2018年高考数学二轮复习专题17算法、复数、推理与证明押题专练理 Word版 含答案

1．如图所示程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A．3 B．11 C．38 D．123【答案】D 【解析】第一步：a＝12＋2＝3＜12，第二步：a＝32＋2＝11＜12，第三步：a＝112＋2＝123＞12，跳出循环，输出a＝123.故选D.2．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是( )A．k＞4? B．k＞5? C．k＞6? D．k＞7?3．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为( )A ．2log 23B ．log 27C ．3D ．24．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为( )A ．2 016B ．2 015C ．1 008D ．1 007【答案】C 【解析】根据题意，该程序运行的是当k ＜2 016时，计算S ＝0＋1－2＋3－4＋…＋(－1)k－1·k .∴该程序运行后输出的是S ＝0＋1－2＋3－4＋…＋(－1)2 014·2 015＝12×(2 015＋1)＝1 008.故选C.5．执行如图所示的程序框图，如果输入m ＝30，n ＝18，则输出的m 的值为( )A ．0B ．6C ．12D ．186．下图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )A ．i ＞10?B ．i ＜10?C ．i ＞11?D ．i ＜11? 【答案】A 【解析】经过第一次循环得到s ＝12，i ＝2，此时的i 不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到s ＝12＋14，i ＝3，此时的i 不满足判断框中的条件；经过第三次循环得到s ＝12＋14＋16，i ＝4，此时的i 不满足判断框中的条件；……经过第十次循环得到s ＝12＋14＋16＋…＋120，i ＝11，此时的i 满足判断框中的条件，执行输出，故判断框中的条件是i ＞10？.故选A.7．如图所示的程序框图所表示的算法的功能是( )A ．计算1＋12＋13＋…＋149的值B ．计算1＋13＋15＋…＋149的值C ．计算1＋13＋15＋…＋199的值D ．计算1＋12＋13＋…＋199的值8．已知z ＝1＋i ，则(z －)2＝( ) A ．2 B ．－2 C ．2i D ．－2i【答案】D 【解析】∵z ＝1＋i ，∴z －＝1－i ，(z －)2＝－2i ，故选D.9．已知复数a ＋3i1－2i是纯虚数，则实数a ＝( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6【答案】D 【解析】 a ＋3i 1－2i ＝a －6＋（2a ＋3）i5，∵复数a ＋3i 1－2i为纯虚数，∴a ＝6.10．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．3 3【答案】A 【解析】由题图可知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，则z 1＋z 2＝－2，∴|z 1＋z 2|＝2，故选A. 11．在复平面内，复数z 和2i2－i 表示的点关于虚轴对称，则复数z ＝( )A.25＋45iB.25－45i C ．－25＋45i D ．－25－45i12．如果复数2－b i 1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A. 2B.23 C ．－23D ．2【答案】C 【解析】2－b i 1＋2i ＝（2－b i ）（1－2i ）5＝（2－2b ）5－4＋b5i .由2－2b 5＝4＋b 5，得b ＝－23. 13．设i 是虚数单位，z －是复数z 的共轭复数．若z ·z －i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i【答案】A 【解析】 令z ＝a ＋b i ，则z －＝a －b i ，代入z ·z －i ＋2＝2z ，得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，得a 2＋b 2＝2b 且2a ＝2，解得a ＝1，b ＝1，则z ＝1＋i ，故选A.14． 在复平面内，复数3－4i ，i(2＋i)对应的点分别是A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为( ) A ．－2＋2i B ．2－2i C ．－1＋i D ．1－i【答案】D 【解析】 ∵i(2＋i)＝－1＋2i ，∴复数3－4i ，i(2＋i)对应的点A ，B 的坐标分别为A (3，－4)，B (－1，2)．∴线段AB 的中点C 的坐标为(1，－1)，则线段AB 的中点C 对应的复数为1－i.故选D.15．设a＞0，f(x)＝axa＋x，令a1＝1，a n＋1＝f(a n)，n∈N*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．16．各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a2n＋1－a2n＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：1a1＋1a2＋…＋1a n≤2n－1对一切n∈N*恒成立．【解析】(1)因为a2n＋1－a2n＝2，所以数列{a2n}是首项为1，公差为2的等差数列，所以a2n＝1＋(n－1)·2＝2n－1，又a n＞0，则a n＝2n－1.(2)证明：由(1)知，即证1＋13＋…＋12n－1≤2n－1.①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以不等式成立；当n＝2时，左边＜右边，所以不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即1＋13＋…＋12k－1≤2k－1，当n＝k＋1时，左边＝1＋13＋…＋12k －1＋12k ＋1≤2k －1＋12k ＋1＜2k －1＋22k ＋1＋2k －1＝2k －1＋2（2k ＋1－2k －1）2＝2k ＋1＝2（k ＋1）－1.所以当n ＝k ＋1时不等式成立． 由①②知对一切n ∈N *不等式恒成立．17．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋ln(x ＋1)(a ∈R )． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值点；(2)若函数f (x )在区间(0，1)上恒有f ′(x )＞x ，求实数a 的取值范围；(3)已知a ＜1，c 1＞0，且c n ＋1＝f ′(c n )(n ＝1，2，…)，证明数列{c n }是单调递增数列．(2)因为f ′(x )＝2x －a ＋1x ＋1， 由f ′(x )＞x ，得2x －a ＋1x ＋1＞x ， 所以由题意知，a ＜x ＋1x ＋1(0＜x ＜1)恒成立． 又x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立． 所以a ≤1.故所求实数a 的取值范围为(－∞，1]．(3)证明：①当n ＝1时，c 2＝f ′(c 1)＝2c 1－a ＋1c 1＋1. 因为c 1＞0，所以c 1＋1＞1，又a ＜1， 所以c 2－c 1＝c 1－a ＋1c 1＋1＝c 1＋1＋1c 1＋1－(a ＋1)＞2－(a ＋1)＝1－a ＞0， 所以c 2＞c 1，即当n ＝1时结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即c k ＋1＞c k ＞0， 当n ＝k ＋1时，c k ＋2－c k ＋1＝c k ＋1－a ＋1c k ＋1＋1＝c k ＋1＋1＋1c k ＋1＋1－(a ＋1)＞2－(a ＋1)＝1－a ＞0. 所以c k ＋2＞c k ＋1，即当n ＝k ＋1时结论成立． 由①②知数列{c n }是单调递增数列．18．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32（k ＋1）＞k ＋1·2k ＋32（k ＋1）＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥（k ＋1）（k ＋2）.由基本不等式得2k ＋32＝（k ＋1）＋（k ＋2）2≥（k ＋1）（k ＋2）成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立． 19．已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝2a n ＋λa n(a ，λ∈R )． (1)若λ＝－2，数列{a n }单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝2，试写出a n ≥2对任意的n ∈N *成立的充要条件，并证明你的结论．【解析】(1)当λ＝－2时，a n ＋1＝2a n －2a n ，由题意知a n ＋1>a n ，所以a n ＋1－a n ＝a n －2a n>0，解得a n >2或－2<a n <0，所以a 1>2或－2<a 1<0.所以实数a 的取值范围为 (－2，0)∪(2，＋∞)．20．已知函数f (x )＝a ln x ＋2x ＋1(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求f (x )在x ∈[1，＋∞)内的最小值； (2)若f (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (3)求证ln(n ＋1)>13＋15＋17＋…＋12n ＋1(n ∈N *)．(3)证明：当n ＝1时，ln(n ＋1)＝ln 2，∵3ln 2＝ln 8>1，∴ln 2>13，即当n ＝1时，不等式成立．设当n ＝k 时，ln(k ＋1)>13＋15＋…＋12k ＋1成立．当n ＝k ＋1时，ln(n ＋1)＝ln(k ＋2)＝ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1>13＋15＋…＋12k ＋1＋ln k ＋2k ＋1. 根据(1)的结论可知，当x >1时，ln x ＋2x ＋1>1，即ln x >x －1x ＋1. 令x ＝k ＋2k ＋1，所以ln k ＋2k ＋1>12k ＋3，则有ln(k ＋2)>13＋15＋…＋12k ＋1＋12k ＋3，即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上可知不等式成立．。

寒假作业(二十一) 算法、复数、推理与证明(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z －z ＝( )A ．iB ．2－iC ．1－iD ．0解析：选D 因为2z －z ＝21＋i －1＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D.2．已知复数z ＝a ＋i2i(a ∈R)，且z 的实部与虚部相等，则z 的共轭复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．1＋iD ．1－i解析：选B z ＝a ＋i 2i ＝(a ＋i )i －2＝a i －1－2＝12－a2i ，因为z 的实部与虚部相等，所以z ＝12＋12i ，则z 的共轭复数z ＝12－12i.3．在复平面内与复数z ＝2i1＋i 所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选B 因为z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i(1－i)＝1＋i ，所以A 点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i ，故选B.4．(2017·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．2B.32C.53D.85解析：选C 运行该程序，k ＝0，s ＝1，k <3； k ＝0＋1＝1，s ＝1＋11＝2，k <3； k ＝1＋1＝2，s ＝2＋12＝32，k <3； k ＝1＋2＝3，s ＝32＋132＝53，此时不满足循环条件，输出s ，故输出的s 值为53.5．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i ＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C ∵z 为纯虚数，a ∈R ，∴a ＝2， ∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－3i 3＝－i.6．阅读如图所示的程序框图，为使输出的S 为31，则①处应填的表达式为( )A ．i ≤3B ．i ≤4C ．i ≤5D ．i ≤6解析：选B 第一次循环，得S ＝3，i ＝2；第二次循环，得S ＝7，i ＝3；第三次循环，得S ＝15，i ＝4；第四次循环，得S ＝31，此时满足题意，输出的S ＝31，所以①处可填i ≤4，故选B.7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A．5 B．6C．7 D．8解析：选B执行程序框图，第一步：n＝12，i＝1，满足条件n是3的倍数，n＝8，i ＝2，不满足条件n＞123；第二步：n＝8，不满足条件n是3的倍数，n＝31，i＝3，不满足条件n＞123；第三步：n＝31，不满足条件n是3的倍数，n＝123，i＝4，不满足条件n＞123；第四步：n＝123，满足条件n是3的倍数，n＝119，i＝5，不满足条件n＞123；第五步：n＝119，不满足条件n是3的倍数，n＝475，i＝6，满足条件n＞123，退出循环，输出i的值为6.8．将正整数排列如下图：123 45678910111213141516…则图中数2 018出现在()A．第44行第83列B．第45行第83列C．第44行第82列D．第45行第82列解析：选D由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936，452＝2 025，且1 936＜2 018＜2 025，所以2 018在第45行，又2 018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列．9．(2017·洛阳统考)某程序框图如图所示，该程序运行结束时输出的S值是()A ．1 007B ．3 026C ．2 016D ．3 024解析：选B 依题意，在数列{a n }中，a n ＝n sinn π2＋1，a 4n －3＋a 4n －2＋a 4n －1＋a 4n ＝[(4n －3)＋1]＋(0＋1)＋[－(4n －1)＋1]＋(0＋1)＝2，注意到2 017＝4×504＋1，所以数列{a n }的前2 017项和等于504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 017＝504×2＋2 018＝3 026.10．(2018届高三·惠州调研)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11解析：选B 法一：第一步：i ＝1，S ＝lg 13＝－lg 3>－1；第二步：i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5>－1；第三步：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；第四步：i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；第五步：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111＝－lg 11<－1，故输出的i ＝9.法二：因为S ＝lg 13＋lg 35＋…＋lg i i ＋2＝lg 1－lg 3＋lg 3－lg 5＋…＋lg i －lg(i ＋2)＝－lg(i＋2)，当i ＝9时， S ＝－lg(9＋2)<－lg 10＝－1，所以输出的i ＝9.11．已知数列{a n}是正项等差数列，若c n＝a1＋2a2＋3a3＋…＋na n1＋2＋3＋…＋n，则数列{c n}也为等差数列．已知数列{b n}是正项等比数列，类比上述结论可得()A．若{d n}满足d n＝b1＋2b2＋3b3＋…＋nb n1＋2＋3＋…＋n，则{d n}也是等比数列B．若{d n}满足d n＝b1·2b2·3b3·…·nb n1·2·3·…·n，则{d n}也是等比数列C．若{d n}满足d n＝(b1·2b2·3b3·…·nb n)11＋2＋3＋…＋n，则{d n}也是等比数列D．若{d n}满足d n＝(b1·b22·b33·…·b n n)11＋2＋3＋…＋n，则{d n}也是等比数列解析：选D设等比数列{b n}的公比为q(q>0)，则b1·b22·b33·…·b n n＝b1·(b1q)2·(b1q2)3·…·(b1q n－1)n＝(b1·b21·b31·…·b n1)(q1×2·q2×3·…·q(n－1)n)＝b1＋2＋3＋…＋n 1·q1×2＋2×3＋…＋(n－1)n＝bn(n＋1)21q12＋1＋22＋2＋…＋(n－1)2＋(n－1)＝bn(n＋1)21qn(n＋1)(n－1)3，所以d n＝(b1·b22·b33·…·b n n)11＋2＋3＋…＋n＝b1q2(n－1)3，即{d n}也是等比数列．