高一数学正切函数的图象和性质2

年级：高一辅导科目：数学课时数：课题正切函数和余切函数的图像与性质1、让学生掌握正切函数的图像，性质教学目的2、熟练求出正切函数的周期，单调区间等教学内容【知识梳理】正切函数y tan x x R ，且 x k k z 的图象，称“正切曲线”2余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的图象（余切曲线）正切函数的性质：1．定义域：x | x k , k z ，22．值域： R3．当xk , k k z 时y0 ，当x k, k k z 时y 0224．周期性：5．奇偶性：Ttan x tan x 奇函数6．单调性：在开区间k ,k k z内，函数单调递增22余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的性质：1．定义域：x R且x k , k z2．值域： R，3．当 xk , k k z 时 y 0 ，当 x k, k k z 时 y 0224．周期： T5．奇偶性：奇函数6．单调性：在区间k , k 1上函数单调递减【典型例题分析】例 1、用图象解不等式tan x 3 。

变式练习： tan x1。

例 2、作出函数 ytan x , x 0,2 且 x ,3的简图1 tan2 x2 2例 3、求下列函数的定义域。

cot x cot x csc x1、 y2、 ytan x1变式练习：求下列函数的定义域。

（1）y cos x tan x；（2）y log2 (cot x1)1（ 3）y1 tan x例 4、求函数y tan 3x的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性3变式练习：画出函数y cot( x)tan x 的图像，并指出其定义域，值域，最小正周期和单调区间。

2例5、（ 1）求y tan2 x 4tan x1的值域；（ 2）若x,时，y k tan(2x) 的值总不大于零，求实数k 的取值范围。

633变式练习：求函数 y tan2x tan x 1的最大值、最小值，并求函数取得最大值最小值时自变量x 的集合。

临朐六中高一数学导学案姓名： 编号：必修四--12教学课题课型 主备教师 审核教师 班级使用时间正切函数的图象与性质(1)新授课董洪安田文芳学习目标：1、了解正切曲线的特征2、掌握正切函数的性质3、利用正切函数的图象和性质解决简单问题。

重点:正切函数的图象形状及其主要性质。

难点：利用正切线画出函数⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2,tan ππx x y 的图象，并使直线2π±=x 确实称为此图象的两条渐进线。

教学过程课前预习1.正切函数的图象：⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2,tan ππx x y正切函数的图象叫做正切曲线。

2.正切函数的性质： ⑴定义域： ⑵值域：⑶周期性：正切函数的最小正周期是 。

⑷奇偶性：正切函数是 函数，它的图象关于 成中心对称。

⑸单调性：正切函数在每一个开区间 内都是增函数。

教学设计教师是学生学习的引导者 学生是学习的主人！xy2π2π-合作探究展示 探究一 比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小。

引申 不求值比较下列各组中两个正切函数值的大小：⑴0138tan 与0143tan ； ⑵⎪⎭⎫ ⎝⎛-415tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-311tan π。

探究二 求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3tan πx y 的定义域。

引申 求函数x y 3tan =的定义域。

探究三 求函数x y 3tan =的周期。

补充深化认真听讲是学习高效的捷径！引申 求下列函数的周期： ⑴2tan 5xy =； ⑵x y ωtan =。

课堂小结 当堂练习1.求函数26tan +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=πx y 的定义域。

2.不求值比较下列各组中两个正切值的大小：⑴⎪⎭⎫ ⎝⎛-5tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-73tan π； ⑵01519tan 与01493tan 。

3.求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42tan πx y 的周期。

学生总结积极思考 勤于动手 天才来自勤奋 ！课后巩固作业1.下列函数是否具有奇偶性？为什么？ ⑴R x x y ∈-=,tan 且()Z k k x ∈+≠2ππ； ⑵R x x y ∈-=,tan 且()Z k k x ∈+≠2ππ。

