四年级奥数题第8讲 巧妙求和(一)

四年级数学培优专题：巧妙求和（一），典型题型方法思维精讲精炼巧妙求和（一）一、方法思维若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：通项公式和项数公式。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399.【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。

要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25首项=2.末项=50，项数=25等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。

第8周巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列，称为数列。

数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

数列中数的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

例如：3，6，9，…，96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的等差数列。

这一周，我们将学习“等差数列求和”。

为了更好地掌握此类问题，我们需要记住三个公式：通项公式：第n项=首项+（项数-1）×公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）X 项数÷2在等差数列中，只要知道首项、末项、公差、及总和这五个量中的三个，就可以利用通项公式、项数公式及求和公式求其余两个量。

例1：等差数列4，10，16，22，…，52共有多少项？练习一：1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2。

这个等差数列共有多少项？2、等差数列2，5，8，11，…，101共有多少项？3、已知一个等差数列的首项是11，末项是101，总和是504，这个数列共有多少项？例2：已知等差数列3，7，11，15，…，则该等差数列的第100项是多少？练习二：1、一个等差数列的首项=3，公差=2，项数=10，则它的末项是多少？2、已知等差数列1，4，7，10，…，则该等差数列的第30项是多少？3、已知等差数列2，6，10，14，…，则该等差数列的第100项是多少？例3：有这样的一个列数1，2，3，4，…，99，100，请你求出这列数各项相加的和。

练习三：计算下面各题。

1、1+2+3+4+…+49+502、6+7+8+9+…+753、100+99+98+…+61+60例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习四：计算下面各题。

1、2+6+10+14+19+222、5+10+15+20+…+195+2003、9+18+27+36+…+261+270例5：如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，那么它的第8项是多少？练习五：1、如果一个等差数列的第5项是19，第8项是61，那么它的第11项是多少？2、如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，那么它的第12项是多少？3、如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，那么它的第110项是多少？1、有一个等差数列：9，12，15，18，…，2004，这个数列共有多少项?2、已知等差数列：1000，993，986，979，…，20，这个数列共有多少项?3、求等差数列:1，6，11，16，…的第61项。

第2讲巧妙求和（一）工欲善其事，必先利其器。

《论语·卫灵公》原创不容易，【关注】，不迷路！一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。

二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？练习1：1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2、有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习2：1、一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2、求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习3：计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习4：计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习5：用简便方法计算下面各题。

（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)三、课后作业1、已知等差数列11，16，21，26，…，1001.这个等差数列共有多少项？2、求等差数列2，6，10，14……的第100项。

巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？练习:1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？1练习:1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。

例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习:计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

2练习:计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）9+18+27+36+…+261+270例5：计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习:用简便方法计算下面各题。

（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)（3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)例6:如果一个等差数列第4项为21，第6项为33，求他的第8项。

四年级奥数专题巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

这一周学习“等差数列求和”。

需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习一1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399练习二1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。

例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

（四年级）备课教员：* * *第八讲巧妙求和一、教学目标：知识目标1.认识等差数列及各个相关名称。

2.利用规律来简便求出等差数列的项数。

能力目标根据实际情况会判断所求的总和是否是求等差数列的总和。

情感目标善于发现善思考，提高计算能力。

培养良好的审题习惯和思维习惯。

二、教学重点：利用规律来简便求出等差数列的项数。

三、教学难点：理解等差数列的意义，知道等差数列中各部分的名称，掌握求尾项和项数的公式。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)【设计意图：故事引入，提高学生学习兴趣。

】师：今年上课前，老师要给大家讲一个数学家高斯的故事。

高斯7岁那年开始上学。

10岁的时候，他进入了学习数学的班级，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。

数学教师是布特纳，他对高斯的成长也起了一定作用。

一天，老师布置了一道题，1+2+3……这样从1一直加到100等于多少。

高斯很快就算出了答案，起初高斯的老师布特纳并不相信高斯算出了正确答案："你一定是算错了，回去再算算。

”高斯说出答案就是5050，高斯是这样算的1+100=101，2+99=101……1加到100有50组这样的数，所以50×101=5050。

布特纳对他刮目相看。

他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。

”接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。

他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。

师：听了故事后，你有什么感想？生：学生回答。

师：高斯是利用什么方法去求1至100这100个数的和？生：分组的方法。

师：是的，就是把头尾两两分组。

为什么要这样分组呢？生：因为这样分组后，每组的和都是一样的。

师：这位同学讲的太棒了！是的，这样分组，刚好每组的两个数的和是一样的。

这也是我们在计算中一种重要的方法，也就是分组法。

接下来我们就要用这种方法去解答我们数学问题。

第2讲巧妙求和〔一〕一、知要点假设干个数排成一列称数列。

数列中的每一个数称一。

其中第一称首，最后一称末，数列中的个数称数。

从第二开始，后与其相的前之差都相等的数列称等差数列，后与前的差称公差。

在一章要用到两个非常重要的公式：“通公式〞和“数公式〞。

通公式：第n=首+〔数－1〕×公差数公式：数=〔末－首〕÷公差＋1等差数列和=〔首+末〕×数÷2个公式也叫做等差数列求和公式。

二、精精【例1】有一个数列：4，10，16，22.⋯，52.个数列共有多少？1：1、等差数列中，首=1，末=39，公差=2.个等差数列共有多少？2、有一个等差数列：，8，11.⋯，101.个等差数列共有多少？【例2】有一等差数列：，，⋯⋯，个等差数列的第100是多少？2：1、一等差数列，首=3.公差=2.数=10，它的末是多少？2、求1，4，7，10⋯⋯个等差数列的第30。

