2008年时代杯数学竞赛(答案)
- 格式:doc
- 大小:187.50 KB
- 文档页数:5
2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托,2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。
中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况,以及综合和灵活运用的能力。
全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题,满分150分。
答卷时间为100分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括3道大题,其中一道平面几何题,试卷满分150分。
答卷时问为120分钟。
一 试一、选择题(每小题6分,共36分)1.函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 ( )。
(A )0 (B )1 (C )2 (D )32.设[2,4)A =-,2{40}B x x ax =--≤,若B A ⊆,则实数a 的取值范围为( )。
(A )[1,2)- (B )[1,2]- (C )[0,3] (D )[0,3)3.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 ( )。
(A )24181 (B )26681 (C )27481(D ) 6702434.若三个棱长均为整数(单位:cm )的正方体的表面积之和为564 cm 2,则这三个正方体的体积之和为 ( )。
(A )764 cm 3或586 cm 3 (B ) 764 cm 3(C )586 cm 3或564 cm 3 (D ) 586 cm 3 5.方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 ( )。
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案题 号 一 二 三 总 分1~5 6~10 11 1213 14 得 分 评卷人 复查人答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分)1.已知实数x y ,满足 42424233y y x x-=+=,,则444y x +的值为( ).(A )7 (B ) 1132+ (C ) 7132+ (D )5 【答】(A )解:因为20x >,2y ≥0,由已知条件得212444311384x ++⨯⨯+==, 2114311322y -++⨯-+==, 所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7. 另解:由已知得:2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩,显然222y x -≠,以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=,所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +=22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m ,n ,则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是( ).(第3题)FEDCOA B(A )512 (B )49 (C )1736(D )12【答】(C )解:基本事件总数有6×6=36,即可以得到36个二次函数. 由题意知∆=24m n ->0,即2m >4n .通过枚举知,满足条件的m n ,有17对. 故1736P =. 3.有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有( ).(A )6条 (B ) 8条 (C )10条 (D )12条【答】(B )解:如图,大圆周上有4个不同的点A ,B ,C ,D ,两两连线可以确定6条不同的直线;小圆周上的两个点E ,F 中,至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,则它与A ,B ,C ,D 的连线中,至少有两条不同于A ,B ,C ,D 的两两连线.从而这6个点可以确定的直线不少于8条.当这6个点如图所示放置时,恰好可以确定8条直线. 所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.4.已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦,且1AB a =<.以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ,点D 为圆O 上不同于点A 的一点,且DB AB a ==,DC 的延长线交圆O 于点E ,则AE 的长为( ).(A )52a (B )1 (C )32(D )a 【答】(B )解:如图,连接OE ,OA ,OB . 设D α∠=,则 120ECA EAC α∠=︒-=∠.又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-,所以ACE △≌ABO △,于是1AE OA ==. 另解:如图,作直径EF ,连结AF ,以点B 为圆心,AB 为半径 作⊙B ,因为AB =BC =BD ,则点A ,C ,D 都在⊙B 上,由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=(第4题)5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( ).(A )2种 (B )3种 (C )4种 (D )5种 【答】(D )解:设12345a a a a a ,,,,是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列.首先,对于1234a a a a ,,,,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾.又如果i a (1≤i ≤3)是偶数,1i a +是奇数,则2i a +是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数.所以12345a a a a a ,,,,只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件: 2,1,3,4,5; 2,3,5,4,1; 2,5,1,4,3; 4,3,1,2,5; 4,5,3,2,1. 二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)6.对于实数u ,v ,定义一种运算“*”为:u v uv v *=+.若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根,则满足条件的实数a 的取值范围是 .【答】0a >,或1a <-.解:由1()4x a x **=-,得21(1)(1)04a x a x ++++=,依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩,, 解得,0a >,或1a <-.7.小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟.【答】4.解:设18路公交车的速度是x 米/分,小王行走的速度是y 米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s 米.每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则 s y x =-66. ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则s y x =+33. ②(第8题)(第9题答案)NEFMD BCA 由①,②可得 x s 4=,所以4=xs. 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.8.如图,在△ABC 中,AB =7,AC =11,点M 是BC 的中点, AD 是∠BAC 的平分线,MF ∥AD ,则FC 的长为 . 【答】9.解:如图,设点N 是AC 的中点,连接MN ,则MN ∥AB . 又//MF AD ,所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠,所以 12FN MN AB ==. 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9.另解:如图,过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ,延长MF 交 AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ,所以四边形CENF 是等腰梯形, 即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9.△ABC 中,AB =7,BC =8,CA =9,过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ,分别与AB ,AC 相交于点D ,E ,则DE 的长为 .【答】163. 解:如图,设△ABC 的三边长为a ,b ,c ,内切圆I 的半径为r , BC 边上的高为a h ,则11()22a ABC ah S abc r ==++△, 所以 a r a h a b c=++. 因为△ADE ∽△ABC ,所以它们对应线段成比例,因此a a h r DEh BC-=, 所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++, 故 879168793DE ⨯+==++().(第8题答案)另解: ()()()ABC S rp p p a p b p c ∆==--- =12435125⨯⨯⨯=(这里2a b cp ++=) 所以125512r==, 22125358ABC a S h a ⨯===△ 由△ADE ∽△ABC ,得 3552335a a h r DE BC h --===, 即21633DE BC === 10.关于x ,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 .【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,, 解:因为208是4的倍数,偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以4所得的余数为1,所以x ,y 都是偶数.设2,2x a y b ==,则22104()a b a b +=-,同上可知,a ,b 都是偶数.设2,2a c b d ==,则2252()c d c d +=-,所以,c ,d 都是偶数.设2,2c s d t ==,则2226()s t s t +=-,于是 22(13)(13)s t -++=2213⨯, 其中s ,t 都是偶数.所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<.所以13s -可能为1,3,5,7,9,进而2(13)t +为337,329,313,289,257,故只能是2(13)t +=289,从而13s -=7.于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,;,因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,,另解:因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 正整数,所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++= 则 因为任何完全平方数的个位数为:1,4,5,6,9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6; 当22,a b 的个位数是1和1时,则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数,与22a b +的十位数字为3矛盾。
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题1.设213a a +=,213b b +=,且a b ≠,则代数式2211a b+的值为 ( B ) )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.提示:,a b 是方程2310x x -+=两个不同根,故3,1a b ab +==.2.如图,设AD ,BE ,CF 为三角形ABC 的三条高,若6AB =,5BC =,3EF =,则线段BE 的长为 ( D ) )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 提示:AEF ABC ∆∆,可得185AE =,故AEB ∆中由勾股定理得245BE = 3.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中依次取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是 ( C ))(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 提示:卡片一共有20种取法,其中123,15246,459+=+=+=+=,满足条件的有428⨯=种.4.在△ABC 中,12ABC ∠=︒,132ACB ∠=︒,BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线,且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上,则 ( B ))(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.提示:,BCM BCN ∆∆都是等腰三角形.5.现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10%或20%,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为r ,则r 的最小值为( B ))(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 提示:将价格从高到低排列,相邻价格之间的比值至少是986. 已知实数,x y 满足(2008x y =,则2232x y -+3x3y -2007-的值为 ( D ))(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.提示:y x y x =-=,同理x y -=x y ==.二、填空题1.设12a =,则5432322a a a a a a a+---+=-_________.-2 提示:210a a +-=2.如图,正方形ABCD 的边长为1,,M N 为BD 所在直线上的两点,且AM =135MAN ∠=︒,则四边形AMCN 的面积为___________.25 提示:DNA ABM ∆∆3.已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ,n ,且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ,q ,则p q +=__________. 提示:22111,,444b mn y x x y x =≤=++=-满足条件. 4.依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串:149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是___________.1提示:平方数为一位数的有3个,平方数为两位数的有6个,依此类推.第二试(A )一、已知221a b +=,对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ,不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥恒成立.当乘积ab 取最小值时,求,a b 的值.解:设)()1)(1()(bx x b bx ax x x a x f ------=,则)1()1()1()(2222x x b bx x x a x a x f --+---==)1()()1(2222x x b a bx x a -+-+-=)1()1(22x x bx x a --+-当0=x 时,0)0(≥=a f ,当1=x 时,0)1(≥=b f ,故0,0≥≥b a .若0=a ,则1=b ,x x x f -=22)(,不恒大于等于0,故,0≠a 即0>a ,同理0>b .当10<<x 时,)1()12(])1([)(2x x ab x b x a x f --+--= (1) 当x b x a =-)1(,即)1,0(∈+=b a ax 时,0)1()12()(≥--=x x ab x f ,故012≥-ab ,即41≥ab . (2) 当41≥ab ,即012≥-ab 时, 0)1()12(])1([)(2≥--+--=x x ab x b x a x f综上所述,ab 最小值是41,此时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=426426b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=426426b a . 二、如图,圆O 与圆D 相交于,A B 两点,BC 为圆D 的切线,点C 在圆O 上,且AB BC =.(1)证明:点O 在圆D 的圆周上.(2)设△ABC 的面积为S ,求圆D 的的半径r 的最小值.解:(1)连接OC OB OA ,,,则OC OB OA ==,又AC AB =,故等腰BCO ABO ∆≅∆,CBO ABO ∠=∠.由于BC 为圆D 的切线,故弦切角ABC ∠所夹劣弧长为OBC ∠所夹劣弧长的2倍,即半径BO 所在直径通过弧AB 的中点,即点O 在圆D 上.(2)连接BD AD ,,则AB BD AD r ≥+=2,故AC AB AB r ⋅=≥224,又S AC AB 2≥⋅,故S r 242≥,即22S r ≥,且当AB 为圆D 的直径时可以取等号,故r 的最小值是22S.三、设a 为质数,b 为正整数,且29(2)509(4511)a b a b +=+ 求a ,b 的值.解:将原等式整理为关于b 的一元二次方程: 0509436)51150936(922=⨯-+⨯-+a a b a b ,由于b 为正整数,则方程判别式)72511(509)509436(94)51150936(2222a a a a -=⨯-⨯⨯-⨯-=∆是完全平方数,即a 725112-为完全平方数,设)(7251122N t t a ∈=-,则a t 7251122=-,即a t t 72)511)(511(=+-,由于1022)511()511(=++-t t ,故)511(),511(t t +-同为奇数或者同为偶数,且不同是被3整除.当2=a 时,检验得2725112⨯-不是完全平方数当3=a 时,检验得3725112⨯-不是完全平方数当5≥a 时,由上面分析可知18436218436272⨯=⨯=⨯=⨯=a a a a a 共4种分解方式可能满足条件.当⎩⎨⎧=+=-a t t 365112511时,385=a 不是整数,当⎩⎨⎧=+=-a t t 185114511时,9509=a 不是整数, 当⎩⎨⎧=+=-365112511t a t 或⎩⎨⎧=+=-at t 251136511时,2917493⨯==a 不是质数,当⎩⎨⎧=+=-a t t 451118511时,251=a 是质数,此时只有7=b 满足条件, 综上所述,251=a ,7=b . 附:一。
2008年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题参考答案一、选择题(每小题5分,共50分)1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B 7.B 8.A 9.A 10.C . 二、填空题(每小题5分,共40分)11.2 12.2 13.1,4,5 14.10,或11 15.1.2 16.4 17.1 18.80. (说明:第13题答对1个给1分,对2个给2分;第14题答对1个给2分) 三、解答题(第19题~第21题每题14分,第22题18分.共60分) 19.解:(1)由题设,得9(a -1)-4×3-1+2a =0.解得a =2. …………… 3分所以原方程为x 2-4x +3=0.它的另一个根是1. …………………………… 7分 (2)由题设知,三角形的三边中至少有两条边相等,则有下列两种情形: ①三边相等,边长为1,1,1;或3,3,3.那么三角形的周长是3或9; ……………………… 11分 ②仅有两边相等,因为1+1=2<3,所以三角形的边长只能为3,3,1. 那么三角形的周长是7.由①、②知,三角形的周长可以是3,或7,或9. ……………………… 14分 20.解:(1)由题设知,232(1)(1)(1)(1)1x x kx x k x k x -+-=+--++, ……………… 3分所以32321(1)(1)1x x x x k x k x --+=+--++,从而有11,1 1.k k -=-⎧⎨--=-⎩解得k =0. ………………………………7分(2)322221(1)(1)121(1)x x x x x x x x x --+--==+-+-. 因为x 是整数,所以x +1是整数.故322121x x x x x --+-+是整数. ……………… 14分21.解:(1)由图知,甲池的放水速度为824=(米/小时). 当0≤t ≤3时,乙池的放水速度为13(米/小时); 当3<t ≤5时,乙池的放水速度为52(米/小时).因为13<2,2<52,所以3<t ≤5时,乙池的放水速度快于甲池的放水速度. …………………… 4分(2)甲池中水面高度h (米)与时间t (小时)的函数关系为h =-2t +8.当0≤t ≤3时,乙池中水面高度h (米)与时间t (小时)的函数关系为631+-=t h .由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=.631,82t h t h 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.528,56h t 所以628(,)55P ,即(1.2,5.6)P . 由此说明,当t =1.2小时时,两池中水面的高度相等. …………………10分(3)由图知,甲池中的水4小时放完. 当3<t ≤5时,乙池中水面高度h (米)与时间t (小时)的函数关系为22525+-=t h . 当t =4时,25=h ,即h =2.5.所以当甲池中的水先放完时,乙池中水面的高度是2.5米. ……………………14分 注:(1)中,答3<t ≤4,不扣分.22.解:(1)因为D 、G 分别是AB 、AC 的中点,所以DG ∥BC ,且DG =12BC .分别过点A 、D 作AM ⊥BC ,DN ⊥BC .则∠DNB =∠AMB .因为∠B =∠B ,所以△DNB ∽△AMB .又因为DB =12AB ,所以DN =12AM .故T =12S . ………………………6分(2)过点G 作GH ∥AB ,交BC 于点H .则∠B =∠GHF .因为DE =GF ,DE ∥GF ,所以∠DEB =∠GFH .从而有△DBE ≌△GHF . 因为DG ∥BC ,所以∠ADG =∠B ,从而有△ADG ∽△ABC . 同理,△GHC ∽△ABC .设AD =kAB (0<k <1),则S △ADG =k 2S . 同理,S △GHC =(1-k )2S .T =S -S △ADG -S △GHC =[1-k 2-(1-k )2] S=(-2 k 2+2 k )S =-2[(k -12)2-14] S=-2(k -12)2 S +12S ≤12S .…………………12分(3)分以下四种情形讨论:第一种情形:如果剪得的平行四边形有三个顶点在三角形 的边上,第四个顶点不在三角形的边上.① 当其中有两个顶点在同一边时,如图3-1所示,延长DG 交AC 于点G ′,过点G ′作G ′F ′∥GF ,交BC 于点F ′, 易知四边形DEF ′G ′是平行四边形,则T ≤S □DEF ′G ′ . 由(2)知,S □DEF ′G ′ ≤12S .所以T ≤12S .② 当三点分别在三角形的三边时,如图3-2,过A 点作 AH ∥DE 交EF 、DG 于F ′、G ′,问题转化为(2)和图3-1两图3-1ABDEF GG ′F A 图3-2BCDEFGH F ’G ’种情形,则T = S □DEF ′G ’’+ S □F ′G ′GF≤12 S △ABH + 12S △AHC =S .第二种情形:如果剪得的平行四边形有两个顶点在三角形的边上,另两个顶点不在三角形的边上.①当这两个顶点在同一边上时,如图3-3,延长DG 与三角 形的两边AB 、AC 分别交于点L 、K ,作平行四边形MNKL . 问题转化为(2).则 T =S □DEFG ≤S □MNKL ≤12S .②当这两个顶点分别在三角形的两边上时,如图3-4.延长DE 、 GF 交BC 于点K 、M ,过点K 作KN ∥DG ,交G M 于点N .易 得四边形DKNG 是平行四边形,从而问题转化为图3-2的情形, 则T =S □DEFG ≤S □DKN ′G ≤12S .第三种情形:如果剪得的平行四边形只有一个顶点在三角形的的边上,另三个顶点不在三角形的边上.如图3-5,延长ED 、 FG 分别交AB 、AC 于点K 、M ,过点K 作KN ∥DG ,交FM 于 点N .易得四边形EFNK 是平行四边形,从而问题转化为图3-4 的情形,则T =S □DEFG ≤S □EFNK ≤12S第四种情形:如果剪得的平行四边形没有顶点在三角形的边上时,如图3-6,延长ED 、FG 分别交AB 、AC 于点K 、M ,过点K 作KN ∥DG ,交FM 于点N .易得四边形EFNK是平行四边形,从而问题转化为图3-5的情形,则 T =S □DEFG ≤S □EFNK ≤12S .综上,对任意剪得的□DEFG ,T ≤12S 成立.…………………18分图3-3ABDEF GKL图3-4AB D EF GKM N图3-5 ADEF GK MN ABCDE FG 图3-6K MN。