明学习目标知结构体系课标要求1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题．重点难点重点：正切函数的图象和性质．难点：正切函数图象和性质的应用.1．正切函数的图象(1)正切函数y ＝tan x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈(2)正切函数的图象称作正切曲线．(3)正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线称作正切曲线各支的渐近线．2．正切函数的性质(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最小正周期是T ＝πω.若不知ω的正负，则该函数的最小正周期为T ＝π|ω|.(2)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是单调递增的，并且每个单调区间均为开区间．(3)正切函数在定义域内不是单调函数．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数为定义域上的增函数．()(2)正切函数存在闭区间[a ，b ]，使y ＝tan x 是增函数．()(3)若x 是第一象限的角，则y ＝tan x 是增函数．()(4)正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________．解析：函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.答案：π33．函数y ＝tan 2x 的定义域为________．解析：由正切函数的定义知，若使y ＝tan 2x 有意义，则2x ≠k π＋π2(k ∈Z )．解得x ≠k π2＋π4(k ∈Z )．答案：|x ≠k π2＋π4，k ∈Z 4．不等式tan x ≥1的解集是________．解析：因为tan x ≥1＝tan π4.所以π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .答案：k π＋π4，k k ∈Z )——————————[题点一]——————————————————————————正切函数的图象及应用————————————————————————————————————————[典例]画出f (x )＝tan|x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．[解]f (x )＝tan|x |化为f (xx ，x ≠k π＋π2，x ≥0 ∈Z ，x ，x ≠k π＋π2，x<0 ∈Z ，根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan|x |的图象，如图所示，由图象知，f(x )不是周期函数，是偶函数，单调递增区间为0，π＋π2，k π＋32πk ∈N ＋)；单调递减区间为0，π－32π，k k ＝0，－1，－2，…)．[方法技巧作正切函数的简图一般用“三点两线法”．“三点”，－(0,0)，“两线”是指直线x ＝－π2和直线x ＝π2.在三点、两线确定的情况下，类似于五点(画图)法作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向左、向右延拓即得正切曲线．[对点训练]1．下列图形中分别是①y ＝|tan x |；②＝tanx ；③y ＝tan(－x )在致图象，那么由a 到c 对应的函数关系式应是()A ．①②③B ．①③②C ．③②①D ．③①②解析：选Ay ＝|tan x |≥0，其图象在x轴及其上方，只有图象a 符合，即a 对应①，排除C 、D.易知y ＝tan x 内的图象为图b ，即b 对应②，故排除B 选项．y ＝tan(－x )＝－tan x 上单调递减，只有图象c 符合，即c 对应③，故选A.2．不等式－1≤tan x ≤33的解集为________．解析：作出函数y ＝tan x 上的图象，如图所示．观察图象可得，在内，满足条件的x 的取值范围为－π4≤x ≤π6.由正切函数的周期性知，不等式的解集为|－π4＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z答案：|－π4＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ——————————[题点二]——————————————————————————正切函数的定义域和值域问题————————————————————————————————————————[典例](1)函数y ＝4－x 2的定义域为()A.－2，－π2，π2C.－2，－，π2D.－2，－(2)已知f (x )＝tan ωx (0<ω<1)在区间0，2π3上的最大值为3，则ω＝()A.12B ．13C.23D ．34[解析](1)由题意可得－，－x 2≥0，，2－4≤0，π<x －π4≤π4＋k π k ∈Z ，≤2，π<x ≤π2＋k π k ∈Z ，≤2，解得－2≤x ≤－π2或－π4<x ≤π2，因此，函数y ＝，－，π2.(2)因为x ∈0，2π3，即0≤x ≤2π3，又0<ω<1，所以0≤ωx ≤2ωπ3＜2π3，所以f (x )max ＝tan2ωπ3＝3＝tan π3，所以2ωπ3＝π3，ω＝12.[答案](1)C(2)A[方法技巧求正切函数定义域、值域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .(3)处理正切函数值域问题时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解．[对点训练]1．函数y ＝tan )k ∈Zπ－π4，k k ∈Zk ∈Zπ＋π4，k k ∈Z解析：选A 函数y ＝tan 中，π4－2x ≠π2＋k π，k ∈Z .解得x ≠－k π2－π8，k ∈Z ，k ∈Z .2．函数y ＝x ∈－π6，5π12的值域是()A.[－2，2]B ．[－1，1]C.[－23，2]D ．[－3，1]解析：选C对于函数y ＝∵x ∈－π6，5π12，∴x －π6∈－π3，π4，∴y ＝－23，2]，故选C.——————————[题点三]—正切函数的单调性及应用————————————————————————————————————————[典例](1)函数)k π－2π3，2k k ∈Zk π－5π3，2k k ∈Z )k π－2π3，4k k ∈Zπ－5π3，k k ∈Z )(2)下列不等式中正确的是()A ．tan 3π5>tan2π5B ．tan 4>tan 3C ．tan 281°>tan 665°D ．[解析](1)解不等式k π－π2<x 2＋π3<k π＋π2(k ∈Z )，可得2k π－5π3<x <2k π＋π3(k ∈Z )，因此，函数y ＝tan k π－5π3，2k k ∈Z )．