2020高考数学课标二轮(天津专用)训练题：专题能力训练8 三角函数的图象与性质 Word版含解析

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷函数的图象创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校) (的图象3x 2＝)x (f 函数．1 A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称 C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称)(的图象大致是⎩⎪⎨⎪⎧x2，x<0，2x －1，x≥0＝y 函数．2 12＝y 为了得到函数)北京海淀二模·(．3)(的图象上所有的点的x 2g lo ＝y 可将函数，的图象)1－x (2log 个单位长度1移再向右平，横坐标不变，12纵坐标缩短到原来的．A 个单位长度1移再向左平，横坐标不变，12纵坐标缩短到原来的．B C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度4．(·陕西高考)设函数f (x )(x∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是( ))(的大致图象为1|x ＋1|lg ＝y 函数)济南模拟·(．5 ⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1.＝b ⊗a ：”⊗“定义运算，b 和a 对实数)天津高考·(．6∈x，)2x －x (⊗)2－2x (＝)x (f 设函数R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32∪(]－∞，－2A. ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34∪(]－∞，－2B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14C. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34D.2log＝)x (g 则函数，的图象如图所示)x (f 已知函数.7f (x )的定义域是________．．________为称中心图象的对x ＋1x＝)x (f 函数．8 9．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________． 错误!＝)x (f 已知函数．10 (1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．的图象有两个)1≠a 且0＞a (1|－x a |＝y 与函数a 2＝y 若直线．11公共点，求a 的取值范围．．对称)1,0(A 的图象关于点2＋1x＋x ＝)x (h 的图象与函数)x (f 已知函数．12 (1)求函数f (x )的解析式；．值范围的取a 求实数，6于上的值不小]2,0(在区间)x (g ，ax＋)x (f ＝)x (g 若)2( 1.(·威海质检)函数y ＝f (x )(x∈R )的图象如图所示，下列说法正确的是( )①函数y ＝f (x )满足f (－x )＝－f (x )； ②函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x )；③函数y ＝f (x )满足f (－x )＝f (x )； ④函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )．A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④2．若函数f (x )的图象经过变换T 后所得图象对应函数的值域与函数f (x )的值域相同，则称变换T 是函数f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中变换T 不属于函数f (x )的同值变换的是( )轴对称y 的图象关于)x (f 将函数T 变换，2)1－x (＝)x (f ．A 轴对称x 的图象关于)x (f 将函数T 变换，1－1－x 2＝)x (f ．B C ．f (x )＝2x ＋3，变换T 将函数f (x )的图象关于点(－1,1)对称对称)0,1－(的图象关于点)x (f 将函数T 变换，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ＝)x (f ．D 3．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；(2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4,0]时的f (x )的表达式．[答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5.__________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________答 案A 级1．D2.B3.A4.B5．选D 由题知该函数的图象是由函数y ＝－lg|x |的图象左移一个单位得到的，故其图象为选项D 中的图象．6．选B 由题意可知f (x )＝ 错误!⎩⎪⎨⎪⎧x2－2，－1≤x≤32，x －x2，x<－1或x>32＝，34－<c 1<－或2－≤c ，有两个交点时c ＝y 与)x (f ＝y 由图象可知，作出图象 即函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点时实数c 的取值范围是(－∞，－2]∪.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34有意义，)x (f 2log＝)x (g 时，函数0>)x (f 当解析：．7 由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2,8]．答案：(2,8]的图)x (f 个单位，即得函数1移的图象向上平1x＝y ，把函数1x ＋1＝x ＋1x ＝)x (f 解析：．8．)1,0(图象的对称中心为)x (f ，可得平移后的)0,0(的对称中心为1x＝y 由．象 答案：(0,1)9．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，则 ∴y ＝x ＋1.，1－2)2－x (a ＝y 时，设解析式为0>x 当 ∵图象过点(4,0)，.14＝a ，得1－2)2－4(a ＝0∴ 错误!＝)x (f 答案： 10．解：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． ，1－＝)2(f ＝min )x (f 时，2＝x 由图象知当)3( 3.＝)0(f ＝max )x (f 时，0＝x 当 所示，1图的图象如|1－x a |＝y 时，1＜a ＜0当解：．11 .12＜a ＜0即，1＜a 2＜0得由已知 所示，2图的图象如|1－x a |＝y 时，1＞a 当 由已知可得0＜2a ＜1，.∅∈a ，故1＞a ，但12＜a ＜0即 .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的取值范围为a 综上可知， 12．解：(1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上， ，2＋1－x＋x ＝－y －2∴ ，1x ＋x ＝y ∴ .1x＋x ＝)x (f 即 ，a ＋1x ＋x ＝)x (g 由题意)2( ．]2,0(∈x ，6≥a ＋1x＋x ＝)x (g 且 ∵x ∈(0,2]， ∴a ＋1≥x (6－x )， 1.－x 6＋2x －≥a 即 ，]2,0(∈x ，1－x 6＋2x ＝－)x (q 令 ，8＋2)3－x (＝－1－x 6＋2x ＝－)x (q ，7＝)2(q ＝max )x (q 时，]2,0(∈x ∴故a 的取值范围为[7，＋∞)．B 级1．选C 由图象可知，函数f (x )为奇函数且关于直线x ＝1对称，所以f (1＋x )＝f (1－x )，所以f [1＋(x ＋1)]＝f [1－(x ＋1)]，即f (x ＋2)＝f (－x )．故①②正确．2．选x (＝2)1－x －(＝)x (g 轴对称的图象对应的函数解析式为y 的图象关于2)1－x (＝)x (f 与，A 于对B 与，)∞，＋1－(的值域为1－1－x 2＝)x (f 函数，B 于对；)∞，＋0[易知两者的值域都为，2)1＋)1，∞－(其值域为，1＋1－x 2＝－)x (g 轴对称的图象对应的函数解析式为x 的图象关于)x (f 函数；对于C ，与f (x )＝2x ＋3的图象关于点(－1,1)对称的图象对应的函数解析式为2－g (x )＝2(－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin＝)x (f 与，D 于对；易知值域相同，3＋x 2＝)x (g 即，3＋)x －－[其值域为，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋2sin ＝)x (g 对称的图象对应的函数解析式为)0,1－(的图象关于点1,1]，易知两函数的值域相同．关于直线P ，点)0x (f ＝0y 图象上任一点，则)x (f ＝y 是函数)0y ，0x (P 证明：设)1(解：．3，所0y ＝)0x (f ＝))0x －2(－2(f ＝))0x －2(＋2(f ＝)0x －4(f 因为．)0y ，0x －4(′P 的对称点为2＝x 以P ′也在y ＝f (x )的图象上，所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．(2)因为当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，所以f (－x )＝－2x －1. 又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]．当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0,2]， 所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7.而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]．⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋7，x∈[－4，－2]，－2x －1，x∈[－2，0].＝)x (f 所以创作人：百里公地创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校。

专题能力训练2 不等关系专题能力训练第12页一、能力突破训练1.已知实数x ,y 满足a x <a y (0<a<1),则下列关系式恒成立的是( ) A .1x 2+1>1y 2+1B .ln(x 2+1)>ln(y 2+1)C .sin x>sin yD .x 3>y 3 答案:D解析:由a x <a y (0<a<1)知,x>y ,故x 3>y 3,选D.2.已知函数f (x )=(x-2)(ax+b )为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,则f (2-x )>0的解集为( )A.{x|x>2或x<-2}B.{x|-2<x<2}C.{x|x<0或x>4}D.{x|0<x<4} 答案:C解析:∵f (x )=ax 2+(b-2a )x-2b 为偶函数, ∴b-2a=0,即b=2a ,∴f (x )=ax 2-4a.∴f'(x )=2ax.又f (x )在区间(0,+∞)内单调递增,∴a>0. 由f (2-x )>0,得a (x-2)2-4a>0,∵a>0,∴|x-2|>2,解得x>4或x<0. 3.不等式组{|x -2|<2,log 2(x 2-1)>1的解集为( )A.(0,√3)B.(√3,2)C.(√3,4)D.(2,4)答案:C解析:由|x-2|<2,得0<x<4;由x 2-1>2,得x>√3或x<-√3,取交集得√3<x<4,故选C. 4.已知集合A={x|x 2-3x+2>0},集合B={y|0<y ≤4,y ∈N *},则(∁R A )∩B 等于( ) A.{0,1} B.{1,2} C.(1,2) D.⌀ 答案:B解析:∵集合A={x|x 2-3x+2>0}={x|x<1或x>2},则∁R A={x|1≤x ≤2},∴(∁R A )∩B={1,2}.故选B .5.已知函数f (x )=(ax-1)(x+b ),若不等式f (x )>0的解集是(-1,3),则不等式f (-2x )<0的解集是( )A .(-∞,-32)∪(12,+∞)B .(-32,12)C .(-∞,-12)∪(32,+∞)D .(-12,32)答案:A解析:由f (x )>0,得ax 2+(ab-1)x-b>0.∵其解集是(-1,3),∴a<0,且{1-aba =2,-ba =-3,解得a=-1或a=13(舍去),∴a=-1,b=-3.∴f (x )=-x 2+2x+3,∴f (-2x )=-4x 2-4x+3, 由-4x 2-4x+3<0,得4x 2+4x-3>0, 解得x>12或x<-32,故选A.6.若a ,b ∈R ,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:B解析:因为|a|+|b|≥|a+b|,所以若|a+b|>1,则|a|+|b|>1成立,即必要性成立; 又当a=-1,b=1时,|a|+|b|>1成立,但|a+b|=0<1, 即反之不一定成立,即充分性不成立.所以|a|+|b|>1是|a+b|>1的必要不充分条件,故选B. 7.已知A={x|lg x>0},B={x||x-1|<2},则A ∪B=( ) A.{x|x<-1或x ≥1} B.{x|1<x<3} C.{x|x>3} D.{x|x>-1} 答案:D解析:A={x|lg x>0}={x|x>1},B={x||x-1|<2}={x|-1<x<3},则A ∪B={x|x>-1}.故应选D. 8.在1和17之间插入n 个数,使这n+2个数成等差数列,若这n 个数中第一个为a ,第n 个为b ,当1a +25b取最小值时,n=( ) A.4 B.5C.6D.7答案:D解析:由题意,a+b=18,所以1a +25b=118(a+b )·(1a +25b )=118(26+ba +25a b),当ba =25a b,即b=5a ,即a=3时,有最小值.所以公差d=2,得n+1=162=8,即n=7,故选D.9.若不等式(a-2)x 2+2(a-2)x-4<0对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,2]B.[-2,2]C.(-2,2]D.(-∞,-2) 答案:C解析:当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,对一切x ∈R 恒成立.当a ≠2时,{a -2<0,Δ=4(a -2)2+16(a -2)<0,解得-2<a<2.故实数a 的取值范围是(-2,2].10.若正数x ,y 满足4x 2+9y 2+3xy=30,则xy 的最大值为( ) A.43 B.53C.54D.2答案:D解析:30=4x 2+9y 2+3xy ≥2√36x 2y 2+3xy , 即30≥15xy ,所以xy ≤2, 当且仅当4x 2=9y 2,即x=√3,y=2√33时等号成立. 故xy 的最大值为2.11.已知函数f (x )=4x+ax (x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= . 答案:36解析:∵x>0,a>0,∴f (x )=4x+ax ≥2√4x ·ax =4√a , 当且仅当4x=ax ,即4x 2=a 时,f (x )取得最小值.又f (x )在x=3时取得最小值, ∴a=4×32=36.12.若不等式x 2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a 的取值范围是 . 答案:(-235,+∞)解析:由Δ=a 2+8>0,知方程x 2+ax-2=0恒有两个不等实数根,又知两根之积为负,所以方程x 2+ax-2=0必有一正根、一负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0,解得a>-235,故a 的取值范围为(-235,+∞).二、思维提升训练13.设对任意实数x>0,y>0,若不等式x+√xy ≤a (x+2y )恒成立,则实数a 的最小值为( ) A .√6+24B .2+√24C .√6+√24D .23答案:A解析:原不等式可化为(a-1)x-√xy +2ay ≥0,两边同除以y ,得(a-1)xy −√xy +2a ≥0,令t=√xy ,则(a-1)t 2-t+2a ≥0,由不等式恒成立知,a-1>0,Δ=1-4(a-1)·2a ≤0,解得a ≥2+√64,a min =2+√64,故选A.14.(2019安徽蚌埠第一次质检)已知函数f (x )={-x 2-2x +1,x <0,2x ,x ≥0,则满足f [f (a )]>2的实数a 的取值范围是( ) A.(-2,0)∪(0,+∞) B.(-2,0) C.(0,+∞) D.(-2,+∞)答案:A解析:设f (a )=t ,因为f [f (a )]>2,即求解函数f (t )>2(t ∈R ), 所以f (t )={-t 2-2t +1,t <0,2t ,t ≥0,可得{-t 2-2t +1>2,t <0或{2t >2,t ≥0,解得t>1;即f (a )>1;由函数f (a )={-a 2-2a +1,a <0,2a ,a ≥0,可得{-a 2-2a +1>1,a <0或{2a >1,a ≥0,解得-2<a<0或a>0,所以实数a 的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞),故选A .15.已知x ,y ∈(0,+∞),2x-3=(12)y,则1x +4y 的最小值为 . 答案:3解析:由2x-3=(12)y,得x+y=3,故1x +4y =13(x+y )·(1x +4y )=13(5+4x y+y x )≥13×(5+4)=3,当且仅当{x +y =3,4xy =yx ,即{x =1,y =2(x ,y ∈(0,+∞))时等号成立. 16.若函数f (x )=x 2+ax+1x -1·lg x 的值域为(0,+∞),则实数a 的最小值为 .答案:-2解析:函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1,+∞),由lgxx -1>0及函数f (x )的值域为(0,+∞)知x 2+ax+1>0对∀x ∈{x|x>0,且x ≠1}恒成立,即a>-x-1x 在定义域内恒成立,而-x-1x <-2(当x ≠1时等号不成立),因此a ≥-2.17.若正数x ,y 满足x 2+6xy-1=0,则x+2y 的最小值是 . 答案:2√23解析:因为正数x ,y 满足x 2+6xy-1=0, 所以y=1-x 26x.由{x >0,y >0,即{x >0,1-x 26x>0,解得0<x<1.所以x+2y=x+1-x 23x =2x 3+13x ≥2√2x 3·13x =2√23, 当且仅当2x3=13x ,即x=√22,y=√212时取等号. 故x+2y 的最小值为2√23. 18.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 . 答案:30解析:由题意,一年购买600x次,则总运费与总存储费用之和为600x×6+4x=4(900x+x)≥8√900x·x =240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.19.已知正实数a ,b 满足a+b=4,则1a+1+1b+3的最小值为 . 答案:12解析:∵a+b=4,∴a+1+b+3=8,∴1a+1+1b+3=18[(a+1)+(b+3)](1a+1+1b+3)=18(2+b+3a+1+a+1b+3)≥18×(2+2)=12,当且仅当a+1=b+3,即a=3,b=1时取等号,∴1a+1+1b+3的最小值为12.。

