8 cm ，周期为4 s ，t ＝0时物体在x ＝4 cm 处，向x 轴负方向运动，则( )A.质点在t ＝1.0 s 时所处的位置为x ＝＋4 3 cmB.质点在t ＝1.0 s 时所处的位置为x ＝－4 3 cmC.由起始位置运动到x ＝－4 cm 处所需最短时间为23s D.由起始位置运动到x ＝－4 cm 处所需最短时间为16s 答案：BC 解析：由题意可知，质点振动的角速度ω＝2πT ＝π2rad/s ，因t ＝0时，x ＝4 cm ，所以质点的振动方程为x ＝8sin π2t ＋5π6 cm ，当t ＝1 s 时，x ＝8sin 4π3cm ＝－4 3 cm ，B 正确.当x ＝－4 cm 时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2t ＋5π6＝－12，t 的最小值为23 s ，C 正确. 4.[简谐运动的公式和图象](多选)一个质点以O 为中心做简谐运动，位移随时间变化的图象如图所示.a 、b 、c 、d 表示质点在不同时刻的相应位置，且b 、d 关于平衡位置对称，则下列说法中正确的是( )A.质点做简谐运动的方程为x ＝A sin π4t B.质点在位置b 与位置d 时速度大小相同，方向不同C.质点从位置a 到c 和从位置b 到d 所用时间相等D.质点从位置a 到b 和从b 到c 的平均速度相等答案：AC 解析：由题给的质点位移随时间变化的图象可知，振幅为A ，周期T ＝8 s ，质点简谐运动的方程为x ＝A sin 2πT t ＝A sin π4t ，选项A 正确；根据对称性可知质点在位置b 与位置d 时速度相同，选项B 错误；质点从位置a 到c 与从位置b 到d 所用时间均为2 s ，选项C 正确；质点从位置a 到b 和从b 到c 的时间都为1 s ，时间相等，位移不等，所以平均速度不相等，选项D 错误.5.[受迫振动、共振](多选)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击.由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动.普通钢轨长为12.6 m ，列车固有振动周期为0.315 s.下列说法正确的是( )A.列车的危险速率为40 m/sB.列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象C.列车过桥需要减速，是为了防止桥梁发生共振现象D.列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的E.增加钢轨的长度有利于列车高速运行答案：ACE 解析：列车在钢轨上运动时，受钢轨对它的冲击力作用做受迫振动，当列车固有振动频率等于钢轨对它的冲击力的频率时，列车振动的振幅最大，因v ＝l t ＝12.6 m 0.315 s＝40 m/s ，故A 对；列车过桥做减速运动，是为了使驱动力频率远小于桥梁的固有频率，防止桥发生共振现象，而不是防止列车发生共振现象，B 错、C 对；增加钢轨的长度有利于列车高速运行，E 对.6.[用单摆测定重力加速度]某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：(1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径如图甲所示，可读出摆球的直径为 cm.把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L .(2)用秒表测量单摆的周期.当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n ＝1，单摆每经过最低点记一次数，当数到n ＝60时秒表的示数如图乙所示，该单摆的周期是T ＝ s(结果保留三位有效数字).(3)测量出多组周期T 、摆长L 的数值后，画出T 2­L 图线如图丙，此图线斜率的物理意义是( )A.gB.1gC.4π2gD.g 4π2 (4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小( )A.偏大B.偏小C.不变D.都有可能 答案：(1)2.06 (2)2.28 (3)C (4)C解析：(1)摆球的直径为d ＝20 mm ＋6×110mm ＝20.6 mm ＝2.06 cm. (2)秒表的读数为t ＝60 s ＋7.4 s ＝67.4 s ，根据题意t ＝60－12T ＝592T ，所以周期T ＝2t 59＝2.28 s.(3)根据单摆的周期公式T ＝2πL g ，可得T 2L ＝4π2g＝k (常数)，所以选项C 正确. (4)因为T 2L ＝4π2g ＝k (常数)，所以ΔT 2ΔL ＝4π2g＝k ，若误将摆线长当作摆长，画出的直线将不通过原点，但图线的斜率仍然满足T 21－T 22L 1－L 2＝4π2g＝k ，所以由图线的斜率得到的重力加速度不变.。

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载高考第一轮复习教案08-机械振动机械波地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容翰林汇翰林汇翰林汇翰林汇课题：机械振动机械波类型：复习课第1课简谐振动、振动图像一、教学目标：（一）知识与技能１．了解什么是机械振动２．掌握简谐运动回复力的特征３．掌握在一次全振动过程中回复力、加速度、速度随偏离平衡位置的位移变化的规律（定性）４．理解振动图像的物理意义，能利用图像求振动物体的振幅、周期及任意时刻的位移；会将振动图像与振动物体在某时刻位移与位置对应，并学会在图象上分析与位移x有关的物理量。

（二）过程与方法通过观察演示实验，概括出机械振动的特征，培养学生的观察、概括能力；通过相关物理量变化规律的学习，培养分析、推理能力。

（三）情感态度价值观运用理想化方法，突出主要因素，忽略次要因素，抽象出物理模型——弹簧振子，研究弹簧振子在理想条件下的振动。

二、教具：激光笔，平面镜，PPT，展台气垫弹簧振子知识简析一、机械振动1、机械振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧做的往复运动．振动的特点:①存在某一中心位置;②往复运动,这是判断物体运动是否是机械振动的条件.产生振动的条件:①振动物体受到回复力作用;②阻尼足够小;2、回复力：振动物体所受到的总是指向平衡位置的合外力．①回复力时刻指向平衡位置;②回复力是按效果命名的, 可由任意性质的力提供．可以是几个力的合力也可以是一个力的分力; ③合外力：指振动方向上的合外力，而不一定是物体受到的合外力．④在平衡位置处：回复力为零，而物体所受合外力不一定为零．如单摆运动，当小球在最低点处，回复力为零，而物体所受的合外力不为零．3、平衡位置：是振动物体受回复力等于零的位置；也是振动停止后，振动物体所在位置；平衡位置通常在振动轨迹的中点。

机械振动与机械波教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解机械振动的概念及其基本特征；（2）掌握机械波的形成和传播规律；（3）了解机械波的衍射、折射和反射现象。