“ 《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分)(1)已知实数x y ,满足 42424233y y x x -=+=,,则444y x+的值为( A ). (A )7 (B )113+ (C )713+ (D )5 解:因为20x >,2y ≥0,由已知条件得2124443113x ++⨯⨯+==, 21143113y -++⨯-+==, 所以444y x +=22233y x ++-2226y x=-+=7. (2)把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为n m ,,则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是( C ).(A )512 (B )49 (C )1736 (D )12解:基本事件总数有6×6=36,即可以得到36个二次函数.由题意知∆=24m n ->0,即2m >4n .通过枚举知,满足条件的m n ,有17对. 故1736P =. (3)有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有( B ).(A )6条 (B ) 8条 (C )10条 (D )12条解:如图,大圆周上有4个不同的点A ,B ,C ,D ,两两连线可以确定6条不同的直线;小圆周上的两个点E ,F中,至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,则它与A ,B ,C ,D 的连线中,至少有两条不同于A ,B ,C ,D 的两两连线.从而这6个点可以确定的直线不少于8条.当这6个点如图所示放置时,恰好可以确定8条直线.所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.(4)已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦,且1AB a =<.以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ,点D为圆O 上不同于点A 的一点,且DB AB a ==,DC 的延长线交圆O 于点E ,则AE 的长为( B ).(A 5 (B )1 (C 3(D )a 解:如图,连接OE ,OA ,OB . 设D α∠=,则120ECA EAC α∠=︒-=∠. 又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-, 所以ACE △≌ABO △,于是1AE OA ==. (5)将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( D ).(A )2种 (B )3种 (C )4种 (D )5种解:设12345a a a a a ,,,,是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列.首先,对于1234a a a a ,,,,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾.又如果i a (1≤i ≤3)是偶数,1i a +是奇数,则2i a +是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数.所以12345a a a a a ,,,,只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件:2,1,3,4,5; 2,3,5,4,1; 2,5,1,4,3;4,3,1,2,5; 4,5,3,2,1.二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)(6)对于实数u ,v ,定义一种运算“*”为:u v uv v *=+.若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根,则满足条件的实数a 的取值范围是 .【答】0a >,或1a <-.解:由1()4x a x **=-,得21(1)(1)04a x a x ++++=, 依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩,,解得,0a >,或1a <-.(7)小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟.【答】4.解:设18路公交车的速度是x 米/分,小王行走的速度是y 米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s 米.每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则s y x =-66. ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则s y x =+33. ② 由①,②可得 x s 4=,所以 4=xs . 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.(8)如图,在△ABC 中,AB =7,AC =11,点M 是BC 的中点, AD 是∠BAC 的平分线,MF ∥AD ,则FC 的长为 .【答】9.解:如图,设点N 是AC 的中点,连接MN ,则MN ∥AB .又//MF AD ,所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠,所以 12FN MN AB ==. 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9. (9)△ABC 中,AB =7,BC =8,CA =9,过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ,分别与AB ,AC相交于点D ,E ,则DE 的长为 . 【答】163.解:如图,设△ABC 的三边长为a ,b ,c ,内切圆I 的半径为r ,BC 边上的高为a h , 则11()22a ABC ah S abc r ==++△, 所以 a r a h a b c=++. 因为△ADE ∽△ABC ,所以它们对应线段成比例,因此 a a h r DE h BC-=, 所以(1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=⋅=-=-++()a b c a b c +=++, 故879168793DE ⨯+==++(). (10)关于x ,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 .【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,, 解:因为208是4的倍数,偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以4所得的余数为1,所以x ,y 都是偶数.设2,2x a y b ==,则22104()a b a b +=-,同上可知,b a ,都是偶数.设2,2a c b d ==,则2252()c d c d +=-,所以,c ,d 都是偶数.设2,2c s d t ==,则2226()s t s t +=-,于是22(13)(13)s t -++=2213⨯,其中s ,t 都是偶数.所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<. 所以13s -可能为1,3,5,7,9,进而2(13)t +为337,329,313,289,257,故只能是2(13)t +=289,从而13s -=7.有62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,;,故 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,, 三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)(11)在直角坐标系xOy 中,一次函数b kx y +=0k ≠()的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++.(Ⅰ)用b 表示k ;(Ⅱ)求△OAB 面积的最小值.解:(Ⅰ)令0=x ,得0y b b =>,;令0=y ,得00b x k k=-><,. 所以A ,B 两点的坐标分别为0)(0)bAB b k-(,,,, 于是,△OAB 的面积为)(21kb b S -⋅=. 由题意,有 3)(21++-=-⋅b k b k b b , 解得 )3(222+-=b b b k ,2b >. …………………… 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=⋅-==--21027)72b b =-++=++-1027+,当且仅当1022b b -=-时, 有S =即当102+=b ,1-=k 时,不等式中的等号成立.所以,△OAB 面积的最小值1027+. ……………… 15分(12)已知一次函数12y x =,二次函数221y x =+. 是否存在二次函数23y ax bx c =++,其图象经过点(-5,2),且对于任意实数x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值1y ,2y ,3y ,都有1y ≤3y ≤2y 成立?若存在,求出函数3y 的解析式;若不存在,请说明理由.解:存在满足条件的二次函数.因为 2122(1)y y x x -=-+221x x =-+-2(1)x =--≤0,所以,当自变量x 取任意实数时,1y ≤2y 均成立.由已知,二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(-5,2),得2552a b c -+=. ①当1x =时,有122y y ==,3y a b c =++.由于对于自变量x 取任意实数时,1y ≤3y ≤2y 均成立,所以有2 ≤a b c ++≤2,故2a b c ++=. ②由①,②,得 4b a =,25c a =-,所以234(25)y ax ax a =++-.……… 5分当1y ≤3y 时,有 2x ≤24(25)ax ax a ++-,即 2(42)(25)ax a x a +-+-≥0,所以二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ,函数值大于或等于零, 故20(42)4(25)0a a a a >⎧⎨---≤⎩,. 即20(31)0,a a >⎧⎨-≤⎩,所以13a =.……………… 10分 当3y ≤2y 时, 有 24(25)ax ax a ++-≤21x +, 即2(1)4(51)a x ax a --+-≥0,所以二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ,函数值大于或等于零, 故210(4)4(1)(51)0a a a a ->⎧⎨----≤⎩,. 即21(31)0,a a <⎧⎨-≤⎩,所以 13a =. 综上,13a =,443b a ==, 1253c a =-=. 所以,存在二次函数23141333y x x =++,在实数范围内,对于x 的同一个值,都有1y ≤3y ≤2y 成立. ……………… 15分(13)是否存在质数p ,q ,使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根?解:设方程有有理数根,则判别式为平方数.令2224q p n ∆=-=,其中n 是一个非负整数.则2()()4q n q n p -+=. ……………… 5分 由于1≤q n -≤q +n ,且q n -与q n +同奇偶,故同为偶数.因此,有如下几种可能情形:222q n q n p -=⎧⎨+=⎩,, 24q n q n p -=⎧⎨+=⎩,, 4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩,, 22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩,, 24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩, 消去n , 解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+, , , , . ……………… 10分对于第1,3种情形,2p =,从而q =5;对于第2,5种情形,2p =,从而q =4(不合题意,舍去);对于第4种情形,q 是合数(不合题意,舍去).又当2p =,q =5时,方程为22520x x -+=,它的根为12122x x ==,,它们都是有理数.综上所述,存在满足题设的质数. ……………… 15分(14)如图,△ABC 的三边长BC a CA b AB c ===,,,a b c ,,都是整数,且a b , 的最大公约数为2.点G 和点I 分别为△ABC 的重心和内心,且90GIC ∠=︒.求△ABC 的周长.解:如图,延长GI ,与边BC CA ,分别交于P Q ,.设重心G 在边BC CA ,上的投影分别为E F ,,△ABC 的内切圆的半径为r ,BC CA ,边上的高的长分别为a b h h ,,易知CP =CQ ,由PQC GPC GQC S S S =+△△△, 可得()123a b r GE GF h h =+=+, 即 222123ABC ABC ABC S S S a b c a b ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪++⎝⎭△△△, 从而可得 6ab a b c a b++=+. ……………… 10分因为△ABC 的重心G 和内心I 不重合,所以,△ABC 不是正三角形,且b a ≠,否则,2a b ==,可得2c =,矛盾. 不妨假设a b >,由于()2a b =,,设()1111221a a b b a b ===,,,,于是,有1111126a b ab a b a b =++为整数, 所以有11()12a b +,即()24a b +.于是只有1410a b ==,时,可得11c =,满足条件.因此有35a b c ++=.所以,△ABC 的周长为35. ……………… 15分。
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分)本题共有6小题,每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.1.设213a a +=,213b b +=,且a b ≠,则代数式2211a b+的值为 ( ) )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.【答】B .解 由题设条件可知2310a a -+=,2310b b -+=,且a b ≠,所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根,故3a b +=,1ab =,因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B . 2.如图,设AD ,BE ,CF 为三角形ABC 的三条高,若6AB =,5BC =,3EF =,则线段BE 的长为 ( ) )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 【答】D . 解 因为AD ,BE ,CF 为三角形ABC 的三条高,易知,,,B C E F 四点共圆,于是△AEF ∽△ABC ,故35AF EF AC BC ==,即3cos 5BAC ∠=,所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中,424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 故选D . 3.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是 ( ))(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】C . 解 能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个. 所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C .4.在△ABC 中,12ABC ∠=︒,132ACB ∠=︒,BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线,且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上,则 ( ))(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒,BM 为ABC ∠的外角平分线,∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒,∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒,∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒, ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠,∴CN CB =. 因此,BM BC CN ==.故选B .5.现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10%或20%,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为r ,则r 的最小值为 ( ))(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 【答】 B .解 容易知道,4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ,过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅,其中k 为自然数,且0k n ≤≤. 要使r 的值最小,五种商品的价格应该分别为:98()()1010i n i a -⋅⋅,1198()()1010i n i a +--⋅⋅, 2298()()1010i n i a +--⋅⋅,3398()()1010i n i a +--⋅⋅,4498()()1010i n i a +--⋅⋅,其中i 为不超过n 的自然数. 所以r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n ia a +---⋅⋅=⋅⋅. 故选B . 6. 已知实数,x y满足(2008x y =,则223233x y x y -+-2007-的值为 ( ))(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.【答】D .解 ∵(2008x y =,∴x y -==y x -==由以上两式可得x y =. 所以2(2008x =,解得22008x =,所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.故选D .二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.设12a -=,则5432322a a a a a a a+---+=-2-.解 ∵221a a ===-,∴21a a +=, ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a+---++--++=-⋅- 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----.2.如图,正方形ABCD 的边长为1,,M N 为BD 所在直线上的两点,且AM =135MAN ∠=︒,则四边形AMCN 的面积为52解 设正方形ABCD 的中心为O ,连AO ,则AO BD ⊥,2AO OB ==,2MO ===, ∴MB MO OB =-=又135ABM NDA ∠=∠=︒, 13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠,所以△ADN ∽△MBA ,故AD DNMB BA =,从而12AD DN BA MB =⋅==. 根据对称性可知,四边形AMCN 的面积115222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯=△. 3.已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ,n ,且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ,q ,则p q +=12解 根据题意,,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根,所以m n a +=-,mn b =. ∵1m n +≤,∴1m n m n +≤+≤,1m n m n -≤+≤. ∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥,∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-,故14b ≥-,等号当且仅当12m n =-=时取得; 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤,故14b ≤,等号当且仅当12m n ==时取得. 所以14p =,14q =-,于是12p q +=. 4.依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串:149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是 1 .解 21到23,结果都只各占1个数位,共占133⨯=个数位; 24到29,结果都只各占2个数位,共占2612⨯=个数位;210到231,结果都只各占3个数位,共占32266⨯=个数位;232到299,结果都只各占4个数位,共占468272⨯=个数位;2100到2316,结果都只各占5个数位,共占52171085⨯=个数位;此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411,结果都只各占6个数位,共占695570⨯=个数位.所以,排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字,即为1.第二试 (A )一.(本题满分20分) 已知221a b +=,对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ,不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ (1)恒成立.当乘积ab 取最小值时,求,a b 的值.解 整理不等式(1)并将221a b +=代入,得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ (2)在不等式(2)中,令0x =,得0a ≥;令1x =,得0b ≥.易知10a b ++>,21012(1)a ab +<<++,故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象(抛物线)的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知,不等式(2)对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立,所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤,即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ (3) 消去b ,得42161610a a -+=,所以224a -=或224a +=. 又因为0a ≥,所以a =a =, 于是方程组(3)的解为4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,44a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14,此时,a b 的值有两组,分别为a b ==a b ==二.(本题满分25分) 如图,圆O 与圆D 相交于,A B 两点,BC为圆D 的切线,点C 在圆O 上,且AB BC =.(1)证明:点O 在圆D 的圆周上.(2)设△ABC 的面积为S ,求圆D 的的半径r 的最小值.解 (1)连,,,OA OB OC AC ,因为O 为圆心,AB BC =,所以△OBA ∽△OBC ,从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥,所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠,所以DB DO =,因此点O 在圆D 的圆周上.(2)设圆O 的半径为a ,BO 的延长线交AC 于点E ,易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤,OE x =,AB l =,则222a x y =+,()S y a x =+,22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =,所以△BDO ∽△ABC ,所以BD BO AB AC=,即2r a l y =,故2al r y =.所以22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥,即2r ≥其中等号当a y =时成立,这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 三.(本题满分25分)设a 为质数,b 为正整数,且29(2)509(4511)a b a b +=+ (1)求a ,b 的值.解 (1)式即2634511()509509a b a b ++=,设634511,509509a b a b m n ++==,则 509650943511m a n a b --== (2) 故351160n m a -+=,又2n m =,所以2351160m m a -+= (3)由(1)式可知,2(2)a b +能被509整除,而509是质数,于是2a b +能被509整除,故m 为整数,即关于m 的一元二次方程(3)有整数根,所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=(t 为自然数),则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同,且511511t +≥,所以只可能有以下几种情况:①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得3621022a +=,没有整数解. ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1841022a +=,没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1261022a +=,没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得6121022a +=,没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得4181022a +=,解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得2361022a +=,解得493a =,而4931729=⨯不是质数,故舍去. 综合可知251a =.此时方程(3)的解为3m =或5023m =(舍去). 把251a =,3m =代入(2)式,得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试 (B )一.(本题满分20分)已知221a b +=,对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ,不等式 220ay xy bx -+≥ (1)恒成立.当乘积ab 取最小值时,求,a b 的值.解 由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在(1)式中,令0,1x y ==,得0a ≥;令1,0x y ==,得0b ≥.将1y x =-代入(1)式,得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥,即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ (2)易知10a b ++>,21012(1)a ab +<<++,故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象(抛物线)的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知,不等式(2)对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立,所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤,即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ (3) 消去b ,得42161610a a -+=,所以2a =2a =0a ≥,所以a =或4a =. 于是方程组(3)的解为,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足条件的,a b 的值有两组,分别为44a b ==44a b == 二.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第二题相同.三.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第三题相同.第二试 (C )一.(本题满分20分)题目和解答与(B )卷第一题相同.二.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第二题相同.三.(本题满分25分)设a 为质数,,b c 为正整数,且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ (1)(2) 求()a b c +的值.解 (1)式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=, 设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==,则 5096509423511m a n a b c ---== (3) 故351160n m a -+=,又2n m =,所以 2351160m m a -+= (4)由(1)式可知,2(22)a b c +-能被509整除,而509是质数,于是22a b c +-能被509整除,故m 为整数,即关于m 的一元二次方程(4)有整数根,所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=(t 为自然数),则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同,且511511t +≥,所以只可能有以下几种情况:①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得3621022a +=,没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1841022a +=,没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1261022a +=,没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得6121022a +=,没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得4181022a +=,解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得2361022a +=,解得493a =,而4931729=⨯不是质数,故舍去.综合可知251a =,此时方程(4)的解为3m =或5023m =(舍去). 把251a =,3m =代入(3)式,得50936251273b c ⨯-⨯-==,即27c b =-. 代入(2)式得(27)2b b --=,所以5b =,3c =,因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。
2008全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(A 卷)说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是(C)A .0B .1C .2D .3 [解] 当2x <时,20x ->,因此21(44)1()(2)22x x f x x x x+-+==+---2≥2=,当且仅当122x x=--时上式取等号.而此方程有解1(,2)x =∈-∞,因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2.2.设[2,4)A =-,2{40}B x x ax =--≤,若B A ⊆,则实数a 的取值范围为 ( D )A .[1,2)-B .[1,2]-C .[0,3]D .[0,3) [解] 因240x ax --=有两个实根12a x =-22a x =故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <,即22a ≥-且42a , 解之得03a ≤<.3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 ( B ) A.24181B.26681C.27481D.670243[解法一] 依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有 5(2)9P ξ==, 4520(4)()()9981P ξ===,2416(6)()981P ξ===,故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=.[解法二] 依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜,则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜.由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=, 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=, 1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==, 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=.4.若三个棱长均为整数(单位:cm )的正方体的表面积之和为564 cm 2,则这三个正方体的体积之和为 ( A )A. 764 cm 3或586 cm 3B. 764 cm 3C. 586 cm 3或564 cm 3D. 586 cm 3 [解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ,则有()2226564a b c ++=,22294a b c ++=,不妨设110a b c ≤≤≤<,从而2222394c a b c ≥++=,231c >.故610c ≤<.c 只能取9,8,7,6.若9c =,则22294913a b +=-=,易知2a =,3b =,得一组解(,,)(2,3,9)a b c =.若8c =,则22946430a b +=-=,5b ≤.但2230b ≥,4b ≥,从而4b =或5.若5b =,则25a =无解,若4b =,则214a =无解.此时无解.若7c =,则22944945a b +=-=,有唯一解3a =,6b =.若6c =,则22943658a b +=-=,此时222258b a b ≥+=,229b ≥.故6b ≥,但6b c ≤=,故6b =,此时2583622a =-=无解.综上,共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3.5.方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为( B )A. 1B. 2C. 3D. 4[解] 若0z =,则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩,解得00x y =⎧⎨=⎩,或11.x y =-⎧⎨=⎩,若0z ≠,则由0xyz z +=得1xy =-. ① 由0x y z ++=得z x y =--. ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=. ③ 由①得1x y=-,代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=.易知310y y --=无有理数根,故1y =,由①得1x =-,由②得0z =,与0z ≠矛盾,故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩6.设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列, 则sin cot cos sin cot cos A C A B C B ++的取值范围是A. (0,)+∞B.C.D.)+∞ [解] 设,,a b c 的公比为q ,则2,b aq c aq ==,而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A CB C B B C B C++=++sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-.因此,只需求q 的取值范围.因,,a b c 成等比数列,最大边只能是a 或c ,因此,,a b c 要构成三角形的三边,必需且只需a b c +>且b c a +>.即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得q q q <<⎨⎪><⎪⎩从而1122q <<,因此所求的取值范围是. 二、填空题(本题满分54分,每小题9分)7.设()f x ax b =+,其中,a b 为实数,1()()f x f x =,1()(())n n f x f f x +=,1,2,3,n = ,若7()128381f x x =+,则a b += 5 . [解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++++11n na a xb a -=+⋅-,由7()128381f x x =+得7128a =,713811a b a -⋅=-,因此2a =,3b =,5a b +=.8.设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-,则a=[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----,(1) 2a >时,()f x 当cos 1x =时取最小值14a -;(2) 2a <-时,()f x 当cos 1x =-时取最小值1;(3)22a -≤≤时,()f x 当cos 2ax =时取最小值21212a a ---. 又2a >或2a <-时,()f x 的最小值不能为12-,故2112122a a ---=-,解得2a =-2a =-舍去).9.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种. [解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用*表示名额.如||||********表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于24226+=个位置(两端不在内)被2个“|”占领的一种“占位法”.“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|”,故有223C 253=种. 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种. [解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=.的正整数解的个数,即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合:2121232323H C C 253===. 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种. 10.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足:1(1)n n n S a n n -+=+,1,2,n = ,则通项n a =112(1)n n n -+. [解]1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++,即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n , 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n .令1(1)n n b a n n =++,111122b a =+= (10a =), 有112n n b b +=,故12n nb =,所以)1(121+-=n n a nn . 11.设()f x 是定义在R 上的函数,若(0)2008f = ,且对任意x ∈R ,满足(2)()32x f x f x +-≤⋅,(6)()632x f x f x +-≥⋅,则)2008(f =200822007+.[解法一] 由题设条件知(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅,因此有(2)()32x f x f x +-=⋅,故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++10031413(0)41f +-=⋅+-200822007=+.[解法二] 令()()2x g x f x =-,则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=, 6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=,即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥,答12图1故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤, 得()g x 是周期为2的周期函数,所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+. 12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.[解] 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为r ,作平面111A B C //平面ABC ,与小球相切于点D ,则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心,111PO A B C ⊥面,垂足D 为111A B C 的中心.因11111113P A B CA B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅, 故44PD OD r==,从而43PO PD OD r r r =-=-=.记此时小球与面PAB 的切点为1P ,连接1OP ,则2211PP PO OP =-==. 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况,易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为答13图答12图21PEF ,如答12图2.记正四面体的棱长为a ,过1P 作1PM PA ⊥于M . 因16MPP π∠=,有11cos PM PP MPP =⋅==,故小三角形的边长12PE PA PM a =-=-.小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分)1PAB P EFS S ∆∆-22())a a =--2=-.又1r =,a =1PAB P EF S S ∆∆-==由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为三、解答题(本题满分60分,每小题20分) 13.已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx =)0(>k 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为α,求证: 2cos 1sin sin 34ααααα+=+.[证]()f x 的图象与直线y kx = )0(>k 的三个交点如答13图所示,且在3(,)2ππ内相切,其切点为(,sin )A αα-,3(,)2παπ∈. …5分由于()cos f x x '=-,3(,)2x ππ∈,所以sin cos ααα-=-,即tan αα=. …10分 因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+14sin cos αα=…15分22cos sin 4sin cos αααα+=21tan 4tan αα+=214αα+=. …20分14.解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++.[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+,且2log y 在(0,)+∞上为增函数,故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+.即 1210864353210x x x x x +++-->.…5分分组分解12108x x x +-1086222x x x ++-864444x x x ++-642x x x ++-4210x x ++->,864242(241)(1)0x x x x x x +++++->, …10分所以 4210x x +->,2211(022x x ---+-->. …15分所以2x ,即x <x >故原不等式解集为(,)-∞+∞ . …20分[解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+,且2log y 在(0,)+∞上为增函数,故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+.…5分即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x x x+<+++++=+++, )1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x xx , …10分令3()2g t t t =+,则不等式为221()(1)g g x x<+,显然3()2g t t t =+在R 上为增函数,由此上面不等式等价于答15图2211x x <+, …15分即222()10x x +->,解得2x >(2x <舍去),故原不等式解集为(,)-∞+∞ . …20分15.如题15图,P 是抛物线22y x =上的动点,点B C ,在y 轴上,圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆,求PBC ∆面积的最小值.[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ,不妨设b c >.直线PB 的方程:00y b y b x x --=,化简得000()0y b x x y x b --+=.又圆心(1,0)到PB 的距离为1,1= , …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+, 易知02x >,上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=,同理有2000(2)20x c y c x -+-=. …10分 所以0022y b c x -+=-,002x bc x -=-,则 22200020448()(2)x y x b c x +--=-.因00(,)P x y 是抛物线上的点,有2002y x =,则22204()(2)x b c x -=-,0022x b c x -=-. …15分所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--48≥=.当20(2)4x -=时,上式取等号,此时004,x y ==±.因此PBC S ∆的最小值为8. …20分2008年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)试题参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分; 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、(本题满分50分)如题一图,给定凸四边形ABCD ,180B D ∠+∠< ,P 是平面上的动点,令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅.(Ⅰ)求证:当()f P 达到最小值时,P A B C ,,,四点共圆; (Ⅱ)设E 是ABC ∆外接圆O 的 AB 上一点,满足:AE AB=,1BC EC=,12ECB ECA ∠=∠,又,DA DC 是O的切线,AC 求()f P 的最小值.[解法一] (Ⅰ)如答一图1,由托勒密不等式,对平面上的任意点P ,有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅.因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅.因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号,因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在AC 上时, ()()f P PB PD CA =+⋅.…10分又因PB PD BD +≥,此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号.因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时,()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅.故当()f P 达最小值时,,,,P A B C 四点共圆.…20分(Ⅱ)记ECB α∠=,则2ECA α∠=,由正弦定理有sin 2sin 3AE ABαα==,从而32sin 2αα=34sin )4sin cos αααα-=,所以2cos )4cos 0αα--=,整理得24cos 0αα-,…30分解得cosα=cos α=, 故30α= ,60ACE ∠= .由已知1BC EC=()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠ ,1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠,整理得1cos2EAC EAC ∠=∠,故tan 2EAC ∠== 可得75EAC ∠= , …40分 从而45E ∠= ,45DAC DCA E ∠=∠=∠= ,ADC ∆为等腰直角三角形.因AC =1CD =.又ABC∆也是等腰直角三角形,故BC =,212215BD =+-⋅=,BD =故min ()f P BD AC =⋅=.…50分[解法二] (Ⅰ)如答一图2,连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点(因为D 在O 外,故0P 在BD 上).过,,A C D 分别作000,,P A P C P D 的垂线,两两相交得111A B C ∆,易知0P 在ACD ∆内,从而在111A B C ∆内,记ABC∆之三内角分别为x y z ,,,则0180AP C y z x ∠=︒-=+,又因110B C P A ⊥,110B A P C ⊥,得1B y ∠=,同理有1A x ∠=,1C z ∠=,所以111A B C ∆∽ABC ∆. …10分设11B C BC λ=,11C A CA λ=,11A B AB λ=, 则对平面上任意点M ,有0000()()f P P A BC P D CA P C AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A PC A B =⋅+⋅+⋅ 1112A B C S ∆=111111MA B C MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅()f M λ=,从而0()()f P f M ≤.