12．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如25＝13＋115.可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的12，不够，若每人分得一个面包的13，还余13，再将这13分成5份，每人分得115，这样每人分得13＋115.形如2n(n＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝1 4＋128，29＝15＋145，按此规律，2n＝()A.2n＋1＋2n(n＋1)B.1n＋1＋1n(n＋1)C.1n＋2＋1n(n＋2)D.12n＋1＋1(2n＋1)(2n＋3)解析：选A根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即2n＝1n＋12＋1n(n＋1)2＝2n＋1＋2n(n＋1).13．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋b i)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab ＝________.解析：∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 答案：5 2 14．若z1－i＝2i ＋3(i 为虚数单位)，则|z ＋4i|＝________. 解析：由z1－i ＝2i ＋3，得z ＝(2i ＋3)(1－i)＝5－i ，则z ＋4i ＝5＋5i ，故|z ＋4i|＝5 2. 答案：5 215．已知不等式1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，照此规律总结可得到第n 个不等式为______________________________________．解析：由已知，三个不等式可以写成1＋122<2×2－12，1＋122＋132<2×3－13，1＋122＋132＋142<2×4－14， 所以照此规律可得到第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2＋1(n ＋1)2<2(n ＋1)－1n ＋1＝2n ＋1n ＋1. 答案：1＋122＋132＋…＋1n 2＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋116．若x 的取值范围为[0,10]，给出如图所示的程序框图，输入一个数x ，则输出的y <5的概率为________．解析：由题意可得程序框图所表示的函数表达式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，7<x ≤10，x ＋1，0≤x ≤7.当y <5时，若输出y ＝x ＋1(0≤x ≤7)，此时输出的结果应满足x ＋1<5，则0≤x <4，若输出y ＝x －1(7<x ≤10)，此时输出的结果应满足x －1<5，则0≤x <6(不符合题意)，所以输出的y <5时的x 的取值范围是0≤x <4，则使得输出的y <5的概率P ＝4－010－0＝25. 答案：25二、能力拔高练1．已知复数z ＝2＋3i 2 0175＋i 1 001(i 为虚数单位)，则z ·z ＝( )A ．1B ．2 C.12D.14解析：选C 因为z ＝2＋3i 2 0175＋i 1 001＝2＋3i 5＋i ＝(2＋3i )(5－i )(5＋i )(5－i )＝13＋13i 26＝12＋12i ，故z ＝12－12i ，故z ·z ＝12.2．(2018届高三·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f ′(x ).执行如图所示的程序框图，若输出的结果S >2 0162 017，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是( )A ．n ≤2 016?B ．n ≤2 017?C ．n >2 016?D ．n >2 017?解析：选B f ′(x )＝3ax 2＋x ，则f ′(－1)＝3a －1＝0，解得a ＝13，g (x )＝1f ′(x )＝1x 2＋x ＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，g (n )＝1n －1n ＋1，则S ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，因为输出的结果S >2 0162 017，分析可知判断框中可以填入的判断条件是“n ≤2 017？”，选B.3．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 016a 2 017＝( )A.2 0142 015B.2 0132 015C.2 0152 016D.2 0142 016解析：选C 每条边有n 个点，所以三条边有3n 个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即a n ＝3n －3， 那么9a n a n ＋1＝9(3n －3)×3n ＝1(n －1)n ＝1n －1－1n， 则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 016a 2 017＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫12 015－12 016＝1－12 016＝2 0152 016. 4．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )A ．2 017×22 015B ．2 017×22 014C ．2 016×22 015D ．2 016×22 014解析：选B 当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20； 当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21； 当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22； 当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23；归纳推理得，当第一行为2 016个数时，最后一行仅一个数，为2 017×22 014. 5．(2017·武汉调研)执行如图所示的程序框图，若输入的x ＝2 017，则输出的i ＝________.解析：执行框图得a ＝2 017，i ＝1，b ＝11－2 017＝－12 016≠2 017，∴i ＝2，a ＝－12 016，b ＝11＋12 016＝2 0162 017≠2 017，∴i ＝3，a ＝2 0162 017，b ＝11－2 0162 017＝ 2 017＝x ， ∴输出的i ＝3. 答案：36．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝________.解析：1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍去，故1＋11＋11＋…＝1＋52.答案：1＋52。

回扣11 推理与证明、算法、复数1．复数的相关概念及运算法则 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类 ①z 是实数⇔b ＝0； ②z 是虚数⇔b ≠0； ③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )． (5)复数的运算法则)i ；)i ； 2(3)i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈Z )．(4)ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.3．程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示． (2)条件结构：如图(2)和图(3)所示． (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．4．推理推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论．合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程实验、观察―→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程实验、观察―→联想、类推5．证明方法(1)P表示已知条件、已有的定义、一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．1．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋b i，a，b∈R)．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项．3．在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“＞”的区别．4．解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应．5．类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比．用数学归纳法证明时，易盲目以为n 0的起始值n 0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n ＝k 成立的归纳假设．6．在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果．1．复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则复数z 的共轭复数为( ) A ．－1－3iB ．－1＋3iC ．1＋3iD ．1－3i 答案 A解析 ∵z (2－i)＝1＋7i ，∴z ＝1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋15i 5＝－1＋3i ，共轭复数为－1－3i.2．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3＋2i ，则z 1·z 2等于( ) A ．13iB ．－13iC ．13＋12iD ．12＋13i答案 A解析 z 1＝2＋3i ，z 1·z 2＝(2＋3i)(3＋2i)＝13i.3．用反证法证明命题：三角形的内角至少有一个钝角．假设正确的是( ) A ．假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角 C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 答案 C解析 原命题的结论为至少有一个钝角．则反证法需假设结论的反面．“至少有一个”的反面为“没有一个”，即假设没有一个钝角． 4．下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A ．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B ．所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电C ．高一参加军训有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 答案 B解析 A ．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质为类比推理．B ．所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电．由一般到特殊，为演绎推理．C ．高一参加军训有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人为归纳推理．D ．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式为归纳推理．5．z ＝m ＋i 1－i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 z ＝(m ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝m －1＋(m ＋1)i2，由于m －1＜m ＋1，故不可能在第四象限．6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，A C S S ＋16＝1112，n ＝8，判断否，输出S ，故n ≤6.7．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①，②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—分析法 B ．①—分析法，②—综合法 C ．①—综合法，②—反证法D．①—分析法，②—反证法答案 A解析根据已知可得该结构图为证明方法的结构图．由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线代表“推理与证明”中的思维方法是①—综合法，②—分析法．8．执行如图所示的程序框图，若输出的是n＝6，则输入整数p的最小值为( )A．15 B．16 C．31 D．32答案 B解析列表分析如下：是否继续循环S n循环前 0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 3第三圈是 7 4第四圈是 15 5第五圈是 31 6第六圈否故当S值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故p的最小正整数值为16.9．小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)，小明依次共答了10道题，设正确率依次为a1，a2，a3，…，a10.现有三种说法：①若a1＜a2＜a3＜…＜a10，则必是第一道题答错，其余题均答对；②若a1＞a2＞a3＞…＞a10，则必是第一道题答对，其余题均答错；③有可能a5＝2a10，其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 D解析①②显然成立，③前5个全答对，后5个全答错，符合题意，故选D.10．下列类比推理的结论不正确的是( )①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”； ②类比“设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列”，得到猜想“设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8成等比数列”； ③类比“平面内，垂直于同一条直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，垂直于同一条直线的两直线相互平行”；④类比“设AB 为圆的直径，P 为圆上任意一点，直线PA ，PB 的斜率存在，则k PA ·k PB 为常数”，得到猜想“设AB 为椭圆的长轴，P 为椭圆上任意一点，直线PA ，PB 的斜率存在，则k PA ·k PB 为常数”.A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④ 答案 B解析 ②等差数列中结论成立，而等比数列中T 4＝a 41·q 6，T 8T 4＝a 41·q 22，T 12T 8＝a 41·q 38也成立； ④由圆中k PA ·k PB 为－1，而类比到椭圆：k PA ·k PB ＝－a 2b 2或－b 2a2，也成立；①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”不成立，即a ·b ·c ≠a ·(b ·c )，这由向量数量积的定义决定的．③类比“平面内，垂直于同一条直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，垂直于同一条直线的两直线相互平行”不成立，空间中可能出现相交，异面的情况．故选B.11．图中的实心点个数1,5,12,22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1＝1，第2个五角形数记作a 2＝5，第3个五角形数记作a 3＝12，第4个五角形数记作a 4＝22，…，若按此规律继续下去，则a n ＝__________.答案 3n 2－n2解析 由题观察所给的图形，对应的点分别为1,1＋4,1＋4＋7,1＋4＋7＋10，…，可得点的个数为首项为1，公差为3的等差数列的和， 则a n ＝S n ＝n ＋3n (n －1)2＝3n 2－n2.12．在△ABC 中，AD 平分∠A 的内角且与对边BC 交于D 点，则BD CD ＝ABAC，将命题类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面ADE 平分二面角B －AD －C 且与对棱BC 交于E 点，则可得到的正确命题结论为________． 答案BE CE ＝S △ABDS △ACD解析 在△ABC 中，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE ＝DF ，所以AB AC ＝S △ABD S △ACD ＝BDCD，根据面积类比体积，长度类比面积可得V B －ADE V C －ADE ＝S △ABD S △ACD ，即BE CE ＝S △ABDS △ACD. 13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．答案 32－log 2(n ＋2)，由程序框图的计算公式，可得 S [log 2n －log 2(n ＋1)]＝1－log 2(n ＋1)，由S ＜－4＞5，解得n ＞31， 把截线换成如图的截面，这时从O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．答案 S 21＋S 22＋S 23＝S 24解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S21＋S22＋S23＝S24.15．复数z ＝(m 2＋3m －4)＋(m 2－10m ＋9)i(m ∈R )， (1)当m ＝0时，求复数z 的模；(2)当实数m 为何值时，复数z 为纯虚数；(3)当实数m 为何值时，复数z 在复平面内对应的点在第二象限？ 解 (1)当m ＝0时，z ＝－4＋9i ， ∴||z ＝(－4)2＋92＝97.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋3m －4＝0，m 2－10m ＋9≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4或m ＝1，m ≠9且m ≠1，即当m ＝－4时，复数z 为纯虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －4＜0，m 2－10m ＋9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4＜m ＜1，m ＜1或m ＞9，即当－4＜m ＜1时，复数z 在复平面内对应的点在第二象限．16．(1)tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1； (2)tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1. 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．解 若α，β，γ都不是90°，且α＋β＋γ＝90°，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan αtan γ＝1.。

