2019高三数学(北师大版理科)一轮训练题课时规范练35 综合法、分析法、反证法 Word版含解析

课时规范练椭圆
基础巩固组
.已知椭圆的焦点坐标为()和(),椭圆上一点与两焦点的距离和是,则椭圆的方程为()
.(河南洛阳三模,理)已知集合∩()
.⌀.{(),()}
.[] .[]
.已知椭圆(>>)的左、右焦点为,离心率为,过的直线交于两点.若△的周长为,则的方程为()
.(安徽黄山二模,理)在△中()()(),给出△满足条件,就能得到动点的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:
条件方程
①△周长为
②△面积为(≠)
③△中,∠°(≠)
则满足条件①,②,③的轨迹方程依次为()
〚导学号〛
.(广东、江西、福建十校联考)已知是椭圆(>>)的左右两个焦点,若椭圆上存在点使得⊥,则该椭圆的离心率的取值范围是()
. .
. .
.与圆:()外切,且与圆:()内切的动圆圆心的轨迹方程为.
.(湖北八校联考)设为椭圆的两个焦点,点在椭圆上,若线段的中点在轴上,则的值为.
.
(河北衡水中学三调,理)如图,椭圆(>>)左、右顶点为,左、右焦点为.直线(>)交椭圆于两点,与线段、椭圆短轴分别交于两点(不重合),且.
()求椭圆的方程;
()设直线的斜率分别为,求的取值范围.。

课时规范练13 函数模型及其应用基础巩固组1.如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图像表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.在某个物理实验中,测得变量x和变量y的几组数据,如下表:则对x,y最适合的拟合函数是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x3.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N+),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在t秒的路程为s=t2米,那么,此人()A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米5.企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,该企业年后需要更新设备.6.如图,动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是30 m.(1)用宽x(单位:m)表示所建造的两间熊猫居室的面积y(单位:m2);(2)怎么设计才能使所建造的熊猫居室面积最大?并求出每间熊猫居室的最大面积?7.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.综合提升组8.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元9.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是()A.40万元B.60万元C.120万元D.140万元10.某商人购货,进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润,则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为.11.某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②(注:利润和投资单位:万元).图①图②(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部资金投入到A,B两种产品的生产中.①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?②如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润为多少万元?创新应用组12.(2018江苏苏北四市模拟,17)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成,如图2.已知圆O的半径为10 cm,设∠BAO=θ,0<θ<,圆锥的侧面积为S cm2.(1)求S关于θ的函数关系式;(2)为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.参考答案课时规范练13 函数模型及其应用1.A水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来,图①应该是匀速的,故下面的图像不正确,②中的变化率是越来越慢的,正确;③中的变化规律是逐渐变慢再变快,正确;④中的变化规律是逐渐变快再变慢,也正确,故只有①是错误的.故选A.2.D根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B、C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.3.C设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0<x<240,x∈N+).令f(x)≥0,得x≥150,∴生产者不亏本时的最低产量是150台.4.D已知s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25= (t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值7.5.10由题意可知x年的维护费用为2+4+…+2x=x(x+1),所以x年的平均费用y==x++1.5,由基本不等式得y=x++1.5≥2+1.5=21.5,当且仅当x=,即x=10时取等号,所以该企业10年后需要更新设备.6.解 (1)设熊猫居室的宽为x(单位:m),由于可供建造围墙的材料总长是30 m,两间熊猫居室的长为30-3x(单位:m),所以两间熊猫居室的面积y=x(30-3x),又得0<x<10,于是y=-3x2+30x(0<x<10)为所求.(2)由(1)知,y=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,二次函数图像开口向下,对称轴x=5,且x∈(0,10),当x=5时,所建造的熊猫居室面积最大,其中每间熊猫居室的最大面积为 m2.7.解 (1)根据所给的曲线,可设y=当t=1时,由y=4,得k=4,由=4,得a=3.则y=(2)由y≥0.25,得或解得≤t≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-=(h).8.B由题意,设利润为y元,租金定为(3 000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),则y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50=204 800,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B.9.C甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元),乙4元时该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元),共获利40+80=120(万元),故选C.10.y=x(x∈N+)设新价为b,依题意,有b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%,化简得b=a.∴y=b·20%·x=a·20%·x,即y=x(x∈N+).11.解 (1)设A,B两种产品都投资x万元(x≥0),所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元,由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2,根据题图可得f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2(x≥0).(2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6,故总利润y=8.25(万元).②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元,则y=(18-x)+2,0≤x≤18.令=t,t∈[0,3 ],则y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.故当t=4时,y max==8.5,此时x=16,18-x=2.所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润8.5万元.12.解 (1)设AO交BC于点D,过O作OE⊥AB,垂足为E,如下图.在△AOE中,AE=10cos θ,AB=2AE=20cos θ,在△ABD中,BD=AB·sin θ=20cos θ·sin θ,所以S=π·20sin θcos θ·20cos θ=400πsin θcos2θ,0<θ<.(2)要使侧面积最大,由(1)得,S=400πsin θcos2θ=400π(sin θ-sin3θ),设f(x)=x-x3(0<x<1),则f'(x)=1-3x2,由f'(x)=1-3x2=0,得x=,当x∈时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0,所以f(x)在区间上递增,在区间上递减,所以f(x)在x=时取得极大值,也是最大值,所以当sin θ=时,侧面积S取得最大值,此时等腰三角形的腰长AB=20cos θ=20=20=.即侧面积S取得最大值时,等腰三角形的腰AB的长度为 cm.。

课时规范练51算法初步基础巩固组1.如图,若依次输入的x分别为5π6,π6,相应输出的y分别为y1,y2,则y1,y2的大小关系是()A.y1=y2B.y1>y2C.y1<y2D.无法确定(第1题图)(第2题图)2.(2017全国Ⅰ,理8)如图的算法框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入()A.A>1 000和n=n+1B.A>1 000和n=n+2C.A≤1 000和n=n+1D.A≤1 000和n=n+23.(2017河南新乡二模,理5)执行如图所示的算法框图,输出S的值为()A.-3115B.-75C.-3117D.-21174.(2017河南六市联考二模,理8)阅读算法框图,如果输出的函数值在区间[1,8]上,那么输入的实数x的取值范围是()A.[0,2)B.[2,7]C.[2,4]D.[0,7]5.执行如图所示的算法框图,如果输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为()A.0B.1C.2D.36.(2017山西晋中一模,理5)执行如图的算法框图,则输出K的值为()A.98B.99C.100D.101 〚导学号21500577〛(第5题图)(第6题图)7.为了在运行如图所示的算法之后得到结果y=16,则输入的x应该是()A.±5B.5C.-5D.08.(2017山东,理6)执行两次下图所示的算法框图,若第一次输入的x的值为7,第二次输入的x的值为9,则第一次、第二次输出的a的值分别为()A.0,0B.1,1C.0,1D.1,0 〚导学号21500578〛9.(2017河南焦作二模,理6改编)执行如图所示的算法框图,若输入m=4,t=3,则输出y=.10.运行如图所示的算法,当输入a,b分别为2,3时,最后输出的m的值为.综合提升组11.(2017北京东城区二模,理6)我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202-1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的算法框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输入的n=5,v=1,x=2,则算法框图计算的是()A.25+24+23+22+2+1B.25+24+23+22+2+5C.26+25+24+23+22+2+1D.24+23+22+2+112.根据下列算法语句,当输入x=-5,y=15时,则输出的结果为()A.3;33B.33;3C.-17;7D.7;-17 〚导学号21500579〛13.(2017河北保定二模,理7)某地区出租车收费办法如下:不超过2千米收7元;超过2千米时,每车收燃油附加费1元,并且超过的里程每千米收2.6元(其他因素不考虑),计算收费标准的算法框图如图所示,则①处应填() A.y=2.0x+2.2 B.y=0.6x+2.8C.y=2.6x+2.0D.y=2.6x+2.814.阅读如图所示的算法框图,运行相应的算法,则输出S的值为.(第13题图)(第14题图)创新应用组15.(2017河南郑州一中质检一,理5)我们可以用随机模拟的方法估计π的值,如图算法框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数,它能随机产生(0,1)内的任何一个实数).若输出的结果为521,则由此可估计π的近似值为()A.3.119B.3.126C.3.132D.3.151 〚导学号21500580〛16.(2017山西晋中二模,理7)执行如图算法框图,已知输出的s∈[0,4],若输入的t∈[m,n],则实数n-m 的最大值为()A.1B.2C.3D.4参考答案课时规范练51算法初步1.C由算法框图可知,当输入的x为5π6时,sin5π6>cos5π6成立,所以输出的y1=sin5π6=12;当输入的x为π6时,sinπ6>cosπ6不成立,所以输出的y2=cosπ6=32,所以y1<y2.2.D因为要求A大于1000时输出,且算法框图中在“否”时输出,所以“”中不能填入A>1000,排除A,B.又要求n为偶数,且n初始值为0,所以“”中n依次加2可保证其为偶数,故选D.3.C算法运行如下:i=0,S=1;满足条件i<4,执行循环体,i=1,S=13;满足条件i<4,执行循环体,i=2,S=-17;满足条件i<4,执行循环体,i=3,S=-913;满足条件i<4,执行循环体,i=4,S=-3117,不满足条件i<4,退出循环,输出S的值为-3117.故选C.4.D根据题意,得当x∈(-2,2)时,f(x)=2x,∴1≤2x≤8,∴0≤x≤3;当x不在(-2,2)时,f(x)=x+1,∴1≤x+1≤8,∴0≤x≤7,∴x的取值范围是[0,7].5.C先画出x,y满足的约束条件x≥0,y≥0,x+y≤1对应的可行域如图中的阴影部分.平移直线l0:y=-2x.当直线经过点A(1,0)时,y=-2x+S中截距S最大,此时S max=2×1+0=2.与x≥0,y≥0,x+y≤1不成立时S=1进行比较,可得S max=2.6.B算法运行如下:K=1,S=0,S=lg2;不满足条件S≥2,执行循环体,K=2,S=lg2+lg32=lg3,不满足条件S≥2,执行循环体,K=3,S=lg3+lg43=lg4;……观察规律,可得不满足条件S≥2,执行循环体,K=99,S=lg99+lg10099=lg100=2, 满足条件S≥2,退出循环,输出K的值为99.7.A∵f(x)=(x+1)2,x<0, (x-1)2,x≥0,∴当x<0时,令(x+1)2=16,解得x=-5;当x≥0时,令(x-1)2=16,解得x=5,故x=±5.8.D若输入x=7,则b=2(b2<x,且x不能被b整除)→b=3(b2>x)→输出a=1;若输入x=9,则b=2(b2<x,且x不能被b整除)→b=3(b2=x,但x能被b整除)→输出a=0.故选D.9.183算法运行如下:m=4,t=3,y=1,i=3;满足条件i≥0,执行循环体,y=6,i=2;满足条件i≥0,执行循环体,y=20,i=1;满足条件i≥0,执行循环体,y=61,i=0;满足条件i≥0,执行循环体,y=183,i=-1;不满足条件i≥0,退出循环,输出y的值为183.10.3∵a=2,b=3,∴a<b,应把b的值赋给m,∴m的值为3.11.A n=5,v=1,x=2,i=4,满足条件i≥0,执行循环体,v=1×2+1=3,i=3;满足条件i≥0,执行循环体,v=3×2+1=7,i=2;满足条件i≥0,执行循环体,v=7×2+1=15,i=1;满足条件i≥0,执行循环体,v=15×2+1=31,i=0;满足条件i≥0,执行循环体,v=31×2+1=63,i=-1,不满足条件i≥0,退出循环,输出v的值为63,故选A.12.A因为x<0,所以x=y+3=18,即此时x=18,y=15,输出x-y,x+y,即3,33,所以输出的结果为3,33,故选A.13.D当满足条件x>2时,即里程超过2千米.里程超过2千米时,每车收燃油附加费1元,并且超过的里程每千米收2.6元,即y=2.6(x-2)+7+1=8+2.6(x-2),整理可得y=2.6x+2.8.故选D.14.4第一次循环:S=8,n=2;第二次循环:S=2,n=3;第三次循环:S=4,n=4,满足条件n>3,结束循环,输出S=4.15.B x2+y2+z2<1表示空间直角坐标系中点(x,y,z)到原点的距离小于1,满足x2+y2+z2<1的点在以原点为球心,半径为1的球内.因为x,y,z∈(0,1),所以点(x,y,z)落在第一象限内的18球内,它发生的概率为4π3×13×181=π6.当输出结果为521时,i=1001,m=521,x2+y2+z2<1发生的概率为P=5211000,故5211000≈π6,解得π≈3.126.16.D由题意,得算法框图的功能是计算并输出分段函数S=3t,t<1,4t-t2,t≥1的函数值,作出该函数的图像,由题意可得输出的s∈[0,4], 当m=0时,n∈[2,4],n-m∈[2,4]; 当n=4时,m∈[0,2],n-m∈[2,4].所以实数n-m的最大值为4.。