2. 过程与方法：（1）通过实验观察机械振动和机械波的特点；（2）运用数学方法分析机械波的传播过程；（3）培养学生的观察能力、实验能力和分析问题能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对物理现象的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、实事求是的精神；（3）使学生认识到物理知识在生活中的应用。

二、教学内容1. 机械振动（1）振动的概念及基本特征；（2）简谐振动的特点及分类；（3）周期振动与非周期振动的区别。

2. 机械波的形成与传播（1）波的概念及其基本特征；（2）机械波的形成原理；（3）机械波的传播规律。

3. 机械波的衍射、折射和反射（1）衍射现象的产生及特点；（2）折射现象的产生及规律；（3）反射现象的产生及规律。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）机械振动的基本特征；（2）机械波的形成和传播规律；（3）机械波的衍射、折射和反射现象。

2. 教学难点：（1）机械波的传播过程中能量的传递；（2）机械波的衍射、折射和反射的数学计算；（3）复杂机械波形的分析。

四、教学措施1. 采用多媒体课件辅助教学，直观展示机械振动和机械波的图像和现象；2. 利用实验设备进行现场演示，让学生亲身体验机械振动和机械波的特点；3. 引导学生运用数学方法分析机械波的传播过程，培养学生的分析问题能力；4. 设置课后作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。

五、教学评价1. 学生能够熟练掌握机械振动和机械波的基本概念、特点和规律；2. 学生能够通过实验观察和分析机械振动和机械波的现象；3. 学生能够运用数学方法解决机械波传播过程中遇到的问题；4. 学生在实际生活中能够发现并理解机械振动和机械波的应用。

六、机械波的能量与功率1. 机械波能量的传递理解机械波传递能量的方式学习波的能量密度和能量传递的定量分析2. 机械波的功率掌握功率的概念及其在机械波中的应用学习功率的计算方法和功率与波传播速度、振幅的关系七、机械波的干涉1. 干涉现象的产生解释两个或多个波源产生的波相遇时的干涉现象学习干涉条件的判定和干涉图样的特点2. 干涉图样的分析掌握干涉图样的数学描述方法学习如何通过干涉图样测量波长和其他物理量八、多普勒效应1. 多普勒效应的基本原理解释多普勒效应的产生机制学习多普勒效应在不同情况下的表现形式2. 多普勒效应的应用探索多普勒效应在现代科技领域的应用学习如何利用多普勒效应进行速度测量和频率分析九、机械波的传播介质1. 机械波在介质中的传播理解介质对机械波传播的影响学习不同介质中机械波的传播速度和传播特性2. 机械波的衰减掌握机械波在传播过程中能量衰减的原因学习如何定量描述机械波的衰减规律十、机械波的实际应用1. 机械波在工程中的应用探索机械波在建筑、声学等领域的应用学习如何利用机械波解决实际工程问题2. 机械波在日常生活中的应用了解机械波在日常生活中的重要作用学习如何在生活中利用机械波改善生活质量回顾整个课程的主要内容和学习成果展望机械振动和机械波在未来的发展趋势和新的研究方向每个章节的教案应包括学习目标、教学内容、教学方法、教学步骤、学习评估和教学反思等部分，以确保教学的系统性和完整性。