(2)tan 3π5<0，tan 2π5>0，所以A 选项错误；因为π2<3<π，π<4<32π，所以tan 3<0，tan 4>0，B 选项正确；tan 281°＝tan (－79°)，tan 665°＝tan (－55°)，正切函数y ＝tan x 所以tan 281°<tan 665°，C 选项错误；tan －12π5＝，正切函数y ＝tan x 上单调递增，所以D 选项错误．[答案](1)B(2)B[方法技巧1．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系．2．求函数y ＝tan(ωx ＋φ)的单调区间的方法y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．[对点训练]1．在tan 2π7，tan 3π7，tan 4π7，tan 5π7中值最大的是()A ．tan2π7B ．tan3π7C ．tan4π7D ．tan5π7解析：选B因为0<2π7<3π7<π2<4π7<5π7<π，故tan 2π7，tan 3π7>0且tan 4π7，tan 5π7<0.又正，上单调递增，故tan 2π7<tan 3π7.故tan 3π7最大．2.若函数y ＝tan ωx 在(－π，π)上是递增函数，则ω的取值范围是________．解析：根据题设可知ω＞0，∵又函数y ＝tan ωx (ω＞0)在(－π，π)上是递增函数，∴k π－π2≤ω·(－π)，且ω·π≤π2＋k π，k ∈Z ，∴求得ω≤12－k ，且ω≤12＋k ，k ∈Z ，∴ω≤12，∴，12.答案：，12——————————[题点四]——————————————————————————与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题————————————————————————————————————————[典例](1)若f (x )＝tan ωx (ω＞0)的周期为1，则f )A ．－3B ．－33C.33D ．3(2)关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x 对称；④f (x )是以π为最小正周期的周期函数．其中正确说法的序号是________．[解析](1)∵f (x )＝tan ωx (ω＞0)的周期为πω＝1，∴ω＝π，即f (x )＝tan πx ，则tan π3＝ 3.(2)①若取φ＝k π(k ∈Z )，则f (x )＝tan x ，此时，f (x )为奇函数，所以①错误；观察正切函数y ＝tan x 的图象，可知y ＝tan x 的图象关于点k ∈Z )对称，令x ＋φ＝k π2(k ∈Z ，得x ＝k π2－φ(k ∈Z )，分别令k ＝1,2，可得x ＝π2－φ，π－φ，故②③正确；④显然正确．[答案](1)D(2)②③④[方法技巧1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法(1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)，它的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．[提醒]y ＝tan x ，x ≠k π＋π2，k ∈Z k ∈Z .[对点训练]1.若函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得的线段长为π4，则f )A ．0B ．33C ．1D ．3解析：选D ∵f (x )＝tan ωx 的图象的相邻两支截直线y ＝1所得的线段长度即为函数的周期，∴该函数的周期是π4，∴πω＝π4(ω＞0)，解得ω＝4，∴f (x )＝tan 4x ，∴tan π3＝ 3.2．(多选)下列关于函数f (x )＝tan 的相关性质的命题，正确的有()A ．f (x |x ≠π8＋k π2，k ∈ZB ．f (x )的最小正周期是πC ．f (x k ∈Z )D ．f (x k ∈Z )解析：选AC对于A 选项，令2x ＋π4≠π2＋k π(k ∈Z )，解得x ≠k π2＋π8(k ∈Z )，则函数y ＝f (x |x ≠π8＋k π2，k ∈Z A 选项正确；对于B 选项，函数y ＝f (x )的最小正周期为π2，B 选项错误；对于C 选项，令k π－π2<2x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8(k ∈Z )，则函数y ＝f (x k ∈Z )，C 选项正确；对于D 选项，令2x ＋π4＝k π2(k ∈Z )，解得x ＝k π4－π8(k ∈Z )，则函数y ＝f (x k ∈Z )，D 选项错误．发展理性思维1．函数y ＝tan(cos x )的值域是()A.－π4，π4B ．－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1，即－tan 1≤tan x ≤tan 1.2．函数f (x )＝lg(tan x ＋1＋tan 2x )()A ．是奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数解析：选A ∵1＋tan 2x ＞|tan x |≥－tan x ，∴f (x |x ≠k π＋π2，k ∈Z 关于原点对称，又f (－x )＋f (x )＝lg(－tan x ＋1＋tan 2x )＋lg(tan x ＋1＋tan 2x )＝lg 1＝0，∴f (x )为奇函数，故选A.3．已知函数y ＝tan ωx 内是减函数，则()A ．0＜ω≤1B ．－1≤ω＜0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：选B 因为y ＝tan x 上单调递增，所以易知ω＜0，又y ＝tan ωx (ω＜上单调递减，所以其最小正周期T ＝π|ω|≥π，综上，－1≤ω＜0.强化拓广探索4．我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等．已知函数f (x )＝ω＞0)图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y ＝2021相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则)A.3B ．6－2C.2－3D ．－2－3解析：选A 由题意知，函数f (x )的最小正周期T ＝|AB |＝2，所以πω＝2，解得ω＝π2，所以f (x )＝，所以tan π3＝ 3.5．是否存在实数k ，使得当x ∈π6，π3时，k ＋tan 0？若存在，解求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．：假设存在实数k 符合题意，则k≤tanx ∈π6，π3上恒成立，∴k小于或等于tan 的最小值，其中x ∈π6，π3.当x ∈π6，π3时，0≤，∴k ≤0.故存在实数k ，其取值范围为(－∞，0]．。