由M 点的任意性,知0P 点是使()f P 达最小值的点. 由点0P 在O 上,故0,,,P A B C 四点共圆. …20分 (Ⅱ)由(Ⅰ),()f P 的最小值11102()A B C f P S λ∆=2ABC S λ∆=,记ECB α∠=,则2ECA α∠=,由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==,从而答一图232sin 2αα=34sin )4sin cos αααα-=,所以2cos )4cos 0αα--=,整理得24cos 0αα-=, …30分解得cosα=cos α=,故30α= ,60ACE ∠= . 由已知1BC EC=()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠ ,即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠,整理得1cos2EAC EAC ∠=∠,故tan 2EAC ∠== 可得75EAC ∠= , …40分 所以45E ∠=︒,ABC ∆为等腰直角三角形,AC 1ABC S ∆=,因为145AB C ∠=︒,1B 点在O 上,190AB B ∠=︒,所以11B BDC 为矩形,11B C BD ===故λ=min ()21f P == …50分[解法三] (Ⅰ)引进复平面,仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数.由三角形不等式,对于复数12,z z ,有1212z z z z +≥+,当且仅当1z 与2z (复向量)同向时取等号.有 PA BC PC AB PA BC PC AB⋅+⋅≥⋅+⋅ ,所以 ()()()()A P C B C P B A --+--()()()()A P CBC P B A ≥--+-- (1)P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅()()B P C A PB AC=--=⋅,从而PA BC PC AB PD CA⋅+⋅+⋅PB AC PD AC ≥⋅+⋅()PB PD AC =+⋅BD AC≥⋅ . (2) …10分(1)式取等号的条件是 复数 ()()A P C B --与()()C P B A --同向,故存在实数0λ>,使得()()()()A P C B C P B A λ--=--,A PB AC P C Bλ--=--, 所以 arg()arg()A P B A C P C B--=--,向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC旋转到AB 所成的角,从而,,,P A B C 四点共圆.(2)式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上. 故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上,,,,P A B C 四点共圆. …20分(Ⅱ)由(Ⅰ)知min ()f P BD AC =⋅. 以下同解法一.二、(本题满分50分)设()f x 是周期函数,T 和1是()f x 的周期且01T <<.证明: (Ⅰ)若T 为有理数,则存在素数p ,使1p是()f x 的周期; (Ⅱ)若T 为无理数,则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =⋅⋅⋅,且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期.[证] (Ⅰ)若T 是有理数,则存在正整数,m n 使得n T m=且(,)1m n =,从而存在整数,a b ,使得 1ma nb +=.于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅是()f x 的周期. …10分 又因01T <<,从而2m ≥.设p 是m 的素因子,则m pm '=,m *'∈N ,从而11m p m'=⋅ 是()f x 的周期. …20分(Ⅱ)若T 是无理数,令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,则101a <<,且1a 是无理数,令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,……111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,……. …30分由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<.又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦,故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦,即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦.因此{}n a 是递减数列. …40分最后证:每个n a 是()f x 的周期.事实上,因1和T 是()f x 的周期,故111a TT ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期.假设ka 是()f x 的周期,则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期.由数学归纳法,已证得n a 均是()f x 的周期. …50分三、(本题满分50分)设0k a >,1,2,,2008k = .证明:当且仅当200811k k a =>∑时,存在数列{}n x满足以下条件:(1)010n n x x x +=<<,1,2,3,n = ; (2)lim n n x →∞存在; (3)20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑,1,2,3,n = .[证] 必要性:假设存在{}n x 满足(1),(2),(3).注意到(3)中式子可化为2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑,n ∈*N,其中00x =.将上式从第1项加到第n 项,并注意到00x =得111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++- .…10分由(1)可设lim n n b x →∞=,将上式取极限得 112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++-20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081kk b a =<⋅∑,因此200811k k a =>∑. …20分充分性:假设200811k k a =>∑.定义多项式函数如下:20081()1kk k f s a s ==-+∑,[0,1]s ∈,则()f s 在[0,1]上是递增函数,且(0)10f =-<,20081(1)10k k f a ==-+>∑.因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =,且001s <<,即0()0f s =.…30分下取数列{}n x 为01n k n k x s ==∑,1,2,n = ,则明显地{}n x 满足题设条件(1),且100101n nkn k s s x s s +=-==-∑.因001s <<,故1lim 0n n s+→∞=,因此10000lim lim 11n n n n s s sx s s +→∞→∞-==--,即{}n x 的极限存在,满足(ⅱ).…40分最后验证{}n x 满足(3),因0()0f s =,即2008011k k k a s ==∑,从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a sa x x +-++-===-====-∑∑∑.综上,存在数列{}n x 满足(1),(2),(3). …50分。
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分)1.已知实数x y ,满足42424233y y xx-=+=,,则444yx+的值为( ).(A )7 (B ) 12+(C )72+(D )5【答】(A )解:因为20x >,2y ≥0,由已知条件得212184x++==, 21122y -+-+==,所以444y x+=22233yx++- 2226y x=-+=7.另解:由已知得:2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩,显然222y x -≠,以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=,所以 222222()1,()3yy xx-+=--⨯=- 故444yx+=22222222[()]2()(1)2(3)7y y xx-+-⨯-⨯=--⨯-= 2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m ,n ,则二次函数2y x m x n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是( ).(第3题)(A )512(B )49(C )1736(D )12【答】(C )解:基本事件总数有6×6=36,即可以得到36个二次函数. 由题意知∆=24m n ->0,即2m >4n .通过枚举知,满足条件的m n ,有17对. 故1736P =.3.有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有( ).(A )6条 (B ) 8条 (C )10条 (D )12条 【答】(B )解:如图,大圆周上有4个不同的点A ,B ,C ,D ,两两连线可以确定6条不同的直线;小圆周上的两个点E ,F 中,至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,则它与A ,B ,C ,D 的连线中,至少有两条不同于A ,B ,C ,D 的两两连线.从而这6个点可以确定的直线不少于8条.当这6个点如图所示放置时,恰好可以确定8条直线. 所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.4.已知A B 是半径为1的圆O 的一条弦,且1A B a =<.以A B 为一边在圆O 内作正△ABC ,点D 为圆O 上不同于点A 的一点,且D B AB a ==,D C 的延长线交圆O 于点E,则A E的长为( ). (A )2 (B )1 (C 2(D )a【答】(B )解:如图,连接OE ,OA ,OB . 设D α∠=,则120EC A EAC α∠=︒-=∠. 又因为()1160180222A B O A B D α∠=∠=︒+︒-120α=︒-,所以A C E △≌A B O △,于是1A E O A ==.另解:如图,作直径EF ,连结AF ,以点B 为圆心,AB 作⊙B ,因为AB =BC =BD ,则点A ,C ,D 都在⊙B 上, 由11603022F ED A C BA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=(第4题)5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( ).(A )2种 (B )3种 (C )4种 (D )5种 【答】(D )解:设12345a a a a a ,,,,是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列.首先,对于1234a a a a ,,,,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾.又如果i a (1≤i ≤3)是偶数,1i a +是奇数,则2i a +是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数.所以12345a a a a a ,,,,只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件:2,1,3,4,5; 2,3,5,4,1; 2,5,1,4,3; 4,3,1,2,5; 4,5,3,2,1. 二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)6.对于实数u ,v ,定义一种运算“*”为:u v uv v *=+.若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根,则满足条件的实数a 的取值范围是 .【答】0a >,或1a <-.解:由1()4x a x **=-,得21(1)(1)04a x a x ++++=,依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩,, 解得,0a >,或1a <-.7.小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟.【答】4.解:设18路公交车的速度是x 米/分,小王行走的速度是y 米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s 米.每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则 s y x =-66. ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则s y x =+33. ②(第8题)(第9题答案)由①,②可得 x s 4=,所以4=xs .即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.8.如图,在△ABC 中,AB =7,AC =11,点M 是BC 的中点, AD 是∠BAC 的平分线,MF ∥AD ,则FC 的长为 . 【答】9.解:如图,设点N 是AC 的中点,连接MN ,则MN ∥AB . 又//M F AD ,所以 F M N B A D D A C M F N ∠=∠=∠=∠, 所以 12F N M N A B==.因此 1122F C F N N C A B A C =+=+=9.另解:如图,过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ,延长MF AE 于点N.则E B A D D A C A C E ∠=∠=∠=∠所以11A E A C ==. 又//F N C E ,所以四边形C E N F 是等腰梯形, 即11(711)922C F E N B E ===⨯+=9.△ABC 中,AB =7,BC =8,CA =9,过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ,分别与AB ,AC 相交于点D ,E ,则DE 的长为 .【答】163.解:如图,设△ABC 的三边长为a ,b ,c ,内切圆I 的半径为r , BC 边上的高为a h ,则11()22a A B C ah S abc r==++△,所以ar a h a b c=++.因为△ADE ∽△ABC ,所以它们对应线段成比例,因此a ah r D E h BC-=,所以 (1)(1)a aah r r aD E a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++,故 879168793D E ⨯+==++().(第8题答案)另解:ABC S rp ∆===(这里2a b cp ++=)所以12r ==28ABCa S h a===△由△ADE ∽△ABC ,得23a ah r D E BCh -===,即21633D E B C ===10.关于x ,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 . 【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,, 解:因为208是4的倍数,偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以4所得的余数为1,所以x ,y 都是偶数.设2,2x a y b ==,则22104()a b a b +=-,同上可知,a ,b 都是偶数.设2,2a c b d ==,则2252()c dc d +=-,所以,c ,d 都是偶数.设2,2c s d t ==,则2226()s t s t +=-,于是 22(13)(13)s t -++=2213⨯, 其中s ,t 都是偶数.所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<.所以13s -可能为1,3,5,7,9,进而2(13)t +为337,329,313,289,257,故只能是2(13)t +=289,从而13s -=7.于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,;,因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,,另解:因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 正整数,所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++= 则 因为任何完全平方数的个位数为:1,4,5,6,9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6; 当22,a b 的个位数是1和1时,则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数,与22a b +的十位数字为3矛盾。
12008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分)本题共有6小题,每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.1.设213a a +=,213b b +=,且a b ≠,则代数式2211a b+的值为 ( ) A .5 B .7 C .9 D .11.【答案】B【解析】 由题设条件可知2310a a -+=,2310b b -+=,且a b ≠,所以a ,b 是一元二次方程2310x x -+=的两根,故3a b +=,1ab =,因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B 2.如图,设AD ,BE ,CF 为三角形ABC 的三条高,若6AB =,5BC =,3EF =,则线段BE 的长为( )EFDCBA2A .185B .4C .215D .245【答案】D【解析】 因为AD ,BE ,CF 为三角形ABC 的三条高,易知B ,C ,E ,F 四点共圆,于是AEF ABC △∽△,故35AF EF AC BC ==,即3cos 5BAC ∠=,所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt ABE △中,424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=.故选D3.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是 ( )A .15B .310C .25D .12. 【答案】C【解析】 能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个.所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=.故选C 4.在ABC △中,12ABC ∠=o ,132ACB ∠=o ,BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线,且点M ,N 分别在直线AC 和直线AB 上,则 ( )3A .BM CN >B .BM CN =C .BM CN <D .BM 和CN 的大小关系不确定【答案】B【解析】 ∵12ABC ∠=o ,BM 为ABC ∠的外角平分线,∴1(18012)842MBC ∠=-=o o o.又180********BCM ACB ∠=-∠=-=o o o o ,∴180844848BMC ∠=--=o o o o ,∴BM BC =.又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=-∠=-=o o o o,∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=-∠-∠=--∠+∠o o o 168(13224)=-+o o o12ABC ==∠o ,∴CN CB =. 因此,BM BC CN ==.故选B5.现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10%或20%,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为r ,则r 的最小值为 ( )A .398T ⎛⎫ ⎪⎝⎭.B .498⎛⎫ ⎪⎝⎭.C .598⎛⎫⎪⎝⎭. D .98.【答案】B.【解析】 容易知道,4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ,过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为4()()98110%120%1010kn kkn ka a --⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,其中k 为自然数,且0k n ≤≤.要使r 的值最小,五种商品的价格应该分别为:981010in ia -⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,1188(1010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22991010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,33981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,44981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,其中i 为不超过n 的自然数.所以r 的最小值为44498910108981010i n i i n ia a +---⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B . 6.已知实数x ,y 满足(22200820082008x x y y --=,则223233x y x y -+-2007-的值为( )A .2008-B .2008C .1-D .1.【答案】D .【解析】 ∵(22200820082008x x y y --=,∴222200820082008x x y y y y -=---222200820082008y y x x x x -=---由以上两式可得x y =.所以(2220082008x x -=,解得22008x =,所以522222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.故选D .二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.设51a -,则5432322a a a a a a a +---+=- . 【答案】 2-【解析】 ∵2251351a a --==-⎝⎭,∴21a a +=, ∴()()32325432322222a a a a a a a a a a a a a a a a+--+++---+=-⋅- ()()333322212111(11)211a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----. 2.如图,正方形ABCD 的边长为1,M ,N 为BD 所在直线上的两点,且5AM 135MAN ∠=o ,则四边形AMCN 的面积为 .【答案】 52【解析】 设正方形ABCD 的中心为O ,连AO ,则AO BD ⊥,2AO OB = ()222223252MO AM AO ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭O MND CBA6∴2MB MO OB =-又135ABM NDA ∠=∠=o ,13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=--∠o o 45MAB AMB =-∠=∠o ,所以ADN MBA △∽△,故AD DN MB BA =,从而212AD DN BA MB =⋅=. 根据对称性可知,四边形AMCN 的面积1122522222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯+=⎝△. 3.已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ,n ,且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ,q ,则p q += .【答案】 12【解析】 根据题意,m ,n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根,所以m n a +=-,mn b =.∵1m n +≤,∴1m n m n ++≤≤,1m n m n -+≤≤.∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥,∴22()1444a m nb +=≤≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--+--≥≥,故14b -≥,等号当且仅当12m n =-=时取得;22244()()1()1b mn m n m n m n ==+----≤≤,故14b ≤,等号当且仅当12m n ==时取得.7所以14p =,14q =-,于是12p q +=.4.依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串:149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是 .