第十三章波与相对论【研透全国卷】在新课标全国卷中，对本部分知识的考查是在选考题中出现.从近几年的高考试题来看，主要考查简谐运动的图象、波动图象以及波的传播规律等；另外对光学知识的考查主要以折射定律、全反射等为主.预测在2018年高考中，对本部分内容的考查仍将以图象为主，考查振动和波动问题；并以光的折射和全反射为重点考查光学知识.第1讲机械振动(实验：用单摆测定重力加速度)知识点一简谐运动1.定义：物体在跟位移大小成正比并且总是指向的回复力作用下的振动.2.平衡位置：物体在振动过程中为零的位置.3.回复力(1)定义：使物体返回到的力.(2)方向：总是指向.(3)来源：属于力，可以是某一个力，也可以是几个力的或某个力的.4.简谐运动的两种模型4.弹力重力原长2πLg弹性势能重力势能知识点二简谐运动的公式和图象1.简谐运动的表达式(1)动力学表达式：F＝，其中“－”表示回复力与位移的方向相反.(2)运动学表达式：x＝，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ叫做.2.简谐运动的图象(1)从开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，图象如图甲所示.②从处开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt，图象如图乙所示.答案：1.(1)－kx(2)A sin (ωt＋φ) 初相 2.(1)平衡位置(2)最大位移知识点三受迫振动和共振1.受迫振动系统在作用下的振动.做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率) .2.共振做受迫振动的物体，它的驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者时，振幅达到最大，这就是共振现象.共振曲线如图所示.答案：1.驱动力驱动力无关 2.相等(1)简谐运动是匀变速运动.( )(2)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量.( )(3)振幅等于振子运动轨迹的长度.( )(4)简谐运动的回复力可以是恒力.( )(5)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大.( )(6)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动.( )(7)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关.( )(8)简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹.( )答案：(1) (2)√(3) (4) (5)√(6) (7)√(8)简谐运动的角频率与周期公式推导简谐运动的运动方程及速度、加速度的瞬时表达式分别为： 振动方程：x ＝A cos (ωt ＋φ)速度表达式：v ＝x ′＝－ωA sin (ωt ＋φ) 加速度表达式：a ＝v ′＝－ω2A cos (ωt ＋φ) 又根据牛顿第二定律a ＝F m和回复力F ＝－kx 得ω＝k m ，T ＝2πω＝2πmk.考点一 简谐运动的特征1.动力学特征：F ＝－kx ，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数.2.运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比且方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时x 、F 、a 、E p 均增大，v 、E k 均减小，靠近平衡位置时则相反.3.运动的周期性特征：相隔T 或nT 的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同.4.对称性特征 (1)相隔T 2或2n ＋12T (n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反.(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P 、P ′(OP ＝OP ′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等.(3)振子由P 到O 所用时间等于由O 到P ′所用时间，即t PO ＝t OP ′. (4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即t OP ＝t PO .5.能量特征：振动的能量包括动能E k 和势能E p ，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒.考向1 描述简谐运动的物理量[典例1] 如图所示，弹簧振子在BC 间振动，O 为平衡位置，BO ＝OC ＝5 cm ，若振子从B 到C 的运动时间是1 s ，则下列说法中正确的是( )A.振子从B 经O 到C 完成一次全振动B.振动周期是1 s ，振幅是10 cmC.经过两次全振动，振子通过的路程是20 cmD.从B 开始经过3 s ，振子通过的路程是30 cm[解析] 振子从B →O →C 仅完成了半次全振动，所以周期T ＝2×1 s＝2 s ，振幅A ＝BO ＝5 cm.振子在一次全振动中通过的路程为4A ＝20 cm ，所以两次全振动中通过的路程为 40 cm ，3 s 的时间为1.5T ，所以振子通过的路程为30 cm.[答案] D考向2 简谐运动的对称性和周期性[典例2] (多选)弹簧振子做简谐运动，O 为平衡位置，当它经过点O 时开始计时，经过0.3 s ，第一次到达点M ，再经过0.2 s 第二次到达点M ，则弹簧振子的周期为( )A.0.53 sB.1.4 sC.1.6 sD.3 s[解析] 如图甲所示，设O 为平衡位置，OB (OC )代表振幅，振子从O →C 所需时间为T4.因为简谐运动具有对称性，所以振子从M →C 所用时间和从C →M 所用时间相等，故T4＝0.3 s ＋0.2 s2＝0.4 s ，解得T ＝1.6 s.如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B 运动，设点M ′与点M 关于点O 对称，则振子从点M ′经过点B 到点M ′所用的时间与振子从点M 经过点C 到点M 所需时间相等，即0.2 s.振子从点O 到点M ′和从点M ′到点O 及从点O 到点M 所需时间相等，为0.3 s －0.2 s 3＝130 s ，故周期为T ＝⎝⎛⎭⎪⎫0.5＋130 s ＝1630 s≈0.53 s.[答案] AC分析简谐运动的技巧(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小，反之，则产生相反的变化.另外，各矢量均在其值为零时改变方向.(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性.考点简谐运动的公式和图象1.对简谐运动图象的认识(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图所示.(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹.2.图象信息(1)由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期和频率.(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移.(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴.(4)确定某时刻质点速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t轴；下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t轴.(5)比较不同时刻回复力、加速度的大小.(6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小.考向1 简谐运动公式的应用[典例3] (多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin (2.5πt) m.t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度g＝10 m/s2.以下判断正确的是( )A.h＝1.7 mB.简谐运动的周期是0.8 sC.0.6 s内物块运动的路程为0.2 mD.t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反[问题探究] (1)小物块做简谐运动的振幅是多少？