题型练2　选择题、填空题综合练(二)　题型练第52页　一、能力突破训练1.已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A .⌀B .{1,3}C .{2,4,5}D .{1,2,3,4,5}答案:C解析:∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C .2.(2019甘肃、青海、宁夏3月联考)如图,某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆,根据图中数据可知该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.2535235255答案:B 解析:由题意知2b=16.4,2a=20.5,则,则离心率e=.故选B.ba=451-(45)2=353.已知sin θ=,cos θ=,则tan 等于( )m -3m +54-2m m +5(π2<θ<π)θ2A .B .m -39-mm -3|9-m |C .D .513答案:D解析:利用同角正弦、余弦的平方和为1求m 的值,再根据半角公式求tan ,但运算较复θ2杂,试根据答案的数值特征分析.由于受条件sin 2θ+cos 2θ=1的制约,m 为一确定的值,进而推知tan 也为一确定的值,又<θ<π,所以,故tan >1.θ2π2π4<θ2<π2θ24.将函数f (x )=2sin x图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,然后向左平移个12π6单位长度,得到函数y=g (x )的图象.若关于x 的方程g (x )=a 在区间上有两个不相等[-π4,π4]的实根,则实数a 的取值范围是( )A.[-2,2] B.[-2,2) C.[1,2) D.[-1,2)答案:C解析:将函数f (x )=2sin x图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到y=2sin2x12的图象,然后将其向左平移个单位长度,得到g (x )=2sin=2sin 的图象.π6[2(x +π6)](2x +π3)因为-≤x ≤,所以-≤2x+,π4π4π6π3≤5π6所以当2x+时,g (x )=2sin =2×=1;π3=5π65π612当2x+时,g (x )max =2.π3=π2因为关于x 的方程g (x )=a 在区间上有两个不相等的实根,所以1≤a<2.[-π4,π4]故实数a 的取值范围是[1,2),故选C .5.已知等差数列{a n }的通项是a n =1-2n ,前n 项和为S n ,则数列的前11项和为( ){S n n}A .-45B .-50C .-55D .-66答案:D 解析:由a n =1-2n ,a 1=-1,S n ==-n 2,=-n ,所以数列的前11项和为=-n (-1+1-2n )2S n n {S n n}11×(-1-11)266.故选D .6.定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足x 2f'(x )>1,f (2)=,则关于x 的不等式f (e x )<3-的解集为( )521e x A.(0,e 2)B.(e 2,+∞)C.(0,ln 2)D.(-∞,ln 2)答案:D 解析:构造函数F (x )=f (x )+,依题意可知F'(x )=f'(x )->0,即函数f (x )在(0,+∞)上1x 1x 2=x 2f '(x )-1x 2单调递增,所求不等式可化为F (e x )=f (e x )+<3,而F (2)=f (2)+=3,所以e x <2,解得x<ln2.1e x12故不等式的解集为(-∞,ln2).7.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A .B .C .D .33423332432答案:A解析:满足题设的平面α可以是与平面A 1BC 1平行的平面,如图①所示.图①再将平面A 1BC 1平移,得到如图②所示的六边形.图②图③设AE=a ,如图③所示,可得截面面积为S=×[(1-a )+a+a ]2×-3××(a )2×(-2a 2+2a+1),所以当a=时,S max =122223212232=3212.32×(-2×14+2×12+1)=3348.已知a>0,a ≠1,函数f (x )=+x cos x (-1≤x ≤1),设函数f (x )的最大值是M ,最小值是N ,4a x +2a x +1则( )A .M+N=8B .M+N=6C .M-N=8D .M-N=6答案:B解析:f (x )=+x cos x=3++x cos x.设g (x )=+x cos x ,则g (-x )=-g (x ),函数g (x )是奇4a x +2a x +1a x -1a x +1a x -1a x +1函数,则g (x )的值域为关于原点对称的区间,当-1≤x ≤1时,设-m ≤g (x )≤m (m ≥0),则3-m ≤f (x )≤3+m ,∴函数f (x )的最大值M=3+m ,最小值N=3-m ,得M+N=6,故选B .9.已知=1+i(i 为虚数单位),则复数z= .(1-i )2z答案:-1-i 解析:由已知得z==-1-i .(1-i )21+i=-2i1+i =-2i (1-i )(1+i )(1-i )=-2-2i210.若a ,b ∈R ,ab>0,则的最小值为 .a 4+4b 4+1ab 答案:4解析:∵a ,b ∈R ,且ab>0,∴=4ab+≥4.a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab 1ab (当且仅当{a 2=2b 2,4ab =1ab ,即{a 2=22,b 2=24时取等号)11.已知f (x )为偶函数,当x<0时,f (x )=ln(-x )+3x ,则曲线y=f (x )在点(1,-3)处的切线方程是 答案:y=-2x-1解析:当x>0时,-x<0,则f (-x )=ln x-3x.因为f (x )为偶函数,所以f (x )=f (-x )=ln x-3x ,所以f'(x )=-3,f'(1)=-2.1x 故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.12.已知点B (x 0,2)在曲线y=2sin ωx (ω>0)上,T 是y=2sin ωx 的最小正周期.若点A (1,0),=1,且0<x 0<T ,则T= . OA ·OB 答案:4解析:由=1,可得x 0=1.OA ·OB ∵点B (x 0,2)在曲线y=2sin ωx (ω>0)上,∴sin ω=1,即ω=+2k π,k ∈N .π2又T>1,即>1,∴2π>+2k π,即k<.2πωπ234∵k ∈N ,∴k=0,∴ω=,π2即T==4.2πω13.已知直线y=mx 与函数f (x )=的图象恰好有三个不同的公共点,则实数{2-(13)x,x ≤0,12x 2+1,x >0m 的取值范围是 . 答案:(,+∞)2解析:作出函数f (x )=的图象,如图.{2-(13)x,x ≤0,12x 2+1,x >0直线y=mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m ≤0时,直线y=mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx 始终与函数y=2-(x ≤0)的图象有一个公(13)x共点,故要使直线y=mx 与函数f (x )的图象有三个公共点,必须使直线y=mx 与函数y=x 2+1(x>0)的图象有两个公共点,即关于x 的方程mx=x 2+1在x>0时有两个不相等1212的实数根,即关于x 的方程x 2-2mx+2=0的判别式Δ=4m 2-4×2>0,解得m>.故所求实数2m 的取值范围是(,+∞).2二、思维提升训练14.复数z=(i为虚数单位)的虚部为( )2+i i A .2B .-2C .1D .-1答案:B解析:∵z==1-2i,∴复数z 的虚部为-2,故选B .2+ii=(2+i )i i 215.已知a=,b=,c=2,则( )243425513A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案:A解析:因为a==b ,c=2=a ,243=423>425513=523>423所以b<a<c.16.若实数x ,y满足|x-1|-ln =0,则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )1y 答案:B解析:已知等式可化为y=根据指数函数的图象可知选项B 正确,故(1e)|x -1|={(1e)x -1,x ≥1,(1e )-(x -1),x <1,选B .17.已知简谐运动f (x )=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的(ω>0,|φ|<π2)最小正周期T 和初相φ分别为( )A .T=6π,φ=π6B .T=6π,φ=π3C .T=6,φ=π6D .T=6,φ=π3答案:C解析:由题图可知A=2,T=6,∴ω=.π3∵图象过点(1,2),∴sin =1,(π3×1+φ)∴φ+=2k π+,k ∈Z ,又|φ|<,∴φ=.π3π2π2π618.如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E 为边CD 上的动点,则的最小值为( )AE ·BEA .B .211632C .D .32516答案:A解析:如图,取AB 的中点F ,连接EF.AE ·BE=(AE +BE )2-(AE -BE )24==||2-.(2FE )2-AB 24FE 14当EF ⊥CD 时,||最小,即取最小值.EF AE ·BE 过点A 作AH ⊥EF 于点H.由AD ⊥CD ,EF ⊥CD ,可得EH=AD=1,∠DAH=90°.因为∠DAB=120°,所以∠HAF=30°.在Rt △AFH 中,易知AF=,HF=,1214所以EF=EH+HF=1+.14=54所以()min=.AE ·BE (54)2‒14=211619.在△ABC 中,AC=,BC=2,B=60°,则BC 边上的高等于( )7A .B .32332C .D .3+623+394答案:B解析:设AB=a ,则由AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B 知7=a 2+4-2a ,即a 2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).∴BC 边上的高为AB ·sin B=3×.32=33220.已知圆(x-1)2+y 2=的一条切线y=kx 与双曲线C :=1(a>0,b>0)有两个交点,则双34x 2a 2‒y 2b 2曲线C 的离心率的取值范围是( )A.(1,) B.(1,2)3C.(,+∞) D.(2,+∞)3答案:D解析:由已知得,解得k 2=3.|k |k 2+1=3由消去y ,得(b 2-a 2k 2)x 2-a 2b 2=0,{y =kx ,x2a 2-y 2b 2=1,则4(b 2-a 2k 2)a 2b 2>0,即b 2>a 2k 2.因为c 2=a 2+b 2,所以c 2>(k 2+1)a 2.所以e 2>k 2+1=4,即e>2.故选D .21.已知函数f (x )=cos+1,则f (x )的最大值与最小值的和为( )(2x -π2)+x x 2+1A.0 B.1 C.2 D.4答案:C解析:因为f (x )=cos+1=sin2x++1,(2x -π2)+x x 2+1x x 2+1又因为y=sin2x ,y=都是奇函数,xx 2+1所以设g (x )=f (x )-1=sin2x+,则g (x )为奇函数,即g (x )的图象关于点(0,0)对称,xx2+1所以f (x )=g (x )+1的图象关于点(0,1)对称.故f (x )的最大值和最小值也关于点(0,1)对称,因此它们的和为2.故选C.22.设集合A={x|x+2>0},B=,则A ∩B= .{x |y =13-x}答案:{x|-2<x<3}解析:由已知,得A={x|x>-2},B={x|x<3},则A ∩B={x|-2<x<3}.23.已知将四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,则恰有两个空盒的不同放法共有 种. 答案:84解析:先选两个空盒子,再把4个小球分为(2,2),(3,1)两组,故有=84.C 24(C 34A 22+C 24C 22A22·A 22)24.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和.若,则= .S 5S 10=13S 5S 20+S 10答案:118解析:由题意知等比数列{a n }的公比q ≠1.因为S n 是等比数列{a n }的前n 项和,所以S n =.a 1(1-q n )1-q因为,所以,整理得1+q 5=3,即得q 5=2,所以S 5S 10=131-q 51-q 10=13.S 5S 20+S 10=1-q 51-q 20+1-q10=1-21-24+1-22=11825.设F 是双曲线C :=1(a>0,b>0)的一个焦点.若C 上存在点P ,使线段PF 的中点恰x 2a 2‒y 2b 2为其虚轴的一个端点,则C 的离心率为 .答案:5解析:不妨设F (c ,0)为双曲线的右焦点,虚轴的一个端点为B (0,b ).依题意得点P 为(-c ,2b ).因为点P 在双曲线上,所以=1,得=5,即e 2=5.因为e>1,所以e=.(-c )2a 2‒(2b )2b 2c 2a 2526.(x+2)5的展开式中,x 2的系数等于 .(用数字作答). 答案:8027.若函数f (x )=kx-cos x 在区间内单调递增,则k 的取值范围是 .(π3,5π6)答案:[-12,+∞)解析:由函数f (x )=kx-cos x ,可得f'(x )=k+sin x.因为函数f (x )=kx-cos x 在区间内单调递增,(π3,5π6)则k+sin x ≥0在区间内恒成立.(π3,5π6)当x ∈时,(π3,5π6)sin x ∈,-sin x ∈.(12,1][-1,-12)由k ≥-sin x ,可得k ≥-.12。