课时规范练31　数列求和基础巩固组1.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n 项和S n 的值等于( )12141811612nA.n 2+1-B.2n 2-n+1-12n12nC.n 2+1-D.n 2-n+1-12n -112n2.在数列{a n }中,a 1=-60,a n+1=a n +3,则|a 1|+|a 2|+…+|a 30|=( ) A.-495 B.765C.1 080 D.3 1053.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m ,其中m ,n 为正整数,且a 1=1,则a 10等于( )A.1B.9C.10D.554.已知函数f (x )=x a 的图像过点(4,2),令a n =,n ∈N +.记数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 2 018等1f (n +1)+f (n )于( )A.-1 B.+12 0182 018C.-1D.+12 0192 0195.已知数列{a n }中,a n =2n +1,则+…+=( )1a 2-a 1+1a 3-a 21a n +1-a n A.1+ B.1-2n C.1- D.1+2n〚导学号21500545〛12n12n6.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,若S n+1=S n ,则数列的前2 018项和为 .n +2n {1a n a n +1}7.已知等差数列{a n }满足:a 5=11,a 2+a 6=18.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =a n +2n ,求数列{b n }的前n 项和S n .综合提升组8.如果数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n 项和S n >1 020,那么n 的最小值是( )A.7B.8C.9D.109.(2017山东烟台模拟)已知数列{a n }中,a 1=1,且a n+1=,若b n =a n a n+1,则数列{b n }的前n 项和S n 为a n2a n +1( )A. B.2n 2n +1n 2n +1C. D.〚导学号21500546〛2n 2n -12n -12n +110.(2017福建龙岩一模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和,对n ∈N +都有S n =1-a n ,若b n =log 2a n ,则+…+= .1b 1b 2+1b 2b 31b n b n +111.(2017广西模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =a n -1(n ∈N +).32(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2log 3+1,求+…+.a n21b 1b 2+1b 2b 31b n -1b n 创新应用组12.(2017全国Ⅰ,理12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N :N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A .440B .330C .220D .110〚导学号21500547〛参考答案课时规范练31　数列求和1.A 该数列的通项公式为a n =(2n-1)+,则S n =[1+3+5+…+(2n-1)]+=n 2+1-.12n (12+122+ (12))12n 2.B 由a 1=-60,a n+1=a n +3可得a n =3n-63,则a 21=0,|a 1|+|a 2|+…+|a 30|=-(a 1+a 2+…+a 20)+(a 21+…+a 30)=S 30-2S 20=765,故选B .3.A ∵S n +S m =S n+m ,a 1=1,∴S 1=1.可令m=1,得S n+1=S n +1,∴S n+1-S n =1,即当n ≥1时,a n+1=1,∴a 10=1.4.C 由f (4)=2,可得4a =2,解得a=,则f (x )=.12x 12∴a n =,1f (n +1)+f (n )=1n +1+n=n +1‒nS 2 018=a 1+a 2+a 3+…+a 2 018=()+()+()+…+()=-1.2‒13‒24‒32 019‒2 0182 0195.C a n+1-a n =2n+1+1-(2n +1)=2n+1-2n =2n ,所以+…++…+=1-=1-.1a 2-a 1+1a3-a 21a n +1-a n=12+122+12312n=12[1-(12)n]1-12(12)n12n 6.　∵S n+1=S n ,∴.又a 1=2,1 0094 038n +2n S n +1S n=n +2n ∴当n ≥2时,S n =·…··S 1=·…·×2=n (n+1).S n S n -1·S n -1Sn -2·S n -2Sn -3S 3S 2·S 2S1n +1n -1·n n -2·n -1n-342×31当n=1时也成立,∴S n =n (n+1).∴当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n (n+1)-n (n-1)=2n.当n=1时,a 1=2也成立,所以a n =2n.∴.1a n a n +1=12n ·2(n +1)=14(1n -1n +1)则数列的前2 018项和{1a n a n +1}=14[(1-12)+(12-13)+…+.(12 018-12 019)]=14(1-12019)=1 0094 0387.解 (1)设{a n }的首项为a 1,公差为d.由a 5=11,a 2+a 6=18,得{a 1+4d =11,2a 1+6d =18,解得a 1=3,d=2,所以a n =2n+1.(2)由a n =2n+1得b n =2n+1+2n ,则S n =[3+5+7+…+(2n+1)]+(21+22+23+…+2n )=n 2+2n+=n 2+2n+2n+1-2.2(1-2n )1-28.D a n =1+2+22+…+2n-1=2n -1.∴S n =(21-1)+(22-1)+…+(2n -1)=(21+22+…+2n )-n=2n+1-n-2,∴S 9=1 013<1 020,S 10=2 036>1 020,∴使S n >1 020的n 的最小值是10.9.B 由a n+1=,得+2,a n2a n +11a n +1=1an∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列,{1a n}∴=2n-1,又b n =a n a n+1,1a n ∴b n =,1(2n -1)(2n +1)=12(12n -1-12n +1)∴S n =12(11-13+13-15+…+,故选B .12n -1-12n +1)=n2n +110.　对n ∈N +都有S n =1-a n ,当n=1时,a 1=1-a 1,解得a 1=.nn +112当n ≥2时,a n =S n -S n-1=1-a n -(1-a n-1),化为a n =a n-1.12∴数列{a n }是等比数列,公比为,首项为.∴a n =.1212(12)n∴b n =log 2a n=-n.∴.1b n b n +1=1-n (-n -1)=1n ‒1n +1则+…++…+=1-.1b 1b 2+1b 2b31b n b n +1=(1-12)+(12-13)(1n -1n +1)1n +1=n n +111.解 (1)当n=1时,a 1=a 1-1,∴a 1=2.32当n ≥2时,∵S n =a n -1,①32S n-1=a n-1-1(n ≥2),②32∴①-②得a n=,即a n=3an-1,(32a n -1)‒(32a n -1-1)∴数列{a n }是首项为2,公比为3的等比数列,∴a n =2·3n-1.(2)由(1)得b n =2log 3+1=2n-1,a n2∴+…++…+1b 1b 2+1b 2b31b n -1b n=11×3+13×51(2n -3)(2n -1)=+…+.12[ (1-13)+(13-15)(12n -3-12n -1)]=n -12n -112.A 设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n 组的项数为n ,则前n 组的项数和为.第n 组的和为=2n -1,前n 组总共的和为-n=2n+1-2-n.n (1+n )21-2n1-22(1-2n )1-2由题意,N>100,令>100,得n ≥14且n ∈N +,即N 出现在第13组之后.若要使最小整数N 满足:n (1+n )2N>100且前N 项和为2的整数幂,则S N -应与-2-n 互为相反数,即2k -1=2+n (k ∈N +,n ≥14),所以S n (1+n )2k=log 2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=+5=440,故选A .29×(1+29)2。

课时规范练22 三角恒等变换基础巩固组1.函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是()A. B.π C. D.2π2.已知sin,则cos=()A. B. C. D.3.(2018云南民族中学一模)已知tan α=2,则的值是()A. B.- C. D.4.(2018四川成都七中模拟)已知sin,则cos=()A.-B.-C.D.5.已知f(x)=sin2x+sin x cos x,则f(x)的最小正周期和一个递增区间分别为()A.π,[0,π]B.2π,C.π,D.2π,6.(2018黑龙江高考仿真(三))已知sin+sin α=-,则cos=()A.-B.-C.D.7.(2018全国第一次大联考)已知sin,则sin-cos的值为.8.设f(x)=+sin x+a2sin的最大值为+3,则实数a=.9.设α为锐角,若cos,则sin的值为.10.(2018湖北百所重点校联考)设α∈,满足sin α+cos α=.(1)求cos的值;(2)求cos的值.综合提升组11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1的图像的相邻两对称轴之间的距离为π,且在x=时取得最大值2,若f(α)=,且<α<,则sin的值为()A. B.- C. D.-12.已知α∈,cos-sin α=,则sin的值是()A.-B.-C.D.-13.(2018湖南长郡中学一模,17改编)已知函数f(x)=2sin x cos2+cos x sin φ-sin x(0<φ<π)在x=π处取最小值.则φ的值为.14.(2018安徽合肥二模)已知a=(sin x,cos x),b=(cos x,-cos x),函数f(x)=a·b+.(1)求函数y=f(x)图像的对称轴方程;(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.创新应用组15.已知m=,若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=()A.-1B.C.D.216.函数y=sin α+cos α-4sin αcos α+1,且=k,<α≤,(1)把y表示成k的函数f(k);(2)求f(k)的最大值.参考答案课时规范练22 三角恒等变换1.B f(x)= 2sin×2cos=2sin,故最小正周期T==π,故选B.2.A由题意sin=,∴cos=cos 2=1-2sin2=1-2×=.故选A.3.D∵tan α=2,∴======.4.B由题意sin=sin=-sin,所以sin=-,由于cos=cos=-cos=-cos=2sin2-1=2×-1=-,故选B.5.C由f(x)=sin2x+sin x cos x=+sin 2x=+-=+sin,则T==π.又2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)为函数的递增区间.故选C.6.D∵sin+sin α=sincos α+cossin α+sin α=-,∴sin α+cos α=-,即sin α+cos α=-.∴sin=-.故cos=cos=-sin=.7. sin-cos=sin-cos 2=-sin+cos 2=-sin+1-2sin2=-+1-=.8.±f(x)=+sin x+a2sin=cos x+sin x+a2sin=sin+a2sin=(+a2)sin.依题意有+a2=+3,则a=±.9. ∵α为锐角,cos=,∴sin=,∴sin=2sincos=,cos=2cos2-1=,∴sin=sin=sin-cos=.10.解 (1)∵sin α+cos α=,∴sin=.∵α∈,∴α+∈,∴cos=.(2)由(1)可得cos=2cos2-1=2×-1=.∵α∈,∴2α+∈,∴sin=.∴cos=cos=coscos+sinsin=.11.D由题意,T=2π,即T==2π,即ω=1.又当x=时,f(x)取得最大值,即+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.∵0<φ≤,∴φ=,∴f(x)=sin+1.∵f(α)=sin+1=,可得sin=.∵<α<,可得<α+<π,∴cos=-.∴sin=2sin·cos=2××=-.故选D.12.B由cos-sin α=,可得cos α-sin α=,cos α-sin α=,cos=.∵α∈,∴α+∈,sin=,sin=sin=sin-cos==-,故选B.13. f(x)=2sin x·+cos x sin φ-sin x=sin x+sin x cos φ+cos x sin φ-sin x=sin x cos φ+cos x sin φ=sin(x+φ).因为函数f(x)在x=π处取最小值,所以sin(π+φ)=-1,由诱导公式知sin φ=1,因为0<φ<π,所以φ=.14.解 (1)f(x)=a·b+=(sin x,cos x)·(cos x,-cos x)+=sin x·cos x-cos2x+=sin 2x-cos 2x=sin.令2x-=kπ+,得x=+π(k∈Z),即y=f(x)的对称轴方程为x=+π(k∈Z).(2)由条件知sin=sin=>0,且0<x1<<x2<,易知(x1,f(x1))与(x2,f(x2))关于x=对称,则x1+x2=,∴cos(x1-x2)=cos=cos=cos=sin=.15.D∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),∴tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β),故m==2,故选D.16.解 (1)∵k====2sin αcos α,∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+k.∵<α≤,∴sin α+cos α>0.∴sin α+cos α=.∴y=-2k+1.由于k=2sin αcos α=sin 2α,<α≤,∴0≤k<1.∴f(k)=-2k+1(0≤k<1).(2)设=t,则k=t2-1,1≤t<.∴y=t-(2t2-2)+1,即y=-2t2+t+3(1≤t<).∵关于t的二次函数在区间[1,)内是减少的,∴t=1时,y取最大值2.。