周期为多少？(2)在0.6 s 内，小物块的位移是多少？路程是多少？ [提示] (1)A ＝0.1 m T ＝0.8 s (2)x ＝－0.1 m s ＝0.3 m[解析] 由物块简谐运动的表达式y ＝0.1sin (2.5πt ) m 知，ω＝2.5π，T ＝2πω＝2π2.5πs ＝0.8 s ，选项B 正确；t ＝0.6 s 时，y ＝－0.1 m ，对小球：h ＋|y |＝12gt 2，解得h ＝1.7 m ，选项A 正确；物块0.6 s 内运动的路程为0.3 m ，t ＝0.4 s 时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同，故选项C 、D 错误.[答案] AB[变式1] (多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝A sin π4t ，则质点( )A.第1 s 末与第3 s 末的位移相同B.第1 s 末与第3 s 末的速度相同C.3 s 末至5 s 末的位移方向都相同D.3 s 末至5 s 末的速度方向都相同 答案：AD 解析：因为ω＝π4，所以T ＝2πω＝8 s ，作出简谐运动的图象如图所示.所以1 s 末和3 s 末的位移相同，但速度方向相反，A 正确，B 错误；3 s 末和5 s 末位移方向相反，C 项错误；根据简谐运动的对称性可知D 项正确.考向2 简谐运动图象的应用[典例4] (2017·广东深圳一调)(多选)一个质点经过平衡位置O ，在A 、B 间做简谐运动，如图(a)所示，它的振动图象如图(b)所示，设向右为正方向，下列说法正确的是( )图(a) 图(b) A.OB ＝5 cmB.第0.2 s 末质点的速度方向是A →OC.第0.4 s 末质点的加速度方向是A →OD.第0.7 s 末时质点位置在O 点与A 点之间E.在4 s内完成5次全振动[解析] 由图(b)可知振幅为5 cm，则OB＝OA＝5 cm，A项正确；由图可知0～0.2 s内质点从B向O运动，第0.2 s末质点的速度方向是B→O，B项错误；由图可知第0.4 s末质点运动到A点处，则此时质点的加速度方向是A→O，C项正确；由图可知第0.7 s末时质点位置在O与B之间，D项错误；由图(b)可知周期T＝0.8 s，则在4 s内完成全振动的次数为4 s0.8 s＝5，E项正确.[答案] ACE[变式2] (多选)如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图象.已知甲、乙两个振子质量相等.则( )A.甲、乙两振子的振幅之比为2∶1B.甲、乙两振子的频率之比为1∶2C.前2 s内甲、乙两振子的加速度均为正值D.第2 s末甲的速度最大，乙的加速度最大答案：AD 解析：根据甲、乙两个振子做简谐运动的图象可知，两振子的振幅A甲＝2 cm，A乙＝1 cm，甲、乙两振子的振幅之比为2∶1，选项A正确；甲振子的周期为4 s，频率为0.25 Hz，乙振子的周期为8 s，频率为0.125 Hz，甲、乙两振子的频率之比为2∶1，选项B错误；前2 s内，甲的加速度为负值，乙的加速度为正值，选项C错误；第2 s末甲通过平衡位置，速度最大，乙在最大位移处加速度最大，选项D正确.对简谐运动的进一步理解(1)简谐运动的图象不是振动质点的轨迹，它表示的是振动物体的位移随时间变化的规律.(2)因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴.(3)速度方向可以通过下一个时刻位移的变化来判定：下一个时刻位移如果增加，振动质点的速度方向就远离t轴；下一个时刻的位移如果减小，振动质点的速度方向就指向t轴.考点受迫振动和共振1.自由振动、受迫振动和共振的关系比较(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f ，纵坐标为振幅A .它直观地反映了驱动力频率对某振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f 与f 0越接近，振幅A 越大；当f ＝f 0时，振幅A 最大.(2)受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换.考向1 对受迫振动及共振条件的理解[典例5] (2017·江西重点中学联考)(多选)如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动.开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2 Hz.现匀速转动摇把，转速为240 r/min.则( )A.当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5 sB.当振子稳定振动时，它的振动频率是4 HzC.当转速增大时，弹簧振子的振幅增大D.当转速减小时，弹簧振子的振幅增大E.振幅增大的过程中，外界对弹簧振子做正功[解析] 摇把匀速转动的频率f ＝n ＝24060 Hz ＝4 Hz ，周期T ＝1f ＝0.25 s ，当振子稳定振动时，它的振动周期及频率均与驱动力的周期及频率相等，A 错误，B 正确.当转速减小时，其频率将更接近振子的固有频率2 Hz ，弹簧振子的振幅将增大，C 错误，D 正确.外界对弹簧振子做正功，系统机械能增大，振幅增大，故E 正确. [答案] BDE考向2 共振曲线的应用[典例6] (多选)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A 与驱动力频率f 的关系)如图所示，则下列说法正确的是( )A.此单摆的固有周期约为2 sB.此单摆的摆长约为1 mC.若摆长增大，单摆的固有频率增大D.若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动[解析] 由共振曲线可知，单摆固有频率为 0.5 Hz ，所以固有周期为2 s ，根据周期公式T ＝2πLg 可计算摆长约为 1 m.摆长增大，由T ＝2πLg可知，周期变大，频率变小，共振曲线的峰将向左移动.[答案] AB1.无论发生共振与否，受迫振动的频率都等于驱动力的频率，但只有发生共振现象时振幅才能达到最大.2.受迫振动系统中的能量转化不再只有系统内部动能和势能的转化，还有驱动力对系统做正功补偿系统因克服阻力而损失的机械能.考点实验：用单摆测定重力加速度1.实验原理：由单摆的周期公式T ＝2πl g ，可得出g ＝4π2T2l ，测出单摆的摆长l 和振动周期T ，就可求出当地的重力加速度g .2.实验步骤(1)做单摆：取约1 m 长的细丝线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂，如图所示.(2)测摆长：用毫米刻度尺量出摆线长L (精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D ，则单摆的摆长l ＝L ＋D 2. (3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出平均每摆动一次的时间，即为单摆的振动周期.(4)改变摆长，重做几次实验.3.数据处理(1)公式法：g ＝4π2T 2l . (2)图象法：画l ­T 2图象.4.注意事项(1)选用1 m 左右的细线.(2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定.(3)小球在同一竖直面内摆动，且摆角小于10°.(4)选择在摆球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的次数.(5)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l ′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r ，则摆长l ＝l ′＋r .考向1 对实验原理与操作的考查甲[典例7] 根据单摆周期公式T ＝2πl g，可以通过实验测量当地的重力加速度.如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆.乙(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为 mm.(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有 .a.摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些b.摆球尽量选择质量大些、体积小些的c.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度d.