综合能力训练综合能力训练第63页第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 1.设集合A={x|x 2-2x<0},B={x |1x -1>0},则A ∩B=( ) A.(-∞,1) B.(2,+∞) C.R D.(1,2)答案:D解析:∵A={x|x 2-2x<0}={x|0<x<2}=(0,2), B={x |1x -1>0}={x|x-1>0}=(1,+∞),∴A ∩B=(1,2).故选D .2.已知直线x+y=1与抛物线y 2=2px (p>0)交于A ,B 两点.若OA ⊥OB ,则△OAB 的面积为( ) A .1B .√52C .√5D .2答案:B解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由x+y=1与抛物线y 2=2px ,得y 2+2py-2p=0,解得y 1=-p+√p 2+2p ,x 1=1+p-√p 2+2p ,y 2=-p-√p 2+2p ,x 2=1+p+√p 2+2p .由OA ⊥OB 得,x 1x 2+y 1y 2=0,即[(1+p )2-(p 2+2p )]+[p 2-(p 2+2p )]=0,化简得2p=1, 从而A (3-√52,-1+√52),B (3+√52,-1-√52),|OA|2=x 12+y 12=5-2√5,|OB|2=x 22+y 22=5+2√5,△OAB的面积S=12|OA||OB|=√52.故选B .3.已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )=xf (x ).若a=g (-log 25.1),b=g (20.8),c=g (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 答案:C解析:∵f (x )是R 上的奇函数,∴g (x )=xf (x )是R 上的偶函数. ∴g (-log 25.1)=g (log 25.1).∵奇函数f (x )在R 上是增函数, ∴当x>0时,f (x )>0,f'(x )>0.∴当x>0时,g'(x )=f (x )+xf'(x )>0恒成立, ∴g (x )在区间(0,+∞)内单调递增.∵2<log 25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log 25.1<3. 结合函数g (x )的性质得b<a<c.故选C .4.若函数f (x )=sin (ωx -π6)(ω>0)在区间[0,π]上的值域为[-12,1],则ω的最小值为( ) A.23 B.34C.43D.32答案:A解析:∵0≤x ≤π,∴-π6≤ωx-π6≤ωπ-π6.∵f (x )在区间[0,π]上的值域为[-12,1], f (0)=sin (-π6)=-12,∴2k π+π2≤ωπ-π6≤2k π+5π6,k ∈Z , 整理得2k+23≤ω<2k+1,k ∈Z .∵ω>0,∴ω最小值为23,故选A .5.某地实行“3+2+1”模式,即“3”指语文、数学、外语三门必考科目,“1”指从物理、历史两门科目中必选一门,“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科,则一名学生的不同选科组合有( ) A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 答案:C解析:若这名学生只选物理和历史中的一门,则有C 21C 42=12种组合;若这名学生物理和历史都选,则有C 41=4种组合; 因此共有12+4=16种组合.故选C .6.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率是( ) A .√52 B .√62C .√103D .2答案:A解析:设直线l 与双曲线交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2−(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0,即y 1-y2x 1-x 2=b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2).由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x 1+x 2=8,y 1+y 2=2,y 1-y 2x 1-x 2=1,∴b 2a 2=14,e 2=1+b 2a =54.∴e=√52.故选A .7.已知函数f(x)={sin(πx2),-1<x<0,e x-1,x≥0.若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-√22C.1,-√22D.1,√22答案:C解析:∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-√22.若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-√22.8.(2019山东济南一模)我国数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理:幂势既同,则积不容异.意思是:两个等高的几何体,若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.已知曲线C:y=f(x)=x2,直线l为曲线C在点(1,1)处的切线.如图所示,阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形,记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为T.给出以下四个几何体:①是底面直径和高均为1的圆锥;②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体;③是底面边长和高均为1的正四棱锥;④是将上底面直径为2,下底面直径为1,高为1的圆台挖掉一个底面直径为2,高为1的倒置圆锥得到的几何体.根据祖暅原理,以上四个几何体的体积与T的体积相等的是()A.①B.②C.③D.④答案:A解析:∵几何体T是由题图中的阴影部分旋转得到,所以横截面为环形,且等高的时候,抛物线对应的点的横坐标为x1,切线对应的横坐标为x2.f(x)=x2,f'(x)=2x,∴k=f'(1)=2.切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.∴x12=y,x2=y+12,横截面面积S=πx22-πx12=π[(y+1)24-y]=π(y-12)2.①中圆锥的高为1,底面半径为12,可以看成由线段y=2x+1(-12≤x ≤0)、x 轴、y 轴围成的三角形绕y 轴旋转得到,横截面的面积为S=πx 2=π(y -12)2.所以几何体T 和①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等,所以两者体积相等,故选A .第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位.若(1+i)(1-b i)=a ,则ab 的值为 . 答案:2解析:(1+i)(1-b i)=1+b+(1-b )i =a ,则{1+b =a ,1-b =0,所以{a =2,b =1,即ab=2.故答案为2. 10.过点M (-1,0)引曲线C :y=2x 3+ax+a 的两条切线,这两条切线与y 轴分别交于A ,B 两点.若|MA|=|MB|,则a= . 答案:-274解析:设切点坐标为(t ,2t 3+at+a ).∵y'=6x 2+a ,∴6t 2+a=2t 3+at+at+1,即4t 3+6t 2=0,解得t=0或t=-32.∵|MA|=|MB|,∴两切线的斜率互为相反数, 即2a+6×(-32)2=0,解得a=-274.11.已知两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的内部,且互相外切.若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切,球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切,则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为 . 答案:3(2-√3)π解析:设球O 1、球O 2的半径分别为R 1,R 2.∵AO 1=√3R 1,C 1O 2=√3R 2,O 1O 2=R 1+R 2, ∴(√3+1)(R 1+R 2)=√3,R 1+R 2=√3√3+1,球O 1和O 2的表面积之和为4π(R 12+R 22)≥4π·2(R 1+R 22)2=2π(R 1+R 2)2=3(2-√3)π.12.(2019山东济南3月模拟)在(1x -1)(√x +1)5的展开式中,x 的系数为 .(用数字作答) 答案:-5解析:要求x 的系数,则(√x +1)5展开式中x 2项与1x 相乘,x 项与-1相乘,所以展开式中x 2项为C 51(√x )4=5x 2,它与1x 相乘得5x ,展开式中x 项为C 53(√x )2=10x ,它与-1相乘得-10x ,所以x 的系数为-10+5=-5.13.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左焦点为F ,A ,B 分别是双曲线C 的左、右顶点,P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴,过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E ,直线BM与y 轴交于点N.若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),则双曲线C 的离心率为 . 答案:3解析:因为PF ⊥x 轴,所以设M (-c ,t ).因为A (-a ,0),B (a ,0), 所以AE 的斜率k=ta -c , 则AE 的方程为y=t a -c (x+a ), 令x=0,得y=taa -c ,即E (0,ta a -c ).因为BN 的斜率为-ta+c ,所以BN 的方程为y=-ta+c (x-a ). 令x=0,则y=taa+c ,即N (0,taa+c ), 因为|OE|=2|ON|, 所以2·|taa+c |=|ta a -c |,即2(c-a )=c+a ,即c=3a ,则离心率e=ca =3.故答案为3.14.已知a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ,b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填序号)答案:②③解析:由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=√2,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=√2.又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=√2,过点B作BF∥DE,交圆C 于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=√2,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2√3,且(2√3+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C.(1)求角A的大小;(2)求△ABC的面积的最大值.解:(1)∵a=2√3,且(2√3+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,∴(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,利用正弦定理,得a2-b2=c2-bc,即cos A=b2+c2-a22bc =12.∵0<A<π,∴A=π3.(2)由于a=2√3,A=π3,∴a2=b2+c2-2bc cos A,即12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时,等号成立.∴S△ABC =12bc sin A≤12×12×√32=3√3.当且仅当b=c时,△ABC的面积取最大值3√3.16.(13分)设{a n}是等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是等比数列,a1=-3,S5=5,b1=a4,b1+b3=3(b2+1).(1)求数列{a n}和数列{b n}的通项公式;(2)设c n =an b n,记T n =c 1+c 2+c 3+…+c n ,求T n .解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q. 由已知得S 5=5a 1+5×42d=5,即a 1+2d=1.又a 1=-3,所以d=2.所以a n =2n-5. 因为b 1=a 4=3,b 1+b 3=3(b 2+1), 所以3(1+q 2)=3(3q+1),即q=3(q=0不符合题意,舍去). 所以b n =3·3n-1=3n .所以{a n }和{b n }的通项公式分别为a n =2n-5,b n =3n . (2)由(1)知,c n =2n -53n,所以T n =-33+-132+133+…+2n -53n,13T n =-332+-133+…+2n -73n+2n -53n+1,上述两式相减,得23T n =-33+232+…+23n −2n -53n+1=-1+2·132-13n+11-13−2n -53n+1=-1+13−13n −2n -53n+1=-23−2n -23.故T n =-1-n -13.17.(13分)(2019天津和平区第二次质量调查)如图,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,AD ⊥CD ,AB ∥CD ,AB=AD=12CD=1,点M 在线段EC 上.(1)若点M 为EC 的中点,求证:BM ∥平面ADEF ;(2)求证:平面BDE ⊥平面BEC ;(3)当平面BDM 与平面ABF 所成二面角的余弦值为√66时,求AM 的长. (1)证明∵正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,AD 为交线,∴ED ⊥平面ABCD ,由已知得DA ,DE ,DC 两两垂直, 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ,可得D (0,0,0),A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,2,0),E (0,0,1),F (1,0,1).由M 为EC 的中点,知M (0,1,12),故BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,12).易知平面ADEF 的法向量为DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0). ∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵BM ⊄平面ADEF ,∴BM ∥平面ADEF.(2)证明由(1)知BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0). 设平面BDE 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1), 平面BEC 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2), 由{m ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 1-y 1+z 1=0,m ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 1-y 1=0,得z 1=0.令x 1=1,得m =(1,-1,0). 由{n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 2-y 2+z 2=0,n ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 2+y 2=0,令x 2=1,得n =(1,1,2).∵m ·n =1-1+0=0,故平面BDE ⊥平面BEC.(3)解设EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEC⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ∈[0,1],设M (x ,y ,z ),计算可得M (0,2λ,1-λ), 则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2λ-1,1-λ),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0), 设平面BDM 的法向量为p =(x 3,y 3,z 3).由{p ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 3-y 3=0,p ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 3+(2λ-1)y 3+(1-λ)z 3=0,令x 3=1,得p =(1,-1,2λ1-λ).易知平面ABF 的法向量为DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),由已知得|cos <p ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|p ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||p ||DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2+(2λ1-λ)2×1=√66, 解得λ=12,此时M (0,1,12).∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,12),∴|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+1+14=32, 即AM 的长为32.18.(13分)(2019湖南师大附中模拟)在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中,有6位参赛选手(1号至6号)登台演出,由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手,各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人,其中甲同学是1号选手的同班同学,必选1号,另在2号至6号选手中随机选2名;乙同学不欣赏2号选手,必不选2号,在其他5位选手中随机选出3名;丙同学对6位选手的演唱没有偏爱,因此在1号至6号选手中随机选出3名.(1)求同学甲选中3号选手且同学乙未选中3号选手的概率;(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X ,求X 的分布列和数学期望. 解:设A 表示事件“甲同学选中3号选手”,B 表示事件“乙同学选中3号选手”,C 表示事件“丙同学选中3号选手”.