课时分层训练(三十五) 综合法与分析法、反证法A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( )A ．ac 2<bc 2B ．a 2>ab >b 2C ．1a <1bD ．b a >a b B [a 2－ab ＝a (a －b )，∵a <b <0，∴a －b <0，∴a 2－ab >0，∴a 2>aB ．① 又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，②由①②得a 2>ab >b 2.]2．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理实数根，则a ，b ，c 中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是( )【导学号：00090221】A ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数B ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数C ．假设a ，b ，c 都是偶数D ．假设a ，b ，c 都不是偶数D [“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a ，b ，c 都不是偶数．]3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0 C [由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2⇐(a ＋c )2－ac <3a 2⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇐－2a 2＋ac ＋c 2<0⇐2a 2－ac －c 2>0⇐(a －c )(2a ＋c )>0⇐(a －c )(a －b )>0.]4．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2C [因为x >0，y >0，z >0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋y z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋z x ≥6，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.]5．(2018·南昌模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项之积为T n ，并且满足条件：a 1＞1，a 2 016a 2 017＞1，a 2 016－1a 2 017－1＜0，下列结论中正确的是( ) A ．q ＜0B ．a 2 016a 2 018－1＞0C ．T 2 016是数列{T n }中的最大项D ．S 2 016＞S 2 017C [由a 1＞1，a 2 016a 2 017＞1得q ＞0，由a 2 016－1a 2 017－1＜0，a 1＞1得a 2 016＞1，a 2 017＜1,0＜q ＜1，故数列{ a n }的前2 016项都大于1，从第2 017项起都小于1，因此T 2 016是数列{T n }中的最大项．故选C ．]二、填空题6．用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设________． x ≠－1且x ≠1 [“x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”．]7．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是__________．m <n [法一(取特殊值法)：取a ＝2，b ＝1，得m <n .法二(分析法)：a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．]8．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的个数是__________．3 [要使b a ＋a b ≥2，只要b a >0，且a b >0，即a ，b 不为0且同号即可，故有3个．]三、解答题9．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2B ．[证明] 要证明2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立，只需证：2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0，即2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0，即(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0. 8分。

课时规范练35 综合法、分析法、反证法基础巩固组1.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”过程应用了()A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法2.(2018吉林梅河口五中三模,5)给出下列两个论断:①已知:p3+q3=2,求证:p+q≤2.用反证法证明时,可假设p+q>2.②设a为实数,f(x)=x2+ax+a,求证:|f(1)|与|f(2)|至少有一个不小于.用反证法证明时可假设|f(1)|≥且|f(2)|≥.以下说法正确的是()A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确,②的假设错误D.①的假设错误,②的假设正确3.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥04.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小顺序是()A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b5.若a>b>0,且x=a+,y=b+,则()A.x>yB.x<yC.x≥yD.x≤y6.设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+ ()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于27.(2018陕西咸阳二模,8)设f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时,f(x)递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负8.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x1,x2∈[0,1],当|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|时,求证:|f(x1)-f(x2)|<.那么他的反设应该是.9.分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明<1+时,索的因是.10.已知正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:.综合提升组11.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形12.已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2∈R,均有≥f.13.(2018四川南充模拟,17)已知数列{a n}中,a1=1,其前n项和为S n,且满足a n=(n≥2).(1)求证:数列是等差数列;(2)证明:当n≥2时,S1+S2+S3+…+S n<.创新应用组14.(2018河南郑州一中月考,18)若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<b),则称函数f(x)是[a,b]上的“四维光军”函数.(1)设g(x)= x2-x+是[1,b]上的“四维光军”函数,求常数b的值;(2)是否存在常数a,b(a>-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.参考答案课时规范练35 综合法、分析法、反证法1.B因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论.故选B.2.C①用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定,所以p+q≤2的假命题应为p+q>2,故①的假设正确;②|f(1)|与|f(2)|至少有一个不小于的否定为|f(1)|与|f(2)|都小于,故②的假设错误.故选C.3.D在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)≥0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选D.4.A因为a=-=,b=-=,c=-=,且+>+>+>0,所以a>b>c.故选A.5.A因为a+-b+=(a-b)1+>0.所以a+>b+.故选A.6.D因为a>0,b>0,c>0,所以a++b++c+=a++b++c+≥6,当且仅当a=b=c时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.7.A由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)递减,可知f(x)是R上的减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)<0.故选A.8.存在x1,x2∈[0,1],当|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|时,则|f(x1)-f(x2)|≥根据反证法,写出相反的结论是:存在x1,x2∈[0,1],当|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|时,则|f(x1)-f(x2)|≥.9.x2>0因为x>0,所以要证<1+,只需证()2<1+2,即证0<,即证x2>0,因为x>0,所以x2>0成立,故原不等式成立.10.证明欲证++≤,则只需证(++)2≤3,即证a+b+c+2(++)≤3,即证++≤1.又++≤++=1,∴原不等式++≤成立.11.D由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,且△A2B2C2不可能是直角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形.由得则A2+B2+C2=,这与三角形内角和为π相矛盾.因此假设不成立,故△A2B2C2是钝角三角形.12.证明要证≥f,即证≥-2·,因此只要证-(x1+x2)≥-(x1+x2),即证≥,因此只要证≥,由于x1,x2∈R时,>0,>0,因此由基本不等式知≥显然成立,故原结论成立.13.证明 (1)当n≥2时,S n-S n-1=,S n-1-S n=2S n S n-1,-=2,从而构成以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,=+(n-1)×2=2n-1,∴S n=,∴当n≥2时,S n=<=·=-,从而S1+S2+S3+…+S n<1+1-+-+…+-<-<.14.解 (1)由题设得g(x)=(x-1)2+1,其图像的对称轴为x=1,区间[1,b]在对称轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,则b2-b+=b,解得b=1或b=3.因为b>1,所以b=3.(2)假设函数h (x)=在区间[a,b](a>-2)上是“四维光军”函数,因为h(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,所以有即解得a=b,这与已知矛盾.故不存在常数a,b,使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数.。

课时规范练35 综合法、分析法、反证法基础巩固组1.要证:a 2+b 2-1-a 2b 2≤0,只需证明( )A.2ab-1-a 2b 2≤0B.a 2+b2-1-a 4+b 4≤0C.(a +b )2-1-a 2b 2≤0D.(a 2-1)(b 2-1)≥02.用反证法证明结论“三角形内角至少有一个不大于60°”,应假设( ) A.三个内角至多有一个大于60° B.三个内角都不大于60° C.三个内角都大于60°D.三个内角至多有两个大于60°3.(2017河南郑州模拟)设x>0,P=2x +2-x ,Q=(sin x+cos x )2,则( ) A.P>QB.P<QC.P ≤QD.P ≥Q4.设a ,b ,c 均为正实数,则三个数a+1b ,b+1c ,c+1a ( )A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2〚导学号21500551〛5.(2017山东烟台模拟)设a>b>0,m= a − b ,n= a -b ,则m ,n 的大小关系是 .6.设a ,b ,c 均为正数,且a+b+c=1,求证:ab+bc+ac ≤13.7.(2017河北唐山模拟)已知a>0,1−1>1,求证: 1+a > 1-b.综合提升组8.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )是减少的,若x 1+x 2>0,则f (x 1)+f (x 2)的值( ) A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值D.无法确定正负9.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则( ) A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形,△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形,△A 2B 2C 2是钝角三角形 〚导学号21500552〛10.已知a ,b 是不相等的正数,x=a + b2,y= a +b ,则x ,y 的大小关系是 .11.已知函数f (x )=ln(1+x ),g (x )=a+bx-12x 2+13x 3,函数y=f (x )与函数y=g (x )的图像在交点(0,0)处有公共切线.(1)求a ,b 的值; (2)证明f (x )≤g (x ).创新应用组12.(2017贵州安顺调研)已知函数f (x )=3x -2x ,求证:对于任意的x 1,x 2∈R ,均有f (x 1)+f (x 2)2≥f x 1+x22.13.在等差数列{a n }中,a 1=3,其前n 项和为S n ,等比数列{b n }的各项均为正数,b 1=1,公比为q (q ≠1),且b 2+S 2=12,q=S22.(1)求a n 与b n ;(2)证明:1≤11+12+…+1n <2.〚导学号21500553〛参考答案课时规范练35综合法、分析法、反证法1.D在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)≥0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选D.2.C“三角形内角至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”,其否定为“三角形内角都大于60°”.故选C.3.A因为2x+2-x≥22x·2-x=2(当且仅当x=0时等号成立),而x>0,所以P>2;又(sin x+cos x)2=1+sin2x,而sin2x≤1,所以Q≤2.于是P>Q.故选A.4.D∵a>0,b>0,c>0,∴ a+1b + b+1c+ c+1a= a+1a+ b+1b+ c+1c≥6,当且仅当a=b=c=1时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.5.m<n方法一:(取特殊值法)取a=2,b=1,得m<n.方法二:(分析法)a−<a-b⇐a<b+a-b⇐a<b+2b·a-b+a-b⇐2b·a-b>0,显然成立.6.证明由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.7.证明由已知1b −1a>1及a>0可知0<b<1,要证1+a>1-b,只需证1+a·1-b>1,只需证1+a-b-ab>1,只需证a-b-ab>0,即a-bab>1,即1b −1a>1,这是已知条件,所以原不等式得证.8.A由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)是减少的,可知f(x)是R上的减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)<0,故选A.9.D 由条件知,△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0,则△A 1B 1C 1是锐角三角形,且△A 2B 2C 2不可能是直角三角形.假设△A 2B 2C 2是锐角三角形. 由sin A 2=cos A 1=sin π2-A 1 ,sin B 2=cos B 1=sin π2-B 1 ,sin C 2=cos C 1=sin π2-C 1 ,得 A 2=π2-A 1,B 2=π2-B 1,C 2=π2-C 1,则A 2+B 2+C 2=π2,这与三角形内角和为180°相矛盾. 因此假设不成立,故△A 2B 2C 2是钝角三角形. 10.x<ya +b 2> ab (a ≠b )⇒a+b>2 ab⇒2(a+b )>a+b+2 ab⇒a+b>( a + b )22⇒ a +b >a + b2,即x<y.11.(1)解 f'(x )=11+x,g'(x )=b-x+x 2,由题意得 g (0)=f (0),f '(0)=g '(0),解得a=0,b=1.(2)证明 令h (x )=f (x )-g (x )=ln(x+1)-13x 3+12x 2-x (x>-1).∵h'(x )=1x +1-x 2+x-1=-x 3x +1,∴h (x )在(-1,0)内是增加的,在(0,+∞)内是减少的. ∴h (x )max =h (0)=0,即h (x )≤h (0)=0,即f (x )≤g (x ).12.证明 要证f (x 1)+f (x 2)2≥fx 1+x 22,即证(3x 1-2x 1)+(3x 2-2x 2)2≥3x 1+x 22-2·x 1+x22,因此只要证3x 1+3x 22-(x 1+x 2)≥3x 1+x 2-(x 1+x 2),即证3x 1+3x 22≥3x 1+x 22,因此只要证3x 1+3x 22≥ 3x 1·3x 2,由于x 1,x 2∈R 时,3x 1>0,3x 2>0, 因此由基本不等式知3x 1+3x 22≥ 3x 1·3x 2显然成立,故原结论成立.13.(1)解 设等差数列{a n }的公差为d. 因为 b 2+S 2=12,q =S 2b 2,所以 q +6+d =12,q =6+d q,解得 q =3,d =3,(q=-4舍去).故a n =3+3(n-1)=3n ,b n =3n-1. (2)证明 因为S n =n (3+3n )2,所以1S n=2n (3+3n )=23 1n -1n +1. 所以1S 1+1S 2+…+1S n=23 1-12 + 12-13 + 13-14 +…+ 1n -1n +1=23 1-1n +1 .因为n ≥1,所以0<1n +1≤12,所以12≤1-1n +1<1,所以13≤23 1-1n +1 <23. 所以13≤1S 1+1S 2+…+1S n<23.。