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt 即为单摆周期Te.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt ，则单摆周期T ＝Δt 50[解析] (1)按照游标卡尺的读数原则得小钢球直径为18 mm ＋6×0.1 mm＝18.6 mm.(2)单摆的构成条件：细线质量要小，弹性要小；球要选体积小、密度大的；偏角不超过5°，故a 、b 正确，c 错误.为了减小测量误差，要从摆球摆过平衡位置时计时，且需测量多次全振动所用时间，然后计算出一次全振动所用的时间，故d 错误，e 正确.[答案] (1)18.6 (2)abe考向2 对数据处理和误差分析的考查[典例8] 某同学利用单摆测量重力加速度.(1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是 .A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约 1 m 的单摆.实验时，由于仅有量程为20 cm 、精度为1 mm 的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T 1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T 2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL .用上述测量结果，写出重力加速度的表达式 g ＝ .[解析] (1)应选用密度较大且直径较小的摆球，A 错.在摆动中要尽力保证摆长不变，故应选用不易伸长的细线，B 对.摆动中要避免单摆成为圆锥摆，摆球要在同一竖直面内摆动，C 对.摆动中摆角要控制在5°以内，所以D 错.(2)设两次摆动时单摆的摆长分别为L 1和L 2，则T 1＝2πL 1g ，T 2＝2πL 2g ，则ΔL ＝g 4π2(T 21－T 22)，因此，g ＝4π2ΔL T 21－T 22. [答案] (1)BC (2)4π2ΔL T 21－T 221.[描述简谐运动的物理量]关于简谐运动的位移、加速度和速度的关系，下列说法中正确的是( )A.位移减小时，加速度减小，速度也减小B.位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向相同C.物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同D.物体向负方向运动时，加速度方向与速度方向相同；向正方向运动时，加速度方向与速度方向相反答案：C 解析：位移减小时，加速度减小，速度增大，A 错误；位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向有时相同，有时相反，B 、D 错误，C 正确.2.[简谐运动的图象](多选)甲、乙两弹簧振子的振动图象如图所示，则可知( )A.两弹簧振子完全相同B.两弹簧振子所受回复力最大值之比F 甲∶F 乙＝2∶1C.振子甲速度为零时，振子乙速度最大D.振子的振动频率之比f 甲∶f 乙＝1∶2答案：CD 解析：从图象中可以看出，两弹簧振子周期之比T 甲∶T 乙＝2∶1，得频率之比f 甲∶f 乙＝1∶2，D 选项正确.弹簧振子的周期与振子质量、弹簧劲度系数k 有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A 错误.由于弹簧的劲度系数k 不一定相同，所以两振子所受回复力(F ＝－kx )的最大值之比F 甲∶F 乙不一定为2∶1，所以B 错误.对简谐运动进行分析可知，在振子达到平衡位置时位移为零，速度最大；在振子到达最大位移处时，速度为零，从图象中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰好到达平衡位置，所以C 正确.3.[简谐运动](多选)如图所示，一质点为x 轴上以O 为平衡位置做简谐运动，其振幅为8 cm ，周期为4 s ，t ＝0时物体在x ＝4 cm 处，向x 轴负方向运动，则( )A.质点在t ＝1.0 s 时所处的位置为x ＝＋4 3 cmB.质点在t ＝1.0 s 时所处的位置为x ＝－4 3 cmC.由起始位置运动到x ＝－4 cm 处所需最短时间为23s D.由起始位置运动到x ＝－4 cm 处所需最短时间为16s 答案：BC 解析：由题意可知，质点振动的角速度ω＝2πT ＝π2rad/s ，因t ＝0时，x ＝4 cm ，所以质点的振动方程为x ＝8sin π2t ＋5π6 cm ，当t ＝1 s 时，x ＝8sin 4π3cm ＝－4 3 cm ，B 正确.当x ＝－4 cm 时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2t ＋5π6＝－12，t 的最小值为23 s ，C 正确. 4.[简谐运动的公式和图象](多选)一个质点以O 为中心做简谐运动，位移随时间变化的图象如图所示.a 、b 、c 、d 表示质点在不同时刻的相应位置，且b 、d 关于平衡位置对称，则下列说法中正确的是( )A.质点做简谐运动的方程为x ＝A sin π4t B.质点在位置b 与位置d 时速度大小相同，方向不同C.质点从位置a 到c 和从位置b 到d 所用时间相等D.质点从位置a 到b 和从b 到c 的平均速度相等答案：AC 解析：由题给的质点位移随时间变化的图象可知，振幅为A ，周期T ＝8 s ，质点简谐运动的方程为x ＝A sin 2πT t ＝A sin π4t ，选项A 正确；根据对称性可知质点在位置b 与位置d 时速度相同，选项B 错误；质点从位置a 到c 与从位置b 到d 所用时间均为2 s ，选项C 正确；质点从位置a 到b 和从b 到c 的时间都为1 s ，时间相等，位移不等，所以平均速度不相等，选项D 错误.5.[受迫振动、共振](多选)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击.由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动.普通钢轨长为12.6 m ，列车固有振动周期为0.315 s.下列说法正确的是( )A.列车的危险速率为40 m/sB.列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象C.列车过桥需要减速，是为了防止桥梁发生共振现象D.列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的E.增加钢轨的长度有利于列车高速运行答案：ACE 解析：列车在钢轨上运动时，受钢轨对它的冲击力作用做受迫振动，当列车固有振动频率等于钢轨对它的冲击力的频率时，列车振动的振幅最大，因v ＝l t ＝12.6 m 0.315 s＝40 m/s ，故A 对；列车过桥做减速运动，是为了使驱动力频率远小于桥梁的固有频率，防止桥发生共振现象，而不是防止列车发生共振现象，B 错、C 对；增加钢轨的长度有利于列车高速运行，E 对.6.[用单摆测定重力加速度]某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：(1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径如图甲所示，可读出摆球的直径为 cm.把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L .(2)用秒表测量单摆的周期.当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n ＝1，单摆每经过最低点记一次数，当数到n ＝60时秒表的示数如图乙所示，该单摆的周期是T ＝ s(结果保留三位有效数字).(3)测量出多组周期T 、摆长L 的数值后，画出T 2­L 图线如图丙，此图线斜率的物理意义是( )A.gB.1gC.4π2gD.g 4π2 (4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小( )A.偏大B.偏小C.不变D.都有可能 答案：(1)2.06 (2)2.28 (3)C (4)C解析：(1)摆球的直径为d ＝20 mm ＋6×110mm ＝20.6 mm ＝2.06 cm. (2)秒表的读数为t ＝60 s ＋7.4 s ＝67.4 s ，根据题意t ＝60－12T ＝592T ，所以周期T ＝2t 59＝2.28 s.(3)根据单摆的周期公式T ＝2πL g ，可得T 2L ＝4π2g＝k (常数)，所以选项C 正确. (4)因为T 2L ＝4π2g ＝k (常数)，所以ΔT 2ΔL ＝4π2g＝k ，若误将摆线长当作摆长，画出的直线将不通过原点，但图线的斜率仍然满足T 21－T 22L 1－L 2＝4π2g＝k ，所以由图线的斜率得到的重力加速度不变.。