专题17 复数-高考题专项练习一、单选题1．（2018·全国高考真题（文）） A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】根据公式，可直接计算得(23)32i i i +=-+ 【解析】 ，故选D ．【名师点睛】复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错． 2．（2018·全国高考真题（理）） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】 故选D ．3．（2019·全国高考真题（文））设，则= A ．2 B ． C ．D ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求． 【解析】因为，所以，所以，故选C ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．4．（2019·全国高考真题（理））设复数z 满足，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．22(1)1x y -+= C ．22(1)1y x +-= D ．22(+1)1y x +=【答案】C【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【解析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -=则22(1)1y x +-=．故选C ．【名师点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．5．（2020·浙江高考真题）已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a = A ．1 B ．–1 C ．2D ．–2【答案】C【解析】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，，故选C 6．（2020·全国高考真题（理））复数的虚部是 A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】利用复数的除法运算求出z 即可． 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数的虚部为．故选D ．【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题． 7．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4= A ．–4 B ．4 C ．–4i D ．4i【答案】A【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可． 【解析】．故选A ．【名师点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题． 8．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |= A ．0B ．1【答案】D【分析】由题意首先求得的值，然后计算其模即可． 【解析】由题意可得()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-．故．故选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题． 9．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则 A ．0 B ．1 C ． D ．2【答案】C【分析】先根据将化简，再根据向量的模的计算公式即可求出． 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题． 10．（2017·山东高考真题（文））已知i 是虚数单位，若复数z 满足，则= A ．-2i B ．2i C ．-2D ．2【答案】A【解析】由得22(i)(1i)z =+，即，所以，故选A ．【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．注意下面结论的灵活运用：（1）(1±i)2＝±2i ；（2）＝i ，＝－i ．11．（2017·全国高考真题（理））设有下面四个命题 ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，则． 其中的真命题为 A ．B ．【答案】B【解析】令i(,)z a b a b R =+∈，则由2211i i a b z a b a b-==∈++R 得，所以，故正确；当时，因为22i 1z ==-∈R ，而知，故不正确； 当时，满足，但，故不正确；对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B ．【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b R =+∈的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可．12．（2017·北京高考真题（文））若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A ．（–∞，1） B ．（–∞，–1） C ．（1，+∞） D ．（–1，+∞）【答案】B【解析】设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得，故选B ．【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量． 13．（2018·全国高考真题（文））设，则 A ． B ． C ．D ．【答案】C【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模． 【解析】()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+，则，故选C ． 【名师点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．14．（2019·北京高考真题（理））已知复数z=2+i，则A．B．C．3D．5【答案】D【分析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得．【解析】因为z2i,z z(2i)(2i)5=+⋅=+-=故选D．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题．．15．（2018·浙江高考真题）若复数，其中i为虚数单位，则 =A．1+i B．1−iC．−1+i D．−1−i【答案】B【解析】22(1i)1i,1i1i(1i)(1i)z z+===+∴=---+，选B．【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目．从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一．16．（2019·全国高考真题（理））设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】先求出共轭复数再判断结果．【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．17．（2019·全国高考真题（文））设z=i(2+i)，则=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i【答案】D【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．【解析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以，选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．18．（2020·北京高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则． A ． B ． C ．D ．【答案】B【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果． 【解析】由题意得，．故选B ．【名师点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题．19．（2020·海南高考真题）= A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=，故选B. 20．（2020·海南高考真题） A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i【答案】D【分析】根据复数除法法则进行计算． 【解析】，故选D.【名师点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题． 21．（2017·全国高考真题（理））复数等于 A ． B ． C ．D ． 【答案】D【解析】＝2－i ．故选D ．【名师点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数常考的还有几何意义，z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作．22．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，则 A ．1或 B ．或 C ．D ．【答案】A【解析】由,4z a z z =+⋅=得，所以，故选A ．【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此结合已知条件，求得的方程即可．23．（2017·全国高考真题（文））（2017新课标全国卷II （文）） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】由题意，故选B ．【名师点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(+)i(,,,)ad bc a b c d R ∈． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b R ∈的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．24．（2017·全国高考真题（文））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】i(2i)12i z =-+=--，则表示复数i(2i)z =-+的点位于第三象限． 所以选C ．【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如．其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数i(,)a b a b +∈R 的实部为、虚部为、模为、对应的点为、共轭复数为25．（2017·全国高考真题（理））(2017高考新课标III ，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ． B ． C ． D ．2【答案】C【解析】由题意可得，由复数求模的法则可得，则．故选C ． 【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有： （1）1212z z z z ±=±；（2）1212z z z z ⨯=⨯；（3）； （4）；（5）；（6）．26．（2018·全国高考真题（理）） A ． B ． C ．D ． 【答案】D【分析】根据复数除法法则化简复数，即得结果．【解析】212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D ．【名师点睛】本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力． 二、填空题1．（2017·天津高考真题（文））已知，为虚数单位，若为实数，则的值为________． 【答案】-2 【解析】为实数， 则．【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数(,)z a bi a b R =+∈，当时，为虚数，当时，为实数，当0,0a b =≠时，为纯虚数． 2．（2019·江苏高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是________． 【答案】2【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值． 【解析】， 令得．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．3．（2017·上海高考真题）已知复数满足，则________． 【答案】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案． 【解析】由，得，设(,)z a bi a b R =+∈， 由得，即，解得， 所以，则．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力．4．（2019·浙江高考真题）复数（为虚数单位），则________． 【答案】【分析】本题先计算，而后求其模．或直接利用模的性质计算． 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查．【解析】1|||1|2z i ===+． 5．（2018·天津高考真题（理））i 是虚数单位，复数________． 【答案】4–i【分析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果． 【解析】由复数的运算法则得．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．6．（2019·上海高考真题）设为虚数单位，，则的值为________． 【答案】【分析】把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可．【解析】由365z i i -=+，得366z i =+，即 ，本题正确结果：【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 7．（2019·天津高考真题（文））是虚数单位，则的值为________． 【答案】【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【解析】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-． 8．（2018·上海高考真题）已知复数满足()117i z i +=-（是虚数单位），则________． 