(1)因为P (A )=C 41C 52=25,P (B )=C 42C 53=35,所以P (A B )=P (A )P (B )=25×(1-35)=425. (2)因为P (C )=C 52C 63=12,所以X 可能的取值为0,1,2,3,P (X=0)=P (ABC )=(1-25)×(1-35)×(1-12)=35×25×12=325,P (X=1)=P (A BC )+P (ABC )+P (AB C )=25×25×12+35×35×12+35×25×12=1950, P (X=2)=P (AB C )+P (A B C )+P (A BC )=25×35×12+25×25×12+35×35×12=1950, P (X=3)=P (ABC )=25×35×12=325. 所以X 的分布列为X 的数学期望E (X )=0×325+1×1950+2×1950+3×325=32.19.(14分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点F 1,F 2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 上任意一点P 作椭圆C 的切线与直线F 1P 的垂线F 1M 相交于点M ,求点M 的轨迹方程;(3)若切线MP 与直线x=-2交于点N ,求证:|NF 1||MF 1|为定值.(1)解∵2c=a=4,∴c=2,b=2√3.∴椭圆C 的标准方程为x 216+y 212=1. (2)解由(1)知F 1(-2,0),设P (x 0,y 0),M (x ,y ),过椭圆C 上点P 的切线方程为x 0x16+y 0y 12=1,①直线F 1P 的斜率k F 1P =y 0x0+2, 则直线MF 1的斜率k MF 1=-x 0+2y 0,直线MF 1的方程为y=-x 0+2y 0(x+2),即yy 0=-(x 0+2)(x+2),② ①②联立,解得x=-8,故点M 的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M ,N 的坐标可表示为M (-8,y M ),N (-2,y N ), 点N 在切线MP 上,由①式得y N =3(x 0+8)2y 0, 点M 在直线MF 1上,由②式得y M =6(x 0+2)y 0, |NF 1|2=y N2=9(x 0+8)24y 02,|MF 1|2=[(-2)-(-8)]2+y M2=36[y 02+(x 0+2)2]y 02,故|NF 1|2|MF 1|2=9(x 0+8)24y 02·y 0236[y 02+(x0+2)2]=116·(x 0+8)2y 02+(x0+2)2,③注意到点P 在椭圆C 上,即x 0216+y 0212=1,于是y 02=48-3x 024,代入③式并整理得|NF 1|2|MF 1|2=14,故|NF 1||MF 1|的值为定值12.20.(14分)已知函数f (x )=ln(1+x )+a2x 2-x (a ≥0). (1)若f (x )>0对x ∈(0,+∞)都成立,求a 的取值范围;(2)已知e 为自然对数的底数,证明:∀n ∈N *,√e <(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2)<e . (1)解∵f (x )=ln(1+x )+a2x 2-x ,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=11+x +ax-1=x(ax+a-1)1+x.①当a=0时,f'(x)=-x1+x,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=1-aa>0,当x∈(0,1-aa)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,1-aa)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=x21+x,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=1-aa<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,∴ln(1+1n2)+ln(1+2n2)+…+ln(1+nn2)<1n2+2n2+…+nn2,即ln[(1+1n2)(1+2 n2)·…·(1+nn2)]<1+2+…+nn2=n+12n.由于n∈N*,则n+12n =12+12n≤12+12×1=1.∴ln[(1+1n2)(1+2n2)…(1+nn2)]<1.∴(1+1n2)(1+2n2)…(1+nn2)<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立, 即x-12x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,∴(1n2+2n2+…+nn2)−12(12n4+22n4+…+n2n4)<ln(1+1n2)+ln(1+2n2)+…+ln(1+nn2),即n (n+1)2n 2−12[n (n+1)(2n+1)6n 4]<ln 1+1n 21+2n 2…1+nn 2,得6n 3+4n 2-3n -112n 3<ln 1+1n 21+2n 2·…·1+nn 2. 由于n ∈N *,则6n 3+4n 2-3n -112n 3=6n 3+(3n 2-3n )+(n 2-1)12n 3≥6n 312n 3=12.∴12<ln [(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+n n 2)]. ∴√e <(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2).∴√e <(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+n n 2)<e .。

专题能力训练5 基本初等函数、函数的图象和性质一、能力突破训练1.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 ()A.f(x)=-x|x|B.f(x)=x sin xC.f(x)=D.f(x)=2.已知a=21.2,b=,c=2log52,则a,b,c的大小关系为()A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a3.(2018全国Ⅲ,理7)函数y=-x4+x2+2的图象大致为()4.函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]5.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=()A.-B.-C.-D.-6.(2018全国Ⅱ,理11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)内的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.507.已知a>b>1,若log a b+log b a=,a b=b a,则a= ,b= .8.若函数f(x)=x ln(x+)为偶函数,则a= .9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),则a的取值范围是.10.设奇函数y=f(x)(x∈R),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且当x∈时,f(x)=-x2,则f(3)+f的值等于.11.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= .12.若不等式3x2-log a x<0在x∈内恒成立,求实数a的取值范围.二、思维提升训练13.函数y=的图象大致为()14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,f(x)=若f(-5)<f(2),则a的取值范围为()A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(-2,+∞)D.(2,+∞)15.已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则(x i+y i)=()A.0B.mC.2mD.4m16.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是.17.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f=f,则a+3b的值为.18.若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x3④f(x)=x2+219.已知函数f(x)=e x-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.专题能力训练5基本初等函数、函数的图象和性质一、能力突破训练1.A解析函数f(x)=在其定义域上既是奇函数又是减函数,故选A.2.A解析∵b==20.8<21.2=a,且b>1,又c=2log52=log54<1,∴c<b<a.3.D解析当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=时,y=-+2>2.排除C.故选D.4.D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在区间(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.所以x的取值范围是[1,3].5.A解析∵f(a)=-3,∴当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立.当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.∴f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-2=-6.C解析∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期为4.∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0),∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.7.42解析设log b a=t,由a>b>1,知t>1.由题意,得t+,解得t=2,则a=b2.由a b=b a,得b2b=,即得2b=b2,即b=2,∴a=4.8.1解析∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+)=ln,f(1)=ln(1+),因此ln(+1)-ln a=ln(+1),于是ln a=0,∴a=1.9解析由题意知a>0,又lo a=log2a-1=-log2a.∵f(x)是R上的偶函数,∴f(log2a)=f(-log2a)=f(lo a).∵f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),∴2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,∴a10.-解析根据对任意t∈R都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),得函数y=f(x)的一个周期为2,则f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f=f=-,所以f(3)+f=0+=-11.2解析f(x)==1+,设g(x)=,则g(-x)=-g(x),故g(x)是奇函数.由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,则M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.12.解由题意知3x2<log a x在x内恒成立.在同一平面直角坐标系内,分别作出函数y=3x2和y=log a x的图象.观察两函数图象,当x时,若a>1,函数y=log a x的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以不成立;当0<a<1时,由图可知,y=log a x的图象必须过点或在这个点的上方,则log a,所以a,所以a<1.综上,实数a的取值范围为a<1.二、思维提升训练13.D解析y=为奇函数,排除A项;y=cos 6x有无穷多个零点,排除C项;当x在原点右侧附近时,可保证2x-2-x>0,cos 6x>0,则此时y>0,故选D.14.B解析因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-5)=f(5)=5a+log55=1+5a,则不等式f(-5)<f(2)可化为f(5)<f(2).又f(2)=4+4+3=11,所以由5a+1<11可得a<2,故选B.15.B解析由f(-x)=2-f(x),得f(x)的图象关于点(0,1)对称.而y==1+的图象是由y=的图象向上平移一个单位长度得到的,故y=的图象关于点(0,1)对称.则函数y=与y=f(x)图象的交点也关于点(0,1)对称,且每一组对称点(x i,y i),(x'i,y'i)(i=1,2,…,m)满足x i+x'i=0,y i+y'i=2,所以(x i+y i)=x i+y i=0+2=m.16解析由题意知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)>f(-)可化为f(2|a-1|)>f(),则2|a-1|<,|a-1|<,解得<a<故答案为17.-10解析∵f=f,∴f=f,=-a+1,易求得3a+2b=-2.又f(1)=f(-1),∴-a+1=,即2a+b=0,∴a=2,b=-4,∴a+3b=-10.18.①④解析对①,设g(x)=e x·2-x,则g'(x)=e x=e x·2-x>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质;对②,设g(x)=e x·3-x,则g'(x)=e x=e x·3-x<0,∴g(x)在R上单调递减,不具有M性质;对③,设g(x)=e x·x3,则g'(x)=e x·x2(x+3),令g'(x)=0,得x1=-3,x2=0,∴g(x)在区间(-∞,-3)上单调递减,在区间(-3,+∞)上单调递增,不具有M性质;对④,设g(x)=e x(x2+2),则g'(x)=e x(x2+2x+2),∵x2+2x+2=(x+1)2+1>0,∴g'(x)>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填①④.19.解 (1)∵f(x)=e x-,且y=e x是增函数,y=-是增函数,∴f(x)是增函数.∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-e x=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数.∵f(x-t)+f(x2-t2)≥0对x∈R恒成立,∴f(x-t)≥f(t2-x2),∴t2-x2≤x-t,∴x2+x≥t2+t对x∈R恒成立.又对一切x∈R恒成立,0,∴t=-即存在实数t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A.{x|x＞2}B.{x|x＞1}C.{x|2＜x＜3}D.{x|1＜x＜3}2.（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A.∃x0∈R，x02+1＞0B.∃x0∈R，x02+1≤0C.∃x0∈R，x02+1＜0D.∀x0∈R，x02+1≤03.（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A.P1=P2＜P3B.P2=P3＜P1C.P1=P3＜P2D.P1=P2=P34.（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A.f（x）=B.f（x）=x2+1C.f（x）=x3D.f（x）=2﹣x5.（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A. B. C. D.6.（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A.21B.19C.9D.﹣117.（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A.[﹣6，﹣2]B.[﹣5，﹣1]C.[﹣4，5]D.[﹣3，6]8.（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.49.（5分）若0＜x1＜x2＜1，则（）A.﹣＞lnx2﹣lnx1B.﹣＜lnx2﹣lnx1C.x2＞x1D.x2＜x110.（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C （3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A.[4，6]B.[﹣1，+1]C.[2，2]D.[﹣1，+1]二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.（5分）复数（i为虚数单位）的实部等于.12.（5分）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为.13.（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为.14.