【例3】有一个数列：，⋯，99，100。

求出个数列所有的和。

3：1/6算下面各。

1〕1+2+3+⋯+49+502〕6+7+8+⋯+74+75【例4】求等差数列2，4，6，⋯，48，50的和。

4：算下面各。

1〕2+6+10+14+18+222〕5+10+15+20+⋯+195+200【例5】算〔2+4+6+⋯+100〕－〔1+3+5+⋯+99〕5：用便方法算下面各。

1〕〔2001+1999+1997+1995〕－〔2000+1998+1996+1994〕2〕〔2+4+6+⋯+2000〕－〔1+3+5+⋯+1999〕三、后作1、等差数列11，16，21，26，⋯，1001.个等差数列共有多少？2、求等差数列2，6，10，14⋯⋯的第100。

3、100+99+98+⋯+61+604、〔1+3+5+⋯+1999〕－〔2+4+6+⋯+1998〕5、100+95+90+⋯+15+10+56、4+7+10+13+⋯+298+301+298+⋯+10+7+4+137、2021-2021+2021-2021+⋯+3-2+12/68、影院有座位假设干排，第一排有25个座位，以后每一排比前一排多3个座位，最后一排有94个座位。

巧妙求和教学目标：①知识与技能目标:使学生理解首项，末项以及项数的概念，掌握数列求和的公式②过程与方法目标:使学生能利用数列求和公式解决实际问题③情感态度与价值观目标:让学生体验到生活中处处是数学，体验数学的应用价值和数学学习的乐趣教学重点：数列求和公式及其适用条件教学难点：数列求和公式的推导过程[知识引领与方法]通项公式：第n项=首项+（项数-1）X公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）X项数÷2巧妙求和(一)[例题精选及训练]【例1】等差数列4，10，16，22，…,52共有多少项？练习：1.等差数列中，首项=7，末项=119，公差=4。

这个等差数列共有多少项？2.等差数列2，5，8，11，…,101共有多少项？3.已知一个等差数列的首项是5，末项是117，总和是976，这个数列共有多少项？【例2】已知等差数列3，7，11，15，…，则该等差数列的第100项是多少？练习：1.一个等差数列的首项=3，公差=2，项数=10，则它的末项是多少？2.已知等差数列1，4，7，10，…，则该等差数列的第30项是多少？3.已知等差数列2，6，10，14，…，则该等差数列的第100项是多少？【例3】有这样的一个数列1，2，3，4，…，99，100，请你求出这列数各项相加的和。

练习：计算下面各题。

（1）1+2+3+4+…+49+50（2）6+7+8+9+…+75（3）100+99+98+…+61+60【例4】求等差数列2，4，6,…，48，50的和练习：计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）99+96+93+…+21+18【例5】如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，那么它的第8项是多少？练习：1.如果一个等差数列的第5项是19，第8项是61，那么它的第11项是多少？2.如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，那么它的第12项是多少？3.如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，那么它的第110项是多少？[课堂练习]1.有一个等差数列：9、12、15、18、...、2004，这个数列共有多少项？2.已知等差数列：1000、993、986、979、...、20，这个数列共有多少项？3.求等差数列：1、6、11、16、...的第61项。

温馨提醒：亲爱的学子们，在浩瀚的知识海洋里航行，自信是船，勤奋是帆，毅力是风，你们是舵手，而我是水手，只要我们师生齐心协力，不畏艰险，就能到达胜利的彼岸。

专题讲解【巧妙求和（一）】一、【知识要点】若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、【典型例题讲解】【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399.练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。

四年级奥数专题巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

这一周学习“等差数列求和”。

需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习一1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399练习二1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。

例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

小学四年级奥数思维训练-巧妙求和巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中项的个数称为项数。

相邻两项的差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1例1：有一个数列：4,10,16,22,…,52,这个数列共有多少项？分析：容易看出这是一个等差数列,公差为6,首项是4,末项是52,要求项数,可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9答：这个数列共有9项。

试一试1：有一个等差数列：2,5,8,11,…,101,这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3,7,11,15,……,这个等差数列的第100项是多少？分析：这个等差数列的首项是3,公差是4,项数是100。

要求第100项,可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399试一试2：求1,4,7,10……这个等差数列的第30项。

例3：有这样一个数列：1,2,3,4,…,99,100。

请求出这个数列所有项的和。

分析：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷21+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050试一试3：6+7+8+…+74+75例4：求等差数列2,4,6,…,48,50的和。

分析：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25首项=2,末项=50,项数=25等差数列的和=（2+50）×25÷2=650试一试4：9+18+27+36+…+261+270巧妙求和（二）专题简析：某些问题,可以转化为求若干个数的和。

先判断是否是求某个等差数列的和。

如果是等差数列求和,才可用等差数列求和公式。