【答案】 1【解析】 21到23,结果都只各占1个数位,共占133⨯=个数位;24到29,结果都只各占2个数位,共占2612⨯=个数位;210到231,结果都只各占3个数位,共占32266⨯=个数位;232到299,结果都只各占4个数位,共占468272⨯=个数位;2100到2316,结果都只各占5个数位,共占52171085⨯=个数位;此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411,结果都只各占6个数位,共占695570⨯=个数位.所以,排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字,即为1.第二试 (A )一.(本题满分20分)8已知221a b +=,对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ,不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ ①恒成立.当乘积ab 取最小值时,求a ,b 的值.【解析】 整理不等式①并将221a b +=代入,得2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ ②在不等式②中,令0x =,得0a ≥;令1x =,得0b ≥.易知10a b ++>,21012(1)a ab +<<++,故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象(抛物线)的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知,不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立,所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤,即14ab ≥.由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ③ 消去b ,得42161610a a -+=,所以223a -或223a +=. 又因为0a ≥,所以62a -或62a +,9于是方程组③的解为6262a b ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或6262a b ⎧+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14,此时,a b 的值有两组,分别为 62a -,62b +和62a +=,62b -=.二.(本题满分25分)如图,圆O 与圆D 相交于,A B 两点,BC 为圆D 的切线,点C 在圆O 上,且AB BC =.⑴ 证明:点O 在圆D 的圆周上.⑵ 设△ABC 的面积为S ,求圆D 的的半径r 的最小值.【解析】 ⑴ 连OA ,OB ,OC ,AC ,因为O 为圆心,AB BC =,所以△OBA ∽△OBC ,从而OBA OBC ∠=∠.因为OD AB ⊥,DB BC ⊥,所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=-∠=-∠=∠o o ,所以DB DO =,因此点O 在圆D 的圆周上.⑵ 设圆O 的半径为a ,BO 的延长线交AC 于点E ,易知CE OABD10BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤,OE x =,AB l =,则222a x y =+,()S y a x =+,22222222()2222()aSl y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =,所以BDO ABC △∽△,所以BD BOAB AC=,即2r a l y =,故2al r y =.所以322222224422a l a aS S a S r y y y y ⎛⎫==⋅=⋅ ⎪⎝⎭≥,即2S r 其中等号当a y =时成立,这时AC是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 2S三.(本题满分25分)设a 为质数,b 为正整数,且()()2925094511a b a b +=+①求a ,b 的值.【解析】 ①式即2634511509509a b a b++⎛⎫= ⎪⎝⎭,设63509a b m +=,4511509a b n +=,则 509650943511m a n ab --== ②故351160n m a -+=,又2n m =,所以2351160m m a -+=③由①式可知,2(2)a b +能被509整除,而509是质数,于是2a b +能被509整除,故m 为整数,即关于m 的一元二次方程③有整数根,所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.11不妨设2251172a t ∆=-=(t 为自然数),则2272511(511)(511)a t t t =-=+-.由于511t +和511t -的奇偶性相同,且511511t +≥,所以只可能有以下几种情况:①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得3621022a +=,没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1841022a +=,没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1261022a +=,没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得6121022a +=,没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得4181022a +=,解得251a =. ⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得2361022a +=,解得493a =,而4931729=⨯不是质数,故舍去.综合可知251a =.此时方程③的解为3m =或5023m =(舍去). 把251a =,3m =代入②式,得5093625173b ⨯-⨯==.第二试 (B )12一.(本题满分20分)已知221a b +=,对于满足条件1x y +=,0xy ≥的一切实数对()x y ,,不等式220ay xy bx -+≥ ①恒成立.当乘积ab 取最小值时,求a ,b 的值.【解析】 由1x y +=,0xy ≥可知01x ≤≤,01y ≤≤.在①式中,令0x =,1y =,得0a ≥;令1x =,0y =,得0b ≥.将1y x =-代入①式,得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥,即()()21210a b x a x a ++-++≥ ②易知10a b ++>,21012(1)a ab +<<++,故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象(抛物线)的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知,不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立,所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤,即14ab ≥由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ③ 消去b ,得42161610a a -+=,所以223a -或223a +=,13又因为0a ≥,所以62a -或62a +. 于是方程组③的解为6262ab ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或6262a b ⎧+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以满足条件的a ,b 的值有两组,分别为62a -=,62b +和62a +,62b -= 二.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第二题相同.三.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第三题相同.第二试 (C )一.(本题满分20分)题目和解答与(B )卷第一题相同.二.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第二题相同.三.(本题满分25分)设a 为质数,b ,c 为正整数,且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩①②14求()a b c +的值.【解析】 ①式即266341022511509509a b c a b c+-+-⎛⎫=⎪⎝⎭, 设663509a b c m +-=,41022511509a b cn +-=,则5096509423511m a n ab c ---== ③ 故351160n m a -+=,又2n m =,所以2351160m m a -+= ④由①式可知,2(22)a b c +-能被509整除,而509是质数,于是22a b c +-能被509整除,故m 为整数,即关于m 的一元二次方程④有整数根,所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=(t 为自然数),则2272511(511)(511)a t t t =-=+-.由于511t +和511t -的奇偶性相同,且511511t +≥,所以只可能有以下几种情况:①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得3621022a +=,没有整数解. ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1841022a +=,没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1261022a +=,没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得6121022a +=,没有整数解.15⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得4181022a +=,解得251a =. ⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得2361022a +=,解得493a =,而4931729=⨯不是质数,故舍去.综合可知251a =,此时方程④的解为3m =或5023m =(舍去). 把251a =,3m =代入③式,得50936251273b c ⨯-⨯-==,即27c b =-.代入②式得(27)2b b --=,所以5b =,3c =,因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。
2008年全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)参考答案(2008年4月19日 上午9:00—11:30)-、选择题(每小题7分,共42分)1 、解:由1114123+=,而1111,236++=故删去11810与后,可使剩下的数之和为1.故选C2====12.故选A . 3、解:555=5×545=5×18125,因125被8除余l ,所以18125被8除余l ,故知555被8除余5,而在125、375、625、875四数中,只有125被8除余5,故选A4 、解:由(1)、(3)得2x y x =-,63x z x =-,故x ≠0,代人(2)解得2710x =,所以277y =, z =-54.检验知此组解满足原方程组.于是10X +7y +Z =0.故选D5、解:图中只有边长为1或2的两种菱形,每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线,原正三角形内部每条长为1的线段,恰是一个边长为1的菱形的对角线;这种线段有18条,对应着18个边长为1的菱形;原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线,三条中位线对应着3个边长为2的菱形;共得21个菱形. 选C6、解:设28abcd =3()xy ,则据末位数字特征得y =2,进而确定xy :因360=216000,370=343000,所以60<xy <70,故只有,xy =62,而262=238328,则ab =38,cd =32,ab +cd =70. 故选D二.填空题(每小题7分,共28分)7、解:据条件式9........1xy +=()令z ,则(1)式化为:z xy ++9,即有9-z =xy81-18z +2z =2222(1)(4)2x y x y xy ++++……(2),又由2z =2(=2222(4)(1)2x y y x xy ++++代入(2)得,81-18z=4,所以7718z =. 8、解:l +2+…+61=1891,2008—1891=117,由于形如ab 的页码被当成ba 后,加得的和数将相差9a b -,因为,a b 只能在1,2,…,9中取值,a b -≤8,得9a b -≤72,由于117=72+45=63+54,设弄错的两位数是ab和cd,若9a b-=72,9c d-=45,只有ab =19,而cd可以取l6,27,38,49;这时ab+cd的最大值是68;若9a b-=63,9c d-=54,则ab可以取18,29,而cd可以取17,28,39,ab+cd的最大值也是68.9、解:如右图,连OA,OB,OC,线段OA将阴影的上方部分剖分成两个弓形,将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点O旋转0120后,阴影部分便合并成△OBC,它的面积等于△A BC10、解:6=3(8+,令8+a,8-b,得 a+b=16,ab=4,a,b 是方程21640x x-+=的两个根,故得2a=16a-4,2b=16b-4;3a=162a-4a,32164b b b=-;所以3a+3b=16(2a+2b)-4(a+b)=16(16(a+b)一8)-4(a+b)=252(a+b)-128=3904.∵0<b<1,∴0<3b<1,∴3a的最大整数值不超过3903.三.解答题(共70分)11、解:当a=0时,方程的有理根为75x=;……5分以下考虑a≠0的情况,此时原方程为一元二次方程,由判别式2(5)4(7)0,a a a+-+≥即32a+18a-25≤0a≤≤整数a只能在其中的非零整数1,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7中取值,…… 10 分由方程得x= (1)当a=1,由(1)得x=2和4;当a=-1时,方程无有理根;当a=-2,由(1)得x=1和-52;当a=-3时,方程无有理根;……15分当a=-4,由(1)得x=-1和34;当a=-5时,方程无有理根;当a=-6,由(1)得x=12和-13;当a=-7时,由(1)得x=37和17-;…… 20分A P 12、证明:EF 截△PMN ,则.. 1..........(1)NK MF PE KM FP EN=……5分 BC 截 △PAE ,则.. 1...........(2)EB AC PN BA CP NE =,即有2,PN CP NE AC = 所以2..............(3)PE CP AC EN AC+=, ……10分AD 截△PCF ,则..1,FD CA PM DC AP MF=即22,............(4)PM AP PF AP AC MF AC MF AC-=∴=……15分 因AP =AC +CP ,得2CP + AC =2AP -AC ,由(3),(4)得,,........20PE FP EN MF=分 —即.1,MF PE FP EN =所以由(1)得 NK =KM ,即K 是线段 AM 的中点 ……25分 13、解:将这120人分别编号为12120,,....,P P P ,并视为数轴上的120个点,用k A 表示这120人之中未答对第k 题的人所成的组,k A 为该组人数, k=l ,2,3,4,5,则1A =24,234537,46,54,85,A A A A ==== ……5分将以上五个组分别赋予五种颜色,如果某人未做对第k 题,则将表示该人点染第k 色,k=l ,2,3,4,5,问题转化为,求出至少染有三色的点最多有几个?由于1A +2345A A A A +++=246,故至少染有三色的点不多于2463=82个,……10分 右上图是满足条件的一个最佳染法,即点1285,,....,P P P 这85 个点染第五色;点1237,,....,P P P这37个点染第二色;点383983,,....,P P P 这46个点染第四色;点1224,,....,P P P 这24 个点染第一色;点252678,,....,P P P 这54个点染第三色;于是染有三色的点最多有78个. …20分因此染色数不多于两种的点至少有42个,即获奖人数至少有42个人(他们每人至多答错两题,而至少答对三题,例如7980120,,...,P P P 这 42 个人) …… 25分85 46 5437 24。
“ 《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分)(1)已知实数x y ,满足 42424233y y x x -=+=,,则444y x+的值为( A ). (A )7 (B )12 (C )72 (D )5 解:因为20x >,2y ≥0,由已知条件得21x ==,2y ==, 所以444y x +=22233y x ++-2226y x=-+=7. (2)把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为n m ,,则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是( C ).(A )512 (B )49 (C )1736 (D )12解:基本事件总数有6×6=36,即可以得到36个二次函数.由题意知∆=24m n ->0,即2m >4n .通过枚举知,满足条件的m n ,有17对. 故1736P =. (3)有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有( B ).(A )6条 (B ) 8条 (C )10条 (D )12条解:如图,大圆周上有4个不同的点A ,B ,C ,D ,两两连线可以确定6条不同的直线;小圆周上的两个点E ,F 中,至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC 与BD 的交点,则它与A ,B ,C ,D 的连线中,至少有两条不同于A ,B ,C ,D 的两两连线.从而这6个点可以确定的直线不少于8条.当这6个点如图所示放置时,恰好可以确定8条直线.所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.(4)已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦,且1AB a =<.以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ,点D为圆O 上不同于点A 的一点,且DB AB a ==,DC 的延长线交圆O 于点E ,则AE 的长为( B ).(A(B )1 (C(D )a 解:如图,连接OE ,OA ,OB . 设D α∠=,则120ECA EAC α∠=︒-=∠. 又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-, 所以ACE △≌ABO △,于是1AE OA ==. (5)将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( D ).(A )2种 (B )3种 (C )4种 (D )5种解:设12345a a a a a ,,,,是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列.首先,对于1234a a a a ,,,,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾.又如果i a (1≤i ≤3)是偶数,1i a +是奇数,则2i a +是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数.所以12345a a a a a ,,,,只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件:2,1,3,4,5; 2,3,5,4,1; 2,5,1,4,3;4,3,1,2,5; 4,5,3,2,1.二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)(6)对于实数u ,v ,定义一种运算“*”为:u v uv v *=+.若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根,则满足条件的实数a 的取值范围是 . 【答】0a >,或1a <-.解:由1()4x a x **=-,得21(1)(1)04a x a x ++++=, 依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩,,解得,0a >,或1a <-. (7)小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟.【答】4.解:设18路公交车的速度是x 米/分,小王行走的速度是y 米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s 米.每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则s y x =-66. ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则s y x =+33. ② 由①,②可得 x s 4=,所以 4=xs . 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.(8)如图,在△ABC 中,AB =7,AC =11,点M 是BC 的中点, AD 是∠BAC 的平分线,MF∥AD ,则FC 的长为 .【答】9.解:如图,设点N 是AC 的中点,连接MN ,则MN ∥AB .又//MF AD ,所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠,所以 12FN MN AB ==. 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9. (9)△ABC 中,AB =7,BC =8,CA =9,过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ,分别与AB ,AC 相交于点D ,E ,则DE 的长为 . 【答】163.解:如图,设△ABC 的三边长为a ,b ,c ,内切圆I 的半径为r ,BC 边上的高为a h , 则11()22a ABC ah S abc r ==++△, 所以 a r a h a b c=++. 因为△ADE ∽△ABC ,所以它们对应线段成比例,因此 a a h r DE h BC-=, 所以(1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=⋅=-=-++()a b c a b c +=++, 故879168793DE ⨯+==++(). (10)关于x ,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 .【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,, 解:因为208是4的倍数,偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以4所得的余数为1,所以x ,y 都是偶数.设2,2x a y b ==,则22104()a b a b +=-,同上可知,b a ,都是偶数.设2,2a c b d ==,则2252()c d c d +=-,所以,c ,d 都是偶数.设2,2c s d t ==,则2226()s t s t +=-,于是22(13)(13)s t -++=2213⨯,其中s ,t 都是偶数.所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<. 所以13s -可能为1,3,5,7,9,进而2(13)t +为337,329,313,289,257,故只能是2(13)t +=289,从而13s -=7.有62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,;,故 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,, 三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)(11)在直角坐标系xOy 中,一次函数b kx y +=0k ≠()的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++.(Ⅰ)用b 表示k ;(Ⅱ)求△OAB 面积的最小值.解:(Ⅰ)令0=x ,得0y b b =>,;令0=y ,得00b x k k=-><,. 所以A ,B 两点的坐标分别为0)(0)bAB b k-(,,,, 于是,△OAB 的面积为)(21kb b S -⋅=. 由题意,有 3)(21++-=-⋅b k b k b b , 解得 )3(222+-=b b b k ,2b >. …………………… 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=⋅-==--21027)72b b =-++=++-1027+,当且仅当1022b b -=-时, 有S = 即当102+=b ,1-=k 时,不等式中的等号成立.所以,△OAB 面积的最小值1027+. ……………… 15分(12)已知一次函数12y x =,二次函数221y x =+. 是否存在二次函数23y ax bx c =++,其图象经过点(-5,2),且对于任意实数x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值1y ,2y ,3y ,都有1y ≤3y ≤2y 成立?若存在,求出函数3y 的解析式;若不存在,请说明理由.解:存在满足条件的二次函数.