（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是.15.（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=.三、解答题（共6小题，75分）16.（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*.（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和.17.（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败.（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率.18.（12分）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值.19.（13分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=.（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长.20.（13分）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论.21.（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）.（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜.参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A.{x|x＞2}B.{x|x＞1}C.{x|2＜x＜3}D.{x|1＜x＜3}【分析】直接利用交集运算求得答案.【解答】解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}.故选：C.【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题.2.（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A.∃x0∈R，x02+1＞0B.∃x0∈R，x02+1≤0C.∃x0∈R，x02+1＜0D.∀x0∈R，x02+1≤0【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解∵命题p：∀x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题.∴￢p：∃x0∈R，x02+1≤0.故选：B.【点评】本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键.3.（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A.P1=P2＜P3B.P2=P3＜P1C.P1=P3＜P2D.P1=P2=P3【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论.【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3.故选：D.【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础.4.（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A.f（x）=B.f（x）=x2+1C.f（x）=x3D.f（x）=2﹣x【分析】本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论.【解答】解：选项A，，∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称.∵f（x）=x﹣2，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增；适合题意.选项B，f（x）=x2+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意.选项C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意.选项D，f（x）=2﹣x在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意.故选：A.【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题.5.（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A. B. C. D.【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论.【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则﹣2≤X≤3，则X≤1的概率P=，故选：B.【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础.6.（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A.21B.19C.9D.﹣11【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值.【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，∴圆心C2（3，4），半径为.∵圆C1与圆C2外切，∴，解得：m=9.故选：C.【点评】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题.7.（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A.[﹣6，﹣2]B.[﹣5，﹣1]C.[﹣4，5]D.[﹣3，6]【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论.【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D.【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础.8.（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r.【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8﹣r+6﹣r=，∴r=2.故选：B.【点评】本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题.9.（5分）若0＜x1＜x2＜1，则（）A.﹣＞lnx2﹣lnx1B.﹣＜lnx2﹣lnx1C.x2＞x1D.x2＜x1【分析】分别设出两个辅助函数f（x）=e x+lnx，g（x）=，由导数判断其在（0，1）上的单调性，结合已知条件0＜x1＜x2＜1得答案.【解答】解：令f（x）=e x﹣lnx，则f′（x）=，当x趋近于0时，xe x﹣1＜0，当x=1时，xe x﹣1＞0，因此在（0，1）上必然存在f′（x）=0，因此函数f（x）在（0，1）上先递减后递增，故A、B均错误；令g（x）=，，当0＜x＜1时，g′（x）＜0.∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵0＜x1＜x2＜1，∴，即.∴选项C正确而D不正确.故选：C.【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数，是中档题.10.（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C （3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A.[4，6]B.[﹣1，+1]C.[2，2]D.[﹣1，+1]【分析】由于动点D满足||=1，C（3，0），可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））.再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出.【解答】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））.又A（﹣1，0），B（0，），∴++=.∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值范围是.或|++|=|++|，=（2，），将其起点平移到D点，由其与CD同向反向时分别取最大值、最小值，即|++|的取值范围是.故选：D.【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.（5分）复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3 .【分析】直接由虚数单位i的运算性质化简，则复数的实部可求.【解答】解：∵=.∴复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3.故答案为：﹣3.【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题.12.（5分）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为 x﹣y﹣1=0 .【分析】利用两式相减，消去t，从而得到曲线C的普通方程.【解答】解：∵曲线C：（t为参数），∴两式相减可得x﹣y﹣1=0.故答案为：x﹣y﹣1=0.【点评】本题考查参数方程化成普通方程，应掌握两者的互相转化.13.（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为 7 .【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=2×3+1=7，故答案为：7.【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键.14.（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是 k＜﹣1或k＞1 .【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围.【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，∴k＜﹣1或k＞1.故答案为：k＜﹣1或k＞1.【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题.15.（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a= ﹣.【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论.【解答】解：若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则f（﹣x）=f（x），即ln（e3x+1）+ax=ln（e﹣3x+1）﹣ax，即2ax=ln（e﹣3x+1）﹣ln（e3x+1）=ln=ln=lne﹣3x=﹣3x，即2a=﹣3，解得a=﹣，故答案为：﹣，【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f（﹣x）=f （x）是解决本题的关键.三、解答题（共6小题，75分）16.（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*.（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和.【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得；（Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论.【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=1，当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=﹣=n，∴数列{a n}的通项公式是a n=n.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n=2n+（﹣1）n n，记数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n=（21+22+…+22n）+（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）=+n=22n+1+n﹣2.∴数列{b n}的前2n项和为22n+1+n﹣2.【点评】本题主要考查数列通项公式的求法﹣公式法及数列求和的方法﹣分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题.17.（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败.（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率.【分析】（Ⅰ）分别求出甲乙的研发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可.（Ⅱ）找15个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决.【解答】解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则=，==乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1则=，==.因为所以甲的研发水平高于乙的研发水平.（Ⅱ）记E={恰有一组研发成功}，在所抽到的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是（a，），（，b），（a，），（，b），（a，），（a，），（，b）共7个，故事件E发生的频率为，将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=.【点评】本题主要考查了平均数方差和用频率表示概率，培养的学生的运算能力.18.（12分）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值.【分析】（Ⅰ）运用直线与平面垂直的判定定理，即可证得，注意平面内的相交二直线；（Ⅱ）根据异面直线的定义，找出所成的角为∠ADO，说明∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，不妨设AB=2，从而求出OD的长，再在直角三角形AOD 中，求出cos∠ADO.【解答】（1）证明：如图∵DO⊥面α，AB⊂α，∴DO⊥AB，连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，∴DE⊥AB，又DO∩DE=D，∴AB⊥平面ODE；（Ⅱ）解：∵BC∥AD，∴BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角，由（Ⅰ）知，AB⊥平面ODE，∴AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，从而∠DEO=60°，不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=，在Rt△DOE中，DO=DEsin60°=，连AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO==，故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.【点评】本题主要考查线面垂直的判定，以及空间的二面角和异面直线所成的角的定义以及计算，是一道基础题.19.（13分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=.（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长.【分析】（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论.【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=.（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=.【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大.21.（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）.（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜.【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数研究f（x）的单调区间；（Ⅱ）利用放缩法即可证明不等式即可.