【答案】5【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解析】由（1+i ）z=1﹣7i ，得()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，则|z|=5=．故答案为5．【名师点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 9．（2020·江苏高考真题）已知是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是________． 【答案】3【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值． 【解析】因为复数，所以2223z i i i i =-+-=+， 所以复数的实部为3．故答案为3．10．（2020·天津高考真题）是虚数单位，复数________． 【答案】【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果．【解析】()()()()8281510322225i i i ii i i i ----===-++-．故答案为． 11．（2020·全国高考真题（理））设复数，满足，，则=________． 【答案】【分析】方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果．方法二：设复数所对应的点为，12OP OZ OZ =+， 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算．【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=，，又，所以，，，2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-==．故答案为．方法二：如图所示，设复数所对应的点为，12OP OZ OZ =+，由已知，所以平行四边形为菱形，且都是正三角形，所以12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-= 所以．【名师点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题．方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解12．（2017·江苏高考真题）已知复数z=（1+i ）（1+2i ），其中i 是虚数单位，则z 的模是________．【答案】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解析】复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，所以|z |==【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．13．（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【分析】先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果． 【解析】因为，则12i 2i iz +==-，则的实部为． 【名师点睛】本题重点考查复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b ∈R 的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．三、双空题1．（2017·浙江高考真题）已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则________，ab =________．【答案】5， 2【解析】由题意可得，则，解得，则225,2a b ab +==．【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为、虚部为、模为、对应点为（，）、共轭为等．。

2018年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，选出正确答案，并写在答题纸上）1．已知集合A={x|}，B={x||x﹣1|≤2}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1）∪[2，3）B．[﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪[2，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．若纯虚数（a+i）2（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x﹣y+1=0的下方，则实数a 的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．3．若m∈R，则“log6m=﹣1”是“直线l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图所示的程序框图，若执行后的结果是，则在①处应填写的是（）A．i≤3 B．i≤4 C．i≤5 D．i≤65．已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（）A．B．C．D．6．等差数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3+a5+a7为（）A．3 B．5 C．8 D．97．若双曲线x=1（b＞0）的一条渐近线与圆x=1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．[2，+∞）C．（1，] D．[）8．设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），已知关于x的五个方程及其相异实根个数如下表所示：方程根的个数方程根的个数f（x）﹣5=0 1 f（x）+4=0 3f（x）﹣3=0 3 f（x）+6=0 1f（x）=0 3若α为关于f（x）的极大值﹐下列选项中正确的是（）A．﹣6＜a＜﹣4 B．﹣4＜a＜0 C．0＜a＜3 D．3＜a＜59．经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则•等于（）A．﹣3 B．﹣C．﹣或﹣3 D．±10．若函数y=cos（ωx+）（ω＞0，x∈[0，2π]）的图象与直线y=无公共点，则（）A．0＜ω＜ B．0＜ω＜ C．0＜ω＜D．0＜ω＜11．设曲线f（x）=在点P（x，f（x））处的切线在y轴上的截距为b，则当x∈（1，+∞）时，b的最小值为（）A．e B．C．D．12．已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2=2，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为AB，AD的中点，O为坐标原点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（）A．[﹣5，5] B．[﹣，5] C．[﹣5，] D．[﹣]二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题纸对应的位置上）13．若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是．14．若△ABC的三条边a，b，c所对应的角分别为A，B，C，且面积S△ABC=（b2+c2﹣a2），则角A= ．15．假设在10秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等第进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差大于3秒，手机就会不受到干扰，则手机不受到干扰的概率为．16．正三棱锥P﹣ABC中，有一半球，某底面所在的平面与正三棱锥的底面所在平面重合，正三棱锥的三个侧面都与半球相切，如果半球的半径为2，则当正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于．三、解答题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足S n=（1﹣a n）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=na n，求证：b1+b2+…+b n＜．18．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．（3）求AF与平面BFC所成角的正弦值．19．某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图．跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队．（Ⅰ）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在[160，170）（单位：cm）内的运动员人数b；（Ⅱ）在甲、乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；（Ⅲ）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望．20．如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=﹣1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y 轴上某定点．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，a，b∈E，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）若0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号涂黑选修4-1：几何证明选讲22．如图，△ABC为圆的内接三角形，AB=AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；（2）若AE=6，BD=5，求线段CF的长．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）是判断曲线C1与C2是否存在两个交点，若存在求出两个交点间的距离；若不存在，说明理由．六、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|（I）解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|≤．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，选出正确答案，并写在答题纸上）1．已知集合A={x|}，B={x||x﹣1|≤2}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1）∪[2，3）B．[﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪[2，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】本题是求两个集合的交集的运算，本题中的集合是数集，解此类题一般要先对所涉及到的集合进行化简，然后再依据其在数轴上的位置求公共部分．【解答】解：对于B：|x﹣1|≤2，可得﹣2≤x﹣1≤2，即﹣1≤x≤3，可得B={x|﹣1≤x≤3}，对于A：，可得（x﹣2）（x﹣3）＞0，即x＜2或x＞3，集合A={x|x＜2或x＞3}，故A∩B=[﹣1，2），故选：B．【点评】本题考点是交集及其运算，考查依据数轴计算两个集合公共部分的能力，做此类题的步骤一般是：①对涉及到的两个集合化简；②在数轴上作出两个集合的图象；③由数轴上的位置给出其交集．2．若纯虚数（a+i）2（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x﹣y+1=0的下方，则实数a 的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】直线与圆；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义可得a，再利用线性规划的有关知识即可得出a．【解答】解：（a+i）2=a2﹣1+2ai为纯虚数，∴，解得a=±1，∴纯虚数（a+i）2（i为虚数单位）在复平面内对应的点为（0，±2），∵所对应的点在直线x﹣y+1=0的下方，应该满足x﹣y+1＞0，∴取（0，﹣2），∴a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、线性规划的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．若m∈R，则“log6m=﹣1”是“直线l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据直线平行的等价条件求出m，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由log6m=﹣1得m=，若l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得m=0或m=，则“log6m=﹣1”是“直线l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件是解决本题的关键．4．如图所示的程序框图，若执行后的结果是，则在①处应填写的是（）A．i≤3 B．i≤4 C．i≤5 D．i≤6【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据条件，进行模拟运行，找到满足输出结果为的条件即可．【解答】解：第一次循环，i=1，满足条件，A==，i=2，第二次循环，i=2，满足条件，A=，i=3，第三次循环，i=3，满足条件，A=，i=4，第四次循环，i=4，满足条件，A==，i=5，此时i=5，不满足条件，程序终止，输出A=，即当i=1，2，3，4时，满足条件，当i=5时，不满足条件．则条件应该为i≤4，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序条件进行模拟是解决本题的关键．5．已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用该几何体的底面边长为2，侧棱长为，可得该几何体的高为，底面正六边形平行两边之间的距离为2，即可得出结论．【解答】解：∵该几何体的底面边长为2，侧棱长为，∴该几何体的高为=，底面正六边形平行两边之间的距离为2，∴该几何体的侧视图可能是C，故选：C．【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，比较基础．6．等差数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3+a5+a7为（）A．3 B．5 C．8 D．9【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，即得a5的值．再根据等差数列的性质求得a3+a5+a7的值．【解答】解：二项式（﹣）6展开式的通项公式为T r+1=．令6﹣3r=0，r=2，故展开式的常数项为T3=．由题意可得，等比数列{a n}的第5项为展开式的常数项，即a5=，∴a3+a5+a7=3a5=5，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．等差数列的性质应用，属于中档题．7．若双曲线x=1（b＞0）的一条渐近线与圆x=1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．[2，+∞）C．（1，] D．[）【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】由已知得圆心（0，）到渐近线y=bx的距离：d=≥1，由此能求出双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：圆x2+（y﹣）2=1的圆心（0，），半径r=1．∵双曲线x=1（b＞0）的一条渐近线y=bx与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴圆心（0，）到渐近线y=bx的距离：d=≥1，化为b2≤2．∴e2=1+b2≤3，∵e＞1，∴1＜e≤，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，]．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意圆、双曲线的性质的简单运用．8．设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），已知关于x的五个方程及其相异实根个数如下表所示：方程根的个数方程根的个数f（x）﹣5=0 1 f（x）+4=0 3f（x）﹣3=0 3 f（x）+6=0 1f（x）=0 3若α为关于f（x）的极大值﹐下列选项中正确的是（）A．﹣6＜a＜﹣4 B．﹣4＜a＜0 C．0＜a＜3 D．3＜a＜5【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】数形结合；导数的综合应用．