4.10正切函数的图象和性质（2）
教学目的：
1.掌握正切函数的性质；
2.掌握性质的简单应用；
3.会解决一些实际问题.
教学重点：正切函数的性质的应用．
教学难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题．
教学过程：
一、复习引入：
二、讲解范例：
例1解不等式3tan ≥x
例2 作出函数y=|tanx|的图象，并根据图象求其单调区间.
例3作出函数()π2,0,tan 1tan 2∈+=x x x
y 且2
3,2ππ≠x 的简图。

例4求下列函数的定义域
1、1
tan cot -=x x y 2、x x y csc cot ⋅= 3、y = 例 5 求函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

例6 求函数2tan 1tan x y x
=
-的最小正周期. 三、练习： 1.函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈［－4π，4π
］的值域为 .
2.函数y ＝cot x －tan x 的周期为 .
3.函数y ＝x
x 22tan 1tan 1+-的周期为 . 4.作出函数y ＝｜tan x ｜的图象，并观察函数的最小正周期和单调区间.
5.试证cot x ＝－tan （2
π＋x ），并指出通过怎样的图象变换可由y ＝tan x 的图象得到y ＝cot x 的图象.
6.作出函数y ＝x
x 2tan 1tan 2-的图象，并观察函数的周期.
四、作业：《精析精练》 P57 智能达标训练 .。

学科教师辅导讲义年 级： 高一 辅导科目： 数学 课时数：课 题 正切函数和余切函数的图像与性质教学目的1、让学生掌握正切函数的图像，性质2、熟练求出正切函数的周期，单调区间等教学内容 【知识梳理】正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的图象（余切曲线）正切函数的性质：1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y 4．周期性：π=T5．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数 6．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增 余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的性质：1．定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且2．值域：R ，3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y 4．周期：π=T5．奇偶性：奇函数6．单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减【典型例题分析】例1、用图象解不等式3tan ≥x 。

解：利用图象知，所求解为z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2,3ππππ亦可利用单位圆求解变式练习：tan 1x ≤-。

答案：,24k x k k Z ππππ-<≤-∈。

例2、作出函数()π2,0,tan 1tan 2∈+=x x xy 且23,2ππ≠x 的简图 解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∈==+=23,2,sin 2,232,0,sin cos 1tan tan 1tan 2πππππx x x x x x x x y例3、求下列函数的定义域。

正切函数的图象和性质（二）教学目标（一） 知识与技能目标进一步了解正余切函数的图像和性质．（二） 过程与能力目标会运用换元法研究)tan(ϕω+=x A y 函数的有关性质．（三） 情感与态度目标让学生掌握“类比”的学习方法．教学难点重点灵活应用正余切函数的性质解决相关问题．教学过程一、复习复习正切函数的图象与性质：二、应用 . 3tan .1 ≥x 用图象解不等式例Z ]2,3[:∈++k k k ππππ所求解为由图象知.)33tan( 2. 性周期性、奇偶性、单调出它的的定义域、值域，并指求函数例π-=x y)46tan(3)33tan(x y x y -=-=ππ改成变式：将 y 32-o x2ππ2π2π-3ππ-A x o 3y T xy 2π2π-o 33π.tan )621tan(2 3. 的图象变换得到的图象如何由指出例x y x y =+=π 解1：将x y tan =的图象向左平移6π个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数)621tan(π+=x y 的图象，再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数)621tan(2π+=x y 的图象． 解２：将x y tan =的图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数x y 21tan =的图象，然后向左平移3π个单位，得到)621tan(π+=x y 的图象， 再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍即可．三、余切函数的图象及其性质：. cot 2 tan )2tan()2tan(cot 的图象即得轴为对称轴上下翻折，单位，再以个向左平移的图象，—即将—x y x x y x x x y ==--=-==πππ余切函数的性质：课堂小结：1. 函数)tan(ϕω+=x A y 的性质. 2. 余切函数的图象与性质.作业：1．阅读教材第76～79页；2．《优化设计》第65页第8、10题． o x2ππ23π2π-23π-π-y 定义域}Z ,R |{∈≠∈k k x x x π且值域周期π=T 奇偶性奇函数单调性内，函数单调递减在开区间Z ))1(,(∈+k k k ππR。