【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0），∴f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，由f′（x）=﹣xsinx=0，解得x=kπ（k∈N*），当x∈（2kπ，（2k+1）π）（k∈N），sinx＞0，此时f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（（2k+1）π，（2k+2）π）（k∈N），sinx＜0，此时f′（x）＞0，函数单调递增，故f（x）的单调增区间为（（2k+1）π，（2k+2）π），k≥0，单调递减区间为（2kπ，（2k+1）π），k∈N*）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在区间（0，π）上单调递减，又f（）=0，故x1=，当n∈N*，∵f（nπ）f（（n+1）π）=[（﹣1）n nπ+1][（﹣1）n+1（n+1）π+1]＜0，且函数f（x）的图象是连续不间断的，∴f（x）在区间（nπ，（n+1）π）内至少存在一个零点，又f（x）在区间（nπ，（n+1）π）是单调的，＜（n+1）π，故nπ＜x n+1因此当n=1时，有=＜成立.当n=2时，有+＜＜.当n≥3时，…++…+＜[][]（6﹣）＜.综上证明：对一切n∈N*，有++…+＜.【点评】本题主要考查函数单调性的判定和证明，以及利用导数和不等式的综合，利用放缩法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大.20.（13分）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论.【分析】（Ⅰ）由条件可得a1=1，c2=1，根据点P（，1）在上求得=3，可得双曲线C1的方程.再由椭圆的定义求得a2=，可得=﹣的值，从而求得椭圆C2的方程.（Ⅱ）若直线l垂直于x轴，检验部不满足|+|≠||.若直线l不垂直于x 轴，设直线l得方程为y=kx+m，由可得y1•y2 =.由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，根据判别式△=0，求得2k2=m2﹣3，可得≠0，可得|+|≠||.综合（1）、（2）可得结论.【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C2的焦距为2c2，由题意可得2a1=2，∴a1=1，c2=1.由于点P（，1）在上，∴﹣=1，=3，∴双曲线C1的方程为：x2﹣=1.再由椭圆的定义可得2a2=+=2，∴a2=，∴=﹣=2，∴椭圆C2的方程为：+=1.（Ⅱ）不存在满足条件的直线l.（1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=，或 x=﹣.当x=时，可得A（，）、B（，﹣），求得||=2，||=2，显然，|+|≠||.同理，当x=﹣时，也有|+|≠||.（2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由可得（3﹣k2）x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0，∴x1+x2=，x1•x2=.于是，y1•y2=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2=.由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，∴判别式△=16k2m2﹣8（2k2+3）（m2﹣3）=0，∴2k2=m2﹣3.∴=x1•x2+y1•y2=≠0，∴≠，∴|+|≠||.综合（1）、（2）可得，不存在满足条件的直线l.【点评】本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校。

专题能力训练16　椭圆、双曲线、抛物线　专题能力训练第38页　一、能力突破训练1.已知双曲线C :=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x ,且与椭圆=1有公x 2a2‒y 2b 25x 212+y 23共焦点,则C 的方程为( )A.=1B.=1x 28‒y 210x 24‒y 25C.=1D.=1x 25‒y 24x 24‒y 23答案:B解析:由题意得,c=3.因为a 2+b 2=c 2,所以a 2=4,b 2=5,ba=52故C的方程为=1.x 24‒y 252.已知以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.若|AB|=4,|DE|=2,则C 的焦点到准线的距离为( )25A.2B.4C.6D.8答案:B解析:不妨设抛物线C 的方程为y 2=2px (p>0),圆的方程为x 2+y 2=R 2.因为|AB|=4,所以可设A (m ,2).22又因为|DE|=2,5所以解得p 2=16.{R 2=5+p 24,m 2+8=R 2,8=2pm ,故p=4,即C 的焦点到准线的距离是4.3.若双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )x 2a 2‒y 2b 23A.y=±xB.y=±x23C.y=±xD.y=±x2232答案:A解析:∵e=,∴+1=3.ca =3c 2a2=b 2+a 2a 2=(b a )2∴.∵双曲线焦点在x 轴上,b a=2∴渐近线方程为y=±x ,ba∴渐近线方程为y=±x.24.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交x 2a 2‒y 2b 2于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1+d 2=6,则双曲线的方程为( )A .=1B .=1x 24‒y 212x 212‒y 24C .=1D .=1x 23‒y 29x 29‒y 23答案:C解析:由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=x.如图所示,|AD|=d 1,|BC|=d 2,过点F 作ba EF ⊥CD 于点E.由题易知EF 为梯形ABCD 的中位线,所以|EF|=(d 1+d 2)=3.12又因为点F (c ,0)到y=x的距离为=b ,b a |bc -0|a 2+b 2所以b=3,b 2=9.因为e==2,c 2=a 2+b 2,所以a 2=3,ca 所以双曲线的方程为=1.故选C .x 23‒y 295.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于x 2a 2‒y 2b 2A ,B 两点,与双曲线的一个交点为P ,设O 为坐标原点.若=m +n (m ,n ∈R ),且mn=OP OA OB ,则该双曲线的离心率为( )29A. B. C. D.32235532498答案:C 解析:在y=±x中,令x=c ,得A,B .在双曲线=1中,令x=c ,得P.ba (c ,bc a)(c ,-bc a)x 2a2‒y 2b 2(c ,±b 2a)当点P 的坐标为时,由=m +n ,(c ,b 2a)OP OA OB 得{c =(m +n )c ,b 2a=mbc a -nbc a ,则{m +n =1,m -n =b c .由(舍去),{m +n =1,mn =29,得{m =23,n =13或{m =13,n =23∴,∴,∴e=.bc=13c 2-a 2c 2=19324同理,当点P 的坐标为时,e=.(c ,-b 2a)324故该双曲线的离心率为.3246.已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线,点Bx 2a 2‒y 2b 2为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2,则a= .答案:2解析:∵四边形OABC 是正方形,∴∠AOB=45°,∴不妨设直线OA 的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x.∴=1,即a=b.∵|OB|=2,∴c=2.∴a 2+b 2=c 2,即a 2+a 2=(2)2,ba 222可得a=2.7.已知双曲线C :=1(a>0,b>0)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双x 2a 2‒y 2b 2曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点.若∠MAN=60°,则C 的离心率为.答案:23解析:如图所示,由题意可得|OA|=a ,|AN|=|AM|=b.∵∠MAN=60°,∴|AP|=b ,|OP|=.32|OA |2-|PA |2=a 2-34b 2设双曲线C 的一条渐近线y=x的倾斜角为θ,b a则tan θ=.|AP ||OP |=32b a 2-34b 2∵tan θ=,∴,解得a 2=3b 2,b a 32b a 2-34b 2=ba∴e=.1+b 2a2=1+13=2338.如图,已知抛物线C 1:y=x 2,圆C 2:x 2+(y-1)2=1,过点P (t ,0)(t>0)作不过原点O 的直线14PA ,PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切,A ,B 为切点.(1)求点A ,B 的坐标;(2)求△PAB 的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解:(1)由题意知直线PA 的斜率存在,故可设直线PA 的方程为y=k (x-t ).由消去y ,整理得x 2-4kx+4kt=0.{y =k (x -t ),y =14x 2由于直线PA 与抛物线相切,得k=t.因此,点A 的坐标为(2t ,t 2).设圆C 2的圆心为D (0,1),点B 的坐标为(x 0,y 0).由题意知,点B ,O 关于直线PD 对称,所以解得{y 02=-x 02t +1,x 0t -y 0=0,{x 0=2t 1+t 2,y 0=2t 21+t 2.因此,点B 的坐标为.(2t1+t 2,2t 21+t 2)(2)由(1)知|AP|=t ·和直线PA 的方程tx-y-t 2=0.1+t 2点B 到直线PA 的距离是d=.t 21+t 2设△PAB 的面积为S (t ),所以S (t )=|AP|·d=.12t 329.如图,动点M 与两定点A (-1,0),B (1,0)构成△MAB ,且直线MA ,MB 的斜率之积为4,设动点M 的轨迹为C.(1)求轨迹C 的方程;(2)设直线y=x+m (m>0)与y 轴相交于点P ,与轨迹C 相交于点Q ,R ,且|PQ|<|PR|,求的|PR ||PQ |取值范围.解:(1)设点M 的坐标为(x ,y ),当x=-1时,直线MA 的斜率不存在;当x=1时,直线MB 的斜率不存在.于是x ≠1,且x ≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.yx +1yx -1由题意,有=4.y x +1·y x -1整理,得4x 2-y 2-4=0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2-y 2-4=0(x ≠±1).(2)由消去y ,可得3x 2-2mx-m 2-4=0.①{y =x +m ,4x 2-y 2-4=0对于方程①,其判别式Δ=(-2m )2-4×3(-m 2-4)=16m 2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m 的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m ≠1.设Q ,R 的坐标分别为(x Q ,y Q ),(x R ,y R ),则x Q ,x R 为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q |<|x R |.因为x Q =,x R =,且Q ,R 在同一条直线上,m -2m 2+33m +2m 2+33所以=1+.此时>1,且≠2,|PR ||PQ |=|x R x Q|=21+3m 2+121+3m2-1221+3m2-11+3m21+3m 2所以1<1+<3,221+3m 2-1且1+,221+3m 2-1≠53所以1<<3,且.|PR ||PQ |=|x Rx Q ||PR ||PQ |=|x R x Q|≠53综上所述,的取值范围是.|PR ||PQ |(1,53)∪(53,3)10.已知三点O (0,0),A (-2,1),B (2,1),曲线C 上任意一点M (x ,y )满足||=·(MA +MB OM )+2.OA +OB (1)求曲线C 的方程;(2)点Q (x 0,y 0)(-2<x 0<2)是曲线C 上动点,曲线C 在点Q 处的切线为l ,点P 的坐标是(0,-1),l 与PA ,PB 分别交于点D ,E ,求△QAB 与△PDE 的面积之比.解:(1)由题意可知=(-2-x ,1-y ),=(2-x ,1-y ),=(x ,y ),=(0,2).MA MB OM OA +OB ∵||=·()+2,MA +MB OM OA +OB =2y+2,∴x 2=4y.4x 2+4(1-y )2∴曲线C 的方程为x 2=4y.(2)设Q ,则S△QAB=2=2.(x 0,x 204)|1-x 204|(1-x 204)∵y=,∴y'=x ,∴k l =x 0,x 241212∴切线l 的方程为y-x 0(x-x 0),它与y 轴的交点为H ,|PH|==1-.x 204=12(0,-x 204)|1-x 204|x 204直线PA 的方程为y=-x-1,直线PB 的方程为y=x-1.由得x D =.{y =-x -1,y =12x 0x -x 204,x 0-22由得x E =,{y =x -1,y =12x 0x -x 204,x 0+22∴S △PDE =|x D -x E |·|PH|=1-,12x 204∴△QAB 与△PDE 的面积之比为2.二、思维提升训练11.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过点F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )A .16B .14C .12D .10答案:A解析:(方法一)由题意知直线l 1,l 2斜率不存在时,不合题意.设直线l 1的方程为y=k 1(x-1)(k 1≠0),与抛物线方程联立,得{y 2=4x ,y =k 1(x -1),消去y ,得x 2-2x-4x+=0,k 21k 21k 21所以x 1+x 2=.2k 21+4k 21同理,直线l 2与抛物线的交点满足x 3+x 4=.2k 22+4k 22由抛物线的定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p=+4=+8≥2+8=16,2k 21+4k 21+2k 22+4k 224k 21+4k 2216k 21k 22当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时,取得等号.(方法二)如图所示,由题意可得F (1,0),设直线AB 的倾斜角为θ不妨令θ∈0,.π2作AK 1垂直准线,AK 2垂直x 轴,结合图形.根据抛物线的定义,可得{|AF |·cosθ+|GF |=|AK 1|,|AK 1|=|AF |,|GF |=2,所以|AF|·cos θ+2=|AF|,即|AF|=.21-cosθ同理可得|BF|=,21+cosθ所以|AB|=.41-cos 2θ=4sin 2θ又DE 与AB 垂直,即DE的倾斜角为+θ,π2则|DE|=,4sin 2(π2+θ)=4cos 2θ所以|AB|+|DE|=≥16,当θ=时取等号,即|AB|+|DE|4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=414sin 22θ=16sin 22θπ4最小值为16,故选A .12.设F 1,F 2是双曲线C :=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点,过点F 2作C 的x 2a 2‒y 2b 2一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=|OP|,则C 的离心率为( )6A .B .2C .D .532答案:C解析:如图所示,由题意可知,|PF 2|=b ,|OP|=a.由题意,得|PF 1|= a.6设双曲线渐近线的倾斜角为θ.∴在△OPF 1中,由余弦定理知cos(180°-θ)==-cos θ.∵cos θ=,a 2+c 2-(6a )22ac =c 2-5a 22ac ac ∴=-,c 2-5a 22ac a c 解得c 2=3a 2.∴e=.313.已知F 是抛物线C :y 2=8x 的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为线段FN 的中点,则|FN|= . 答案:6解析:设N (0,a ),由题意可知F (2,0).又M 为线段FN 的中点,则M .(1,a2)因为点M 在抛物线C 上,所以=8,即a 2=32,即a=±4.a 242所以N (0,±).2所以|FN|==6.(2-0)2+(0±42)214.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2a 2‒y 2b 2x 2=2py (p>0)交于A ,B 两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .答案:y=±x22解析:抛物线x 2=2py 的焦点为F ,准线方程为y=-.(0,p 2)p 2设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AF|+|BF|=y 1++y 2+=y 1+y 2+p=4|OF|=4·=2p.p 2p 2p2所以y 1+y 2=p.联立双曲线与抛物线方程得{x 2a 2-y 2b 2=1,x 2=2py ,消去x ,得a 2y 2-2pb 2y+a 2b 2=0.所以y 1+y 2==p ,所以.2pb 2a 2b 2a2=12所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.2215.已知圆C :(x+1)2+y 2=20,点B (1,0),点A 是圆C 上的动点,线段AB 的垂直平分线与线段AC 交于点P.