因为 2122(1)y y x x -=-+221x x =-+-2(1)x =--≤0, 所以,当自变量x 取任意实数时,1y ≤2y 均成立.由已知,二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(-5,2),得2552a b c -+=. ①当1x =时,有122y y ==,3y a b c =++.由于对于自变量x 取任意实数时,1y ≤3y ≤2y 均成立,所以有2 ≤a b c ++≤2,故2a b c ++=. ②由①,②,得 4b a =,25c a =-,所以234(25)y ax ax a =++-.……… 5分 当1y ≤3y 时,有 2x ≤24(25)ax ax a ++-,即 2(42)(25)ax a x a +-+-≥0,所以二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ,函数值大于或等于零, 故20(42)4(25)0a a a a >⎧⎨---≤⎩,. 即20(31)0,a a >⎧⎨-≤⎩,所以13a =.……………… 10分 当3y ≤2y 时, 有 24(25)ax ax a ++-≤21x +,即2(1)4(51)a x ax a --+-≥0,所以二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ,函数值大于或等于零, 故210(4)4(1)(51)0a a a a ->⎧⎨----≤⎩,. 即21(31)0,a a <⎧⎨-≤⎩, 所以 13a =. 综上,13a =,443b a ==, 1253c a =-=. 所以,存在二次函数23141333y x x =++,在实数范围内,对于x 的同一个值,都有1y ≤3y ≤2y 成立. ……………… 15分(13)是否存在质数p ,q ,使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根?解:设方程有有理数根,则判别式为平方数.令2224q p n ∆=-=,其中n 是一个非负整数.则2()()4q n q n p -+=. ……………… 5分 由于1≤q n -≤q +n ,且q n -与q n +同奇偶,故同为偶数.因此,有如下几种可能情形: 222q n q n p -=⎧⎨+=⎩,, 24q n q n p -=⎧⎨+=⎩,, 4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩,, 22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩,, 24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩, 消去n , 解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+, , , , . ……………… 10分对于第1,3种情形,2p =,从而q =5;对于第2,5种情形,2p =,从而q =4(不合题意,舍去);对于第4种情形,q 是合数(不合题意,舍去).又当2p =,q =5时,方程为22520x x -+=,它的根为12122x x ==,,它们都是有理数.综上所述,存在满足题设的质数. ……………… 15分(14)如图,△ABC 的三边长BC a CA b AB c ===,,,a b c ,,都是整数,且a b , 的最大公约数为2.点G 和点I 分别为△ABC 的重心和内心,且90GIC ∠=︒.求△ABC 的周长.解:如图,延长GI ,与边BC CA ,分别交于P Q ,.设重心G 在边BC CA ,上的投影分别为E F ,,△ABC 的内切圆的半径为r ,BC CA ,边上的高的长分别为a b h h ,,易知CP =CQ ,由PQC GPC GQC S S S =+△△△, 可得()123a b r GE GF h h =+=+, 即 222123ABC ABC ABC S S S a b c a b ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪++⎝⎭△△△, 从而可得 6ab a b c a b++=+. ……………… 10分因为△ABC 的重心G 和内心I 不重合,所以,△ABC 不是正三角形,且b a ≠,否则,2a b ==,可得2c =,矛盾. 不妨假设a b >,由于()2a b =,,设()1111221a a b b a b ===,,,, 于是,有1111126a b ab a b a b =++为整数, 所以有11()12a b +,即()24a b +.于是只有1410a b ==,时,可得11c =,满足条件.因此有35a b c ++=.所以,△ABC 的周长为35. ……………… 15分。
2008年全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)参考答案(2008年4月19日 上午9:00—11:30)-、选择题(每小题7分,共42分)1 、解:由1114123+=,而1111,236++=故删去11810与后,可使剩下的数之和为1.故选C2====12.故选A . 3、解:555=5×545=5×18125,因125被8除余l ,所以18125被8除余l ,故知555被8除余5,而在125、375、625、875四数中,只有125被8除余5,故选A4 、解:由(1)、(3)得2x y x =-,63x z x =-,故x ≠0,代人(2)解得2710x =,所以277y =, z =-54.检验知此组解满足原方程组.于是10X +7y +Z =0.故选D5、解:图中只有边长为1或2的两种菱形,每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线,原正三角形内部每条长为1的线段,恰是一个边长为1的菱形的对角线;这种线段有18条,对应着18个边长为1的菱形;原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线,三条中位线对应着3个边长为2的菱形;共得21个菱形. 选C6、解:设28abcd =3()xy ,则据末位数字特征得y =2,进而确定xy :因360=216000,370=343000,所以60<xy <70,故只有,xy =62,而262=238328,则ab =38,cd =32,ab +cd =70. 故选D二.填空题(每小题7分,共28分)7、解:据条件式9........1xy +=()令z ,则(1)式化为:z xy ++9,即有9-z =xy81-18z +2z =2222(1)(4)2x y x y xy ++++……(2),又由2z =2(=2222(4)(1)2x y y x xy ++++代入(2)得,81-18z=4,所以7718z =. 8、解:l +2+…+61=1891,2008—1891=117,由于形如ab 的页码被当成ba 后,加得的和数将相差9a b -,因为,a b 只能在1,2,…,9中取值,a b -≤8,得9a b -≤72,由于117=72+45=63+54,设弄错的两位数是ab和cd,若9a b-=72,9c d-=45,只有ab =19,而cd可以取l6,27,38,49;这时ab+cd的最大值是68;若9a b-=63,9c d-=54,则ab可以取18,29,而cd可以取17,28,39,ab+cd的最大值也是68.9、解:如右图,连OA,OB,OC,线段OA将阴影的上方部分剖分成两个弓形,将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点O旋转0120后,阴影部分便合并成△OBC,它的面积等于△A BC10、解:6=3(8+,令8+a,8-b,得 a+b=16,ab=4,a,b 是方程21640x x-+=的两个根,故得2a=16a-4,2b=16b-4;3a=162a-4a,32164b b b=-;所以3a+3b=16(2a+2b)-4(a+b)=16(16(a+b)一8)-4(a+b)=252(a+b)-128=3904.∵0<b<1,∴0<3b<1,∴3a的最大整数值不超过3903.三.解答题(共70分)11、解:当a=0时,方程的有理根为75x=;……5分以下考虑a≠0的情况,此时原方程为一元二次方程,由判别式2(5)4(7)0,a a a+-+≥即32a+18a-25≤0a≤≤整数a只能在其中的非零整数1,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7中取值,…… 10 分由方程得x= (1)当a=1,由(1)得x=2和4;当a=-1时,方程无有理根;当a=-2,由(1)得x=1和-52;当a=-3时,方程无有理根;……15分当a=-4,由(1)得x=-1和34;当a=-5时,方程无有理根;当a=-6,由(1)得x=12和-13;当a=-7时,由(1)得x=37和17-;…… 20分A P 12、证明:EF 截△PMN ,则.. 1..........(1)NK MF PE KM FP EN=……5分 BC 截 △PAE ,则.. 1...........(2)EB AC PN BA CP NE =,即有2,PN CP NE AC = 所以2..............(3)PE CP AC EN AC+=, ……10分AD 截△PCF ,则..1,FD CA PM DC AP MF=即22,............(4)PM AP PF AP AC MF AC MF AC-=∴=……15分 因AP =AC +CP ,得2CP + AC =2AP -AC ,由(3),(4)得,,........20PE FP EN MF=分 —即.1,MF PE FP EN =所以由(1)得 NK =KM ,即K 是线段 AM 的中点 ……25分 13、解:将这120人分别编号为12120,,....,P P P ,并视为数轴上的120个点,用k A 表示这120人之中未答对第k 题的人所成的组,k A 为该组人数, k=l ,2,3,4,5,则1A =24,234537,46,54,85,A A A A ==== ……5分将以上五个组分别赋予五种颜色,如果某人未做对第k 题,则将表示该人点染第k 色,k=l ,2,3,4,5,问题转化为,求出至少染有三色的点最多有几个?由于1A +2345A A A A +++=246,故至少染有三色的点不多于2463=82个,……10分 右上图是满足条件的一个最佳染法,即点1285,,....,P P P 这85 个点染第五色;点1237,,....,P P P这37个点染第二色;点383983,,....,P P P 这46个点染第四色;点1224,,....,P P P 这24 个点染第一色;点252678,,....,P P P 这54个点染第三色;于是染有三色的点最多有78个. …20分因此染色数不多于两种的点至少有42个,即获奖人数至少有42个人(他们每人至多答错两题,而至少答对三题,例如7980120,,...,P P P 这 42 个人) …… 25分陈永华录入 cryzcyh@85 46 5437 24。
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 ( C ) A .0 B .1 C .2 D .3[解]当2x <时,20x ->,因此21(44)1()(2)22x x f x x x x+-+==+---2≥2=,当且仅当122x x=--时上式取等号.而此方程有解1(,2)x =∈-∞,因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2. 2.设[2,4)A =-,2{40}B x x ax =--≤,若B A ⊆,则实数a 的取值范围为 ( D )A .[1,2)-B .[1,2]-C .[0,3]D .[0,3)[解法一] 因240x ax --=有两个实根12a x =-22a x = 故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <,即22a ≥-且42a <,解之得03a ≤<. [解法二](特殊值验证法)令3,[1,4],a B B A ==-⊄,排除C ,令1,[a B =-=,B A⊄排除A 、B ,故选D 。
[解法三](根的分布)由题意知240x ax --=的两根在[2,4)A =-内,令2()4f x x ax =--则a 242(2)0(4)0f f ⎧-≤<⎪⎪-≥⎨⎪>⎪⎩解之得:03a ≤<3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 ( B ) A.24181 B. 26681 C. 27481D. 670243 [解法一] 依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 22215()()339+=. 若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有5(2)9P ξ==, 4520(4)()()9981P ξ===, 2416(6)()981P ξ===,故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=. [解法二] 依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜,则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜.由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=, 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=, 1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++ 2221164()()3381==, 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=. 4.若三个棱长均为整数(单位:cm )的正方体的表面积之和为564 cm 2,则这三个正方体的体积之和为AA. 764 cm 3或586 cm 3B. 764 cm 3C. 586 cm 3或564 cm 3D. 586 cm 3[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ,则有()2226564a b c ++=,22294a b c ++=,不妨设110a b c ≤≤≤<,从而2222394c a b c ≥++=,231c >.故610c ≤<.c 只能取9,8,7,6.若9c =,则22294913a b +=-=,易知2a =,3b =,得一组解(,,)(2,3,9)a b c =.若8c =,则22946430a b +=-=,5b ≤.但2230b ≥,4b ≥,从而4b =或5.若5b =,则25a =无解,若4b =,则214a =无解.此时无解.若7c =,则22944945a b +=-=,有唯一解3a =,6b =.若6c =,则22943658a b +=-=,此时222258b a b ≥+=,229b ≥.故6b ≥,但6b c ≤=,故6b =,此时2583622a =-=无解.综上,共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3. 5.方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 ( B ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4[解] 若0z =,则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩,解得00x y =⎧⎨=⎩,或11.x y =-⎧⎨=⎩, 若0z ≠,则由0xyz z +=得1xy =-. ①由0x y z ++=得z x y =--. ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=. ③由①得1x y=-,代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根,故1y =,由①得1x =-,由②得0z =,与0z ≠矛盾,故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩6.设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列,则sin cot cos sin cot cos A C A B C B++的取值范围是 ( C )A. (0,)+∞B.C.D. )+∞ [解] 设,,a b c 的公比为q ,则2,b aq c aq ==,而 sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C B B C B C ++=++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B b q B C A A aππ+-=====+-. 因此,只需求q 的取值范围.因,,a b c 成等比数列,最大边只能是a 或c ,因此,,a b c 要构成三角形的三边,必需且只需a b c +>且b c a +>.即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得q q q <<⎨⎪><⎪⎩从而1122q <<,因此所求的取值范围是. 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 7.设()f x ax b =+,其中,a b 为实数,1()()f x f x =,1()(())n n f x f f x +=,1,2,3,n =,若7()128381f x x =+,则a b += 5 .[解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x aa ab --=+++++11n n a a x b a -=+⋅-, 由7()128381f x x =+得7128a =,713811a b a -⋅=-,因此2a =,3b =,5a b +=. 8.设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-,则a=2-+.[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----, (1) 2a >时,()f x 当cos 1x =时取最小值14a -;(2) 2a <-时,()f x 当cos 1x =-时取最小值1;(3) 22a -≤≤时,()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---.又2a >或2a <-时,()f x 的最小值不能为12-,故2112122a a ---=-,解得2a =-2a =-舍去). 9.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有222种.[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用*表示名额.如||||********表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于24226+=个位置(两端不在内)被2个“|”占领的一种“占位法”.“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|”,故有223C 253=种. 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程 12324x x x ++=.的正整数解的个数,即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合:2121232323H C C 253===.又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.10.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足:1(1)n n n S a n n -+=+,1,2,n =,则通项n a =112(1)n n n -+. [解] 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++, 即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221 =)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n , 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n .令1(1)n n b a n n =++,111122b a =+= (10a =), 有112n n b b +=,故12n n b =,所以)1(121+-=n n a n n . 11.设()f x 是定义在R 上的函数,若(0)2008f = ,且对任意x ∈R ,满足(2)()32x f x f x +-≤⋅, (6)()632x f x f x +-≥⋅,则)2008(f =200822007+.[解法一] 由题设条件知(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅,因此有(2)()32x f x f x +-=⋅,故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+答13答12图1 答12图22006200423(2221)(0)f =⋅+++++ 10031413(0)41f +-=⋅+- 200822007=+. [解法二] 令()()2xg x f x =-,则 2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=,6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=,即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥,故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤,得()g x 是周期为2的周期函数,所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+.12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.[解] 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为r ,作平面111A B C //平面ABC ,与小球相切于点D ,则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心,111PO A B C ⊥面,垂足D 为111A B C 的中心. 因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅ 1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅,故44PD OD r ==,从而43PO PD OD r r r =-=-=.记此时小球与面PAB 的切点为1P ,连接1OP ,则2211PP PO OP =-. 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况,易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为1PEF ,如答12图2.记正四面体的棱长为a ,过1P 作1PM PA ⊥于M . 因16MPP π∠=,有11cos 2PM PP MPP =⋅=⋅=,故小三角形的边长126P E P A P a r=-=. 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分)1PAB P EF S S ∆∆-22())a a =--2=-. 又1r =,a =1PAB P EF S S ∆∆-=由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为三、解答题(本题满分60分,每小题20分)13.已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为α, 求证: 2cos 1sin sin 34ααααα+=+. [证] ()f x 的图象与直线y kx = )0(>k 的三个交点如答13图所示,且在3(,)2ππ内相切,其切点为(,sin )A αα-,3(,)2παπ∈.…5分题15由于()cos f x x '=-,3(,)2x ππ∈,所以sin cos ααα-=-,即tan αα=. …10分 因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+14sin cos αα= …15分 22cos sin 4sin cos αααα+= 21tan 4tan αα+=214αα+=. …20分 14.解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++.[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+,且2log y 在(0,)+∞上为增函数,故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+.即 1210864353210x x x x x +++-->. …5分分组分解12108x x x +-1086222x x x ++-864444x x x ++-642x x x ++-4210x x ++->,864242(241)(1)0x x x x x x +++++->, …10分所以 4210x x +->,22(0x x >. …15分所以2x >,即x <x >故原不等式解集为51(,()2--∞+∞. …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+,且2log y 在(0,)+∞上为增函数,故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+. …5分即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x x x +<+++++=+++,)1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x xx ,…10分 令3()2g t t t =+,则不等式为221()(1)g g x x<+, 显然3()2g t t t =+在R 上为增函数,由此上面不等式等价于2211x x <+,…15分 即222()10x x +->,解得212x > (212x<舍去) 故原不等式解集为51(,()2--∞+∞. …20分 15.