机械振动第1讲机械振动1.简谐运动(1)定义：质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置.(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置.(3)回复力①定义：使物体返回到平衡位置的力.②方向：总是指向平衡位置.③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力.2.简谐运动的两种模型自测1 如图1所示，弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，B、C间的距离为20cm，振子由B运动到C的时间为2s，则( )图1A.从O→C→O振子做了一次全振动B.振动周期为2s，振幅是10cmC.从B开始经过6s，振子通过的路程是60cmD.从O开始经过3s，振子又到达平衡位置O答案 C3.简谐运动的公式和图象(1)简谐运动的表达式①动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力的方向与位移的方向相反.②运动学表达式：x＝A sin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，ωt ＋φ代表简谐运动的相位，φ叫做初相.(2)简谐运动的图象①从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sinωt，图象如图2甲所示.②从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝A cosωt，图象如图乙所示.图2自测2 一弹簧振子的位移y 随时间t 变化的关系式为y ＝0.1sin2.5πt ，位移y 的单位为m ，时间t 的单位为s ，则( ) A.弹簧振子的振幅为0.2m B.弹簧振子的周期为1.25sC.在t ＝0.2s 时，振子的运动速度为零D.在任意0.2s 时间内，振子的位移均为0.1m 答案 C自测3 如图3是一个质点做简谐运动的振动图象，从图中可得( )图3A.在t ＝0时，质点位移为零，速度和加速度也为零B.在t ＝4s 时，质点的速度最大，方向沿负方向C.在t ＝3s 时，质点振幅为－5cm ，周期为4sD.无论何时，质点的振幅都是5cm ，周期都是4s 答案 D4.受迫振动和共振 (1)受迫振动系统在驱动力作用下的振动.做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关. (2)共振做受迫振动的物体，它的驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象.共振曲线如图4所示.图45.实验：单摆的周期与摆长的关系 (1)实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T 无关，由此得到g ＝4π2lT2.因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值. (2)实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺. (3)实验步骤①让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆. ②把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图5所示.图5③用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r .④把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝t N(N 为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期的平均值T ＝T 1＋T 2＋T 33.⑤根据单摆周期公式T g ＝4π2l T. ⑥改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值.⑦将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因. (4)数据处理处理数据有两种方法：①公式法：测出30次或50次全振动的时间t ，利用T ＝t N求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值T ，然后代入公式g ＝4π2lT，求重力加速度.②图象法：由单摆周期公式不难推出：l ＝g4π2T 2，因此，分别测出一系列摆长l 对应的周期T ，作l －T 2图象，图象应是一条通过原点的直线，如图6所示，求出图线的斜率k ＝Δl ΔT2，即可利用g ＝4π2k 求重力加速度.图6(5)误差分析①系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等.②偶然误差主要来自时间的测量，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计全振动次数.命题点一 简谐运动的规律简谐运动的五大特征例1 (2018·扬州中学下学期开学考)一根轻绳一端系一小球，另一端固定在O 点，制成单摆装置.在O 点有一个能测量绳的拉力大小的力传感器，让小球绕O 点在竖直平面内做简谐振动，由力传感器测出拉力F 随时间t 的变化图象如图7所示，则小球振动的周期为s ，此单摆的摆长为m(重力加速度g 取10m/s 2，取π2≈10).图7答案 4 4变式1 (2018·泰州中学模拟)一个质点在平衡位置O 点附近做简谐运动.若从O 点开始计时，经过3s 质点第一次向右运动经过M 点(如图8所示)；再继续运动，又经过2s 它第二次经过M 点；则该质点第三次经过M 点还需要的时间是( )图8A.8sB.4sC.14sD.103s答案 C命题点二 简谐运动图象的理解与应用1.可获取的信息(1)振幅A 、周期T (或频率f )和初相位φ(如图9所示).图9(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移.(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线斜率的大小和正负分别表示各时刻质点速度的大小和方向，速度的方向也可根据下一时刻质点位移的变化来确定.(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图象上总是指向t 轴.(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况. 2.简谐运动的对称性(如图10)图10(1)相隔Δt ＝(n ＋12)T (n ＝0,1,2，…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向，速度也等大反向.(2)相隔Δt ＝nT (n ＝0,1，2，…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同. 例2 (2018·南京市、盐城市一模)如图11所示为A 、B 两个质点做简谐运动的位移—时间图象.质点A 做简谐运动的位移随时间变化的关系式是cm ；质点B 在1.0s 内通过的路程是cm.图11答案 x ＝－35sin5πt 1.5变式2 (2018·南京师大附中5月模拟)一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸.当振子上下振动时，以恒定的速率v 水平向左拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图12所示的图象.y 1、y 2、x 0、2x 0为纸上印迹的位置坐标.由此可知弹簧振子振动的周期T ＝，振幅A ＝.图12答案2x 0v y 1－y 22解析 记录纸匀速运动，振子振动的周期等于记录纸运动位移2x 0所用的时间，则周期T ＝2x 0v；根据题图可知，振幅为A＝y1－y22.命题点三受迫振动与共振1.自由振动、受迫振动和共振的关系比较2.对共振的理解共振曲线：如图13所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A 越大；当f＝f0时，振幅A最大.图133.受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换.4.发生共振时，驱动力对振动系统总是做正功，总是向系统输入能量，使系统的机械能逐渐增加，振动物体的振幅逐渐增大.当驱动力对系统做的功与系统克服阻力做的功相等时，振动系统的机械能不再增加，振幅达到最大.例3 (2019·无锡市考前调研)如图14所示是探究单摆共振条件时得到的图象，它表示振幅跟驱动力频率之间的关系，请完成：图14(1)这个单摆的摆长是多少？(取g＝10m/s2，π2≈10)(2)如果摆长变长一些，画出来的图象的高峰将向哪个方向移动？