(1)求动点P 的轨迹C 1的方程;(2)设M ,N 为抛物线C 2:y=x 2上的一动点,过点N 作抛物线C 2的切线交曲线C 1于(0,15)P ,Q 两点,求△MPQ 面积的最大值.解:(1)由已知可得,点P 满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,5所以动点P 的轨迹C 1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.5动点P 的轨迹C 1的方程为=1.x 25+y 24(2)设N (t ,t 2),则PQ 的方程为y-t 2=2t (x-t )⇒y=2tx-t 2.联立方程组消去y 整理,得(4+20t 2)x 2-20t 3x+5t 4-20=0,{y =2tx -t 2,x 25+y 24=1,则有{Δ=80(4+20t 2-t 4)>0,x 1+x 2=20t 34+20t 2,x 1x 2=5t 4-204+20t2.而|PQ|=×|x 1-x 2|=,1+4t 21+4t2×80(4+20t 2-t 4)4+20t 2点M 到PQ 的距离为h=.15+t 21+4t 2由S △MPQ =|PQ|h代入化简,得12S △MPQ =,当且仅当t 2=10时,S △MPQ 取最大值.510-(t 2-10)2+104≤510×104=1305130516.已知动点C 是椭圆Ω:+y 2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G :x 2+(y-2)2=的一条直径x 2a 94(A ,B是端点),的最大值是.CA ·CB 314(1)求椭圆Ω的方程.(2)设椭圆Ω的左、右焦点分别为点F 1,F 2,过点F 2且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆Ω于P ,Q 两点.在线段OF 2上是否存在点M (m ,0),使得以MP ,MQ 为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m 的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设点C的坐标为(x ,y ),则+y 2=1.x 2a 连接CG ,由.CA =CG +GA ,CB =CG +GB =CG ‒GA 因为G (0,2),=(-x ,2-y ),CG 所以=x 2+(y-2)2-=a (1-y 2)+(y-2)2-=-(a-1)y 2-4y+a+,其中y ∈[-1,1].CA ·CB =CG 2‒GA 2949474因为a>1,所以当y=≤-1,即1<a ≤3时,42(1-a )取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与已知矛盾;CA ·CB 74=274当y=>-1,即a>3时,的最大值是.42(1-a )CA ·CB 4(1-a )(a +74)-164(1-a )由条件得,4(1-a )(a +74)-164(1-a )=314即a 2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y 2=1.x 25(2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),PQ的中点坐标为(x 0,y 0),则满足=1,=1,两式相减,x 215+y 21x 225+y 22整理,得=-=-,y 2-y 1x 2-x 1x 2+x 15(y 2+y 1)x 05y 0从而直线PQ 的方程为y-y 0=-(x-x 0).x 05y 0又右焦点F 2的坐标是(2,0),将点F 2的坐标代入PQ 的方程得-y 0=-(2-x 0).x 05y 0因为直线l 与x 轴不垂直,所以2x 0-=5>0,从而0<x 0<2.x 20y 20假设在线段OF 2上存在点M (m ,0)(0<m<2),使得以MP ,MQ 为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ 的垂直平分线必过点M ,而线段PQ 的垂直平分线方程是y-y 0=(x-x 0),将点5y 0x 0M (m ,0)代入得-y 0=(m-x 0),得m=x 0,从而m ∈.5y 0x 045(0,85)。

2020年天津市部分区高考数学二模试卷(含答案解析)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12020年天津市部分区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设集合0，，2，，，则A. B. C. D. 0，2.已知命题p：，，则命题p的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，3.已知i为虚数单位，若复数的实部为，则A. B. C. D.4.函数是定义在R上的奇函数，且当时，为常数，则A. B. C. D.5.若，，则A. 0B.C. 1D.6.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 11B. 13C. 15D. 177.已知，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.8.若函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是A. B. C. D.9.已知函数函数若关于x的方程有3个互异的实数根，则实数k的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.双曲线的右焦点为，且一条渐近线方程是，则该双曲线的方程是______．11.若的展开式中的常数项为，则实数______．12.已知点在直线上，则的最小值为______．13.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则______．14.如图，点O是长方体的中心，E，F，G，H分别为其所在棱的中点，且记棱AB的长度为l，点O到平面的距离为，则______；若该长方体的体积为120，则四棱锥的体积为______．15.16.17.在梯形ABCD中，，，，，若点M在线段BD上，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）18.天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”每位学生只能参加一个小组，以便课间学生进行相互帮扶．已知该校某班语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为10人、10人、15人．经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步．现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查．19.应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？20.若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格．现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查．21.记X表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量X的分布列和数学期望；22.设M为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件M发生的概率．23.24.25.26.27.28.29.30.已知各项均为正数的数列，满足31.求证：为等比数列，并写出其通项公式；32.设，求数列的前n项和．33.34.35.36.37.38.39.如图，四棱锥中，底面四边形ABCD是直角梯形，底面ABCD，，，，，E为PB的中点．40.求证：平面PAC；41.若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．42.43.44.45.已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，其焦距为6，过的直线与C交于A，B两点，且的周长是．46.求C的方程；47.若是C上的动点，从点是坐标系原点向圆作两条切线，分别交C于P，Q两点．已知直线OP，OQ的斜率存在，并分别记为，．48.求证：为定值；49.试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．50.51.52.53.54.55.56.57.已知函数，函数，其中是自然对数的底数．58.求曲线在点处的切线方程；59.设函数，讨论的单调性；60.若对任意，恒有关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．61.62.64.65.66.-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】进行交集和并集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．【解答】解：0，，2，，，0，1，2，，．故选：B．2.答案：C解析：解：因为命题p：，，是特称命题，故命题p的否定是：，；故选：C．直接根据命题的特点，求出结论即可．本题考查命题的否定，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：D解析：解：的实部为，，即．，则．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于求得a，进一步求得z，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．4.答案：D解析：解：根据题意，函数为定义在R上的奇函数，且时，则，解得，则当时，令，则，即有，所以当时，故，故选：D．根据题意，由奇函数的性质可得，进而求得当时函数的解析式，进而可得的值本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于中档题．5.答案：A解析：解：，，又，则，即，则，故选：A．由角的范围和，可求出，进而可求余弦值．本题考查三角函数给值求角，注意角的范围，以及给角求值，属于基础题．6.答案：B解析：解：设等差数列的公差为d，，，，，联立解得：，，则．故选：B．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：，，，．故选：C．由，，可得a，b都小于0，再与比较大小即可得出关系，c大于0．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：由，，得，，即函数的单调递减区间为，，在区间单调递减，且，即，得，，即，，，当时，，由得，在区间有零点，满足，当时，，得综上：，故选：D．利用余弦函数的单调性和零点，求得的取值范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据余弦函数的单调性和零点性质建立不等式关系是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：作出函数和的图象如图：由图可知，当时，不满足题意，则；当直线经过点B时，，此时与函数图象有3个交点，满足；当为的切线时，设切点，则，故有，解得，即有切点为，此时与有3个交点，满足题意；综上：当，故选：B．利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数零点个数的判断和应用，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．10.答案：解析：解：双曲线的右焦点为，，又有一条渐近线方程是，，，，解得，，双曲线的标准方程为．故答案为：．由题可知，，，再结合，解得，，于是求得双曲线的方程．本题考查双曲线标准方程的求法、基本几何性质，考查学生的运算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：的展开式中的通项公式为，令，求得，可得的常数项为，则实数，故答案为：．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.答案：解析：解：由题意可得，，则，当且仅当且即，时取等号，故答案为：由已知直接利用基本不等式即可求解．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．13.答案：解析：解：，，即，由正弦定理可得：，，可得，即，．故答案为：．利用两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan A，进而可求cos A的值．本题主要考查了两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：2 10解析：解：如图，点O是长方体的中心，为的中点，平面，平面平面，在平面内，过O作则平面，则，且，又棱AB的长度为l，点O到平面的距离为，；设，则，，，即正方形EFGH的边长为，则面积为，则．故答案为：2；10．由点O是长方体的中心，得O为的中点，在平面内，过O作，证明平面，可得，且，得到；设，则，再把四棱锥的体积用含有a与l的代数式表示，即可求得四棱锥的体积．本题考查长方体与棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．15.答案：解析：解：因为在梯形ABCD中，，，，，，令，，，．．，代入上式得：，所以，当时，的最小值为．故答案为：．以为基底，并且设，，然后用基底将表示出来，最终把问题转化为关于的函数，求其最小值即可．本题考查平面向量基本定理以及数量积的运算问题．同时考查学生利用化归思想解决问题的能力和运算能力．属于中档题．16.答案：解：依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2：2：3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别抽取2人、2人、3人．分依题意，得随机变量X的所有可能取值为2，3，分所以，分X 2 3 4P分故随机变量X的数学期望为分依题意，设事件B为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”．则有，且B与C互斥．由知，，，所以分故事件M发生的概率为分解析：依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2：2：3，采用分层抽样方法从中抽取7人，即可得出结论．依题意，得随机变量X的所有可能取值为2，3，4，利用超几何分布列计算公式，即可得出分布列，进而得出数学期望依题意，设事件B为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”，可得，且B与C互斥．由知，，，即可得出．本题考查了超几何分布列与数学期望、分层抽样、互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：证明：因为，所以，当时，有，由得，即，所以，所以数列是公比为2的等比数列．又由得，解得：所以；解：由题意及得，所以，所以，由，得，故．解析：由，两式相减整理得所以，从而证明其为等比数列，进而可求其通项公式；由求得，再利用错位相减法求其和即可．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18.答案：解：证明：因为，，所以．又因为，所以是等腰直角三角形，所以，．又因为，，所以，即．因为底面ABCD，平面ABCD，所以．又，所以平面PAC．解：在中，，，所以．由知，平面PAC，所以是直线PB与平面PAC所成的角，则．在中，，所以．【方法一】以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则．因为E为PB的中点，所以，所以．设平面ACE法向量为，则即令，得所以．由平面PAC，则为平面PAC的一个法向量．所以．故所求二面角的余弦值为．【方法二】以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则．因为E为PB的中点，所以，所以．设平面ACE法向量为，则即令，得所以．由平面PAC，则为平面PAC的一个法向量．所以．故所求二面角的余弦值为．解析：推导出由此能证明平面PAC．法一：以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系由此利用向量法能求出二面角的余弦值．法二：以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系由此利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：设椭圆C：的焦距为，则，所以．因为直线AB过C的焦点，且的周长是，所以，所以．所以．所以，椭圆C的方程是．证明：由题意得，直线OP：，直线OQ：因为直线OP，OQ与圆M相切，所以，化简，得；同理，得．所以，是一元二次方程的两实数根，则有．又因为点在C上，所以，即，所以定值．解：是定值，且定值为27．理由如下：方法一设，由、联立方程组解得所以．同理，得．由知，所以，所以定值．方法二设，，由知，所以．因为，在C上，所以，即所以，整理得，所以．故有定值．解析：根据题意可得，解得a，b，进而得椭圆C的方程．由题意得，直线OP：，直线OQ：因为直线OP，OQ与圆M相切，得；同理，得．所以，是一元二次方程的两实数根，所以又因为点在C上，所以，进而定值．方法一设，联立方程组解得P点的坐标，进而得同理，得，由知，所以，化简可得出结论．方法二设，，由知，所以因为，在C上，所以，即两式相乘，化简，再代入化简即可得出结论．本题考查椭圆方程，定值问题，在解题过程中关键是细心进行运算化简，属于中档题．20.答案：解：由题意，得，所以．因为，所以，即所求曲线在点处的切线方程为．易知，函数的定义域为R，，且有．由于在上恒成立，所以当时，在上恒成立，此时，所以，在区间上单调递增．当时，由，即，解得；由，即，解得．所以，在区间上单调递减；在区间上单调递增．易知，等价于．设由题意，对时，不等式恒成立，只需．易得，．令，，所以．显然，当时，恒成立．所以函数在上单调递减，所以，即在恒成立．所以，函数在上单调递减．所以有．所以．故所求实数m的取值范围是．解析：求出，通过然后求解切线方程．求出，通过当时，当时，判断导函数的符号，得到函数的单调性即可．设转化为对时，不等式恒成立，只需利用函数的导数，构造函数，二次导函数，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后推出结果．本题考查导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，二次导函数的应用，是难题．。