单元评估检测(一) 第1章 集合与常用逻辑用语(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若全集U ＝{x ∈R |x 2≤4}，A ＝{x ∈R ||x ＋1|≤1}的补集∁U A 为( )A ．(0,2)B ．[0,2)C ．(0,2]D ．[0,2] [答案] C2．已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，B ＝{x ∈Z |x 2＜9}，则A ∩B ＝( )A ．{2}B ．(－3,3)C ．(1,3)D ．{1,2} [答案] D3．命题“存在x 0∈∁R Q ，x 20∈Q ”的否定是( )【导学号：79140402】A ．存在x 0∉∁R Q ，x 20∈Q B ．存在x 0∈∁R Q ，x 20∉Q C ．任意x ∉∁R Q ，x 2∈Q D ．任意x ∈∁R Q ，x 2∉Q[答案] D4．设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜5，x ∈Z，B ＝{x |x ≥a }．若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜12B ．a ≤12C ．a ≤1D ．a ＜1[答案] C5．使x 2＞4成立的充分不必要条件是( )A ．2＜x ＜4B ．－2＜x ＜2C ．x ＜0D ．x ＞2或x ＜－2[答案] A6．已知集合A ＝{x |ax ＝1}，B ＝{x |x 2－x ＝0}，若A ⊆B ，则由a 的取值构成的集合为( )A ．{1}B ．{0}C ．{0,1}D ．∅[答案] C7．已知原命题：已知ab ＞0，若a ＞b ，则1a ＜1b，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．48．(2017·广州模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1d ＞0是数列{3a 1a n }为递增数列的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A9．已知命题p ：存在x 0∈R ，x 0＜x 20＋1，命题q ：任意x ∈R ，sin 4x －cos 4x ≤1，则p 或q ，p 且q ，(﹁p )或q ，p 且(﹁q )中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C10．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c ＜0”是“存在x 0∈R ，使f (x 0)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A11．(2018·阜阳模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ○+N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x，x ∈R }，则A ○+B 等于( ) 【导学号：79140403】A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) [答案] C 12．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真，真，真 B ．假，假，真 C ．真，真，假D ．假，假，假二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知集合Q ＝{m ∈Z |mx 2＋mx －2＜0对任意实数x 恒成立}，则Q 用列举法表示为________．[答案] {－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}14．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素的个数是________． [答案] 4 15．下列3个命题：①“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”； ②“如果x 2＋x －6≥0，则x ＞2”的否命题；③在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞12”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________． [答案] ②16．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140404】[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－1＜0}，B ＝{x |x ＋a ＞0}． (1)若a ＝－12，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．[解] A ＝{x |－1＜x ＜1}． (1)当a ＝－12时，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －12＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞12， 所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜1. (2)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，因为B ＝{x |x ＞－a }，所以－a ≤－1，即a ≥1.18．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，求a ，b ，c 的值．[解] 因为A ∩B ＝{－3}，所以－3∈A ，且－3∈B ，所以(－3)2－3a －12＝0，解得a ＝－1，A ＝{x |x 2－x －12＝0}＝{－3,4}．因为A ∪B ＝{－3,4}，且A ≠B ， 所以B ＝{－3}，即方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个等根为－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋－＝－b ，－－＝c ，即b ＝6，c ＝9.综上，a ，b ，c 的值分别为－1,6,9.19．(本小题满分12分)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，若“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围． [解] 命题p 为真时，因为函数y ＝c x在R 上单调递减，所以0＜c ＜1. 即p 真时，0＜c ＜1.因为c ＞0且c ≠1，所以p 假时，c ＞1.命题q 为真时，因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q 真时，0＜c ≤12，因为c ＞0且c ≠1，所以q 假时，c ＞12，且c ≠1.又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以p 真q 假或p 假q 真． (1)当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪c ＞12且c ≠1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1. (2)当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪0＜c ≤12＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1. 20．(本小题满分12分)(2018·保定模拟)已知p ：x 2≤5x －4，q ：x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0. (1)若p 是真命题，求对应x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围． [解] (1)因为x 2≤5x －4，所以x 2－5x ＋4≤0，即(x －1)(x －4)≤0，所以1≤x ≤4，即对应x 的取值范围为1≤x ≤4. (2)设p 对应的集合为A ＝{x |1≤x ≤4}．由x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0， 得(x －2)(x －a )≤0.当a ＝2时，不等式的解为x ＝2，对应的解集为B ＝{2}；当a ＞2时，不等式的解为2≤x ≤a ，对应的解集为B ＝{x |2≤x ≤a }； 当a ＜2时，不等式的解为a ≤x ≤2，对应的解集为B ＝{x |a ≤x ≤2}． 若p 是q 的必要不充分条件，则B A ，当a ＝2时，满足条件；当a ＞2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |2≤x ≤a }，要使BA ，则满足2＜a ≤4；当a ＜2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |a ≤x ≤2}，要使B A ，则满足1≤a ＜2.综上，a 的取值范围为1≤a ≤4.21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)＞0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3. (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B .【导学号：79140405】[解] A ＝{y |y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，解得3≤a ≤2或a ≤－ 3. 即a ∈(－∞，－3]∪[3，2]． (2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0，依题意Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2. 所以a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y ＜－2或y ＞5}． 所以∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}， 故(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．22．(本小题满分12分)求证：方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.[证明] 充分性：当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，其根为x ＝－12，方程只有一负根．当a ＝1时，方程为x 2＋2x ＋1＝0，其根为x ＝－1，方程只有一负根． 当a ＜0时，Δ＝4(1－a )＞0，方程有两个不相等的根， 且1a＜0，方程有一正一负两个根．所以充分性得证．必要性：若方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一负根． 当a ＝0时，符合条件．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根， 则Δ＝4－4a ≥0，所以a ≤1， 当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1. 当a ＜1时，若方程有且只有一负根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，1a＜0，所以a ＜0.所以必要性得证．综上，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.单元评估检测(二) 第2章 函数、导数及其应用(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设函数f (x )＝1－3x ＋，则函数的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 [答案] A 2．已知函数f (x )＝则f (f (4))的值为( )【导学号：79140406】A ．－19B ．－9 C.19 D ．9[答案] C3．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b[答案] D4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝2x－1 C ．y ＝x 2－2 D ．y ＝－x 3[答案] B5．(2017·洛阳模拟)函数y ＝a －a x(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C6．(2017·珠海模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则g (f (－7))＝( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2[答案] D7．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：件)应为( ) A ．4 B ．5.5 C ．8.5 D ．10[答案] C8．函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图像大致为( )[答案] D9．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．3x －y ＋3＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[答案] D10．(2018·郑州模拟)设函数f (x )对x ≠0的实数满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋2，那么⎠⎛12f (x )d x ＝( )A ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫72＋2ln 2B ．72＋2ln 2 C ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫72＋ln 2 D ．－(4＋2ln 2)[答案] A11．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n ＝( )【导学号：79140407】A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] D12．(2018·岳阳模拟)设函数y ＝ax 2与函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln x ＋1ax 的图像恰有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33e ，e B.⎝⎛⎭⎪⎫－33e ，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫33e [答案] C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·xm ＋1为奇函数，则不等式f (2x －3)＋f (x )＞0的解集为________．[答案] (1，＋∞)14．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a ＝0恰有4个互异的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.【导学号：79140408】[答案] －615．已知函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为8，最小值为m ，若函数g (x )＝(3－10m )x 是单调增函数，则a ＝________. [答案] 1816．(2017·长治模拟)对于函数f (x )给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据上面探究结果，计算f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝________.[答案] 2 016三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．[解] (1)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)(－∞，－2]∪[6，＋∞)18．(本小题满分12分)已知实数x 满足32x －4－103·3x －1＋9≤0且f (x )＝log 2x2·log2x2.(1)求实数x 的取值范围；(2)求f (x )的最大值和最小值，并求此时x 的值． [解] (1)由32x －4－103·3x －1＋9≤0， 得32x －4－10·3x －2＋9≤0，即(3x －2－1)(3x －2－9)≤0，所以1≤3x －2≤9,2≤x ≤4.(2)因为f (x )＝log 2x2·log2x2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14， 当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14.当log 2x ＝1或log 2x ＝2， 即x ＝2或x ＝4时，f (x )max ＝0.19．(本小题满分12分)(2018·咸宁模拟)设函数f (x )＝(ax ＋b )e x，g (x )＝－x 2＋cx ＋d ，若函数f (x )和g (x )的图像都过点P (0,1)，且在点P 处有相同的切线y ＝2x ＋1. (1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)当x ∈[0，＋∞)时，判断函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调性． [解] (1)f ′(x )＝(ax ＋a ＋b )e x，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝1，f ′(0)＝a ＋b ＝2，所以a ＝b ＝1，g ′(x )＝－2x ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝d ＝1，g ′(0)＝c ＝2，所以c ＝2，d ＝1.(2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)e x－(－x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)e x ＋x 2－2x －1，所以h ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2x －2＝(x ＋2)e x＋2x ＋4－6＝(x ＋2)(e x＋2)－6≥2×3－6＝0，所以h (x )在[0，＋∞)上为增函数．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a x －(k －1)a －x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 的值；(2)若f (1)＜0，试判断函数的单调性，并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0恒成立的t 的取值范围； (3)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值.【导学号：79140409】[解] (1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，所以k ＝2. (2)由(1)知f (x )＝a x－a －x(a ＞0且a ≠1)． 因为f (1)＜0，所以a －1a＜0，又a ＞0且a ≠1，所以0＜a ＜1，所以y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x在R 上单调递增， 故f (x )＝a x －a －x在R 上单调递减．不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0可化为f (x 2＋tx )＜f (x －4)，所以x 2＋tx ＞x －4， 所以x 2＋(t －1)x ＋4＞0恒成立，所以Δ＝(t －1)2－16＜0，解得－3＜t ＜5. (3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x＋2－2x－2m (2x －2－x)＝(2x－2－x )2－2m (2x－2－x)＋2. 令n ＝f (x )＝2x －2－x，因为f (x )＝2x－2－x为增函数，x ≥1， 所以n ≥k (1)＝32.令h (n )＝n 2－2mn ＋2＝(n －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ≥32. 若m ≥32时，则当n ＝m 时，h (n )min ＝2－m 2＝－2，所以m ＝2.若m ＜32，则当n ＝32时，h (n )min ＝174－3m ＝－2，所以m ＝2512＞32(舍去)．综上可知，m ＝2.21．(本小题满分12分)(2017·大同模拟)已知函数f (x )＝x －(a ＋1)·ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋ex－x e x.(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a ＜1时，若存在x 1∈[e，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)＜g (x 2)恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(x －1)(x －a )x2. ①当a ≤1时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－a .②当1＜a ＜e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数； x ∈(a ，e]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．所以x ∈[1，e]时，f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)·ln a －1. ③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数． f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae.综上，在x ∈[1，e]上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ； 当1＜a ＜e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1； 当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知，当a ＜1时，f (x )(x ∈[e，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值． 由(1)可知，当a ＜1时，f (x )在[e ，e 2]上单调递增，则f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae ，又g ′(x )＝(1－e x)x ，当x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x )min ＝g (0)＝1，所以e －(a ＋1)－ae ＜1，即a ＞e 2－2ee ＋1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e ax(a ∈R )．(1)当a ＝－2时，求函数g (x )＝x 2f (x )在区间(0，＋∞)内的最大值；(2)若函数h (x )＝x 2f (x )－1在区间(0,16)内有两个零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－2时，函数f (x )＝e－2x，所以函数g (x )＝x 2e－2x，所以g ′(x )＝2x e －2x＋x 2e－2x·(－2)＝2x (1－x )e－2x，令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1.所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0，g (x )是增函数， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，g (x )是减函数， 所以在区间(0，＋∞)内g (x )的最大值是g (1)＝e －2.(2)因为函数h (x )＝x 2f (x )－1＝x 2e －ax－1，所以h ′(x )＝2x e －ax＋x 2(－a )e－ax＝e－ax(－ax 2＋2x )，令h ′(x )＝0，因为e －ax＞0，所以－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a(a ≠0)．又h (x )在(0,16)内有两个零点， 所以h (x )在(0,16)内不是单调函数， 所以2a ∈(0,16)，解得a ＞18.①又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 时，h ′(x )＞0，h (x )是增函数，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，16时，h ′(x )＜0，h (x )是减函数， 所以在(0,16)上h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a＝4a2e －2－1.令4a 2e －2－1＞0，解得－2e ＜a ＜2e.② 又⎩⎪⎨⎪⎧h (0)＜0，h (16)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＜0，256e －16a－1＜0，解得a ＞12ln 2.③解①②③组成不等式组，解得12ln 2＜a ＜2e .所以实数a 的取值范围是12ln 2＜a ＜2e.单元评估检测(三) 第3章 三角函数、解三角形(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A.1－k2k B ．－1－k2k C.k1－k2D ．－k1－k2[答案] B2．已知命题p ：函数f (x )＝|cos x |的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝x 3＋sin x 的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是( ) A ．p 且q B ．p 或q C ．(﹁p )且(﹁q ) D ．p 或(﹁q )[答案] B3．(2017·衡水模拟)已知sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(π－α)＋cos α＝2，则tan α＝( )【导学号：79140410】A.15 B ．－23 C.12 D ．－5 [答案] D4．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图像向左平移π18个单位后，得到的图像可能为( )[答案] D5．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )A ．－125B ．512 C.177 D ．－717[答案] D6．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( ) A.3＋226 B ．3－226C.1＋266D ．1－266[答案] A7．(2017·淄博模拟)使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)是奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数的θ的一个值是( ) A.π3 B ．2π3 C.4π3 D ．5π3[答案] B8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图像如图3­1所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )图3­1A ．±223B ．223C ．－223D ．13[答案] C9．(2018·襄阳模拟)在△ABC 中，6sin A ＋4cos B ＝1，且4sin B ＋6cos A ＝53，则cos C ＝( )A.12 B ．±32 C.32 D ．－32 [答案] C10．已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ，下面结论中错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )的图像关于x ＝π3对称C ．函数f (x )的图像可由g (x )＝2sin 2x －1的图像向右平移π6个单位长度得到D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数[答案] C11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图3­2)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )图3­2A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米[答案] B12．已知定义在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的函数f (x )＝sin x (cos x ＋1)－ax ，若该函数仅有一个零点，则实数a 的取值范围是( )【导学号：79140411】A.⎝ ⎛⎦⎥⎤2π，2 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2π∪[2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π D ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π，＋∞[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. [答案] 014．如图3­3，某人在山脚P 处测得甲山山顶A 的仰角为30°，乙山山顶B 的仰角为45°，∠APB 的大小为45°，山脚P 到山顶A 的直线距离为2 km ，在A 处测得山顶B 的仰角为30°，则乙山的高度为________km.图3­3 图3­4[答案] 215．如图3­4，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________．[答案] 516．若关于x 的函数f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋x2x 2＋cos x(t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a ＋b ＝2，则实数t 的值为________． [答案] 1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图3­5，两同心圆(圆心在原点)分别与OA ，OB 交于A ，B 两点，其中A (2，1)，|OB |＝6，阴影部分为两同心圆构成的扇环，已知扇环的面积为π2.图3­5(1)设角θ的始边为x 轴的正半轴，终边为OA ，求tan(π－θ)cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋3π2sin(2θ－π)的值；(2)求点B 的坐标． [解] (1)34. (2)B ⎝⎛⎭⎪⎫2－62，2＋232.18．(本小题满分12分)(2016·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．[解] (1)B ＝π6. (2)26＋16.19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. 【导学号：79140412】图3­6(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中(图3­6)作出函数f (x )在[0，π]上的图像； (3)求使f (x )＜32成立的x 的取值集合．[解] (1)ω＝2，φ＝－π3.(2)描点画出图像(如图)．(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π4＜x ＜k π＋13π12，k ∈Z . 20.(本小题满分12分)已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，(1)若x ∈R ，求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 集合． [解] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)1.(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.21．(本小题满分12分)已知如图3­7，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠BAC ＝120°，且AB →·AC →＝－152.图3­7(1)求△ABC 的面积； (2)若AB ＝5，求AD 的长.【导学号：79140413】[解] (1)1534. (2)192.22．(本小题满分12分)(2017·石家庄模拟)有一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达预测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°且与点A 相距1013海里的位置C . (1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．[解] (1)如图，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626， 由于0°＜θ＜90°， 所以cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫26262＝52626. 由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以船的行驶速度为10523＝155(海里/小时)．(2)设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .在△ABC 中，由余弦定理得，cos∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010.从而sin∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010.在△ABQ 中，由正弦定理得，AQ ＝AB sin∠ABCsin(45°－∠ABC )＝402×101022×21010＝40.由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt△QPE 中，PE ＝QE ·sin∠PQE ＝QE ·sin∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7.所以船会进入警戒水域．单元评估检测(四) 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝1＋2i2－i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A ．－1B ．0C ．1D ．i [答案] C2．若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( )A ．1B ．－1 C.45＋35I D ．45－35i[答案] D3．若复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的虚部为( )A ．－1B ．－iC ．ID ．1 [答案] A4．复数z ＝－3＋i2＋i的共扼复数是( )【导学号：79140414】A ．2＋IB ．2－iC ．－1＋ID ．－1－i [答案] D5．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b ＝( )A ．(5,7)B ．(5,9)C ．(3,7)D ．(3,9) [答案] D6．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D7．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5 [答案] A8．设复数z 1＝2sin θ＋icos θ⎝⎛⎭⎪⎫π4＜θ＜π2在复平面上对应向量OZ1→，将OZ 1→按顺时针方向旋转34π后得到向量OZ 2→，OZ 2→对应的复数为z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则y x＝( )A.2tan θ＋12tan θ－1 B ．2tan θ－12tan θ＋1 C.12tan θ＋1D ．12tan θ－1[答案] A9．与向量a ＝(3,4)同方向的单位向量为b ，又向量c ＝(－5,5)，则b ·c ＝( )A ．(－3,4)B ．(3，－4)C ．1D ．－1[答案] C10．如图4­1，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )图4­1A.AC →＝AB →＋AD →B.BD →＝AD →－AB →C.AO →＝12AB →＋12AD →D.AE →＝53AB →＋AD →[答案] D11．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3＋2i ，则z 2＝( )A ．3－2iB ．2－3iC ．－3－2iD ．2＋3i[答案] D12．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8 [答案] D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.[答案] 214．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.[答案] 215．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________.[答案] 216．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为________.【导学号：79140415】[答案]32＋32i 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知A (－1,0)，B (0,2)，C (－3,1)，AB →·AD →＝5，|AD →|＝10. (1)求D 点坐标；(2)若D 点在第二象限，用AB →，AD →表示AC →；(3)AE →＝(m,2)，若3AB →＋AC →与AE →垂直，求AE →的坐标． [解] (1)D (2,1)或D (－2,3)． (2)AC →＝－AB →＋AD →. (3)AE →＝(－14,2)．18．(本小题满分12分)如图4­2，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，求BE →·CE →的值.【导学号：79140416】图4­2[解] 78.19．(本小题满分12分)已知复数z ＝1＋i ，ω＝z 2－3z ＋6z ＋1.(1)求复数ω；(2)设复数ω在复平面内对应的向量为OA →，把向量(0,1)按照逆时针方向旋转θ到向量OA →的位置，求θ的最小值．[解] (1)1－i. (2)54π.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos A2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A2，－2sin A 2，m ·n ＝－1.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． [解] (1)－12. (2)2.21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(a,2c －b )，且m ∥n .【导学号：79140417】(1)求角A 的大小；(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)因为m ∥n ，所以a cos B －(2c －b )cos A ＝0， 由正弦定理得sin A cos B －(2sin C －sin B )cos A ＝0， 所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝2sin C cos A ， 因为0＜C ＜π，所以sin C ＞0， 所以cos A ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ， 因此bc ≤16，当且仅当b ＝c ＝4时，等号成立；因此△ABC 的面积S ＝12bc sin A ≤43，因此△ABC 面积的最大值为4 3.22．(本小题满分12分)已知平面上的两个向量OA →，OB →满足|OA →|＝a ，|OB →|＝b ，且OA →⊥OB →，a 2＋b 2＝4.向量OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，且a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. (1)如果点M 为线段AB 的中点，求证：MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →；(2)求|OP →|的最大值，并求出此时四边形OAPB 面积的最大值． [解] (1)因为点M 为线段AB 的中点，所以OM →＝12(OA →＋OB →)．所以MP →＝OP →－OM →＝(xOA →＋yOB →)－12(OA →＋OB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →.(2)设点M 为线段AB 的中点，则由OA →⊥OB →，知|MA →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1. 又由(1)及a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，得|MP →|2＝|OP →－OM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122OA →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122OB →2 ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. 所以|MP →|＝|MA →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1，所以P ，O ，A ，B 四点都在以M 为圆心，1为半径的圆上．所以当且仅当OP 是直径时，|OP →|max ＝2，这时四边形OAPB 为矩形，则S 四边形OAPB ＝|OA →|·|OB →|＝ab ≤a 2＋b 22＝2，当且仅当a ＝b ＝2时，四边形OAPB 的面积最大，最大值为2.单元评估检测(五) 第5章 数 列(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝( )A ．41B ．48C ．49D ．56[答案] C2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n＋a (n ∈N ＋)，则实数a 的值是( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1 [答案] C3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且15S n ＝a n －1，则a 2等于( )【导学号：79140418】A ．－54B ．54 C.516D ．2516[答案] D4．(2018·太原模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，a n ＞0，则数列{log 2a n }的前n 项和为( )A.n (n －1)2 B ．(n －1)22C.n (n ＋1)2D ．(n ＋1)22[答案] A5．已知在数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( ) A ．1－4nB ．4n－1 C.1－4n 3D ．4n－13[答案] B6．若{a n }是由正数组成的等比数列，其前n 项和为S n ，已知a 1a 5＝1则S 3＝7，则S 7＝( )A.1516 B ．78 C.12716D ．638[答案] C7．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n·(2n －1)cosn π2＋1，其前n 项和为S n ，则S 60＝( )A ．－30B ．－60C ．90D ．120[答案] D8．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A.1210 B ．129 C.110D ．15[答案] D9．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，－1为第7项的等差数列的公差， tan B 是以12为第3项，4为第6项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均错[答案] B10．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2＞19的最大正整数n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B11．若数列{a n }满足1a n ＋1－pa n ＝0，n ∈N ＋，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( )【导学号：79140419】A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] B12．(2017·淄博模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }满足b n ＝3n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和为( ) A ．5－0 B ．5－3n ＋52nC ．5－3n －52nD ．5－3n ＋52n －1[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________．[答案] 3n－114．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N ＋)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________． [答案] 10 10015．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加________尺． [答案]162916．如图5­1所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为________.【导学号：79140420】图5­1[答案]132三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2018·承德模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝16(a 2n ＋3a n＋2)，n ∈N ＋.【导学号：79140421】(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若ak n ∈{a 1，a 2，…，a n ，…}，且ak 1，ak 2，…，ak n ，…成等比数列，当k 1＝1，k 2＝4时，求k n . [解] (1)a n ＝3n －2，n ∈N ＋. (2)k n ＝10n －1＋23，n ∈N ＋.18．(本小题满分12分)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ；数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n (n ∈N ＋)，求数列{c n }的前n 项和T n . [解] (1)b n ＝23n . (2)T n ＝72－12·3n －2－3n －13n. 19．(本小题满分12分)(2015·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n＋3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)T n ＝1312－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.20．(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)a n ＝2n ＋1. (2){b n }的前n 项和T n ＝n3(2n ＋3).21．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(4－a n )qn －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)a n ＝4－n .(2)S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，q ＝1，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.22．(本小题满分12分)(2017·石家庄模拟)在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，并且S n ＝a n ＋1－12(n ∈N＋)．(1)求a n ，S n ；(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值． [解] (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －12(n ≥2)，两式作差得：a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，因为a 1＝S 1＝a 2－12，所以a 2＝1，所以a 2a 1＝2，所以数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，则a n ＝12·2n －1＝2n －2，S n ＝a n ＋1－12＝2n－1－12. (2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n－2＝n －2，所以c n ·b n ＋3·b n ＋4 ＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ， 即c n (n ＋1)(n ＋2) ＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2，c n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋2n －2＝1n ＋1－1n ＋2＋2n －2，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋(2－1＋20＋…＋2n －2) ＝12－1n ＋2＋12(1－2n)1－2＝12－1n ＋2－12＋2n －1＝2n －1－1n ＋2. 由4T n ＞2n ＋1－1504，得 4⎝⎛⎭⎪⎫2n －1－1n ＋2＞2n ＋1－1504， 即4n ＋2＜1504，n ＞2 014. 所以使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值为2 015. 单元评估检测(六) 第6章 不等式、推理与证明(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A.1ab ≥12 B ．1a ＋1b≤1C.ab ≥2 D ．1a 2＋b 2≤18[答案] D2．若集合A ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，则A ∩B ＝( ) A ．(－1,3) B ．(－1,5) C ．(2,5) D ．(2,3)[答案] D3．已知a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系为( )A ．ab ＞xyB ．ab ≥xyC ．ab ＜xyD ．ab ≤xy [答案] B4．不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )【导学号：79140422】A ．10B ．－10C ．14D ．－14 [答案] D5．(2018·济宁模拟)在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2B ．83 C.223 D ．2[答案] B6．若－1＜a ＜0，则关于x 的不等式(x －a )·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是( )A ．{x |x ＞a }B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1a C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞a 或x ＜1a D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1a或x ＜a [答案] C7．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N ＋)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N ＋)，则可以得到b m ＋n ＝( )A ．(n －m )(nd －mc )B ．(nd －mc )n －mC.n －m d n c mD ．n －md n ·c m[答案] C8．已知函数f (x )＝16x 2－28x ＋114x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜54，则函数f (x )的最大值为( )A.114 B ．54 C ．1 D ．14[答案] C9．(2017·临汾模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1[答案] D10．当x ＞0时，x 2＋1≥2x ，在用分析法证明该不等式时执果索因，最后索的因是( )A ．x ＞0B ．x 2≥0 C ．(x －1)2≥0 D ．(x ＋1)2≥0[答案] C11．已知实数x ，y 满足x ＞y ＞0且x ＋y ＝14，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为( )【导学号：79140423】A ．1B ．2C ．6＋4 2D ．8＋4 2[答案] C12．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＞b ＞0，则a ，b ，ab ，a ＋b2四个数中最大的一个是________．[答案] a14．已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．[答案] 415．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． [答案] 30 12(n ＋1)(n －2)16．已知A (－1,0)，B (0，－1)，C (a ，b )三点共线，若a ＞－1，b ＞－1，则1a ＋1＋1b ＋1的最小值为________． [答案] 4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－n . (1)证明{a n }是等差数列； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，试证明T n ＜14. [证明] (1)因为S n ＝2n 2－n .。