答案(1)1m (2)向f轴负方向移动解析(1)由题图可知，单摆的固有频率f0＝0.5Hz，则固有周期T0＝1f0＝2s又T 0＝2πl g ，则l ＝gT 204π2＝1m (2)由T 0＝2πlg得l 变长，T 0变大，则f 0变小，因此图象的高峰向f 轴负方向移动. 变式3 (2018·盐城中学质检)如图15甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆.当a 摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来，此时b 摆的振动周期(选填“大于”“等于”或“小于”)d 摆的周期.图乙是a 摆的振动图象，重力加速度为g ，则a 的摆长为.图15答案 等于gt20π2命题点四 单摆的周期与摆长的关系1.选择材料时摆线应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙线、胡琴丝弦或蜡线等，长度一般不应短于1m ，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm.2.单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象.3.摆动球时，控制摆线偏离竖直方向不超过5°.计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时计数.4.用图象法处理数据可以消除测摆长时漏测小球半径r (或多加r )产生的误差.由单摆的周期公式T ＝2πl g ，可得T 2＝4π2·l g ＝kl (令k ＝4π2g)，作出T 2－l 图线，这是一条过原点的直线，如图16图线a 所示，k 为图线的斜率.求出k 后，则可求出当地的重力加速度g ＝4π2k.(图线b 、c 与图线a 斜率相同)图16例4 在“利用单摆测重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到T 2＝4π2gl .只要测量出多组单摆的摆长l 和运动周期T ，作出T 2－l 图象，就可求出当地的重力加速度，理论上T 2－l 图象是一条过坐标原点的直线.某同学在实验中，用一个直径为d 的带孔实心钢球作为摆球，多次改变悬点到摆球顶部的距离l 0，分别测出摆球做简谐运动的周期T 后，作出T 2－l 图象，如图17所示.图17(1)造成图象不过坐标原点的原因可能是. A.将l 0记为摆长l B.摆球的振幅过小 C.将(l 0＋d )记为摆长l D.摆球质量过大(2)由图象求出重力加速度g ＝m/s 2(取π2＝9.87). 答案 (1)A (2)9.87解析 (1)题图图象不通过坐标原点，将图象向右平移1cm 就会通过坐标原点，故相同的周期下，摆长偏小1cm ，故可能是测摆长时漏掉了摆球的半径，将l 0记为摆长l ，A 正确. (2)由T ＝2πl g 可得T 2＝4π2g l ，则T 2－l 图象的斜率等于4π2g ，由数学知识得：4π2g＝4.0s 2(0.01＋0.99)m，解得g ＝9.87m/s 2.变式4 (2018·扬州市一模)在“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验中，摆球在垂直纸面的平面内摆动，如图18甲所示，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一线性光源与光敏电阻.光敏电阻(光照时电阻比较小)与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R 随时间t 的变化图线如图乙所示，则该单摆的振动周期为.若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将(选填“变大”“不变”或“变小”).图18答案 2t 0 变大解析 单摆在一个周期内两次经过平衡位置，每次经过平衡位置，单摆会挡住细光束，从R －t 图线可知周期为2t 0.摆长等于摆线的长度加上小球的半径，根据单摆的周期公式T ＝2πlg，摆长变大，所以周期变大.1.有一弹簧振子，振幅为0.8cm ，周期为0.5s ，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是( )A.x ＝8×10－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4πt ＋π2mB.x ＝8×10－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4πt －π2mC.x ＝8×10－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt ＋3π2mD.x ＝8×10－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4t ＋π2m答案 A解析 振幅A ＝0.8cm ＝8×10－3m ，ω＝2πT＝4πrad/s.由题知初始时(即t ＝0时)振子在正向最大位移处，即sin φ0＝1，得φ0＝π2，故振子做简谐运动的振动方程为：x ＝8×10－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4πt ＋π2m ，选项A 正确.2.(多选)如图19所示为一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象，由图可以推断，振动系统( )图19A.t1和t3时刻具有相等的动能和相同的加速度B.t3和t4时刻具有相同的速度C.t4和t6时刻具有相同的位移和速度D.t1和t6时刻具有相等的动能和相反方向的速度答案AB3.(多选)(2018·苏锡常镇一调)如图20所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法正确的是( )图20A.甲摆的摆长比乙长B.甲摆的振幅比乙大C.甲、乙两单摆的摆长相等D.由图象可以求出当地的重力加速度答案BC解析由题图看出，两单摆的周期相同，同一地点g相同，由单摆的周期公式T＝2πl g 得知，甲、乙两单摆的摆长l相等，故A错误，C正确.甲摆的振幅为10cm，乙摆的振幅为7cm，即甲摆的振幅比乙摆大，故B正确.由于两单摆的摆长未知，不能求出当地的重力加速度，故D错误.4.(2018·徐州三中月考)如图21所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B的摆长相等.当A摆振动的时候，通过张紧的绳子给B、C、D摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动.观察B、C、D摆的振动发现( )图21A.C摆的频率最小B.D摆的周期最大C.B摆的摆角最大D.B、C、D的摆角相同答案 C解析A摆摆动时带动其他3个单摆做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，故其他各摆振动周期跟A摆相同，频率也相等，故A、B错误；受迫振动中，当固有频率等于驱动力频率时，出现共振现象，振幅达到最大，由于B摆的固有频率与A摆的相同，故B摆发生共振，振幅最大，摆角最大，故C正确，D错误.5.某同学利用单摆测重力加速度.(1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是.A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图22所示，在固定支架的竖直立柱上固定有摆长约1m的单摆.实验时，由于仅有量程为20cm、精度为1mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝.图22答案(1)BC (2)4π2ΔLT2 1－T2 2解析(1)在利用单摆测重力加速度实验中，为了使测量误差尽量小，须选用密度大、半径小的摆球和不易伸长的细线，摆球须在同一竖直面内摆动，摆长一定时，振幅尽量小些，以使其满足简谐运动条件，故选B、C.(2)设第一次摆长为L，第二次摆长为L－ΔL，则T1＝2πLg，T2＝2πL－ΔLg，联立解得g＝4π2ΔLT2 1－T2 2.1.弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向着平衡位置运动的过程中( )A.振子所受的回复力逐渐增大B.振子离开平衡位置的位移逐渐增大C.振子的速度逐渐增大D.振子的加速度逐渐增大答案 C解析在振子向着平衡位置运动的过程中，振子离开平衡位置的位移逐渐减小，振子所受的回复力逐渐减小，振子的加速度逐渐减小，振子的速度逐渐增大，选项C 正确.2.如图1所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a 第一次到b 历时0.2s ，振子经a 、b 两点时速度相同.若它从b 再回到a 的最短时间为0.4s ，c 、d 为振动的最远点，则该振子的振动频率为( )图1A.1HzB.1.25HzC.2HzD.2.5Hz答案 B解析 经a 、b 两点时速度相同，可知a 、b 两点关于O 点对称，t Ob ＝0.22s ＝0.1s ；振子从b再回到a 的最短时间t ＝2t bc ＋t ba ＝0.4s ，可得t bc ＝t －t ba 2＝0.4－0.22s ＝0.1s ，所以t Oc ＝t Ob＋t bc ＝0.1s ＋0.1s ＝0.2s ，而t Oc ＝T 4，所以振子振动周期T ＝4t Oc ＝0.8s ，振子振动频率f ＝1T＝1.25Hz ，故B 正确.3.