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()A.1B.C.D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.27.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,8.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<e.##综合能力训练1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+, 由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,从而A,B,OA2==5-2,OB2==5+2,△OAB的面积S=|OA||OB|=故选B.3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B解析由题意得,输出的S为数列的前3项和,而,即S n=故当输入n=3时,S3=,故选B.6.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,即由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1,,e2=1+e=故选A.7.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-8.D解析 (举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.9.2解析 (1+i)(1-b i)=1+b+(1-b)i=a,则所以=2.故答案为2.10.-40解析 (2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.11.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π.12.2解析∵4ρcos+1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆心到直线的距离d=<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1解析由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA==1.14.②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD 中,设AB=AD=,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b 成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解 (1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.16.解 (1)由已知a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.a n-n=2a n-1-2n+2,即a n-n=2[a n-1-(n-1)].=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1,∴{a n-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n-n=(a1-1)·2n-1,即a n=2n-1+n,∴b n==1+设c n=,且前n项和为T n,则T n=+…+, ①T n=+…+, ②①-②,得T n=1++…+=2-故T n=4-,S n=n+4-17.解法一 (1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.所以EQ=FP=,所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解 (1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以,随机变量X的分布列为X0 1 2P随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2∴椭圆C的标准方程为=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为=1, ①直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-, 直线MF1的方程为y=-(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2), ②①②联立,解得x=-8,精品故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,y M),N(-2,y N),点N在切线MP上,由①式得y N=,点M在直线MF1上,由②式得y M=,|NF1|2=,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+,故=, ③注意到点P在椭圆C上,即=1,于是,代入③式并整理得,故的值为定值20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=>0,当x时,f'(x)<0,则f(x)在区间内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,精品∴ln+ln+…+ln+…+,即ln…由于n∈N*,则=1.∴ln<1.<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,即x-x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,+…+<ln+ln+…+ln, 即<ln,得<ln由于n∈N*,则<ln<e.。

专题能力训练8 三角函数的图象与性质专题能力训练第22页一、能力突破训练1.为了得到函数y=sin-的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度答案:D解析:由题意,为得到函数y=sin-=sin-,只需把函数y=sin2x的图象上所有点向右平行移动个单位长度,故选D.2.已知函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现2次最大值,则ω的最小值为()A. B.C.πD.答案:A解析:要使y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现2次最大值,则在区间[0,1]上至少包含个周期,故只需要≤1,故ω≥.3.(2019全国Ⅱ,理9)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|答案:A解析:y=|cos2x|的图象为,由图知y=|cos2x|的周期为,且在区间内单调递增,符合题意;y=|sin2x|的图象为,由图知它的周期为,但在区间内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cos x,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin|x|的图象为,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.4.若f(x)=cos x-sin x在区间[-a,a]上是减函数,则a的最大值是()A. B. C. D.π答案:A解析:f(x)=cos x+,图象如图所示,要使f(x)在区间[-a,a]上为减函数,a的最大为.5.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象关于直线x=对称,若它的最小正周期为π,则函数f(x)的图象的一个对称中心是()A.,1B.1,C.1 , D.-1,答案:B解析:由题意知T=π,则ω=2.由函数图象关于直线x=对称, 得2×+φ=+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z).∵|φ|< ,∴φ=-, ∴f (x )=A sin -.令2x-=k π(k ∈Z ),则x=1(k ∈Z ).∴函数f (x )的图象的一个对称中心为1 , .故选B.6.已知函数f (x )=5sin x-12cos x ,当x=x 0时,f (x )有最大值13,则tan x 0= . 答案:-1解析:f (x )=5sin x-12cos x=13sin(x-θ) 1 , 11 . 当x=x 0时,f (x )有最大值13,所以x 0-θ=+2k π,k ∈Z ,所以x 0=θ+ +2k π,tan x 0=tan θ+ +2k π=tan1--=-1 .7.定义一种运算:(a 1,a 2)⊗(a 3,a 4)=a 1a 4-a 2a 3,将函数f (x )=( ,2sin x )⊗(cos x ,cos 2x )的图象向左平移n (n>0)个单位长度所得图象对应的函数为偶函数,则n 的最小值为 . 答案:1解析:f (x )= cos2x-2sin x cos x= cos2x-sin2x=2cos,将f (x )的图象向左平移n 个单位长度对应的函数解析式为f (x )=2cos 2(x+n )+=2cos ,要使它为偶函数,则需要2n+=k π(k ∈Z ),所以n=1 (k ∈Z ).因为n>0,所以当k=1时,n 有最小值1 . 8.函数f (x )=A sin(ωx+φ) , ,的部分图象如图所示,则f (x )= .答案: sin解析:由题意得A= ,函数的周期为T=16.∵T=,∴ω=,此时f(x)=sin.由f(2)=,即sin=sin=1,则+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,∴函数的解析式为f(x)=sin.9.已知函数f(x)=sin x+λcos x的图象的一个对称中心是点, ,则函数g(x)=λsin x cos x+sin2x的图象的一条对称轴是.(写出其中的一条即可)答案:x=-(答案不唯一)解析:将点, 代入f(x)=sin x+λcos x,得λ=-.g(x)=-sin x cos x+sin2x=-sin2x+11cos2x=1-sin,令2x+=kπ+,k∈Z,得x=,k∈Z.由k=-1,得x=-.10.已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin x cos x(x∈R).(1)求f的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解:(1)由sin,cos=-1,f-1-2-1,得f=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sin x cos x得f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得+2kπ≤ x++2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以,f(x)的单调递增区间是,(k∈Z).11.已知函数f(x)=sin2x-sin2-,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-,上的最大值和最小值.1--解:(1)由已知,有f(x)=1-=111cos2x=sin2x-1cos2x=1sin-.所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间-,-上是减函数,在区间-,上是增函数,f-=-1,f-=-1,f.所以f(x)在区间-,上的最大值为,最小值为-1.二、思维提升训练12.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω> , ≤φ≤π)的部分图象如图所示,其中A,B两点之间的距离为5,则f(-1)等于()A.2B.C.-D.-2答案:A解析:设函数f(x)的最小正周期为T,因为A,B两点之间的距离为5,所以=5,解得T=6.所以ω=.又图象过点(0,1),代入得2sinφ=1,所以φ=2kπ+或φ=2kπ+(k∈Z).又 ≤φ≤π,所以φ=或φ=.所以f(x)=2sin或f(x)=2sin.对于函数f(x)=2sin,当x略微大于0时,有f(x)>2sin=1,与图象不符,故舍去.综上,f(x)=2sin.故f(-1)=2sin-=2.13.函数y=1的图象与函数y=2sin πx(- ≤x≤ )的图象所有交点的横坐标之和等于() 1-A.2B.4C.6D.8答案:D,y2=2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图.解析:函数y1=11-当1<x≤ 时,y1<0,而函数y2在区间(1,4)内出现1.5个周期的图象,在区间1,和内是减函数;在区间,和, 内是增函数.所以函数y1在区间(1,4)内函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E,F,G,H.相应地,y1在区间(-2,1)内函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A,B,C,D,且x A+x H=x B+x G=x C+x F=x D+x E=2,故所求的横坐标之和为8.14.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数:①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=(sin x+cos x);③f(x)=sin x;④f(x)=sin x+.其中为“互为生成”函数的是.(填序号)答案:①④解析:首先化简题中的四个解析式可得:①f(x)=sin,②f(x)=2sin,③f(x)=sin x,④f(x)=sin x+.可知③f(x)=sin x的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以③f(x)=sin x不能与其他函数成为“互为生成”函数;同理①f(x)=sin的图象与②f(x)=2sin的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而④f(x)=sin x+ 的图象可以向左平移个单位长度,再向下平移 个单位长度即可得到①f(x)=sin的图象,所以①④为“互为生成”函数.15.如图,在同一个平面内,向量的模分别为1,1,与的夹角为α,且tan α=7,与的夹角为 °.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.答案:3解析:||=||=1,||=,由tanα=7,α∈[0,π]得0<α<,sinα>0,cosα>0,tanα=,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα=1 ,cosα=11=1,=cos=-,得方程组-1,-1,解得,,所以m+n=3.16.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β.①求实数m的取值范围;②证明:cos(α-β)=-1.(1)解将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos-的图象,故f(x)=2sin x.从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).(2)①解f(x)+g(x)=2sin x+cos x==sin(x+φ)其中.依题意,sin(x+φ)=在[0,2π)内有两个不同的解α,β当且仅当<1,故m的取值范围是(-).②证法一因为α,β是方程sin(x+φ)=m在区间[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.当1≤m< 时,α+β=2-,即α-β=π-2(β+φ);当-<m<1时,α+β=2-,即α-β=3π-2(β+φ),所以cos(α-β)=-cos2(β+φ)=2sin2(β+φ)-1=2-1=-1.证法二因为α,β是方程sin(x+φ)=m在区间[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.当1≤m< 时,α+β=2-,即α+φ=π-(β+φ);当-<m<1时,α+β=2-,即α+φ=3π-(β+φ).所以cos(α+β)=-cos(β+φ).于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ) =-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-1-=-1.。