课时规范练归纳与类比基础巩固组.下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是°,归纳出所有三角形的内角和都是°;③某次考试张军成绩是分,由此推出全班同学成绩都是分;④三角形的内角和是°,四边形的内角和是°,五边形的内角和是°,由此得出边形的内角和是()·°..①②.①③.①②④.②④.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是().使用了归纳推理.使用了类比推理.使用了“三段论”,但推理形式错误.使用了“三段论”,但小前提错误.(北京市丰台一模,理)在一次猜奖游戏中四扇门里摆放了四件奖品(每扇门里仅放一件).甲同学说号门里是号门里是;乙同学说号门里是号门里是;丙同学说号门里是号门里是;丁同学说号门里是号门里是.如果他们每人都猜对了一半,那么号门里是()〚导学号〛.①已知是三角形一边的长是该边上的高,则三角形的面积是,如果把扇形的弧长,半径分别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的面积为;②由,可得到…,则①②两个推理过程分别属于().类比推理、归纳推理.类比推理、演绎推理.归纳推理、类比推理.归纳推理、演绎推理.(河北石家庄质检)某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策,每辆机动车每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日)不限行.某公司有五辆车,保证每天至少有四辆车可以上路行驶.已知车周四限行车昨天限行,从今天算起两车连续四天都能上路行驶车明天可以上路,由此可知下列推测一定正确的是().今天是周六.今天是周四车周三限行车周五限行.从开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为().下列推理是归纳推理的是()为定点,动点满足>,得的轨迹为椭圆.由,求出,猜想出数列的前项和的表达式.由圆的面积π,猜想出椭圆的面积π.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇。