如题15图,P 是抛物线22y x =上的动点,点B C ,在y 轴上,圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆,求PBC ∆面积的最小值.[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ,不妨设b c >.直线PB 的方程:00y b y b x x --=,化简得 000()0y b x x y x b --+=.又圆心(1,0)到PB 的距离为11= , …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+,易知02x >,上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=,同理有2000(2)20x c y c x -+-=. …10分 所以0022y b c x -+=-,002x bc x -=-,则22200020448()(2)x y x b c x +--=-. 因00(,)P x y 是抛物线上的点,有2002y x =,则 220204()(2)x b c x -=-,0022x b c x -=-. …15分 所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--48≥+=. 当20(2)4x -=时,上式取等号,此时004,x y ==±.因此PBC S ∆的最小值为8. …20分2008年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)试题参考答案及评分标准一、(本题满分50分)如题一图,给定凸四边形ABCD ,180B D ∠+∠<,P 是平面上的动点,令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅.(Ⅰ)求证:当()f P 达到最小值时,P A B C ,,,四点共圆;(Ⅱ)设E 是ABC ∆外接圆O 的AB 上一点,满足:2AE AB =,1BC EC =,12ECB ECA ∠=∠,又,D A D C 是O的切线,AC =()f P 的最小值.[解法一] (Ⅰ)如答一图1,由托勒密不等式,对平面上的任意点P ,有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅.因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅.因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号,因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在AC 上时,()()f P PB PD CA =+⋅. …10分 又因PB PD BD +≥,此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号.因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时,()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅.故当()f P 达最小值时,,,,P A B C 四点共圆. …20分(Ⅱ)记ECB α∠=,则2ECA α∠=,由正弦定理有sin 2sin 32AE AB αα==,从而32sin 2αα=,即3sin 4sin )4sin cos αααα-=,所以2cos )4cos 0αα--=,答一图1解得cos α=cos α=,故30α=,60ACE ∠=.由已知1BC EC==()0sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=∠,即1cos 1)sin 22EAC EAC EAC∠-∠=∠,整理得21cos 22EAC EAC∠=∠,故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=, …40分从而45E ∠=,45DAC DCA E ∠=∠=∠=,ADC ∆为等腰直角三角形.因AC =1CD=.又ABC ∆也是等腰直角三角形,故BC =212215BD =+-⋅=,BD故min ()f P BD AC =⋅= …50分[解法二] (Ⅰ)如答一图2,连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点(因为D 在O 外,故0P 在BD 上).过,,A C D 分别作000,,P A PC P D的垂线,两两相交得111A B C ∆,易知0P 在ACD ∆内,从而在111A B C ∆内,记ABC ∆之三内角分别为x y z ,,,则0180APC y z x ∠=︒-=+,又因110B C P A ⊥,110B A PC ⊥,得1B y ∠=,同理有1A x ∠=,1C z ∠=,所以111A B C ∆∽ABC ∆. …10分设11B C BC λ=,11C A CA λ=,11A B AB λ=,则对平面上任意点M ,有0000()()f P P A BC P D CA PC AB λλ=⋅+⋅+⋅011011011P A B C P D C A PC A B =⋅+⋅+⋅1112A B C S ∆= 111111MA B C MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅()f M λ=,从而 0()()f P f M ≤.由M 点的任意性,知0P 点是使()f P 达最小值的点.由点0P 在O 上,故0,,,P A B C 四点共圆. …20分(Ⅱ)由(Ⅰ),()f P 的最小值11102()A B C f P S λ∆=2ABC S λ∆=,记ECB α∠=,则2ECAα∠=,由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==2sin 2αα=, 34sin )4sin cosαααα-=,所以2cos )4cos 0αα--=,整理得24cos 0αα-=,…30分解得cos α=cos α=,故30α=,60ACE ∠=. 由已知1BC EC ==()0sin 30sin EACEAC ∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC∠-=∠,答一图2故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=, …40分所以45E ∠=︒,ABC ∆为等腰直角三角形,AC =,1ABC S ∆=,因为145AB C ∠=︒,1B 点在O 上,190AB B ∠=︒,所以11B BDC 为矩形,11B C BD ==,故λ=所以min ()21f P == …50分 [解法三] (Ⅰ)引进复平面,仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数.由三角形不等式,对于复数12,z z ,有1212z z z z +≥+, 当且仅当1z 与2z (复向量)同向时取等号.有 PA BC PC AB PA BC PC AB ⋅+⋅≥⋅+⋅, 所以 ()()()()A P C B C P B A --+-- ()()()()A P C B C P B A ≥--+-- (1)P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅ ()()B P C A PB AC =--=⋅, 从而PA BC PC AB PD CA ⋅+⋅+⋅ PB AC PD AC ≥⋅+⋅()PB PD AC =+⋅BD AC ≥⋅(2)…10分(1)式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A --同向,故存在实数0λ>,使得()()()()A P C B C P B A λ--=--,A PB AC P C B λ--=--,所以 arg()arg()A P B A C P C B--=--, 向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC 旋转到AB 所成的角,从而,,,P A B C 四点共圆.(2)式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上.故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上,,,,P A B C 四点共圆. …20分(Ⅱ)由(Ⅰ)知min ()f P BD AC =⋅.以下同解法一.二、(本题满分50分)设()f x 是周期函数,T 和1是()f x 的周期且01T <<.证明:(Ⅰ)若T 为有理数,则存在素数p ,使1p是()f x 的周期; (Ⅱ)若T 为无理数,则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =⋅⋅⋅,且每个(1,2,)n a n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期.[证] (Ⅰ)若T 是有理数,则存在正整数,m n 使得n T m =且(,)1m n =,从而存在整数,a b ,使得 1ma nb +=.于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅是()f x 的周期. …10分 又因01T <<,从而2m ≥.设p 是m 的素因子,则m pm '=,m *'∈N ,从而11m p m'=⋅是()f x 的周期. …20分 (Ⅱ)若T 是无理数,令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,则101a <<,且1a 是无理数,令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,…… 111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦, ……. …30分 由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<.又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦,故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦, 即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦.因此{}n a 是递减数列. …40分 最后证:每个n a 是()f x 的周期.事实上,因1和T 是()f x 的周期,故111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期.假设k a 是()f x 的周期,则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期.由数学归纳法,已证得n a 均是()f x 的周期. …50分三、(本题满分50分)设0k a >,1,2,,2008k =.证明:当且仅当200811k k a =>∑时,存在数列{}n x 满足以下条件:(ⅰ)010n n x x x +=<<,1,2,3,n =;(ⅱ)lim n n x →∞存在;(ⅲ)200820071110n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑,1,2,3,n =.[证] 必要性:假设存在{}n x 满足(ⅰ),(ⅱ),(iii ).注意到(ⅲ)中式子可化为2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑,n ∈*N , 其中00x =. 将上式从第1项加到第n 项,并注意到00x =得111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-.…10分由(ⅱ)可设lim n n b x →∞=,将上式取极限得 112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++-20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑, 因此200811k k a =>∑. …20分充分性:假设200811k k a =>∑.定义多项式函数如下: 20081()1k k k f s a s ==-+∑,[0,1]s ∈,则()f s 在[0,1]上是递增函数,且(0)10f =-<,20081(1)10k k f a ==-+>∑.因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =,且001s <<,即0()0f s =. …30分2008年全国高中数学联赛 通渭一中 刘黎明- 11 - 下取数列{}n x 为01n k n k x s ==∑,1,2,n =,则明显地{}n x 满足题设条件(ⅰ),且1000101n n k n k s s x s s +=-==-∑. 因001s <<,故10lim 0n n s +→∞=,因此100000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--,即{}n x 的极限存在,满足(ⅱ).…40分 最后验证{}n x 满足(ⅲ),因0()0f s =,即2008011k k k a s ==∑,从而200820082008100001111()()n k n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a s a x x +-++-===-====-∑∑∑.综上,存在数列{}n x 满足(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ). …50分。
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(A 卷)说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 ( C )A .0B .1C .2D .3[解] 当2x <时,20x ->,因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=,当且仅当122x x=--时上式取等号.而此方程有解1(,2)x =∈-∞,因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2.2.设[2,4)A =-,2{40}B x x ax =--≤,若B A ⊆,则实数a 的取值范围为 ( D )A .[1,2)-B .[1,2]-C .[0,3]D .[0,3) [解] 因240x ax --=有两个实根12a x =22a x =+故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <,即22a -且42a <, 解之得03a ≤<.3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 ( B ) A.24181 B. 26681 C. 27481D. 670243[解法一] 依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有5(2)9P ξ==,4520(4)()()9981P ξ===, 2416(6)()981P ξ===, 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=.[解法二] 依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜,则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=, 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=,1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==,故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=.4.若三个棱长均为整数(单位:cm )的正方体的表面积之和为564 cm 2,则这三个正方体的体积之和为 ( A ) A. 764 cm 3或586 cm 3 B. 764 cm 3 C. 586 cm 3或564 cm 3 D. 586 cm 3[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ,则有()2226564a b c ++=,22294a b c ++=,不妨设110a b c ≤≤≤<,从而2222394c a b c ≥++=,231c >.故610c ≤<.c 只能取9,8,7,6.若9c =,则22294913a b +=-=,易知2a =,3b =,得一组解(,,)(2,3,9)a b c =. 若8c =,则22946430a b +=-=,5b ≤.但2230b ≥,4b ≥,从而4b =或5.若5b =,则25a =无解,若4b =,则214a =无解.此时无解.若7c =,则22944945a b +=-=,有唯一解3a =,6b =.若6c =,则22943658a b +=-=,此时222258b a b ≥+=,229b ≥.故6b ≥,但6b c ≤=,故6b =,此时2583622a =-=无解.综上,共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3.5.方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 ( B ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4[解] 若0z =,则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩,解得00x y =⎧⎨=⎩,或11.x y =-⎧⎨=⎩,若0z ≠,则由0xyz z +=得1xy =-. ① 由0x y z ++=得z x y =--. ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=. ③ 由①得1x y=-,代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根,故1y =,由①得1x =-,由②得0z =,与0z ≠矛盾,故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 6.设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列,则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是( C )A. (0,)+∞B.C.D. )+∞ [解] 设,,a b c 的公比为q ,则2,b aq c aq ==,而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A CB C B B C B C++=++ s i n ()s i n ()s i ns i n ()s i n ()s i nA CB B b q BC A A a ππ+-=====+-. 因此,只需求q 的取值范围.因,,a b c 成等比数列,最大边只能是a 或c ,因此,,a b c 要构成三角形的三边,必需且只需a b c +>且b c a +>.即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得11,2211.22q q q ⎧<<⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或q <<,因此所求的取值范围是. 二、填空题(本题满分54分,每小题9分)7.设()f x ax b =+,其中,a b 为实数,1()()f x f x =,1()(())n n f x f f x +=,1,2,3,n =,若7()128381f x x =+,则a b += 5 .[解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++++11n na a xb a -=+⋅-,由7()128381f x x =+得7128a =,713811a b a -⋅=-,因此2a =,3b =,5a b +=.8.设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-,则a=[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----,(1) 2a >时,()f x 当cos 1x =时取最小值14a -;(2) 2a <-时,()f x 当cos 1x =-时取最小值1; (3) 22a -≤≤时,()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---. 又2a >或2a <-时,()f x 的最小值不能为12-,故2112122a a ---=-,解得2a =-2a =-舍去).9.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种.[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用*表示名额.如||||********表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于24226+=个位置(两端不在内)被2个“|”占领的一种“占位法”.“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|”,故有223C 253=种. 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=. 的正整数解的个数,即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合:2121232323H C C 253===.又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种. 10.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足:1(1)n n n S a n n -+=+,1,2,n =,则通项n a =112(1)nn n -+.[解] 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++,即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n , 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n . 令1(1)n n b a n n =++,111122b a =+= (10a =),有112n n b b +=,故12n n b =,所以)1(121+-=n n a n n . 11.设()f x 是定义在R 上的函数,若(0)2008f = ,且对任意x ∈R ,满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅,(6)()632x f x f x +-≥⋅,则)2008(f =200822007+.[解法一] 由题设条件知(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅, 因此有(2)()32x f x f x +-=⋅,故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++10031413(0)41f +-=⋅+-200822007=+. [解法二] 令()()2x g x f x =-,则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=,6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=,即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥,故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤, 得()g x 是周期为2的周期函数,所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+.12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为答12图1答12图2则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.[解] 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为r ,作平面111A B C //平面ABC ,与小球相切于点D ,则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心,111PO A B C ⊥面,垂足D 为111A B C 的中心.因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅,故44PD OD r ==,从而43PO PD OD r r r =-=-=.记此时小球与面PAB 的切点为1P ,连接1OP ,则2211PP PO OP =-=. 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况,易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为1PEF ,如答12图2.记正四面体 的棱长为a ,过1P 作1PM PA ⊥于M . 因16MPP π∠=,有11cos PM PP MPP =⋅==,故小三角形的边长12P E P AP M r=-=. 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分)1PAB P EF S S ∆∆-22())a a =--2=-. 又1r =,a =1PAB P EF S S ∆∆-==由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 三、解答题(本题满分60分,每小题20分)13.