【分析】方程f（x）﹣k=0的相异实根数可化为方程f（x）=k的相异实根数，方程f（x）=k的相异实根数可化为函数y=f（x）与水平线y=k两图形的交点数﹒则依据表格可画出其图象的大致形状，从而判断极大值的取值范围．【解答】解﹕方程f（x）﹣k=0的相异实根数可化为方程f（x）=k的相异实根数，方程f（x）=k的相异实根数可化为函数y=f（x）与水平线y=k两图形的交点数﹒依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕（1）当a为正时，如右：（2）当a为负时，如下：因极大值点a位于水平线y=3与y=5之间﹐所以其y坐标α（即极大值）的范围为3＜α＜5﹒故选：D﹒【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的应用及数形结合思想的应用，属于中档题．9．经过椭圆+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则•等于（ ）A ．﹣3B ．﹣C ．﹣或﹣3D ．±【考点】椭圆的应用． 【专题】计算题．【分析】先根据椭圆方程求得焦点坐标，进而设出直线l 的方程，与椭圆方程联立消去y ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），根据韦达定理求得x 1•x 2和x 1+x 2的值，进而根据直线方程求得y 1y 2的值，最后根据向量的计算法则求得答案．【解答】解：由+y 2=1，得a 2=2，b 2=1，c 2=a 2﹣b 2=1，焦点为（±1，0）．直线l 不妨过右焦点，倾斜角为45°，直线l 的方程为y=x ﹣1．代入+y 2=1得x 2+2（x ﹣1）2﹣2=0，即3x 2﹣4x=0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1•x 2=0，x 1+x 2=，y 1y 2=（x 1﹣1）（x 2﹣1）=x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1=1﹣=﹣，•=x 1x 2+y 1y 2=0﹣=﹣．故选B【点评】本题主要考查了椭圆的应用．当涉及过叫焦点的直线时，常需设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理来解决．10．若函数y=cos （ωx+）（ω＞0，x ∈[0，2π]）的图象与直线y=无公共点，则（ ）A ．0＜ω＜B ．0＜ω＜C ．0＜ω＜D ．0＜ω＜【考点】余弦函数的图象． 【专题】三角函数的图像与性质．【分析】首先，化简函数解析式，得到y=﹣sin ωx ，然后，结合给定的区间，确定ω的临界值，最后确定其范围．【解答】解：∵y=cos （ωx+）=﹣sin ωx ， ∴y=﹣sin ωx ，当x=2π时，﹣sin （2πω）=，∴2πω=，∴ω=，∵函数y=cos （ωx+）（ω＞0，x ∈[0，2π]）的图象与直线y=无公共点，∴0，故选：C ．【点评】本题重点考查了诱导公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．11．设曲线f （x ）=在点P （x ，f （x ））处的切线在y 轴上的截距为b ，则当x ∈（1，+∞）时，b 的最小值为（ ）A ．eB ．C ．D ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的综合应用．【分析】求出f （x ）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，可得切线斜率，由直线的斜率公式可得b=，x ＞1．再由导数，求得单调区间和极小值，即为最小值．【解答】解：函数的导数f ′（x ）==，则点P（x，f（x））处的切线斜率k=f′（x）=，则切线方程为Y﹣=（X﹣x），令X=0，则Y=•（﹣x）+，即b=•x+=，则b′===，当x＞1时，lnx＞0，由b′=＜0得1＜x＜e2，此时函数单调递减，由b′=＞0得x＞e2，此时函数单调递增，故当x=e2时，函数取得极小值同时也是最小值，此时b==，故选：D【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在该点处切线的斜率，主要考查运用导数判断单调区间和极值、最值，正确求导是解题的关键．12．已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2=2，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为AB，AD的中点，O为坐标原点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（）A．[﹣5，5] B．[﹣，5] C．[﹣5，] D．[﹣]【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，==5.=1．由已知可得=0，，因此==﹣5，由于∈[0，π]，即可得出．【解答】解：如图所示，==5．=1．∵，∴=0，∵，∴=•=+==﹣=﹣5，∵∈[0，π]，∴∈[﹣5，5]．故选：A．【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的标准方程、向量三角形法则、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题纸对应的位置上）13．若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是 2 ．【考点】微积分基本定理．【专题】计算题．【分析】根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值；【解答】解：=（x2+lnx）=a2+lna﹣（1+ln1）=3+ln2，a＞1，∴a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，故答案为：2；【点评】此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一道基础题．14．若△ABC的三条边a，b，c所对应的角分别为A，B，C，且面积S△ABC=（b2+c2﹣a2），则角A= ．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】根据余弦定理得b2+c2﹣a2=2bccosA，根据三角形的面积公式S=bcsinA和题意求出tanA，根据A的范围和特殊角的三角函数值求出A的值．【解答】解：由余弦定理得，b2+c2﹣a2=2bccosA，因为S△ABC=（b2+c2﹣a2），所以bcsinA=×2bccosA，则sinA=cosA，即tanA=1，又0＜A＜π，则A=，故答案为：．【点评】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，注意内角的范围．15．假设在10秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等第进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差大于3秒，手机就会不受到干扰，则手机不受到干扰的概率为．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤10，0≤y≤10．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x﹣y|≤3．则该事件即为x﹣y=3和y﹣x=3在0≤x≤10，0≤y≤10的正方形中围起来的图形，即图中阴影区域，而所有事件的集合即为正方型面积102=100，阴影部分的面积2×（10﹣3）2=49，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机不受到干扰的概率为．故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．16．正三棱锥P﹣ABC中，有一半球，某底面所在的平面与正三棱锥的底面所在平面重合，正三棱锥的三个侧面都与半球相切，如果半球的半径为2，则当正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于2．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】导数的综合应用；空间位置关系与距离．【分析】画出图形，设三棱锥的高PO=x，底面△ABC的AB边上的高CD=y，求出x，y的关系，推出体积的表达式，利用函数的导数求出函数的最小值，即可求出高的值．【解答】解：根据题意，画出图形如下，其中，立体图形只画出了半球的底面．设三棱锥的高PO=x，底面△ABC的AB边上的高CD=3•OD=3y在纵切面图形可看出，Rt△PEO∽Rt△POD，则=，而PD=，即=，整理得x2y2=x2+4y2，所以 y2=，而三棱锥P ﹣ABC 的体积等于×底面△ABC 的面积×高PO ，即V=××AB ×CD ×PO=××2y ×3y ×x=y 2x=，对体积函数求导，得V ′=，令V ′=0，解得唯一正解 x=2，由该体积函数的几何意义可知 x=2为其体积最小值点，故三棱锥体积最小时V min =6，高为2．故答案为：2．【点评】本题考查几何体的内接球的问题，函数的导数的应用，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n =（1﹣a n ）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n =na n ，求证：b 1+b 2+…+b n ＜． 【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式． 【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a n }是以为首项，为公比的等比数列，从而可求数列{a n }的通项公式； （2）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．【解答】（1）解：∵S n =（1﹣a n ），∴n ≥2时，S n ﹣1=（1﹣a n ﹣1）．两式相减可得a n =（a n ﹣1﹣a n ），∴∵n=1时，a 1=S 1=（1﹣a 1），∴a 1=∴数列{a n }是以为首项，为公比的等比数列∴a n ==；（2）证明：b n =na n =n •令T n =b 1+b 2+…+b n ，即T n =1•+2•+…+n •∴T n =1•+2•+…+（n ﹣1）•+n •两式相减可得T n =1•+1•+1•+ (1)﹣n •=﹣n •=﹣n •∴T n =﹣•，∴T n ＜．【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的判定，考查数列的求和，考查不等式的证明，属于中档题．18．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ； （2）求二面角A ﹣FC ﹣B 的余弦值． （3）求AF 与平面BFC 所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）要证AC⊥平面BDEF，只要证AC垂直于平面BDEF内的两条相交直线即可，设AC与BD相交于点O，连结FO，由已知FA=FC可得AC⊥FO，再由ABCD为菱形得到AC⊥BD，则由线面垂直的判定定理得到答案；（2）由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出二面角A﹣FC﹣B的两个面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案；（3）求出向量的坐标，直接用向量与平面BFC的法向量所成角的余弦值求得AF与平面BFC 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．又FA=FC，所以AC⊥FO．因为FO∩BD=O，所以AC⊥平面BDEF．（2）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以OB=1，．所以．所以，．设平面BFC的法向量为，则有，所以，取x=1，得．由图可知平面AFC的法向量为．由二面角A﹣FC﹣B是锐角，得=．所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为；（3）解：，平面BFC的法向量，所以=．则．【点评】本题考查了直线和平面垂直的性质，考查了利用空间向量求线面角和面面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．19．某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图．跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队．（Ⅰ）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在[160，170）（单位：cm）内的运动员人数b；（Ⅱ）在甲、乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；（Ⅲ）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，成绩在190cm以上的运动员频率为0.05，频数为2，由此能求出全体运动员总人数a，由成绩在[160，170）内的频率求出运动员人数，再减去甲队人数，能求出乙队人数b．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，全体队员中成绩在180cm以上的共有10人，其中成绩为“优秀”的有6人．由此能求出至少有1人成绩为“优秀”的条件下两人成绩均“优秀”的概率．（Ⅲ）由题设条随机变量X所有可能取值为0，1，2．分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），由此能求出X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，成绩在190cm以上的运动员频率为0.005×10=0.05，所以全体运动员总人数a==40（人），乙队中成绩在[160，170）内的运动员人数b=40×0.3﹣3=9．（人）．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，乙队成绩在180cm以上的没有丢失，全体队员中成绩在180cm以上的共有10人，其中成绩为“优秀”的有6人．设至少有一人成绩“优秀”为事件A，两人成绩均“优秀”为事件B，则P（B|A）====．（Ⅲ）成绩“优秀”的运动员共6人，甲队4人，乙队2人．随机变量X所有可能取值为0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）===，∴X的分布列为：X 0 1 2P数学期望EX==．【点评】分布列是求出数学期望的前提，因而需写好分布列，而分布列关键是求出概率，当写完分布列，可以结合概率总和为1的特点检验分布列是否正确．20．如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=﹣1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y 轴上某定点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，从而可得B（4，12），利用B在x2=2py （p＞0）上，可求抛物线E的方程；（2）由（1）知，，，设P（x0，y0），可得l：，与y=﹣1联立，求得取x0=2，x0=1，猜想满足条件的点M存在，再进行证明即可．【解答】解：（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12∵B（4，12）在x2=2py（p＞0）上，∴∴p=2，∴抛物线E的方程为x2=4y；（2）由（1）知，，设P（x0，y0），则x0≠0．l：即由得，∴取x0=2，此时P（2，1），Q（0，﹣1），以PQ为直径的圆为（x﹣1）2+y2=2，交y轴于点M1（0，1）或M2（0，﹣1）取x0=1，此时P（1，），Q（﹣，﹣1），以PQ为直径的圆为（x+）2+（y+）2=2，交y轴于点M3（0，1）或M4（0，﹣）故若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），证明如下∵∴=2y0﹣2﹣2y0+2=0故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）．【点评】本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，a，b∈E，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）若0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）f′（x）=﹣aln（x+1）+﹣b，根据条件知f′（0）=0，解出即可．（2）由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，0≤x≤1．f′（x）﹣aln（x+1）+﹣1，令g（x）=f′（x），g′（x）=﹣．对a分类讨论，研究函数g（x）的单调性极值与最值，进而得出函数f（x）的极值与最值．【解答】解：（1）f′（x）=﹣aln（x+1）+﹣b，根据条件知f′（0）=0，∴1﹣b=0，解得b=1．（2）由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，0≤x≤1．f′（x）﹣aln（x+1）+﹣1，令g（x）=f′（x），g′（x）=+=﹣．①当a≤时，由于0≤x≤1，有g′（x）=﹣≥0，于是f′（x）在[0，1]上单调递增，从而f′（x）≥f′（0）=0，因此f（x）在[0，1]上单调递增，即f（x）≥f（0）=0，而且仅有f（0）=0；②当a≥0时，由于0≤x≤1，有g′（x）=＜0，于是f′（x）在[0，1]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，1]上单调递减．即f（x）≤f（0）=0，而且仅有f（0）=0；③当时，令m=min，当0≤x≤m时，g′（x）≤0，于是f′（x）在[0，m]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）=0，而且仅有f（0）=0．综上可知，所求实数a的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号涂黑选修4-1：几何证明选讲22．如图，△ABC为圆的内接三角形，AB=AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；（2）若AE=6，BD=5，求线段CF的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（1）由已知条件推导出∠ABC=∠BAE，从而得到AE∥BC，再由BD∥AC，能够证明四边形ACBE为平行四边形．（2）由已知条件利用切割线定理求出EB=4，由此能够求出CF=．【解答】（1）证明：∵AE与圆相切于点A，∴∠BAE=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠BAE，∴AE∥BC，∵BD∥AC，∴四边形ACBE为平行四边形．（2）解：∵AE与圆相切于点A，∴AE2=EB•（EB+BD），即62=EB•（EB+5），解得EB=4，根据（1）有AC=EB=4，BC=AE=6，设CF=x，由BD∥AC，得，∴，解得x=，∴CF=．【点评】本题考查平行四边形的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）是判断曲线C1与C2是否存在两个交点，若存在求出两个交点间的距离；若不存在，说明理由．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程．（2）利用（1）的结论进一步联立方程组根据判别式和根和系数的关系，求出弦长．。