课时规范练3命题及其关系、充要条件基础巩固组1.命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题是()A.若a>b,则a-1≤b-1B.若a>b,则a-1<b-1C.若a≤b,则a-1≤b-1D.若a<b,则a-1<b-12.(2017北京海淀一模,理4)若实数a,b满足a>0,b>0,则“a>b”是“a+ln a>b+ln b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2017陕西咸阳二模,理3)已知p:m=-1,q:直线x-y=0与直线x+m2y=0互相垂直,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知条件p:a<0,条件q:a2>a,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.下列命题为真命题的是()A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题6.(2017湖北黄冈三模,理4)已知m,n是空间中的两条直线,α,β是空间中的两个平面,则下列命题不正确的是()A.当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”的充要条件B.当m⫋α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C.当m⫋α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件D.当m⫋α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件7.(2017天津,理4改编)设θ∈R,则“ θ-π12<π12”是“sin θ<12”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件〚导学号21500504〛8.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是.9.已知p:|x-1|≤2,q:x2-2x+1-a2≥0(a>0).若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.10.已知集合A= x12<2x<8,x∈R,B={x|-1<x<m+1,x∈R}.若使x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是.11.若“任意x∈0,π,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.综合提升组12.在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中,真命题的个数记为f(p),已知命题p:“若两条直线l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0平行,则a1b2-a2b1=0”,那么f(p)等于()A.1B.2C.3D.413.(2017河北衡水押题卷,理3)已知p“关于x的方程x2-4x+a=0有实根”,若p成立的充分不必要条件为a>3m+1,则实数m的取值范围是()A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1] 〚导学号21500505〛14.下列命题是真命题的是()①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;④“若x-312是有理数,则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④15.已知p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a≠0,q:实数x满足x2-x-6≤0,x2+2x-8>0,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.创新应用组16.已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|<a的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),则a,b之间的关系是()A.b≥aB.b<aC.a≤b2D.a>b2〚导学号21500506〛17.若“x>1”是“不等式2x>a-x成立”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.参考答案课时规范练3命题及其关系、充要条件1.C根据否命题的定义可知,命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题应为“若a≤b,则a-1≤b-1”.2.C设f(x)=x+ln x,显然f(x)在(0,+∞)内是增加的.∵a>b,∴f(a)>f(b),即a+ln a>b+ln b,故充分性成立.∵a+ln a>b+ln b,∴f(a)>f(b),∴a>b,故必要性成立.故“a>b”是“a+ln a>b+ln b”的充要条件,故选C.3.A由题意知,在q中,-1m2=-1,m=±1;p是q成立的充分不必要条件.故选A.4.B因为p:a≥0,q:0≤a≤1,所以p是q的必要不充分条件.5.A对于A,其逆命题是“若x>|y|,则x>y”,它是真命题.这是因为x>|y|≥y,所以必有x>y;对于B,否命题是“若x≤1,则x2≤1”,它是假命题.如x=-5,x2=25>1;对于C,其否命题是“若x≠1,则x2+x-2≠0”,因为当x=-2时,x2+x-2=0,所以它是假命题;对于D,若x2>0,则x≠0,不一定有x>1,因此原命题的逆否命题是假命题.6.C当m⫋α时,n∥α⇒m∥n或m与n异面;m∥n⇒n∥α或n⫋α,所以当m⫋α时,“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件.7.A当 θ-π12<π12时,0<θ<π6,∴0<sinθ<12.∴“ θ-π12<π12”是“sinθ<12”的充分条件.当θ=-π6时,sinθ=-12<12,但不满足 θ-π12<π12.∴“ θ-π12<π12”不是“sinθ<12”的必要条件.∴“ θ-π12<π12”是“sinθ<12”的充分不必要条件.故选A.8.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数否命题既否定题设又否定结论.9.(0,2)由|x-1|≤2,得-1≤x≤3,则p:x<-1或x>3.由x2-2x+1-a2≥0,解得x≤1-a或x≥1+a.令P={x|x<-1或x>3},Q={x|x<1-a或x>1+a},因为p是q的充分不必要条件,所以P⊆Q,即a>0,1-a≥-1,1+a<3或a>0,1-a>-1,1+a≤3,解得0<a<2.10.(2,+∞)由题意知A={x|-1<x<3}.因为使x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A,所以m+1>3,即m>2.故实数m的取值范围是(2,+∞).11.1由题意知m≥(tan x)max.∵x∈0,π4,∴tan x∈[0,1].∴m≥1.故m的最小值为1.12.B原命题p显然是真命题,故其逆否命题也是真命题.而其逆命题是“若a1b2-a2b1=0,则两条直线l1与l2平行”,这是假命题.因为当a1b2-a2b1=0时,还有可能l1与l2重合,逆命题是假命题,从而否命题也为假命题,故f(p)=2.13.B由题知p为a≤4,则p为a>4.因为p成立的充分不必要条件为a>3m+1,故3m+1>4,解得m>1.14.B对于①,其否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;对于②,其逆命题是“若两多边形相似,则它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;对于③,Δ=1+4m,当m>0时,Δ>0,所以原命题是真命题,其逆否命题也是真命题,即③为真命题;对于④,原命题为真,故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③④.15.(1,2]∵p是q的必要不充分条件,∴q⇒p,且p q.令A={x|p(x)},B={x|q(x)},则B⫋A.又B={x|2<x≤3},当a>0时,A={x|a<x<3a};当a<0时,A={x|3a<x<a}.故当a>0时,有a≤2,3<3a,解得1<a≤2;当a<0时,显然A∩B=⌀,不合题意.综上所述,实数a的取值范围是(1,2].16.A∵f(x)=2x+3,且|f(x)-1|<a,∴|2x+2|<a.∴-a<2x+2<a.∴-2-a2<x<-2+a2.∵|x+1|<b,∴-b<x+1<b.∴-b-1<x<b-1.∵|f(x)-1|<a的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),∴-2-a2,-2+a2⊆(-b-1,b-1).∴-b-1≤-2-a2,b-1≥-2+a2,解得b≥a2.故选A.17.(3,+∞)若2x>a-x,则2x+x>a.设f(x)=2x+x,易知函数f(x)在R上为增函数.根据题意“不等式2x+x>a成立,即f(x)>a成立”能得到“x>1”,并且反之不成立.当x>1时,可知f(x)>3.故a>3.。