一质点做简谐运动的振动图象如图2所示，质点的速度方向与加速度方向相同的时间段是( )图2A.0～0.3s 和0.6～0.9sB.0.3～0.6s 和0.9～1.2sC.0.3～0.6s 和0.6～0.9sD.0.6～0.9s 和0.9～1.2s 答案 B解析 质点做简谐运动时加速度方向与回复力方向相同，与位移方向相反，总是指向平衡位置；位移增加时速度与位移方向相同，位移减小时速度与位移方向相反，综上可知，B 正确. 4.如图3甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O 点为平衡位置，在a 、b 两点之间做简谐运动，取向右为正方向，其振动图象如图乙所示.由振动图象可以得知( )图3A.振子的振动周期等于t 1B.在t ＝0时刻，振子的位置在a 点C.在t ＝t 1时刻，振子的速度为零D.从t1到t2，振子正从O点向b点运动答案 D解析弹簧振子先后经历最短时间到达同一位置时，若速度相同，则这段时间间隔就等于弹簧振子的振动周期，从题图振动图象可以看出振子的振动周期为2t1，选项A错误；在t＝0时刻，振子的位移为零，所以振子应该在平衡位置O，选项B错误；在t＝t1时刻，振子在平衡位置O，该时刻振子速度最大，选项C错误；从t1到t2，振子的位移为正且在增加，所以振子正从O点向b点运动，选项D正确.5.一个在y方向上做简谐运动的物体，其振动图象如图4所示.下列关于图(1)～(4)的判断正确的是(选项中v、F、a分别表示物体的速度、受到的回复力和加速度)( )图4A.图(1)可作为该物体的v－t图象B.图(2)可作为该物体的F－t图象C.图(3)可作为该物体的F－t图象D.图(4)可作为该物体的a－t图象答案 C6.甲、乙两弹簧振子的振动图象如图5所示，则可知( )图5A.两弹簧振子完全相同B.两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1C.振子甲速度为零时，振子乙速度最大D.两振子的振动频率之比f甲∶f乙＝2∶1答案 C解析从题图中可以看出，两弹簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，则频率之比f甲∶f乙＝1∶2，D错误；弹簧振子周期与振子质量、弹簧劲度系数k有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A错误；由于弹簧的劲度系数k不一定相同，所以两弹簧振子所受回复力(F＝－kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1，B错误；由简谐运动的特点可知，在振子到达平衡位置时位移为零，速度最大，在振子到达最大位移处时，速度为零.从题图可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰好到达平衡位置，C正确.7.如图6甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动.取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化图象如图乙所示，下列说法正确的是( )图6A.t＝0.8s时，振子的速度方向向左B.t＝0.2s时，振子在O点右侧6cm处C.t＝0.4s和t＝1.2s时，振子的加速度完全相同D.t＝0.4s到t＝0.8s的时间内，振子的速度逐渐减小答案 A解析 从t ＝0.8s 时起，再过一段微小时间，振子的位移为负值，因为取向右为正方向，故t ＝0.8s 时，速度方向向左，A 正确；由题图乙得振子的位移x ＝12sin5π4t cm ，故t ＝0.2s 时，x ＝62cm ，故B 错误；t ＝0.4s 和t ＝1.2s 时，振子的位移方向相反，加速度方向相反，C 错误；t ＝0.4s 到t ＝0.8s 的时间内，振子的位移逐渐变小，故振子逐渐靠近平衡位置，其速度逐渐变大，故D 错误.8.(多选)(2018·泰州中学模拟)如图7所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为y ＝0.1sin (2.5πt ) m.t ＝0时刻，一小球从距物块h 高处自由落下；t ＝0.6s 时，小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度的大小g ＝10m/s 2.以下判断正确的是( )图7A.h ＝1.7mB.简谐运动的周期是0.8sC.0.6s 内物块运动的路程是0.2mD.t ＝0.4s 时，物块与小球运动方向相反 答案 AB解析 t ＝0.6s 时，物块的位移为y ＝0.1sin (2.5π×0.6) m＝－0.1m ，则对小球有：h ＋|y |＝12gt 2，解得h ＝1.7m ，选项A 正确；简谐运动的周期是T ＝2πω＝2π2.5πs ＝0.8s ，选项B 正确；0.6s 内物块运动的路程是3A ＝0.3m ，选项C 错误；t ＝0.4s ＝T2时，物块经过平衡位置向下运动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D 错误.9.一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动.可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20cm ，周期为3.0s.当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐.地面与甲板的高度差不超过10cm 时，游客能舒服地登船.在一个周期内，游客能舒服登船的时间是( )A.0.5sB.0.75sC.1.0sD.1.5s 答案 C解析 由题意知，ω＝2πT ＝23πrad/s，游船做简谐运动的振动方程x ＝A sin ωt ＝20sin 2π3t(cm).在一个周期内，当x ＝10cm 时，解得t 1＝0.25s ，t 2＝1.25s ，游客能舒服登船的时间Δt ＝t 2－t 1＝1.0s ，选项C 正确.10.(2018·海安中学段考)用单摆测定重力加速度的实验装置如图8所示.图8(1)组装单摆时，应在下列器材中选用(选填选项前的字母). A.长度为1m 左右的细线 B.长度为30cm 左右的细线 C.直径为1.8cm 的塑料球 D.直径为1.8cm 的铁球(2)测出悬点O 到小球球心的距离(摆长)L 及单摆完成n 次全振动所用的时间t ，则重力加速度g ＝(用L 、n 、t 表示).(3)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理.请计算出第3组实验中的T ＝s ，g ＝m/s 2.(取π＝3.14)(4)用多组实验数据作出T 2-L 图象，也可以求出重力加速度g .已知三位同学作出的T 2-L 图线的示意图如图9中的a 、b 、c 所示，其中a 和b 平行，b 和c 都过原点，图线b 对应的g 值最接近当地重力加速度的值.则相对于图线b ，下列分析正确的是(选填选项前的字母).图9A.出现图线a 的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长LB.出现图线c 的原因可能是误将49次全振动记为50次C.图线c 对应的g 值小于图线b 对应的g 值(5)某同学在家里测重力加速度.他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图10所示，由于家里只有一根量程为30cm 的刻度尺，于是他在细线上的A 点做了一个标记，使得悬点O 到A 点间的细线长度小于刻度尺量程.保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O 、A 间细线长度以改变摆长.实验中，当O 、A 间细线的长度分别为l 1、l 2时，测得相应单摆的周期为T 1、T 2.由此可得重力加速度g ＝(用l 1、l 2、T 1、T 2表示).图10答案 (1)AD (2)4π2n 2L t2(3)2.01 9.76(4)B (5)4π2(l 1－l 2)T 21－T22解析 (1)本实验应选1m 左右的细线，小球应选密度较大的铁球，所以应选A 、D.(2)由T ＝tn ，T ＝2πL g 得g ＝4π2n 2L t 2(3)T ＝t n ＝100.550s ＝2.01sg ＝4π2n 2L t 2＝4×3.142×502×1100.52m/s 2≈9.76 m/s 2， (4)a 图线与b 图线相比，测量的周期相同时，摆长短，说明测量摆长偏小，A 错误；c 图线与b 图线相比，测量摆长相同时，周期偏小，可能出现的原因是多记了全振动次数，B 正确；由T ＝2πL g 得T 2＝4π2g L ，图线斜率小，说明g 偏大，C 错误. (5)设A 到铁锁重心的距离为l ，有T 1＝2πl ＋l 1gT 2＝2πl ＋l 2g联立解得g ＝4π2(l 1－l 2)T 21－T 22.。