总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分______1.练高考1. 【2016年高考北京理数】执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B2. 【2016高考新课标3理数】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C) (D) i - 【答案】C 【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ．3. 【2016高考天津理数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】24. 【2016高考山东理数】执行右边的程序框图，若输入的a,b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________.【答案】3 【解析】第一次循环：a 1,b 8==；第二次循环：a 3,b 6==；第三次循环：a 6,b 3==；满足条件，结束循环，此时，i 3=.5.【2016年高考北京理数】设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________. 【答案】1-. 【解析】(1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-，故填：1-.6. 【2016高考上海理数】若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.【答案】（1）316a =．（2）{}n a 不具有性质P ．（3）见解析．2.练模拟1.【山西大学附中2017届高三第二次模拟】已知是虚数单位，若复数22aiZ i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ）A ．-2B ．1C ．2D ．3 【答案】A 【解析】()()()()2224(22)2225ai i ai a a ii i i +-+++-==++-，对应点在第四象限，故40220a a +>⎧⎨-<⎩，A 选项正确.2.【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测】某程序框图如图2所示，若3n =，01a =，12a =，233,2a a ==-，2x =.则该程序运行后输出的值为（ ）A ．1B ．0 C.-1 D ．2【答案】A3.【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试】阅读如图所示的程序如图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（ ）A ．6n =B ．6n <C ．6n ≤D ．8n ≤【答案】C 【解析】0,2S n ==，判断是，1,42S n ==，判断是，113,6244S n =+==，判断是，11111,824612S n =++==，判断否，输出S ，故填6n ≤.4.【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断】设是虚数单位，则复数43iiz -=的虚部为（ ）A ． 4iB ． 4C ． 4i -D ．4-【答案】D 【解析】 因为243i i(43i)34i i i z --===--，其虚部为4-，故选D ． 5.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)(133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 . 【答案】465.3.练原创1.已知为虚数单位，R a ∈，若ia i+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于（ ） A ．2 B ．3 C ．11 D ．6 【答案】D 【解析】 因为()()()()()2221221i a i a a i i a i a i a i a ----+-==++-+是纯虚数，所以，12102a a -=⇒=所以，21z a =++，故选D.2．已知实数[]1,9x ∈，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为（ ） A.58B.38C.23D.13【答案】B.【解析】由程序框图，得：7812,3412,1223121+=+=+=+=+=x x x x x x x x ；且输出的结果为78+x ；令5578≥+x ，则6≥x ；又因为[]1,9x ∈，96≤≤∴x ，则几何概型的概率公式，得831969=--=P . 3.执行下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的S 属于区间 .【答案】-3，4]4.己知2(,)a ib i a b R i+=+∈．其中i 为虚数单位，则a+b=（ ） A.-1 B. 1 C. 2 D ．3 【答案】B 【解析】由已知得2()1a i b i i bi +=+=-+，根据复数相等的条件得1,2a b =-=，故1a b +=． 5.定义函数{}{}()f x x x =⋅，其中{}x 表示不小于的最小整数，如{}1.52=，{}2.52-=-.当(]0,x n ∈，*n N ∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则12111na a a +++= ________． 【答案】21nn +。

2018届高考数学二轮复习：推理与证明+单元测试（A ）时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．已知a <b <0，下列不等式中成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab <1 C ．a <4－bD ．1a <1b2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋23．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( ) A ．2 n ＋1 2B ．2n n ＋1C ．22n －1D ．22n －14．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，则第100项为( )A ．10B ．14C ．13D ．1005．(2015·大连高二检测)用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D ，这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)7．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a 、b 、c 的值为( ) A ．a ＝12，b ＝c ＝14 B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c8．已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，f 4(x )＝f 3′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，则f 2016(x )等于( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos xD ．－cos x9．已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列10．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是( )A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 中至多有一个是偶数D ．假设a 、b 、c 中至多有两个偶数11．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－bC ．1bD ．－1b12．已知f (x )＝x 3＋x ，a 、b 、c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( ) A ．一定大于零 B ．一定等于零 C ．一定小于零D ．正负都有可能第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．“因为AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC 、BD 互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________. 14．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.15．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“t ≠0，mt ＝nt ⇒m ＝n ”类比得到“c ≠0，a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b ”； ④“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑤“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b ”．以上类比得到的结论正确的是________. 16．(2015·天津和平区高二期中)观察下列等式：1＝1 13＝1 1＋2＝3 13＋23＝9 1＋2＋3＝6 13＋23＋33＝361＋2＋3＋4＝10 13＋23＋33＋43＝100 1＋2＋3＋4＋5＝15 13＋23＋33＋43＋53＝225 … …可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________.(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(本题满分10分)观察下面所示的“三角数阵”12 234 3 477 451114115第1行第2行第3行第4行第5行…………记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．18．(本题满分12分)已知函数f(x)＝a x＋x－2x＋1(a>1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．19．(本题满分12分)已知椭圆具有以下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为k PM、k PN，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线x2a2－y2b2＝1写出具有类似的性质，并加以证明．20．(本题满分12分)已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边．求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.21．(本题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．22．(本题满分12分)(2014·哈六中期中)已知函数f (x )＝(x －2)e x－12x2＋x ＋2.(1)求函数f (x )的单调区间和极值； (2)证明：当x ≥1时，f (x )>16x 3－12x .章末检测（A ） 答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分) 1． [答案] C[解析] 令a ＝－2，b ＝－1，满足a <b <0，则a 2>b 2，a b ＝2>1，1a >1b ，故A 、B 、D 都不成立，排除A 、B 、D ，选C ． 2． [答案] C[解析] 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2. 3． [答案] B[解析] a 2＝S 2－S 1＝22a 2－1，∴a 2＝13，a 3＝S 3－S 2＝32·a 3－22·a 2＝9a 3－4×13，∴a 3＝16.a 4＝S 4－S 3＝42·a 4－32a 3＝16a 4－9×16，∴a 4＝110.由此猜想a n ＝2n n ＋1 .4． [答案] B[解析] 设n ∈N *，则数字n 共有n 个， 所以n n ＋1 2≤100即n (n ＋1)≤200， 又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14. 5． [答案] B[解析] 因为②⇒①，所以①是②的必要条件． 6． [答案] A[解析] 若满足题目中的条件，则f (x )在(0，＋∞)上为减函数，在A 、B 、C 、D 四选项中，由基本函数性质知，A 是减函数，故选A ． 7． [答案] A[解析]令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧3 a －b ＋c ＝19 2a －b ＋c ＝727 3a －b ＋c ＝34，所以a ＝12，b ＝c ＝14. 8． [答案] A[解析] 由已知，有f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…，可以归纳出：f 4n (x )＝sin x ，f 4n ＋1(x )＝cos x ，f 4n ＋2(x )＝－sin x ，f 4n ＋3(x )＝－cos x (n ∈N *)．所以f 2016(x )＝f 4(x )＝sin x . 9． [答案] A[解析] ∵对∀n ∈N *总有c n ∥b n ，则存在实数λ≠0，使c n ＝λb n ，∴a n ＝λn ，∴{a n }是等差数列． 10． [答案] B[解析] 对命题的结论“a 、b 、c 中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a 、b 、c 都不是偶数”．因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”． 11． [答案] B[解析] f (x )定义域为(－1,1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b . 12． [答案] A[解析] f (x )＝x 3＋x 是奇函数，且在R 上是增函数， 由a ＋b >0得a >－b ，所以f (a )>f (－b )，即f (a )＋f (b )>0， 同理f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0， 所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．[答案] 菱形对角线互相垂直且平分 14．