课时规范练20函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用基础巩固组1.将函数y=sin x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得各点向右平行移动个单位长度,所得图像的函数解析式是()A.y=sin-B.y=sin-C.y=sin-D.y=sin-2.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像()A.关于点对称B.关于直线x=对称C.关于点对称D.关于直线x=对称3.若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得的图像关于y轴对称,则φ的最小值是()A. B. C. D.4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.105.(2017天津,理7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=6.若函数f(x)=2sin 2x的图像向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图像,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为,则φ=()A. B. C. D.7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为()A.-∈B.-∈C.-∈D.-∈〚导学号21500720〛8.函数y=sin x-cos x的图像可由函数y=sin x+cos x的图像至少向右平移个单位长度得到.9.已知函数y=g(x)的图像由f(x)=sin 2x的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到,这两个函数的部分图像如图所示,则φ=.10.已知函数f(x)=cos--2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈-时,f(x)≥-.〚导学号21500721〛综合提升组11.若关于x的方程2sin=m在上有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,]12.(2016山东烟台二模,理12)已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图像关于点对称,若将函数f(x)的图像向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图像,则实数m的最小值为.13.已知函数y=3sin-.(1)用五点法作出函数的图像;(2)说明此图像是由y=sin x的图像经过怎么样的变化得到的.创新应用组14.(2017全国Ⅰ,理9)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2〚导学号21500722〛15.如图所示,某地夏天8—14时用电量变化曲线近似满足函数式y=A sin(ωx+φ)+b,ω>0,φ∈(0,π).(1)求这期间的最大用电量及最小用电量;(2)写出这段曲线的函数解析式.参考答案课时规范练20函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用1.B由题意,y=sin x的图像进行伸缩变换后得到y=sin x的图像,再进行平移后所得图像的函数为y=sin-=sin-.故选B.2.D由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满足2x+=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z),当k=1时,x=,故选D.3.C函数f(x)=sin 2x+cos 2x=sin的图像向左平移φ个单位长度,所得函数y=sin的图像关于y轴对称,则有2φ+=kπ+,k∈Z.解得φ=kπ+,k∈Z.由φ>0,则当k=0时,φ的最小值为.故选C.4.C因为sin∈[-1,1],所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.5.A由题意可知,>2π,,所以≤ω<1.所以排除C,D.当ω=时,f=2sin=2sin=2,所以sin=1.所以+φ=+2kπ,即φ=+2kπ(k∈Z).因为|φ|<π,所以φ=.故选A.6.C由函数f(x)=2sin 2x的图像向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)=2sin[2(x-φ)]的图像,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为-φ.故-φ=,即φ=.7.B根据所给图像,周期T=4×-=π,故π=,即ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ).又图像经过,代入有2×+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<,得φ=-,故f=sin,当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f取得最小值.8.因为y=sin x+x=2sin,y=sin x-cos x=2sin-=2sin-,所以函数y=sin x-cos x的图像可由函数y=sin x+cos x的图像至少向右平移个单位长度得到.9.函数f(x)=sin 2x的图像在y轴右侧的第一个对称轴为2x=,则x=.x=关于x=对称的直线为x=,由图像可知,通过向右平移之后,横坐标为x=的点平移到x=,则φ=.10.(1)解f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明因为-≤x≤,所以-≤2x+.所以sin≥sin-=-.所以当x∈-时,f(x)≥-.11.C方程2sin=m可化为sin,当x∈时,2x+,画出函数y=f(x)=sin在x∈上的图像如图所示.由题意,得<1,即1≤m<2,∴m的取值范围是[1,2),故选C.12.∵函数的图像关于点对称,∴2×+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z,∴f(x)=cos-,k∈Z.∵f(x)的图像平移后得函数y=cos--(k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ-=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=-).∵m>0,∴m的最小正值为,此时k-k1=1(k∈Z,k1∈Z).13.解 (1)列表:描点、连线,如图所示.(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.先把y=sin x的图像上所有点向右平移个单位长度,得到y=sin-的图像,再把y=sin-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin-的图像,最后将y=sin-的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin-的图像.(方法二)“先伸缩,后平移”先把y=sin x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin x的图像,再把y=sin x图像上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin-=sin-的图像,最后将y=sin-的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin-的图像.14.D曲线C1的方程可化为y=cos x=sin,把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得曲线y=sin=sin 2,为得到曲线C2:y=sin 2,需再把得到的曲线向左平移个单位长度.15.解 (1)由图像,知这期间的最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.(2)A=(50-30)=10,b=(50+30)=40,T==2×(14-8)=12,所以ω=,所以y=10sin+40.把x=8,y=30代入上式,得φ=.所以所求解析式为y=10sin+40,x∈[8,14].。