已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为α,求证:答13图2c o s 1s i n s i n 34ααααα+=+. [证] ()f x 的图象与直线y kx =)0(>k 的三个交点如答13图所示,且在3(,)2ππ内相切,其切点为(,sin )A αα-,3(,)2παπ∈. …5分由于()cos f x x '=-,3(,)2x ππ∈,所以sin cos ααα-=-,即tan αα=. …10分 因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+ 14sin cos αα=…15分22cos sin 4sin cos αααα+=21tan 4tan αα+=214αα+=. …20分 14.解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++.[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+,且2log y 在(0,)+∞上为增函数,故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+.即 1210864353210x x x x x +++-->. …5分 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++->,864242(241)(1)0x x x x x x +++++->, …10分所以 4210x x +->,22(0x x >. …15分所以2x >,即x <x >故原不等式解集为51(,()2--∞+∞. …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+,且2log y 在(0,)+∞上为增函数,故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+. …5分即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x x x +<+++++=+++, )1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x x x , …10分 令3()2g t t t =+,则不等式为221()(1)g g x x<+, 显然3()2g t t t =+在R 上为增函数,由此上面不等式等价于2211x x<+, …15分即222()10x x +->,解得2x >(2x <),故原不等式解集为51(,()2--∞+∞. …20分题15图15.如题15图,P 是抛物线22y x =上的动点,点B C ,在y 轴上,圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆,求PBC ∆面积的最小值.[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ,不妨设b c >.直线PB 的方程:00y b y b x x --=,化简得 000()0y b x x y x b --+=.又圆心(1,0)到PB 的距离为1,1= , …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+,易知02x >,上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=,同理有2000(2)20x c y c x -+-=. …10分 所以0022y b c x -+=-,002x bc x -=-,则 22200020448()(2)x y x b c x +--=-.因00(,)P x y 是抛物线上的点,有2002y x =,则22204()(2)x b c x -=-,0022x b c x -=-. …15分 所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--48≥+=. 当20(2)4x -=时,上式取等号,此时004,x y ==±因此PBC S ∆的最小值为8. …20分2008年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)试题参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分;2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、(本题满分50分)如题一图,给定凸四边形ABCD ,180B D ∠+∠<,P 是平面上的动点,令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅.(Ⅰ)求证:当()f P 达到最小值时,P A B C ,,,四点共圆;(Ⅱ)设E 是ABC ∆外接圆O 的AB 上一点,满足:AE AB =,1BC EC =,12ECB ECA ∠=∠,又,DA DC 是O 的切线,AC ()f P 的最小值. [解法一] (Ⅰ)如答一图1,由托勒密不等式,对平面上的任意点P ,有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅.因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅.因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号,因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在AC 上时,()()f P PB PD CA =+⋅. (10)分又因PB PD BD +≥,此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号.因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时,()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅.故当()f P 达最小值时,,,,P A B C 四点共圆. …20分(Ⅱ)记ECB α∠=,则2E C A α∠=,由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==,从而s i n 32s i n 2αα=34sin )4sin cos αααα-=,所以2cos )4cos 0αα--=,整理得24cos 0αα-, …30分解得cosα=cos α=, 故30α=,60ACE ∠=.由已知1BCEC==()0sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=∠,即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠1cos 2EAC EAC ∠=∠,故tan 2EAC ∠=75EAC ∠=, …40分从而45E ∠=,45DAC DCA E ∠=∠=∠=,ADC ∆为等腰直角三角形.因AC 1CD =.又ABC ∆也是等腰直角三角形,故BC =212215BD =+-⋅=,BD故min ()f P BD AC =⋅= …50分 [解法二] (Ⅰ)如答一图2,连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点(因为D 在O 外,故0P 在BD 上).过,,A C D 分别作000,,P A PC P D 的垂线,两两相交得111A B C ∆,易知0P 在ACD ∆内,从而在111A B C ∆内,记ABC ∆之三内角分别为x y z ,,,则0180APC y z x ∠=︒-=+,又因110B C P A ⊥,110B A PC ⊥,得1B y ∠=,同理有1A x ∠=,1C z ∠=,所以111A B C ∆∽ABC ∆. …10分设11B C BC λ=,11C A CA λ=,11A B AB λ=,则对平面上任意点M ,有0000()()f P P A BC P D CA PC AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A PC A B =⋅+⋅+⋅ 1112A B C S ∆= 111111MA B C MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=, 从而 0()()f P f M ≤.由M 点的任意性,知0P 点是使()f P 达最小值的点.由点0P 在O 上,故0,,,P A B C 四点共圆. …20分(Ⅱ)由(Ⅰ),()f P 的最小值11102()A B C f P S λ∆=2ABC S λ∆=,记ECB α∠=,则2ECA α∠=,由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==2sin 2αα=,34sin )4sin cos αααα-=,所以2cos )4cos 0αα--=,整理得24cos 0αα-, …30分解得cosα=cos α=,故30α=,60ACE ∠=.由已知1BCEC==()0sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=∠,即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠1cos 2EAC EAC ∠=∠,故tan 2EAC ∠=75EAC ∠=, …40分所以45E ∠=︒,ABC ∆为等腰直角三角形,AC 1ABC S ∆=,因为145AB C ∠=︒,1B 点在O 上,190AB B ∠=︒,所以11B BDC 为矩形,11B C BD ===故λ=min ()21f P == …50分[解法三] (Ⅰ)引进复平面,仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数.由三角形不等式,对于复数12,z z ,有1212z z z z +≥+,当且仅当1z 与2z (复向量)同向时取等号.有 P A B C P C A B P A B C P C A B⋅+⋅≥⋅+⋅,所以 ()()()()A P CBC P B A --+-- ()()()()A P C B C P B A ≥--+-- (1) P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅ ()()B P C A PB AC =--=⋅, 从而 P A B C P C A B PD C A⋅+⋅+⋅ PB AC PD AC ≥⋅+⋅()PB PD AC =+⋅BD AC ≥⋅. (2) …10分(1)式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A -- 同向,故存在实数0λ>,使得()()()()A P C B C P B A λ--=--,A PB AC P C Bλ--=--, 所以 a r g ()a r g ()A PB AC P C B--=--, 向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC 旋转到AB 所成的角, 从而,,,P A B C 四点共圆.(2)式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上.故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上,,,,P A B C 四点共圆. …20分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知min ()f P BD AC =⋅. 以下同解法一.二、(本题满分50分)设()f x 是周期函数,T 和1是()f x 的周期且01T <<.证明: (Ⅰ)若T 为有理数,则存在素数p ,使1p是()f x 的周期; (Ⅱ)若T 为无理数,则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>(1,2,)n =⋅⋅⋅,且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期.[证] (Ⅰ)若T 是有理数,则存在正整数,m n 使得nT m=且(,)1m n =,从而存在整数,a b ,使得1ma nb +=. 于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅ 是()f x 的周期. …10分 又因01T <<,从而2m ≥.设p 是m 的素因子,则m pm '=,m *'∈N ,从而11m p m'=⋅是()f x 的周期. …20分(Ⅱ)若T 是无理数,令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,则101a <<,且1a 是无理数,令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,…… 111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,……. …30分由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<.又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦,故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦,即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦.因此{}n a 是递减数列. …40分最后证:每个n a 是()f x 的周期.事实上,因1和T 是()f x 的周期,故111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期.假设k a 是()f x 的周期,则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期.由数学归纳法,已证得n a 均是()f x 的周期. …50分 三、(本题满分50分)设0k a >,1,2,,2008k =.证明:当且仅当200811k k a =>∑时,存在数列{}n x 满足以下条件:(ⅰ)010n n x x x +=<<,1,2,3,n =;(ⅱ)lim n n x →∞存在;(ⅲ)20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑,1,2,3,n =.[证] 必要性:假设存在{}n x 满足(ⅰ),(ⅱ),(iii ).注意到(ⅲ)中式子可化为 2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑,n ∈*N , 其中00x =.将上式从第1项加到第n 项,并注意到00x =得 111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-. …10分 由(ⅱ)可设lim n n b x →∞=,将上式取极限得112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++-20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑,因此200811k k a =>∑. …20分充分性:假设200811k k a =>∑.定义多项式函数如下:20081()1k k k f s a s ==-+∑,[0,1]s ∈,则()f s 在[0,1]上是递增函数,且(0)10f =-<,20081(1)10k k f a ==-+>∑.因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =,且001s <<,即0()0f s =. …30分下取数列{}n x 为01nkn k x s ==∑,1,2,n =,则明显地{}n x 满足题设条件(ⅰ),且1000101n nkn k s s x s s +=-==-∑. 因001s <<,故10lim 0n n s +→∞=,因此100000lim lim11n n n n s s sx s s +→∞→∞-==--,即{}n x 的极限存在,满足(ⅱ). …40分最后验证{}n x 满足(ⅲ),因0()0f s =,即2008011k k k a s ==∑,从而 200820082008100001111()()n k n n kn n k k k n k n k k k k x x s a s s a s a x x +-++-===-====-∑∑∑.综上,存在数列{}n x 满足(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ). …50分。
“时代杯”2008年江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题(初中组)(答案)1.本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.2.用钢笔或圆珠笔(蓝色或黑色)直接答在试卷上.3.答卷前将密封线内的项目填写清楚.一、选择题(下列各题的四个选项中,只有一个是正确的.每题6分,共36分)1.计算12-22+32-42+52-62+…+992-1002的值是( B ).A.5050 B.-5050 C.100 D.-100 2.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:龟兔同时出发,沿直线向同一目标奔跑,领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,停下来睡了一觉.当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到了终点,……. 用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下列图象中与故事情节相吻合的是( D ).A.B.D.3.同时抛掷两枚均匀的骰子1次,两枚骰子面朝上的点数之和大于8的概率是( C ).2+6 3+5 4+4 5+3 6+21+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+11+5 2+4 3+3 4+2 5+11+4 2+3 3+2 4+11+3 2+2 3+11+2 2+11+126/36=13/18 1-13/18=5/18A.12B.13C.518D.411 4.观察表一,寻找规律.表二、表三分别是从表一中选取的一部分,则x+y的值为( D ).A.45 B.46 C.48 D.4923+26=49 密封线姓名学校考号表一表二表三5.如图,△DEF的边长分别为1,3,2,正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成,以这些正三角形的顶点为顶点画△ABC,使得△ABC∽△DEF.如果相似比ABDE=k,那么k的不同的值共有( C )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】以直角三角形的最短直角边为分类依据,最短边依次可以是:2.所以有3个.6.将BC 沿弦BC折叠交直径AB于点D,若AD=4,DB=5,则BC的长是().A. 37 B.8 C.65D.215A B A B【解析】方法一:如图连接CD,作高CE,易证CA=CD,由三线合一可以知道1422AE DE==⨯=,则257BE=+=,在Rt ABC∆中,由射影定理可得:22714CE=⨯=,再在Rt BCE∆中使用勾股定理:BC=方法二:如图,由翻折联想到对称,取点,A D关于BC的对称点,A D'',可以知道'5,'4BD BD AD AD====,在'Rt ABD∆中使用勾股定理:'AD=.又在''Rt AA D∆中使用勾股定理:AA'=.所以:AC=最后在Rt ABC∆中使用勾股定理:BC===二、填空题(每题6分,共24分)7.若不等式组⎩⎨⎧x-a>2,b-2x>0的解集是-1<x<1,则(a+b)2009的值是.【解析】1-8.如图,在一条笔直的公路上有三个小镇A、B、C,甲车从A出发匀速开往C,乙车从B 出发匀速开往A.若两车同时出发,当甲车到达B时,乙车离A还有40km;当乙车到达A时,甲车正好到达C.已知BC=50km,则A、B两镇相距km...D EF(【解析】由题意得:4050v x x vv x xv ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪⎩甲乙甲乙 可以得到:200x =9.已知p ,q 都是正整数,方程7x 2-px +2009q =0的两个根都是质数,则p +q =_______.【解析】337.设方程的两个根为1212,()x x x x <.由韦达定理可知:1220097417x x q q ==⨯⨯. ∵12,x x 为质数,∴127,41x x ==. ∴()4177336,1p q =+⨯==.10.长方形ABCD 中,AB =1,AD =3,以点B 为圆心,BA 长为半径作圆交BC 于点E .在AE 上找一点P ,使过点P 的⊙B 的切线平分长方形的面积.设此切线交AD 于点S ,交BC 于点T ,则ST 的长为_______.【解析】3. 三、解答题(每题18分,共90分)11.已知二次函数y =x 2+2ax +b 2和y =x 2+2bx +c 2的图象与x 轴都有两个不同的交点,问函数y =x 2+2cx +a 2的图象与x 轴是否相交?为什么?【解析】不相交. ……………… 3分 由题设,得a 2-b 2>0,b 2-c 2>0. ………………9分 则a 2>b 2>c 2,所以c 2-a 2<0. ………………15分 从而知函数y =x 2+2cx +a 2的图象与x 轴不相交. ………………18分12.一个长40cm 、宽25cm 、高50cm 的无盖长方体容器(厚度忽略不计),盛有深为a cm(a ≤50)的水.现在容器里放入棱长为10cm 的立方体铁块(铁块的底面落在容器的底面上)后,水深是多少?【解析】由题设,知水箱底面积S =40×25=1000(cm 2).水箱体积V 水箱=1000×50=50000(cm 3), 铁块体积V 铁=10×10×10=1000(cm 3). ……………3分 (1)若放入铁块后,水箱中的水深恰好为50cm 时,1000a +1000=50000, 得 a =49(cm ).所以,当49≤a ≤50时,水深为50cm (多余的水溢出). ………………6分 (2)若放入铁块后,水箱中的水深恰好为10cm 时,1000a +1000=10000, 得 a =9(cm ). ………………9分所以,当9≤a <49时,水深为a ×40×25+10×10×1040×25 = (a +1) cm..……………12分(3)由(2)知,当0<a <9时,设水深为x cm ,则1000x =1000a +100x .得x =109a (cm ). ………………17分C AD B E答:当0<a <9时,水深为109a cm ;当9≤a <49时,水深为(a +1)cm ;当49≤a ≤50时,水深为50 cm . ………………18分13.设a ,b ,c 是整数,使得a 2+bb 2+c是一个有理数.求证:a 2+b 2+c 2a +b +c是一个整数.【解析】证法一:令a 2+bb 2+c=k ,k 为有理数, 得(a -kb )3+(b -kc )=0. ……………3分 因为a ,b ,c 是整数,k 为有理数,所以a -kb=0,b -kc =0,从而a=k 2c , b=kc .……………6分于是a 2+b 2+c 2a +b +c =k 4+k 2+1k 2+k +1·c .………………9分 又 k 4+k 2+1= (k 4+k 2+1)-k 2 = (k 2+k +1) (k 2-k +1),………………15分则 a 2+b 2+c 2a +b +c = (k 2-k +1)c =k 2c -kc +c =a +c -b .因为a +c -b 为整数,所以a 2+b 2+c 2a +b +c 为整数.…………18分证法二:a 2+b b 2+c=(a 2+b )(b 2-c )2b 2-c 2=(2ab -bc )+(b 2-ac )22b 2-c 2.……………6分 因为a 2+b b 2+c是有理数,所以b 2-ac =0,即b 2=ac .……………9分 所以 a 2+b 2+c 2a +b +c =(a +b +c )2-2(ab +bc +ca )a +b +c……………12分=(a +b +c )2-2(ab +bc +b 2)a +b +c……………15分=a +c -b .因为a +c -b 为整数,所以a 2+b 2+c 2a +b +c 为整数. ……………18分14.设n 为自然数,在△ABC 内给定n 个点.用一些除端点外没有公共点的线段连结这些点及A 、B 、C ,将△ABC 分成 t 个小的三角形. (1)用含n 的代数式表示t ;(2)证明t 为定值,与线段的连法无关. 【解析】(1)t =2n +1. ……………6分(2)由题设得,t 个三角形的内角和t π,△ABC 的内角和π, ……………9分 以给定的n 个点的每个点所构成的周角之和n ·2π. ……………12分由于t 个三角形的内角和等于△ABC 的内角和与以n 个点的每个点所构成的周角之和,所以 t π=π+n ·2π,得 t =2n +1.故结论成立. ……………18分15.如图,在△ABC 中,D 为BC 的中点,点E 、F 分别在边AC 、AB 上,并且∠ABE =∠ACF ,BE 、CF 交于点O .过点O 作OP ⊥AC ,OQ ⊥AB ,P 、Q 为垂足. 求证:DP=DQ .【解析】证法一:如图1,取OB 中点M ,OC 中点N .因为D 为BC 的中点,所以DM ∥OC ,DM =12OC ,DN ∥OB , DN =12OB .在Rt △BOQ 和Rt △OCP 中,QM =12OB ,PN =12OC .所以DM =PN ,QM =DN . ……………6分∠QMD =∠QMO +∠OMD =2∠ABO +∠FOB , ∠PND =∠PNO +∠OND =2∠ACO +∠EOC . 因为∠ABO =∠ACO ,∠FOB =∠EOC ,所以∠QMD =∠PND . ……………15分 于是△QMD ≌△DNP ,从而DQ=DP . ……………18分证法二:如图2,在直线BF 上取点M ,使QM=BQ ,在直线CA 上取点N ,使PN=CP . 连接CM ,BN ,OM ,ON .所以DQ=12CM ,DQ ∥CM ,DP=12BN ,DP ∥BN .……………6分因为OP ⊥AC ,OQ ⊥AB ,所以OM =OB ,ON =OC . ……………9分 ∠BOM =1800-2∠ABO ,∠CON =1800-2∠ACO ,因为∠ABO =∠ACO ,所以∠BOM =∠CON . ……………15分 从而∠BON=∠BOM +∠MON =∠CON +∠MON =∠COM . 所以△OMC ≌△ONB ,所以CM=BN ,从而DQ =DP . ……………18分图1图2 C A D B E F O P Q MN CAD BEF O PQ N M。