[答案] x2n－1 x ＋2n[解析] 由已知可归纳如下：f 1(x )＝x21－1 x ＋21， f 2(x )＝x 22－1 x ＋22，f 3(x )＝x23－1 x ＋23， f 4(x )＝x 24－1 x ＋24，…， f n (x )＝x 2n －1 x ＋2n .15． [答案] ①②[解析] ①②都正确；③⑥错误，因为向量不能相除；④可由数量积定义判断，所以错误；⑤向量中结合律不成立，所以错误．16．[答案] n 2 n ＋1 24 [解析] 由条件可知：13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不难得出．13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2 ＝[n n ＋1 2]2＝n 2 n ＋1 24. 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．[分析] 观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果． (2)由数阵可直接写出答案．(3)写出a 3－a 2，a 4－a 3，a 5－a 4，从而归纳出(3)的结论．[解析] 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数． (1)6,16,25,25,16,6.(2)a 2＝2，a 3＝4，a 4＝7，a 5＝11. (3)∵a 3＝a 2＋2，a 4＝a 3＋3，a 5＝a 4＋4， 由此归纳：a n ＋1＝a n ＋n . 18．[解析] 设x 1，x 2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－ax 2－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋3 x 1－x 2x 1＋1 x 2＋1 .∵a >1，且x 1<x 2，∴ax 1<ax 2，x 1－x 2<0. 又∵x 1>－1，x 2>－1， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 19．[解析] 类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值． 证明如下：设点M 、P 的坐标为(m ，n )、(x ，y )，则 N (－m ，－n )．∵点M (m ，n )在已知双曲线上，∴n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b2a 2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．20．[分析] 利用分析法得出c 2＋a 2＝b 2＋ac ，再利用综合法证明其成立． [解析] 要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3.化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， 即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立． 21．[解析] (1)设等差数列公差为d ， 则3a 1＋3×22d ＝9＋32，解得d ＝2，∴a n ＝1＋2＋(n －1)×2＝2n ＋2－1， S n ＝1＋2＋2n ＋2－12n ＝n (n ＋2)． (2)b n ＝S nn ＝n ＋ 2.用反证法证明．设b n ，b m ，b k 成等比数列(m ，n ，k 互不相等)，则b n b k ＝b 2m ，即(n ＋2)(k ＋2)＝(m ＋2)2，整理得：nk －m 2＝2(2m －n －k )，左边为有理数，右边是无理数，矛盾，故任何不同三项都不可能成等比数列． 22．[解析] (1)f ′(x )＝(x －1)(e x －1)，当x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减， 当x ＝0时，f (x )有极大值f (0)＝0，当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝52－e .(2)设g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ，则g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)， 令u (x )＝e x－x 2－32，则u ′(x )＝e x－12，当x ≥1时，u ′(x )＝e x－12>0，u (x )在[1，＋∞)上单调递增，u (x )≥u (1)＝e－2>0，所以g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)≥0，g (x )＝f (x )－16x 3＋12x 在[1，＋∞)上单调递增．g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ≥g (1)＝176－e >0， 所以f (x )>16x 3－12x .2018届高考数学二轮复习：推理与证明+单元测试（B ）时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1． 由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n 2用的是( )A ．归纳推理B ．演绎推理C ．类比推理D ．特殊推理2． 在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( )A ．三角形的中位线平行于第三边B ．三角形的中位线等于第三边的一半C ．EF 为中位线D ．EF ∥BC3．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数4．已知f(x＋1)＝2f xf x ＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()A.42x＋2B.2 x＋1C.1x＋1D.2 2x＋15．已知①正方形的对角线相等，②矩形的对角线相等，③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是()A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．正方形是矩形D．其他6．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为()A．0个B．1个C ．2个D ．3个7． 我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( )①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8． 数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 013等于( )A.12B ．－1C ．2D ．39． 定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且f (x )在(2，＋∞)上为增函数．已知x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能等于0D ．可正也可负第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)10．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为_________．11．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n 个图有a n 个“树枝”，则a n ＋1与a n (n ≥2)之间的关系是______．12．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AEEB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 13．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立：(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．14．1，3，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．15．设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．16．设a ，b ，c 为一个三角形的三边，s ＝12(a ＋b ＋c )，且s 2＝2ab ，试证：s <2a .17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2－S n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值并写出其通项公式； (2)用三段论证明数列{a n }是等比数列．18．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c 成等差数列． (1)比较b a 与cb 的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B 不可能是钝角．章末检测（B ） 答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．C 9．A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)10．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 11．a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥1) 12.AE EB ＝S △ACD S △BCD三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 13．解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交， 则必和另一个相交．结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ， 则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β， 又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，∴必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．14．解 假设1，3，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d ，则1＝3－md,2＝3＋nd ，m ，n 为两个正整数，消去d 得m ＝(3＋1)n .∵m 为有理数，(3＋1)n 为无理数，∴m ≠(3＋1)n .∴假设不成立．即1，3，2不可能为同一等差数列中的三项．15．证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 a ＋b 2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，对任意实数a ，b 不等式都成立．16．证明 要证s <2a ，由于s 2＝2ab ，所以只需证s <s 2b ，即证b <s .因为s ＝12(a ＋b ＋c )，所以只需证2b <a ＋b ＋c ，即证b <a ＋c .由于a ，b ，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立． 于是原命题成立．17．解 (1)由a n ＝2－S n ，得a 1＝1；a 2＝12；a 2＝14；a 4＝18，猜想a n＝(12)n －1(n ∈N *)．(2)对于通项公式为a n 的数列{a n }，若a n ＋1a n＝p ，p 是非零常数，则{a n }是等比数列，大前提因为通项公式a n ＝(12)n －1，又a n ＋1a n＝12，小前提 所以通项公式为a n ＝(12)n －1的数列{a n }是等比数列．结论18．(1)解 b a <c b .证明如下： 要证ba <cb ，只需证b a <c b ，∵a ，b ，c >0，∴只需证b 2<ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ≥21ac，∴b 2≤ac ， 又a ，b ，c 均不相等，∴b 2<ac 成立．故所得大小关系正确．(2)证明 方法一 若角B 是钝角，则cos B <0.由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac >ac －b 22ac >0，这与cos B <0矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．方法二 若角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边， 即b >a ，b >c ，所以1a >1b >0，1c >1b >0，则1a ＋1c >1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．。

2018年高考理科数学考前集训：算法、复数、推理与证明（解析版）[考情分析]1．程序框图是每年高考的必考内容，主要考查循环结构的程序框图的输出功能以及判断框内循环体结束条件的填充，多为选择题或填空题，试题难度不大；2.对复数的考查，难度一般为容易，常在选择题或填空题的前两题的位置呈现．一般考查三个方面：一是复数的概念，如实部、虚部、模、共轭复数等；二是复数的四则运算；三是复数的几何意义；3.推理与证明考查频次较低.1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1)B．(－1,3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．答案：A2．(2016·高考全国卷Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4i z z －1＝4i4＝i.故选C.答案：C3．(2017·高考全国卷Ⅱ))执行如图的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：运行程序框图，a ＝－1，S ＝0，K ＝1，K ≤6成立；S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，K ＝2，K ≤6成立；S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，K ＝3，K ≤6成立；S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，K ＝4，K ≤6成立；S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，K ＝5，K ≤6成立；S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，K ＝6，K ≤6成立；S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，K ＝7，K ≤6不成立，输出S ＝3.选择B. 答案：B4．(2016·高考全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________． 解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3. 答案：1和3算法与程序框图[方法结论]算法的两种基本逻辑结构(1)循环结构分为当型和直到型两种．(2)当型循环在每次执行循环体前对控制循环的条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足时则停止． (3)直到型循环在执行了一次循环体后，对控制循环的条件进行判断，当条件不满足时执行循环体，满足则停止．[题组突破]1．(2017·合肥模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的n 为( )A ．9B ．11C ．13D ．15解析：由程序框图可知，S 是对1n 进行累乘，直到S ＜12 017时停止运算，即当S ＝1×13×15×17×19×111＜12 017时循环终止，此时输出的n ＝13，故选C. 答案：C2．(2016·高考全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x解析：输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，运行第一次，x ＝0，y ＝1，不满足x 2＋y 2≥36； 运行第二次，x ＝12，y ＝2，不满足x 2＋y 2≥36；运行第三次，x ＝32，y ＝6，满足x 2＋y 2≥36，输出x ＝32，y ＝6.由于点⎝⎛⎭⎫32，6在直线y ＝4x 上，故选C. 答案：C 复数[方法结论]1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类 (1)z 是实数⇔b ＝0； (2)z 是虚数⇔b ≠0； (3)z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. 2．