课时规范练35综合法、分析法、反证法基础巩固组1.(2019安徽滁州期末)证明√7<2√−√3,即证:√7+√3<2√只要证10+2√21<20,只要证√21<5,只要证21<25.这种证明方法是()A.反证法B.分析法C.综合法D.间接证法√7<2√5−√3,只要证10+2√21<20,只要证√21<5,只要证21<25.是一种执果索因的要领,即为分析法.故选B.2.(2019浙江宁波三模)用反证法证明“已知x,y∈R,x2+y2=0,求证:x=y=0.”时,应假设()A.x≠y≠0B.x=y≠0C.x≠0且y≠0D.x≠0或y≠0“已知x,y∈R,x2+y2=0,求证:x=y=0.”时,应先假设x≠0或y≠0.故选D.3.要证明a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明()≤0A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-a4+b42-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0C.(a+b)22剖析在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)≥0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选D.4.(2019辽宁沈阳三模)下列表述正确的是()①归纳推理是由特殊到一般的推理;②演绎推理是由一般到特殊的推理;③类比推理是由特殊到一般的推理;④分析法是一种间接证明法;⑤若z∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是3.A.①②③④B.②③④C.①②④⑤D.①②⑤解析归纳推理是由部分到整体、特别到一样平常的推理,故①正确;演绎推理是由一样平常到特别的推理,故②正确;类比推理是由特别到特别的推理,故③错误;分析法是一种直接证明法,故④错误;|z+2-2i|=1表示复平面上的点到(-2,2)的距离为1的圆,|z-2-2i|的最小值就是圆上的点到(2,2)的间隔的最小值,就是圆心到(2,2)的间隔减去半径,即|2-(-2)|-1=3,故⑤正确.故选D.5.(2019福建厦门思明区诊断)设x,y,z>0,则三个数yx +yz,zx+zy,xz+xy()A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2解析由于yx +yz+zx+zy+xz+xy=yx+xy+zx+xz+yz+zy≥2+2+2=6,所以yx +yz,zx+zy,xz+xy中至少有一个不小于2.故选C.6.(2019北京石景山区一模)德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数n,如果n是偶数,就将它减半;如果n是奇数,则将它乘3加1(即3n+1),不停重复如许的运算,颠末有限步后,一定可以得到1.对付科拉茨料想,现在谁也不克不及证明,也不克不及否认,现在请你研究:如果对正整数n(首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1(注:1可以多次出现),则n的所有不同值的个数为( )A.4B.6C.32D.128n按照上述规则施行变换后的第8项为1, 则变换中的第7项一定是2,变换中的第6项一定是4,变换中的第5项可能是1,也可能是8,变换中的第4项可能是2,也可能是16,变换中的第4项是2时,变换中的第3项是4,变换中的第2项是1或8,变换中的第1项是2或16,变换中的第4项是16时,变换中的第3项是32或5,变换中的第2项是64或10,变换中的第1项是128,21或20,3,则n的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128共6个.故选B.7.设f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时,f(x)是减少的,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负解析由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)递减,可知f(x)是R上的减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)<0.故选A.8.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在区间[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x1,x2∈[0,1],当|f(x1)-f(x2)|<|x1-.那么他的反设应该是x2|时,求证:|f(x1)-f(x2)|<12.x1,x2∈[0,1],当|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|时,则|f(x1)-f(x2)|≥12剖析凭据反证法,写出相反的结论是:存在x1,x2∈[0,1],当|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|时,则|f(x1)-f(x2)|9.分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明<1+时,索的因是.解析因为x>0,所以要证<1+,只需证()2<1+2,即证0<,即证x2>0,因为x>0,所以x2>0成立,故原不等式建立.10.已知正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:√a+√+√c≤√3.√a+√b+√c≤√3,则只需证(√a+√b+√c)2≤3,即证a+b+c+2(√+√+√ac)≤3,即证√+√+√ac≤1.又=1,故原不等式建立.综合提升组11.(2019广东湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,称为“物不知数”问题,原文如下:有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数.设这个整数为a,当a∈[2,2 019]时,符合条件的a共有个.a=3m+2=5n+3,m,n∈N+,则3m=5n+1.当m=5k,n不存在;当m=5k+1,n不存在;当m=5k+2,n=3k+1,满足题意;当m=5k+3,n不存在;当m=5k+4,n不存在;故2≤a=15k+8≤2 019,解得-615≤k≤201115.则k=0,1,2,…,134,共135个.12.以下是解决数学问题的思维过程的流程图:在此流程图中,①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A.①—分析法,②—反证法 B.①—分析法,②—综合法 C.①—综合法,②—反证法 D.①—综合法,②—分析法解析根据已知可得该结构图为证明要领的结构图.由已知到可知,进而得到结论的应为综合法, 由未知到需知,进而找到与已知的干系为分析法,故①②两条流程线与“推理与证明”中的头脑要领为,①—综合法,②—分析法.故选D .13.已知数列{a n }中,a 1=1,其前n 项和为S n ,且满足a n =2S n 22S n -1(n ≥2).(1)求证:数列{1S n }是等差数列;(2)证明:当n ≥2时,S 1+12S 2+13S 3+ (1)S n <32.证明(1)当n≥2时,Sn-Sn-1=,Sn-1-Sn=2SnSn-1,=2,从而是以1为首项,2为公役的等差数列.(2)由(1)可知,1S n=1S 1+(n-1)×2=2n-1,∴S n =12n -1,∴当n ≥2时,1n S n =1n (2n -1)<1n (2n -2)=12·1n (n -1)=121n -1−1n ,从而S 1+12S 2+13S 3+…+1nS n <1+121-12+12−13+…+1n -1−1n<32−12n<32.创新应用组14.(2019浙江温州鹿城区高三质检)A 是集合{1,2,3,…,14}的子集,从A 中任取3个元素,由小到大排列之后都不克不及组成等差数列,则A 中元素个数的最大值是 .1∈A ,2∈A ,根据从A 中任取3个元素,由小到大排列之后都不能构成等差数列可得3∉A ,令4∈A ,5∈A , 则6∉A ,7∉A ,8∉A ,9∉A , 令10∈A ,11∈A , 则12∉A , 令13∈A ,14∈A ,此时A中元素个数为8.若元素个数为9,不妨将数字从小到大分列,则由题意得a3-a1≥3,a5-a3≥3,且a3-a1≠a5-a3, 则a5-a1≥7.同理a9-a5≥7,进而a9-a1≥14,与已知中A元素的极差为13矛盾,故A中元素个数的最大值是8.。

课后限时集训(三十六)综合法、分析法、反证法、数学归纳法(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°B[至少有一个包含“一个、两个和三个”，故其对立面三个内角都大于60°，故选B．]2．(2019·西安模拟)若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q 的大小关系是()A．P＞Q B．P＝QC．P＜Q D．由a的取值决定C[假设P≥Q，则a＋a＋7≥a＋3＋a＋4，即2a(a＋7)＋2a＋7≥2(a＋3)(a＋4)＋2a＋7，即a(a＋7)≥(a＋3)(a＋4)，即a(a＋7)≥(a＋3)(a＋4)，即a2＋7a≥a2＋7a＋12，显然不成立，故P＜Q.故选C.]3．(2019·哈尔滨模拟)用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N*，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()A．2k－1B．2k－1C．2k D．2k＋1C[n＝k＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，增加了12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，故选C.]4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负A[由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)递减，可知f(x)是R 上的减函数，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0，故选A.]5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是() A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立D[由条件可知不等式的性质只对大于等于号成立，所以A错误；若f(1)≥1成立，则得到f(2)≥4，与f(2)<4矛盾，所以B错误；当f(3)≥9成立，无法推导出f(1)，f(2)，所以C错误；若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，所以D正确．]二、填空题6．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件的序号是________．①③④ [要使b a ＋a b ≥2，只需b a ＞0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋a b ≥2成立．]7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________.n n ＋1[由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34.猜想S n ＝n n ＋1.] 8．在不等边三角形ABC 中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足__________．a 2>b 2＋c 2 [由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0，得b 2＋c 2－a 2<0，即a 2>b 2＋c 2.]三、解答题9．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .[证明] ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立．∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc 成立．上式两边同时取常用对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg abc ，∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .10．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜想{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论．(2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜512. [解] (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．(2)1a 1＋b 1＝16＜512. 当n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)·n .故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1) ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512. B 组 能力提升1．设x ，y ，z ＞0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2C [因为⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋y z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋x z ≥6， 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.]2．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤AA [∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数． ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≤B ≤C.] 3．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n ＞4时，f (n )＝________(用n 表示)．5 12(n ＋1)(n －2) [由题意知f (3)＝2，f (4)＝5，f (5)＝9，可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数，所以f (4)－f (3)＝3，f (5)－f (4)＝4，猜测得出f (n )－f (n －1)＝n －1(n ≥4)．有f (n )－f (3)＝3＋4＋…＋(n －1)，所以f (n )＝12(n ＋1)(n －2)．]4．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0，且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)．证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＞n ＋1成立． [解] (1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b ＞0，且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)证明：由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ＞k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)＞k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1， 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k＋32k＋1≥k＋2，即证2k＋32≥(k＋1)(k＋2)，由基本不等式可得2k＋3 2＝(k＋1)＋(k＋2)2≥(k＋1)(k＋2)成立，故2k＋32k＋1≥k＋2成立，所以当n＝k＋1时，结论成立．根据①②可知，n∈N*时，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·b n＋1b n＞n＋1成立．。

课时规范练35 综合法、分析法、反证法基础巩固组1.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明;“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”过程应用了()A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法2.(2018吉林梅河口五中三模,5)给出下列两个论断;①已知;p3+q3=2,求证;p+q≤2.用反证法证明时,可假设p+q>2.②设a为实数,f()=2+a+a,求证;|f(1)|与|f(2)|至少有一个不小于.用反证法证明时可假设|f(1)|≥且|f(2)|≥.以下说法正确的是()A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确,②的假设错误D.①的假设错误,②的假设正确3.要证;a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥04.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小顺序是()A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b5.若a>b>0,且=a+,y=b+,则()A.>yB.<yC.≥yD.≤y6.设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+ ()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于27.(2018陕西咸阳二模,8)设f()是定义在R上的奇函数且当≥0时,f()递减,若1+2>0,则f(1)+f(2)的值 ()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负8.某同学准备用反证法证明如下一个问题;函数f()在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的1,2∈[0,1],当|f(1)-f(2)|<|1-2|时,求证;|f(1)-f(2)|<.那么他的反设应该是.9.分析法又称执果索因法,已知>0,用分析法证明<1+时,索的因是.10.已知正数a,b,c满足a+b+c=1,求证;.综合提升组11.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形12.已知函数f()=3-2,求证;对于任意的1,2∈R,均有≥f.13.(2018四川南充模拟,17)已知数列{a n}中,a1=1,其前n项和为S n,且满足a n=(n≥2).(1)求证;数列是等差数列;(2)证明;当n≥2时,S1+S2+S3+…+S n<.创新应用组14.(2018河南郑州一中月考,18)若f()的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<b),则称函数f()是[a,b]上的“四维光军”函数.(1)设g()= 2-+是[1,b]上的“四维光军”函数,求常数b的值;(2)是否存在常数a,b(a>-2),使函数h()=是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.参考答案课时规范练35 综合法、分析法、反证法1.B因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论.故选B.2.C①用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定,所以p+q≤2的假命题应为p+q>2,故①的假设正确;②|f(1)|与|f(2)|至少有一个不小于的否定为|f(1)|与|f(2)|都小于,故②的假设错误.故选C.3.D在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)≥0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选D.4.A因为a=-=,b=-=,c=-=,且+>+>+>0,所以a>b>c.故选A.5.A因为a+-b+=(a-b)1+>0.所以a+>b+.故选A.6.D因为a>0,b>0,c>0,所以a++b++c+=a++b++c+≥6,当且仅当a=b=c时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.7.A由f()是定义在R上的奇函数,且当≥0时,f()递减,可知f()是R上的减函数,由1+2>0,可知1>-,f(1)<f(-2)=-f(2),则f(1)+f(2)<0.故选A.28.存在1,2∈[0,1],当|f(1)-f(2)|<|1-2|时,则|f(1)-f(2)|≥根据反证法,写出相反的结论是;存在1,2∈[0,1],当|f()-f(2)|<|1-2|时,则|f(1)-f(2)|≥.19.2>0因为>0,所以要证<1+,只需证()2<1+2,即证0<,即证2>0,因为>0,所以2>0成立,故原不等式成立.10.证明欲证++≤,则只需证(++)2≤3,即证a+b+c+2(++)≤3,即证++≤1.又++≤++=1,∴原不等式++≤成立.11.D由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,且△A2B2C2不可能是直角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形.由得则A2+B2+C2=,这与三角形内角和为π相矛盾.因此假设不成立,故△A2B2C2是钝角三角形.12.证明要证≥f,即证≥-2·,因此只要证-(1+2)≥-(1+2),即证≥,因此只要证≥,由于1,2∈R时,>0,>0,因此由基本不等式知≥显然成立,故原结论成立.13.证明 (1)当n≥2时,S n-S n-1=,S n-1-S n=2S n S n-1,-=2,从而构成以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,=+(n-1)×2=2n-1,∴S n=,∴当n≥2时,S n=<=·=-,从而S1+S2+S3+…+S n<1+1-+-+…+-<-<.14.解 (1)由题设得g()= (-1)2+1,其图像的对称轴为=1,区间[1,b]在对称轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,则b2-b+=b,解得b=1或b=3.因为b>1,所以b=3.(2)假设函数h ()=在区间[a,b](a>-2)上是“四维光军”函数,因为h()=在区间(-2,+∞)上单调递减,所以有即解得a=b,这与已知矛盾.故不存在常数a,b,使函数h()=是区间[a,b]上的“四维光军”函数.。