共轭复数复数a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数是a －b i(a ，b ∈R )． 3．复数的四则运算法则(1)(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； (2)(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ；(3)(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R )．提醒：记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i ；(4)a ＋b i i ＝b －a i ；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．[题组突破]1．(2017·广西三市联考)复数z ＝(i －1)2＋4i ＋1的虚部为( )A ．－1B ．－3C ．1D ．2解析：z ＝(i －1)2＋4i ＋1＝4－2i i ＋1＝(4－2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－3i ，故选B.答案：B2．(2017·长沙模拟)在复平面内，复数3i1－i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：3i1－i ＝3i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－3＋3i 2，故其对应的点在第二象限，选B.答案：B3．(2017·西安模拟)设(a ＋i)2＝b i ，其中a ，b 均为实数．若z ＝a ＋b i ，则|z |＝( ) A ．5 B. 5 C ．3D. 3解析：由(a ＋i)2＝b i 得a 2－1＋2a i ＝b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝02a ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2＝1＋4＝5，选B. 答案：B4．(2017·惠州模拟)若复数z 满足z ·i ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数是________． 解析：由z i ＝1＋i 可得z ＝1＋i i ＝(1＋i )(－i )i (－i )＝1－i ，所以z 的共轭复数是1＋i.答案：1＋i [误区警示]1．混淆复数的实部和虚部；2．计算(a ＋i)2，|z |时，错用运算法则． 推理与证明[方法结论]1．推理(1)归纳是由特殊到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理得到的结论一定正确． (3)演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程．数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理．2．证明的两种方法(1)直接证明：①综合法；②分析法． (2)间接证明：反证法． 3．与反证法有关的命题题型(1)易导出与已知矛盾的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)“至少”“至多”型命题；(5)一些基本定理；(6)必然性命题等．[典例] (1)用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( ) A ．假设a ，b ，c 都是偶数 B ．假设a ，b ，c 都不是偶数 C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数 D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数解析：“至少有一个”反面应为“没有一个”，也就是说本题应假设a ，b ，c 都不是偶数． 答案：B(2)(2017·安徽江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52解析：1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C. 答案：C(3)(2017·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中．”乙说：“我没有作案，是丙偷的．”丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷．”丁说：“乙说的是事实．”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯． 答案：B [类题通法]推理问题多以选择题或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，而其他的主要是渗透到数学问题的求解之中；常涉及特殊、一般、部分、整体及归纳思想、类比思想等数学思想方法．[演练冲关]1．(2017·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：由表知，答案：D2．(2017·贵阳模拟)已知不等式1＋14＜32，1＋14＋19＜53，1＋14＋19＋116＜74，照此规律总结出第n 个不等式为________．解析：由已知，三个不等式可以写成1＋122＜2×2－12，1＋122＋132＜2×3－13，1＋122＋132＋142＜2×4－14，所以照此规律可得到第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2＋1(n ＋1)2＜2(n ＋1)－1n ＋1＝2n ＋1n ＋1. 答案：1＋122＋132＋…＋1n 2＋1(n ＋1)2＜2n ＋1n ＋1 算法中的交汇问题算法是高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮点，这类问题常常背景新颖，并与函数、数列、不等式、统计等交汇，考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问题的能力．[典例]执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2，2]，则输出的S属于()A．[－6，－2]B．[－5，－1]C．[－4,5]D．[－3,6]解析：由程序框图可知其值域为(－2，6]∪[－3，－1]＝[－3,6]，故选D.答案：D[类题通法]解决算法的交汇性问题的方法(1)读懂算法框图，明确交汇知识；(2)根据给出问题与算法框图处理问题；(3)注意框图中结构的判断．[演练冲关]1．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是()A．a n＝2n B．a n＝2(n－1)C．a n＝2n D．a n＝2n－1解析：由程序框图可知：a1＝2×1＝2，a2＝2×2＝4，a3＝2×4＝8，a4＝2×8＝16，归纳可得：a n＝2n，故选C. 答案：C2．已知函数f (x )＝x 2－ax 的图象在点A (1，f (1))处的切线与直线x ＋3y ＋2＝0垂直，执行如图所示的程序框图，输出的k 值是________．解析：因为f (x )＝x 2－ax ，所以f ′(x )＝2x －a ，根据导数的几何意义，y ＝f (x )的图象在点A (1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝2－a ，因为函数f (x )＝x 2－ax 的图象在点A (1，f (1))处的切线与直线x ＋3y ＋2＝0垂直，所以(2－a )×(－13)＝－1，所以a ＝－1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以1f (x )＝1x 2＋x ＝1x －1x ＋1，从而可知程序框图的功能是求S ＝12＋16＋112＋…＋1k 2＋k ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1k －1k ＋1)＝1－1k ＋1＝k k ＋1＞1415时k 的最小值，故k＝ 15. 答案：15。

专题能力训练17复数与计数原理(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.设有下面四个命题p1:若复数z满足R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p42.复数=()A BC.-D.-3.(2017浙江湖州菱湖中学期中)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么互斥而不对立的事件是()A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球4.(2-)8展开式中含x3项的系数为()A.112x3B.-1 120x3C.112D.1 1205.设z是复数,|z-i|≤2(i是虚数单位),则|z|的最大值是()A.1B.2C.3D.46.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组每组至少一人,则不同的分配方案的种数为()A.50B.80C.120D.1407展开式中,各项系数之和为3,则展开式中的常数项为()A.-120B.-80C.80D.1208.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.把复数z的共轭复数记作,若(1+i)z=1-i,i为虚数单位,则=.10.已知复数(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a=.11的展开式中的常数项为.12.安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有种,学生甲被单独安排去金华的概率是.13.(2017浙江绍兴一模)将3个男同学和3个女同学排成一列,若男同学甲与另外两个男同学不相邻,则不同的排法种数为.(用具体的数字作答)14.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知复数z=(1)求|z|;(2)若z(z+a)=b+i,求实数a,b的值.16.(本小题满分15分)已知的展开式的前三项的系数成等差数列.(1)求的展开式中所有的有理项;(2)求的展开式中系数的绝对值最大的项.参考答案专题能力训练17复数与计数原理1.B解析p1:设z=a+b i(a,b∈R),则∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;p2:因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确;p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.2.B解析i,故选B.3.D解析从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,不同的取球情况共有以下几种:3个球全是红球;2个红球,1个白球;1个红球,2个白球;3个球全是白球.选项A中,事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件;选项B中,事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件;选项C中,事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球,1个白球”与“1个红球,2个白球”;选项D中,事件“恰有一个红球”与事件“恰有两个红球”互斥不对立.故选D.4.C解析含x3项的系数为(-1)6·22=112.5.C解析∵|z-i|≤2,∴复数z在复平面内对应点在以(0,1)为圆心,以2为半径的圆及其内部.∴|z|的最大值为3.6.B解析根据题意,分2种情况讨论:①甲组有2人,首先选2个放到甲组,共有=10种结果,再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置,每组至少一人,共有=6种结果,∴根据分步计数原理知共有10×6=60;②当甲中有三个人时,有=20种结果,∴共有60+20=80种结果.7.D解析展开式中,各项系数之和为3,∴x=1时,1+a=3,∴a=2..∵的通项为25-r x5-2r(-1)r,故展开式中x的一次项为80x,x的-1次项为-40x-1,分别与x,相乘得展开式中的常数项为160-40=120.8.B解析若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选B.9.i解析∵复数z的共轭复数记作,(1+i)z=1-i,i为虚数单位,∴z==-i,∴=i.10.-2解析i,∴=0,∴a=-2.11.-20解析,其展开式的通项为T r+1=·()6-r·=·(-1)r·()6-2r,令6-2r=0,得r=3,所以常数项为T4=·(-1)3=-20.12.150解析根据题意,按五名同学分组的不同分2种情况讨论:①五人分为2,2,1的三组,有=15种分组方法,对应三项志愿者活动,有15×=90种安排方案;②五人分为3,1,1的三组,有=10种分组方法,对应三项志愿者活动,有10×=60种安排方案,则共有90+60=150种不同的安排方案;学生甲被单独安排去金华时,共有=14种不同的安排方案,则学生甲被单独安排去金华的概率是.13.288解析根据题意,分2种情况讨论:①3个男同学均不相邻,将三名女同学全排列,有=6种排法,排好后有4个空位,在4个空位中,任选3个,安排3个男同学,有=24种安排方法,此时共有6×24=144种不同的排法;②另外两个男同学相邻,将这两个男同学看成一个整体,考虑2人的顺序,有=2种情况,将三名女同学全排列,有=6种排法,排好后有4个空位,在4个空位中,任选2个,安排甲和这2个男同学,有=12种安排方法,此时共有2×6×12=144种不同的排法;则共有144+144=288种不同的排法.14.-121解析(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8=,(1-x)5中x4的系数为=5,-(1-x)9中x4的系数为-=-126,-126+5=-121.15.解(1)∵z==3-i,∴|z|=.(2)∵(3-i)(3-i+a)=(3-i)2+(3-i)a=8+3a-(a+6)i=b+i,∴16.解(1)由题意知T1=)n,系数T'1=1;T2=)n-1,系数T'2=n;T3=)n-2,系数T'3=.因为T'1,T'2,T'3成等差数列,所以2T'2=T'1+T'3,即n=1+,得n=8.将式子展开,则有理项有T1=x4,T4=x,T9=x-2.(2)的展开式中系数的绝对值最大的项为T6=)3=-1 792,同理T7=1 792x-11.故所求系数的绝对值最大的项为T6和T7.。

高三数学二轮复习精选专题练（理科，有解析）复数、算法与推理1、设复数Z 满足i Z i 2)3(=⋅-，则|Z |=（ ）A ．2B ．3C ．1D ．2【答案】C2、设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z=（ ） A ．1+i B ．1-i C ．2+2i D ．2-2i 【答案】B【解析】因为(1)2i z +=，所以22(1)112i z i i -===-+，故选B 。

3、右边程序运行后输出的结果为( )A. 50B. 5C. 25D. 0 【答案】D【解析】1,1;2,3;3,1;4,0;5,0j a j a j a j a j a ========== 4、在复平面内复数3+41iz i=-的对应点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限a=0j=1WHILE j<=5 a=(a+j) MOD 5 j=j+1 WEND PRINT a END【答案】B【解析】3+4(3+4)(1)1717+1(1)(1)222i i i i z i ii i +-+====---+，而点17(,)22-在第二象限，故选B5、如果执行如图的程序框图，输入x ＝－2，h ＝0.5，那么输出的各个数的和等于( )A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5 【答案】B.【解析】由框图可知，当x ＝－2时，y ＝0；当x ＝－1.5时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝0；当x ＝－0.5时，y ＝0；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝0.5时，y ＝0.5；当x ＝1时，y ＝1；当x ＝1.5时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝1.∴输出各数之和为3.5. 6、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 【答案】A7、设A （0，0），B （4，0），C （4+t ，4），D （t ，4）（t R ∈），记N （t ）为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整数点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N （t ）的值域为( )A ．{9，10，11}B ．{9，10，12}C ．{9，11，12}D ．{10，11，12}【答案】C【解析】如下图，在t=0,0<t<1,t=1时分别对应点为9,11,12，选C 。